Непрерывность операций на полугруппах и их обобщениях

Общая топология, как раздел математики, исследующий идеи непрерывности, в соединении с алгеброй составляет основу современного раздела математики — топологической алгебры. Предметом алгебры является изучение алгебраических структур, которые определяются заданием одного или нескольких законов композиции на некотором множестве. Одновременно с алгебраической структурой на данном множестве часто рассматривают и другие математические структуры, согласованные с алгебраической структурой. Это ведет к большей конкретности таких объектов и позволяет получать новые факты о структурах, заданных на множестве. Например, при соединении понятий группы [полугруппы] и топологического пространства возникают новые математические понятия — топологическая группа [полугруппа].

Теория полугрупп тесно связана не только с теорией групп, теорией колец, но и другими областями математики: дифференциальной геометрией, функциональным анализом, алгебраической теорией автоматов и др. Задание на полугруппе топологии приводит к постановке новых задач и открывает широкие возможности для исследования как свойств полугрупп, так и приложений полугрупп.

Как известно, в общем случае из непрерывности «-арной операции.

Ф:Хп -«X (п> 2, X— непустое множество) по каждому аргументу не следует ее непрерывность по совокупности аргументов. Важной является задача установления условий, при которых операция ф является непрерывным отображением по совокупности аргументов. Для групп с топологией такое условие найдено Р. Эллисом [59]. Интерес к исследованию условий непрерывности полугрупповой операции на полугруппе с топологией связан также с необходимостью изучения мер на топологических полугруппах и построения на таких структурах гармонического анализа [см. работы 19, 22].

Одним из методов, применяемых в решении многих задач теории полугрупп, является вложение полугруппы в группу. Вопросами топологического вложения полугрупп с топологией в топологические группы занимались Л. Б. Шнеперман, Ф. Христоф, Р. Ригельхоф, Н. Церпес и А. Мухерджеа, Лау Ка-Синг, Дж. Лавсон и Зенг Вей-Бин, В. В. Мухин, А. Р. Миротин. Предложенные Ф. Христофом необходимые и достаточные условия топологического вложения произвольной топологической полугруппы, алгебраически вложимой в группу, в топологическую группу трудно проверяемы на практике. Остальные из перечисленных авторов выделяют классы полугрупп, вложимых в топологические группы, задаваемые простыми условиями. Вместе с тем остается актуальным нахождение новых классов полугрупп, топологически вложимых в группы. Из результатов теоремы Эллиса следует, что задача вложения топологической полугруппы в локально компактную топологическую группу является также актуальной и интересной. В частном случае подобные результаты получены Р. Ригельхофом для коммутативных, а Н. Церпесом и А. Мухерджеа для реверсивных полутопологических полугрупп с сокращениями при условии открытости сдвигов.

Своей алгебраической структурой к группам наиболее близки инверсные полугруппы. Это позволяет переносить некоторые групповые результаты на инверсные полугруппы. Инверсные полугруппы с топологией стали рассматриваться сравнительно недавно, поэтому вполне естественно изучение их топологических свойств.

Наряду с бинарными полугруппами в работе изучаются «-полугруппы с топологией. «-Группы и «-полугруппы имеют особые свойства, отсутствующие у топологических бинарных групп и полугрупп, изучение которых является одной из основных задач теории топологических «-арных систем.

Таким образом, целью работы является исследование взаимосвязи алгебраической и топологической структур на полугруппах и «-полугруппах, установление условий, при которых полугрупповая операция на полугруппе, я-полугруппе становится непрерывной по совокупности аргументов.

В главе I сделан исторический обзор, посвященный топологическим бинарным и /7-арным группам и полугруппам.

В § 2.1 описаны топологические свойства отображений г|(лс, у) = (х, ху) и 5(х5<�у) = {ху, у), заданных на декартовом произведении ХхХ и принимающих значения из ХхХ, гдеX— полугруппа [группа] с топологией т. В теореме 2.1.1 показана равносильность непрерывности умножения и операций (х, ху) и б^т,^)^^,^) в полугруппе с топологией. В теореме 2.1.4 устанавливается условие непрерывности операций в группе с топологией в терминах свойств отображений г и 8.

В § 2.2 найдены условия на семейство отклонений на полугруппе, при которых полугрупповая операция будет непрерывным отображением по совокупности аргументов в топологии на полугруппе, порождаемой этим семейством отклонений.

В § 2.3 теорема 2.3.3 [2.3.5] является обобщением теоремы Эллисана случай правых [левых] групп, наделенных локально компактной топологией.

В § 2.4 раскрывается значение отображений r|(.Y, jy) = и д (х, у)= (яу,^) в задаче топологического вложения полугруппы с топологией, алгебраически вложимой в группу, в топологическую группу [теорема 2.4.1].

Отметим, что В. В. Мухиным в [23] показана возможность топологического вложения локально компактной полутопологической полугруппы с открытыми сдвигами в локально компактную топологическую группу при условии алгебраического вложения полугруппы в группу. Этот результат является обобщением результатов Р. Ригельхофа и Н. Церпеса и А. Мухерджеа. В § 2.4 теорема 2.4.4 является основной и обобщает указанный результат из [23] на случай порождающего подмножества группы с заданной на нем топологией. В этой теореме найдены естественные условия для топологии порождающего множества, при которых она однозначно продолжается до топологии на всей группе и согласуется с групповой операцией.

В § 2.5 рассматриваются инверсные полугруппы с топологией, исследуется отделимость топологии на инверсных полугруппах. В теоремах 2.5.8 и 2.5.10 исследуются свойства топологических инверсных полугрупп, в которых идемпотент замкнут или является изолированным элементом в множестве всех идемпотентов. Теоремы 2.5.16 и 2.5.17 устанавливают условия, при которых инверсная полугруппа с топологией будет объединением топологических групп и топологической инверсной полугруппой.

1. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп / под ред. М. Арбиба. — М.: Статистика, 1975. — 335 с.

2. Бужуф, X. Вложение «-арных топологических полугрупп в бинарные группы и меры на них / X. Бужуф. Препринт № 2. — Гомель: ГГУ, 1996. — 32 с.

3. Бужуф, X. О топологиях на «-группоидах Менгера и «-арных полугруппах, являющихся производными от бинарных полугрупп / X. Бужуф. Препринт № 1. — Гомель, 1995. — 18 с.

4. Бурбаки, Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. Словарь / Н. Бурбаки. М.: Наука, 1975. — 408 с.

5. Бурбаки, Н. Общая топология. Основные структуры / Н. Бурбаки. -М.: Наука, 1968.-272 с.

6. Бурбаки, Н. Общая топология. Топологические группы, числа и связанные с ними группы и пространства / Н. Бурбаки. М.: Наука, 1969.-392 с.

7. Вейль, А. Интегрирование в топологических группах и его применения / А. Вейль. М.: Ил, 1950. — 222 с.

8. Гальмак, A.M. Теоремы Поста и Глускина-Хоссу / A.M. Гальмак. Гомель. ГГУ им. Ф. Скорины, 1997. — 85 с.

9. Гальмак, A.M. iV-арные группы / A.M. Гальмак // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 2007. № 2 (8). — Том 4. — С. 7695.

10. Гутик, О. В. Вложение топологических полугрупп в простые / О. В. Гутик // Matematychni Studii, 1994. P. 10−14.

11. Гутик, О.В. О структуре связки компактной инверсной полугруппы с открытыми сдвигами / О. В. Гутик // Matematychni Studii, 1996. -№ 6.-P. 33−38.

12. Келли, Дж. Общая топология / Дж. Келли. М.: Наука, 1981. -432 с.

13. Клиффорд, А. Алгебраическая теория полугрупп / А. Клиффорд, Г. Престон. Т. 1.-М.: Мир, 1972.-285 с.

14. Клиффорд, А. Алгебраическая теория полугрупп / А. Клиффорд, Г. Престон. Т. 2. — М.: Мир, 1972. — 422 с.

15. Ляпин, Е. С. Полугруппы / Е. С. Ляпин. М.: Физматгиз, 1960. -592 с.

16. Мальцев, А. И. Алгебраические системы / А. И. Мальцев. М.: Наука, 1970. — 392 с.

17. Мальцев, А. И. Избранные труды. Классическая алгебра / А. И. Мальцев. Т.1. — М.: Наука, 1976. — 484 с.

18. Миротин, А. Р. Линейные представления аналитических и топологических полугрупп и их приложения: автореф. дисс.. докт. фи-зико-мат. наук (01.01.01) — Белорусский гос. ун-т. Минск, 2001. -34 с.

19. Мухин, В. В. Вложение топологических полугрупп в локально компактные группы и инвариантные меры на полугруппах /В.В. Мухин // Арифметическое и подгрупповое строение конечныхгрупп: Труды Гомельского семинара. — Минск: Наука и техника, 1986.-С. 86−92.

20. Мухин, В. В. Инвариантные меры и вложение локально компактных полугрупп в топологические группы / В. В. Мухин // Доклады АН СССР, 1984.-Т. 278.-№−5.-С. 1063−1066.

21. Мухин, В. В. Меры на топологических полугруппах / В. В. Мухин // Череповец: ГОУ ВПО ЧГУ. 2004. — 265 с.

22. Мухин, В.В. О вложение полутопологических полугрупп в полутопологические группы в качестве открытой подполугруппы /B.В. Мухин // Вопросы алгебры: сб. Гомель: Изд-во ГГУ, 1999. -Вып. 14.-С. 122−126.

23. Мухин, В.В. О топологиях на полугруппах и группах, определяемых семейством отклонений и норм / В. В. Мухин, Бужуф. X. // Известия вузов. Математика. 1997. -№ 5. — С. 74−77.

24. Мухин, В. В. Топологические «-арные полугруппы / В. В. Мухин, Б. Хамза // Весщ НАН Беларусь Серыя ф1з.-матэм. навук, 1999. -№ 1.-С. 45−48.

25. Мухин, В.В. О продолжении топологии с системы образующих группы до топологии на группе /В.В. Мухин, Е. Е. Филипова // Известия вузов. Математика. 2009. -№ 6. С. 37−41.

26. Общая алгебра. Т. 2. / В. А. Артамонов и др.- под ред. JI.A. Скорнякова. М.: Наука, 1991. — 480 с.

27. Понтрягин, JI.C. Избранные научные труды. Топология. Топологическая алгебра / JI.C. Понтрягин. Т. 1. — М.: Наука, 1988. — 736 с.

28. Понтрягин, JI.C. Непрерывные группы / Л. С. Понтрягин. М.: Наука, 1973. — 520 с.

29. Русаков, С. А. Алгебраические «-арные системы: Силовская теория «-арных групп / С. А. Русаков. Мн.: Навука i тэхшка, 1992. -264 с.

30. Русаков, С.А. К аксиоматике топологических «-арных групп / А. С. Русаков // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. Мн., 1984. — С. 149−159.

31. Сушкевич, А. К. Теория обобщенных групп / А. К. Сушкевич. -Харьков-Киев: ГНТИ Украины, 1937. 176 с.

32. Филипова, Е. Е. Инверсные полугруппы с топологией / Е.Е. Фи-липова // Вестник Ижевского государственного технического университета, 2008. — № 4 (40). — С. 214−215.

33. Филипова, Е. Е Некоторые свойства бинарных и «-арных полугрупп с топологией / Е. Е. Филипова // Материалы ежегодных смотров-сессий аспирантов и молодых ученых по отраслям наук: Естественные и физико-математические науки. Вологда, 2007. -С. 139−147.

34. Филипова, Е. Е. Некоторые свойства «-групп / Е. Е. Филипова // Современная математика и математическое образование в вузах и школах России: опыт, тенденции, проблемы. Межвузовский сборник научно-методических работ. Вологда: ВГПУ, 2006. — С. 38−40.

35. Филипова, Е. Е. Некоторые свойства инверсных полугрупп с топологией / Е. Е. Филипова // Сборник трудов участников VI Межвузовской конференции молодых ученых. Череповец: ЧГУ, 2005.-С. 169−171.

36. Филипова, Е.Е. О непрерывности операций в алгебраических системах, наделенных топологией / Е. Е. Филипова // Сборник трудов участников IV Межвузовской конференции молодых ученых. Череповец: ЧГУ, 2003. С. 224−226.

37. Филипова, Е. Е. Полугруппы с локально компактной топологией / Е. Е. Филипова // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2006. С. 94−99.

38. Халмош, П. Теория меры / П. Халмош. М.: Ил., 1953. — 291 с.

39. Чунихин, С. А. К теории неассоциативных «-групп с постулатом К / С. А. Чунихин // Доклады АН СССР, 1945. Т. 48,. — № 1. — С. 7−10.

40. Шнеперман, Л.Б. О погружении топологических полугрупп в локально компактные группы / Л. Б. Шнеперман // Математические заметки, 1969. Т. 6. — № 4. — С. 401−409.

41. Энгелькинг, Р. Общая топология / Р. Энгелькинг. -.М.: Мир, 1986.-752 с.

42. Carruth, J.H. The theory of topological semigroups / J.H. Carruth, J.A. Hildebrant, R.J. Koch. New York. Basel.: Marcel Dekker, Inc., 1983.-V. 1.-241 p.

43. Christoph, F. Embedding topological semigroups in topological group / F. Christoph // Semigroup Forum, 1970. V. 1. — № 1. — P. 224−231.

44. Crombez, C. On topological «-groups / C. Crombez, G. Six // Ab-handludlungen Math. Semin. Univ. Hamburg, 1974. Bd. 41. — P. 115−124.

45. Cupona, G. On topological «-groups / G. Cupona // Bull. Soc. Math. Phys. R. S. Macedoin 22, 1971. Кн. 22. — P. 5−10.

46. Cupona, G. On representation of associatives into semigroups / G. Cupona, N. Celakoski // Maced. Akad. Of Ski. And Arts Contributions, 1974. Vol. 6. — № 2. — P. 23−24.

47. Dickson, L.E. On semigroups and general isomorphism / L. E. Dickson // Trans. Amer. Math. Soc., 1905. Vol. 6 — P. 205−208.

48. Dornte, W.A. Untersuchungen liber einen verallgemeinerten Grup-penbegriff / W. A. Dornte // Math. Z, 1928. Bd. 29. — S. 1−19.

49. Dudek, W.A. Idempotents in -?-ary semigroups / W.A. Dudek // Southest Asian Bull. Math, 2001. V. 12. — P. 97−104.

50. Dudek, W.A. On n-ary semigroups with adjoint neutral element / W.A. Dudek, V.V. Mukhin // Quasigroups and Related Systems, 2006. -№ 14.-P. 163−168.

51. Dudek, W.A. On topological n-ary semigroups / W.A. Dudek, V.V. Mukhin // Quasigroups and Related. Systems 3 (1996). Institute mathematics Academy of Science Moldova, Higher College of Engineering in Legnica Poland. Legnica, 1999. P. 73−88.

52. Ellis, R. A note on the continuity of the inverse / R. Ellis // Proc. Amer. Math. Soc, 1957.-V. 8.-P. 372−373.

53. Ellis, R. Locally compact transformation groups / R. Ellis // Duke Math. Journal, 1957.-V. 14.-P. 119−125.

54. Gutik, O. Compact topological inverse semigroups / O. Gutik // Semigroup Forum, 2000. Vol. 60. — P. 243−252.

55. Gutik, O.V. Embedding of countable topological semigroups in simple countable connected topological semigroups / O. Gutik // Journal of Mathematical Sciences, 2001. Vol. 104. -№. 5. — P. 1422−1427.

56. Hofmann, K.H. A history of topological and analytical semigroups / K.H. Hofmann. Preprint Nr. 2046. Technische universitat Darmstadt, 1999.-27 p.

57. Lau, Ka-Sing. Embedding locally compact semigroups into groups / Ka-Sing Lau, J. Lawson, Wei-Bin Zeng // Semigroup Forum, 1998. -Vol. 57.-P. 151−156.

58. Mukherjea, A. A note on the embedding of topological semigroups /А. Mukherjea, N.A. Tserpes // Semigroup Forum, 1971. V. 2. — № 1.-P. 71−75.

59. Mukherjea, A. Measure on topological semigroups / A. Mukherjea, N.A. Tserpes // Lecture notes in mathematics, 1976. V. 547. — 197 p.

60. Mukhin, V. V. On topological «-semigroups / V.V. Mukhin // Qua-sigroups and Related Systems. 4 (1997). Institute mathematics Academy of Science Moldova. Printed in Poland, 1999. P. 39−49.

61. Post, E. L. Polyadic groups / E.L. Post // Trans. Amer. Math. Soc, 1940. V. 48. — № 2. — P. 208−350.

62. Rigelhof, R. Invariant measure on locally compact semigroups / R. Rigelhof // Proc. Amer. Math. Soc, 1971. V. 28. — № 1. — P. 173 176.

63. Wallace, A.D. The structure of topological semigroups / A.D. Wallace //Bull. Amer. Math. Soc, 1955.-Vol. 61.-P. 95−112.