Исследование и приближенные методы решения негладких полукоэрцитивных вариационных неравенств

Актуальность темы

Многие линейные задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку. При этом исходная краевая задача сводится к отысканию минимума некоторого выпуклого функционала на линейном множестве. Переход к вариационной постановке позволяет ослабить ограничения на гладкость искомого решения, при этом естественным образом вводится понятие обобщенного (слабого) решения. В последние десятилетия интенсивно развиваются и вариационные подходы для некоторых нелинейных краевых задач, таких, как задача об упруго-пластическом кручении цилиндрического стержня [1, 22, 59, 60], контактная задача теории упругости (как с трением, так и без него) [10, 16, 34, 48, 52, 54, 61, 63, 64], задача Бингама [53, 66] и т. д. Соответствующие вариационные задачи состоят в минимизации выпуклого функционала на выпуклом замкнутом множестве и, тем самым, являются задачами на условный экстремум. Они могут быть представлены и в эквивалентной форме вариационных неравенств. Исследования по вариационным неравенствам первоначально были проведены в школе Ж. Л. Лионса [12, 14, 22, 23, 52], а в настоящее время широко и активно разрабатываются специалистами по дифференциальным уравнениям, механике сплошной среды, математической экономике. Отметим в этой связи работы отечественных исследователей: П. П. Мосолова [31], П. П. Мосолова и В. П. Мясникова [30], В. Л. Бердичевского [4], П. Н. Уральцевой [46], Н. Н. Уральцевой и Т. Н. Рожковской [47], Б. Д. Аннина и Г. П. Черепанова [1], A.M. Хлуднева [48, 57, 58], А. В. Лапина [20] и др.

Для анализа и решения вариационных задач широко используется аппарат выпуклого анализа и математического программирования, развитый в работах Р. Рокафеллара [40, 63, 64], Б. Н. Пшеничного [38], Б. Н. Пшеничного и Ю. М. Данилина [39], И. Экланда и Р. Темама [49], Ж.-П. Обена и И. Экланда [36], Ф. П. Васильева [8, 9], Ж. Сеа [43], А. С. Антипина [2, 3], А. А. Каплана и К. Гроссмана [13], Е. А. Нурминского [35] и др.

Исследования по численному анализу вариационных неравенств осуществляется, как правило, на основе метода конечных элементов. Систематическое изложение теоретических основ метода конечных элементов имеется в книгах [25, 36, 37, 45]. Проблема конечноэлементной аппроксимации вариационных неравенств отражена в монографиях Р. Гловинского, Ж. Л. Лионса, Р. Тремольера [12], И. Главачека, Я. Гаслингера, И. Нечаса, Я. Ловишека [54], Ф. Сьярле [45], С. Бренер и Л. Скотта [51], Ф. Скарпини и М. А. Вивальди [65] и др.

В монографиях [11, 12, 54] и статьях [6, 53, 55, 59, 61, 66] отражен опыт численного решения нелинейных краевых задач с использованием методов оптимизации и проводится анализ этих методов с учетом специфики получающихся в результате аппроксимации конечномерных задач.

Исследования нелинейных краевых задач эллиптического типа проводятся, как правило, в предположении, что минимизируемый функционал является коэрцитивным в исходном гильбертовом пространстве. Этот факт обеспечивает как существование и единственность обобщенного решения, так и квалифицированную сходимость к искомому элементу решений аппроксимирующих задач [11, 12, 49].

Однако для ряда важных в прикладном отношении нелинейных краевых задач выполняется лишь ослабленное условие коэрцитивности. Поэтому вопрос о существовании и единственности решения требует дополнительного исследования [11, 14], а при построении минимизирующей последовательности, как правило, приходится применять специальные меры, обеспечивающие ее квалифицированную сходимость.

Цель работы. Исследование некоторого класса негладких (не-дифференцируемых) полукоэрцитивных вариационных неравенств и развитие приближенных методов их решения с использованием аппарата вариационно-разностных аппроксимаций, выпуклого анализа и математического программирования.

Методы исследования. В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды, методы функционального анализа, теория выпуклого анализа и вариационных неравенств, методы вычислительной математики и математического программирования. Применяется теория пространств C.JI. Соболева [44], общая теория нелинейных краевых задач [14,22,36].

Научная новизна. В диссертации исследуются задача Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона и задача Синьорини с неоднородным краевым условием. Для данных задач получены следующие новые результаты: а) для задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона получена краевая постановка для соответствующей полусглаженной задачидоказаны теоремы существования и единственности решения полусглаженнои вариационнои задачиустановлена оценка близости решений исходной задачи и соответствующей ей полусглаженной задачиустановлена сильная сходимость минимизирующих последовательностей для полукоэрцитивного негладкого функционала в полусглаженной задачепостроен и обоснован алгоритм с пошаговой ргох-регуляризацией для решения полусглаженной задачиустановлена оценка погрешности конечноэлементной аппроксимациипостроен и обоснован модифицированный метод Ньютона, разработанный для минимизации негладких функцийпостроен и обоснован модифицированный метод Ньютона с регулировкой шага, разработанный для минимизации негладких функцийпроведены численные экспериментыдля задачи Синьорини с неоднородным краевым условием исследована краевая постановка для эквивалентной вариационной задачи с однородным условием на границеустановлена сильная сходимость соответствующих минимизирующих последовательностейпостроен и обоснован алгоритм с пошаговой ргох-регуляризациейустановлена оценка погрешности конечноэлементной аппроксимации во вспомогательных задачахустановлена линейная скорость сходимости метода итеративной ргохр егуляризациипроведены численные эксперименты.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры оптимального управления факультета «Вычислительная математика и кибернетика» Московского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Ф. П. Васильев, к.ф.-м.н., доцент М.М.Потапов), на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела в Институте гидродинамики СО РАН в 2001 г.(г. Новосибирск, рук. чл.-корр. РАН Аннин Б. Д., д.ф.-м.н., проф. Соснин О.В.), на семинарах «Дифференциальные уравнения» (рук. д.ф.-м.н., проф. Зарубин А.Г.), на семинаре «Функциональный анализ» при ВЦ ДВО РАН (рук. чл.-корр. РАН Степанов В.Д.), на научном семинаре в Хабаровском отделении ИПМ ДВО РАН (рук. чл.-корр. РАН Кузнецов Н.В.), на секционных заседаниях Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е. В. Золотова во Владивостоке в 1999, 2000 и 2001 гг., в Дальневосточной школе-семинаре по математическому моделированию и численному анализу в 2001 г., на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в 2001 г. (г. Пермь).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ (6 статей и 5 тезисов выступлений), которые отражают ее основное содержание.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения, разделенных на параграфы: §§ 1−3 в главе 1, §§ 1−2 в главе 2, §§ 1−2 в приложении. Общий объем диссертации составляет 107 страниц машинописного текста, включает список литературы из 80 наименований. Нумерация формул в диссертационной работе состоит из трех чиселпервое число есть номер параграфа в главе, второе — номер пункта, третье — порядковый номер формулы в этой главе. Нумерация теорем состоит из двух чиселпервое число есть номер главы, второе — порядковый номер теоремы в этой главе. Нумерация приводимых во введении теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приведен краткий обзор литературы, указана актуальность темы исследования, цель и новизна полученных результатов, а также сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Первая глава посвящена исследованию экстремальной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона и построению устойчивого итерационного метода её решения.

Рассматривается экстремальная задача Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона.

J (и) = НVu2dtt — f fudti + f gAVuldtt + f g2udT — min,.

Q fi fi Г (J) и e где Ос В? — ограниченная область с достаточно гладкой границей Г, 01,02 — const > 0, / G Ь2{О) [53].

2).

Функционал J (и) недифференцируем. Воспользуемся процедурой его частичного сглаживания.

J?(u) = |Vu|2dQ — j fudVt + J giyJVu'2 + e2dti + J g2udT — min,.

Q Г иен1^), где? — достаточно малый параметр.

Задача (2) эквивалентна вариационному неравенству (v" • V (vи)+ - - «)) № + f 92(V — M) dT > 0.

3) дл яУ^еяЧо).

Вариационная задача (3) соответствует краевой задаче.

— Аи.

1 + д (gi (du/dxi) ^ д f д1(ди/дх2) дхх V^/|Vw|2 + ?2/ дх2 W|V"|2 + e2,.

91 ди.

02, 1 +.

9 м в Q и + д2и = 0 на Г.

Здесь и далее в краевых задачах через п обозначен единичный вектор внешней нормали на Г.

Очевидно, что функции и = const принадлежат ядру соответствующей билинейной формы a (u, v) = fVuVvdfl.

В пункте 1.3 главы 1 исследуется проблема существования решения полусглаженной задачи (2). Основным результатом этого пункта является.

Теорема 1.1. Пусть выполнено условие.

J g2dT — / fdQ.

Г Q.

0,.

4) тогда решение задачи (2) существует.

Далее в предположении, что решение задачи (2) принадлежит пространству Я2(0), доказана следующая теорема о единственности решения полусглаженной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона.

Теорема 1.2. Пусть выполнено условие разрешимости (4). Тогда решение задачи (2) единственно в пространстве Я2(0).

В пункте 1.5 главы 1 установлена связь между решениями. Получена следующая оценка близости по полунорме [66].

J |V (u* - u0)2dQ < 2giemesti, fi где и*? Я2(П) — решение задачи (2), щ — произвольное решение задачи (1).

Построению устойчивого метода решения полусглаженной задачи (2) посвящен § 2 главы 1.

Определение. Последовательность {ип}} принадлежащая Н1(С1), называется минимизирующей для задачи (2), если lim Js (un= JJu*).

В пункте 2.1 главы 1 доказана теорема о сильной сходимости минимизирующей последовательности (в предположении, что и*? Н2(0)).

Теорема 1.3. Пусть выполнено условие (4). Любая минимизирующая для задачи (2) последовательность {ип} сходится в норме пространства к решению и* задачи (2), т. е.

К&К-«1я.(О)=0.

Решение вариационных неравенств эллиптического типа, как правило, осуществляется на основе их последовательной аппроксимации конечномерными задачами выпуклой оптимизации. Построение минимизирующей последовательности сильно сходящейся к некоторому элементу оптимального множества (множества решений) в полукоэрцитивных вариационных неравенствах, требует существенной модификации основных опимизаци-онных методов, основанной на регуляризации вспомогательных задач.

В § 2 главы 1 диссертации исследуется итерационная регуляризация с использованием ргох-отображения. В отличие от методов, построенных на основе регуляризации А. Н. Тихонова, методы с ргох-регуляризацией требуют выполнения несколько более жестких условий последовательной аппроксимации допустимого множества (множества, на котором минимизируется функционал) и иной техники исследования. Однако, при этом обеспечивается существенно лучшая устойчивость решения вспомогательных задач и, следовательно, большая эффективность применяемых средств выпуклой оптимизации.

Для решения задачи (2) применим метод итеративной ргох-ре-гуляризации в сочетании с конечноэлементной аппроксимацией на последовательности триангуляций области Q. Для классической (без условия трения на границе области) задачи Мосолова и Мясникова исследования по сходимости метода итеративной ргох-регуляризации были проведены в работе X. Шмидта [66].

Пусть последовательность {zk} (к = 0,1,2.) удовлетворяет неравенству.

J?(zk) + X\zk — < шй]{Ми) + А||" - z*" 1!!!^} + е*, (5) оо где, А > 0 — const, > О,^sk < оо, zо Е hl (q) — любая начальная точка. к=1.

Доказана.

Теорема 1.4. Последовательность сильно сходится к решению и* задачи (2).

Предположим далее, что Q Е R2 — выпуклый многоугольник. Для построения последовательности {zk} предлагается использовать метод конечных элементов на последовательности триангуляций с условием lim hk = 0 (hk — параметр триангуляции). к—} со.

Обозначим % - фиксированное разбиение области Q на треугольники Г, удовлетворяющие стандартным условиям триангуляции ([25], стр. 109) — Nh — множество узлов 7л, Mh = Г П Nh',.

Vh — линейная оболочка соответствующих кусочно-аффинных базисных функций.

Используя алгоритм с ргох-регуляризацией на последовательности триангуляций, на итерации с номером к рассмотрим вспомогательную задачу.

Je (u) + \u-ulkJ2L[Q) -min.

6) и е н1(о), ^.

Где u*h — приближенное решение, полученное на предыдущем шаге триангуляции. Относительно точного решения и*к данной задачи сделаем следующие предположения (см. [12] стр. 287, [52], [61] стр. 220):

1)иен2(П),.

2)\ul\H2(ty < С, к = 1,2., где С — некоторая константа. Затем, в качестве приближенной к задаче (6) рассмотрим конечномерную задачу.

Je (uhk) + X\uhkulkJ\m — min uh e vhk где hk — параметр триангуляции, lim hk = 0. Существование и единственк—>-оо ность решения конечномерной задачи (7) следует из сильной выпуклости минимизируемого функционала [26]. Справедливо следующее утверждение, касающееся оценки погрешности конечноэлементной аппроксимации задачи (6).

Теорема 1.5. Имеет место.

IK-<11 h^).

Теорема 1.6. Пусть О — выпуклый многоугольник, Е hk' < оо. Тогда k= 1 имеет, место.

В § 3 главы 1 дано описание метода поточечной релаксации и двух модификаций классического метода Ньютона, исследованы вопросы сходимости, обсуждены некоторые вычислительные аспекты этих методов.

В пункте 3.1 главы 1 диссертации разработана модификация метода Ньютона, предназначенная для минимизации функции, представленной в виде суммы дважды непрерывно дифференцируемой функции и только лишь непрерывной функции. Обозначим конечномерный аналог минимизируемого функционала задачи (7) через Jp (y), где у? Rm, т — количество узлов триангуляции.

Представим функцию Jp (y) в виде суммы гладкой и негладкой частей.

Ш=>Чу) + Ш, Чу) е с2(пт), му) ес (пт).

Если известно п—е приближение уп, то, используя квадратичную аппроксимацию гладкой функции Jo (у) в точке уп, получим функцию.

Jn (y) = 4"Ы + Л (у) = ~ Уп) + ^(J'o (yn)(y — Уп), У~ Уп) + Ji{y).

Лемма 1.1. Модифицированный метод Ньютона. Пусть ыу) = ыу) + ыу), My) ec'{Rm), Ji (y)eC (K>

Ж12 < Ьу е Rm, «= const > о,.

JS (y)-Jo (z)\$Ly-z y, z? Rm, L = const > 0. Пусть начальное приближение уо выбрано так, что q = -yi ~ Уо < 1.

Тогда задача минимизации.

8).

Л (у"+1) =min Jn (y).

9) разрешима при каждом п = 0,1. и имеет место следующая оценка скорости сходимости метода: лп.

U/n-У <тЕ? <Т i-(п = 0,1.

L k=n L I-qz.

10) где у* - точка минимума Jp (y) в Rm.

Далее, в пункте 3.2 определяется вспомогательное приближение уп из условия.

МУп) = min Jn (y), кт.

И) полагается.

Уп+i = Уп + ап (Уп ~ Уп),.

12) где ап выбирается из условий.

Jp{yn) ~ JP (yn+1) > Р<*п [J (yn) ~ Jn (yn)], 0 < an < 1, (13).

3 — некоторое фиксированное число, О < [3 < 1. Формула (13) является ключевой, поскольку, в отличие от классического метода Ньютона с регулировкой шага [8, 9, 39], в правую часть неравенства введена негладкая функция J{yn). В пункте 3.2 имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.7. Модифицированный метод Ньютона с регулировкой шага. Пусть.

Ш = Му) + Ыу), My) ecrm), ji (y) е c (rm), 2 < (ши) < где /г, М — постоянные, 0 < ц < М. Тогда последовательность {уп}, определяемая методом (11)-(13), при любом начальном приближении Е Rm существует и сходится к у* - точке минимума Jp (y) в Rm. Если, кроме того,.

К (у) ~ Jg (z) || < Lyz y, z? Rm, L = const > 0, то найдется номер щ такой, что при всех п > щ, рассматриваемый метод перейдет в модифицированный метод Ньютона для минимизации негладких функций, скорость сходимости которого — сверхлинейная.

Для численного решения задачи (2) используется аналог метода поточечной релаксации для минимизации негладких функций.

Алгоритм поточечной релаксации выглядит следующим образом: 1) начиная с точки у0 = {у^.-.у^} и предполагая уп известным, будем последовательно уточнять его отдельные компоненты и у&trade-+1 для — 1, ., шо п+½.

Z) определяем yi как решение неравенства.

7 (vn+l vn+l vn+l/2 vn iin } < Jny 1 > yi-liyi Ут) Ъ.

Л (уГ+1,-, 2Й1,*, упт) ж е] - оо,+оо[;

Известно [12]что данный алгоритм не годится, вообще говоря, для минимизации недифференцируемых функционалов. Тем не менее, в [12] установлен положительный результат о применимости метода поточечной релаксации для минимизации функционалов вида т.

Q (y) = Qo (y) + Eviyil о, (и) i= 1.

Qo коэрцитивный, строго выпуклый и принадлежит классу С1.

Таким образом, для вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона построен итерационный процесс с глубиной вложения равной 3, основанный на комбинировании итеративной ргох-регуляризации, модифицированного метода Ньютона с регулировкой шага и аналога метода поточечной релаксации для минимизации негладких функций.

Во второй главе исследуется задача об установившемся течении жидкости в области, ограниченной полупроницаемой мембраной (задача Синьо-рини).

J (и) = I f 4u2dtt — f fudti — min, fi fi (15) и? G = {uu?: ф-^и<0 п. в. на Г}, где О С Я2 — ограниченная область с достаточно регулярной границей Г, /? и ф? Ьг (Г) — заданные функции, ju? Н1²(Т) есть след функции и? Hl (Q) на Г. Здесь ф> - заданное давление жидкости на границе (жидкость может втекать в О, если и{х) < ф (х), и яе может вытекать ни при каких условиях), / - поток жидкости в П, и — искомое распределение давления.

В дальнейшем для упрощения изложения будем опускать символ 7 у следов функций. Функционал J (и) не является коэрцитивным на множестве G и, поэтому, задача может и не иметь решения. Однако, если то J (y) —> +00, если ||г-||#1(0) —У 00, v Е G и, следовательно, задача разрешима [14, 54]. Условие (16) обеспечивает и единственность решения. Ниже считаем, что условие (16) выполнено.

В ранних работах [16], [34], [61] исследование полукоэрцитивной задачи Синьорини проводилось в предположении однородности (равенства нулю) граничной функции ф. В данной работе это предположение не является необходимым.

Пусть ф — след на границе некоторой функции Ф Е H2(Q). В задаче (15) произведем замену тогда экстремальная задача (15) сводится к эквивалентной задаче J (oj) = If IVcj2dQ — I ftudtt + /Vw Vtfdft — min,.

ZQ 0 0: (17) си e G = {ulv? H^tt): и > 0 п. в. на Г}. Очевидно, что функционал J (и) на множестве G ведет себя также, как J (и) на множестве G, то есть.

Задача (17) минимизации функционала J (со) на множестве G эквивалентна вариационному неравенству.

16) и — и — Ф.

J (u) +00, если ||^||я1(о) —> оо, и Е G.

18) а (и*, v — uj*)> F (v — uj*), v Е G,.

19) где а (и>, v) = / Vw • VvdQ, F{u) = J (fu — УФ • Vcu) dfl, и* - решение задачи (17).

В пункте 1.2 главы 2 установлена эквивалентность вариационной задачи (19) и следующей краевой задачи.

— Дш = / + ДФ в ' и,.

Tn + fn >0, (? + ?)" = 0 П-Вна Г.

В пункте 1.3 главы 2 воспользуемся методом конечных элементов для перехода к следующей конечномерной задаче, соответствующей задаче (17) min.

21) h, где Gh = {uh? Vh Uh (s) >0 Vs E Mh}. Легко видеть, что специальный выбор базисных функций и однородные граничные условия обеспечивают вложение Gh С G. На основании указанного вложения, с учетом (18) получаем, что задача (21) разрешима. Более того, решение задачи (21), как и (17), единственно.

Назовем приближенным решением задачи (15) сумму + где u*hрешение задачи (21). В предположении, что выполнено условие разрешимости (16) задачи (15) и решение и* задачи (15) принадлежит пространству Я2(О), в работе [62] получена следующая оценка скорости сходимости метода конечных элементов.

В задаче (17), как и в задаче Синьорини, минимизируемый функционал J (и) является полукоэрцитивным [16]. Поэтому конечноэлементная аппроксимация формы, а приводит к конечномерной квадратичной форме j (uh) Uh G 1 с вырожденной матрицей, что существенно усложняет поиск приближенного решения. Это обстоятельство обуславливает необходимость применения специальных мер, обеспечивающих квалифицированную сходимость минимизирующей последовательности. Для задачи (17), как и в главе 1, эффективный алгоритм решения строится на основе использования метода итеративной ргох-регуляризации в сочетании с конечноэлементной аппроксимацией на последовательности триангуляций области О.

В пункте 2.2 главы 2 доказана теорема о сильной сходимости минимизирующей последовательности (аналогичная теореме 1.3. главы 1).

Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (16). Любая минимизирующая последовательность {соп}, ьоп G G, сходится в норме пространства Н1{О) к решению задачи (17), т. е.

Следуя схеме итеративной ргох-регуляризации, на {к)-й итерации имеем вспомогательную задачу вида.

Здесь oj*hkx — конечноэлементное решение, полученное на предыдущей (к — 1)-й итерации, h& - параметр к-ой итерации, h^-^fO.

Пусть Q — выпуклый многоугольник. Для данного hk, как и в главе 1, вводим регулярным способом [25] многоугольную триангулированную область, вершины которой лежат на Г.

Отбрасывая постоянные слагаемые в минимизируемом функционале, заlim IIujn «-» 0.

22) ueG = {veH1(Q):v> 0 п. в. на Г}. меним (22) приближенной конечномерной задачей.

Va-bJ2 + 2А u2hk) dQ — /(/ + 2А oj*hkJu-hkdn + f Vujhk ¦ УФсШ — min, ft n n u>hk 6 Ghk = G V/JtyKfci) >0 Vi G Mh}.

23).

Обозначим через ш*к и uj*hk решения задач (22) и (23) соответственно. Справедливо следующее утверждение, касающееся оценки ошибки аппроксимации.

Теорема 2.2. Имеет место.

½.

Ук.

Ставя в соответствие последовательности {ек} абстрактной схемы (5) по.

1 /2 следовательность {Chk }, заключаем, что для сходимости метода итераоо тивнои ргох-регуляризации достаточно выполнения условия? hk < оо. к=1.

Например, можно менять параметр триангуляции по правилу hk = где hо — некоторая начальная величина. Таким образом, в пункте 2.3 главы 2 доказана следующая.

Теорема 2.3. Пусть Q — выпуклый многоугольник, ф есть след функции Ф G H2{Q),? hk < оо. Тогда имеет место.

При практической реализации метода каждую фиксированную триангуляцию естественно использовать на нескольких шагах алгоритма. Кроме того, пользуясь результатами, приведенными в [17], можно доказать следующую теорему об оценке скорости сходимости метода итеративной ргох-регуляризации.

1. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача. -М.: Наука, 1983. — 239 с.

2. Антипин А. С. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа.-М., 1979. -74с. (Препринт ВНИИ системных исследований).

3. Антипин А. С. О сходимости и оценках скорости сходимости проксимальных методов к неподвижным точкам экстремальных отображений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. -т.35, № 5. с. 688−704.

4. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983. 448 с.

5. Булгаков В. К., Липанов A.M., Чехонин К. А. Моделирование течений неньютоновских жидкостей, имеющих предел текучести. //Механика композитных материалов. -1988. № 6. -с. 1112−1116.

6. Булгаков В. К., Чехонин К. А. Гидродинамика течений полимеризую-щейся нелинейно-вязкопластичной жидкости, имеющей свободную поверхность. // ИФЖ. 1990. -т.59, № 4. — с.764−771.

7. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М., Мир, 1977. 542 с.

8. Васильев Ф. П. Лекции по методам решения экстремальных задач.-М.: МГУ, 1974. 374 с.

9. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач.-М.: Наука, 1980. 518 с.

10. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. -М.: Наука, 1980. 303 с.

11. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. -М., Мир, 1986. 270 с.

12. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. -М., Мир, 1979. 574 с.

13. Гроссман К. Каплан А. А. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. -Новосибирск: Наука, 1981. 278 с.

14. Дюво Г., Лионе Ж. Л. Неравенства в механике и физике. -М.: Наука, 1980. 480 с.

15. Жанлав Т., Пузырин И. В. О сходимости итераций на основе непрерывного аналога метода Ньютона. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1992. -т.32, JY-6. с.846−856.

16. Каплан А. А., Намм Р. В. К характеристике минимизирующих последовательностей для задачи Синьорини //Доклад АН СССР. -1983. -т.273, JN4.-C.797−800.

17. Каплан А. А., Намм Р. В. Об оценке скорости сходимости итерационных процессов с ргох-регуляризацией. // В сб. «Исследования по условной корректности задач математической физики». -Новосибирск, 1989. с.60−77.

18. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. -М.: Наука, 1970. 250 с.

19. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -М.: Наука, 1973. 456 с.

20. Лапин А. В. Решение вариационных неравенств с нелинейными полукоэрцитивными операторами. В кн. Вычислительные процессы и системы. -М.: Наука, 1986. с.219−264.

21. Лебедев К. А. Об одном способе нахождения начального приближения для метода Ньютона. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1996. т.36, № 3. с.6−14.

22. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -М., Мир, 1972. 587с.

23. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. -М., Мир, 1972. 415с.

24. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. 346 с.

25. Марчук Г. И. Агошков Ю.М.

Введение

в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1975. 430 с.

26. Мину М. Математическое программирование. -М.: Наука, 1990.-342с.

27. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. 454 с.

28. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных.-М.: Высшая школа, 1977. 430 с.

29. Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. -М.: Наука, 1966. 432 с.

30. Мосолов П. П., Мясников В. П. Механика жесткопластических сред. -М.: Наука, 1981. 208 с.

31. Мосолов П. П. О некоторых математических вопросах теории несжимаемых вязкопластичных сред. // ПММ. -1978. -т.42, вып.4. -с.737−746.

32. Намм Р. В. Приближенные методы исследования полукоэрцитивных вариационных неравенств в задачах механики с односторонними граничными условиями. Дис. докт. физ.-матем. наук. Хабаровск, ХГТУ, 1995. -199 с.

33. Намм Р. В. О единственности решения в модельной задаче с трением по закону Кулона. //Динамика сплошной среды. -1994. -Вып.109. -с.79−82.

34. Намм Р. В. О некоторых алгоритмах для решения задачи Синьорини // Оптимизация. -1983. -вып. 33 (50). -с.63−78.

35. Нурминский Е. А. Численные методы выпуклой оптимизации. -М., Наука, 1991. 167 с.

36. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. -М., Мир, 1988. 510 с.

37. Оганесян JI.A., Ривкинд В. Я., Руховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. 4.1,2. Дифференциальные уравнения и их применение, Вильнюс, 1974, вып. 5,8. — 394 с.

38. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. -М.: Наука, 1980. 320 с.

39. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. -М.: Наука, 1976. 319 с.

40. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. -М., Мир, 1973. 469 с.

41. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. -М.: Наука, 1989. -403 с.

42. Самарский А. А., Фрязинов И. В. О разностных методах аппроксимации задач математической физики. //УМН. -1976. -т.31, № 6. -с.167−197.

43. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. -М., Мир, 1973. -244 с.

44. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. -Новосибирск: Издательство СО АН СССР, 1962. -255 с.

45. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических систем. -М., Мир, 1980. -512 с.

46. Уральцева Н. Н. О регуулярности решений вариационных неравенств. //УМН. 1987. -т.42, вып. 6. -с.151−174.

47. Уральцева Н. Н., Рожковская Т. Н. Теоремы регулярности для вариационных неравенств и односторонних задач. //Дифференциальные102уравнения с частными производными (Труды международной конференции). -Новосибирск: Наука, 1986. с.187−192.

48. Хлуднев A.M. Оптимальное управление пластиной над препятствием. //Сибирский математический журнал. 1990. — т.31, № 1. с.172−178.

49. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.-М.: Мир, 1979. 400 с.

50. Bercover М., Engelman М. A Finite-Element Method for Incompressible Non-Newtonian Flows. //J. of computational physics. -1980. -№ 3, pp. 313 326.

51. Brenner S., Scott L. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. -Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg, 1996. 297 p.

52. Brezis H. Problemes unilateraux. J. de Math. Pures et Appliquees, 51 (1972), pp, 1−168.

53. Fortin A., Cote D. On the imposition of friction boundary conditions for the numerical simulation of Bingham fluid flows. //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 88(1991). -North-Holland, pp. 97−109.

54. Glavacek I., Haslinger J., Necas I., Lovisek J. Numerical solution of variational inequalities. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1988. 322 p.

55. Glowinski R. Numerical method for nonlinear variational problem. New York: Springer, 1984. 381 p.

56. Kaplan A., Tichatschke R. On New Proximal Methods for Variational Inequalities. //Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. -Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1994. -V.429, pp. 198−213.

57. Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of Cracks in Solids. //WIT Press, Southampton-Boston, 2000. 408 p.

58. Khludnev A.M., Sokolowski J. Modelling and Control in Solid Mechanics. //Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1997. 384 p.

59. Namm R.V. About the method with regularization for solving the contact problem in elasticity. //International series of numerical mathematics. -Basel, 1992. -V.106, pp. 223−228.

60. Namm R.V. On a rate of convergence of the finite element method in variational inequalities with a weakly coercive operator. -Khabarovsk, 1991. 13 p. -(Report № 4, Institute for Applied Mathematics F.-E.B. of the Russian Academy of Sciences).

61. Namm R.V. Stable methods for ill-posed variational inequalities in mechanics. //Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. -Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1997. -V.452, pp. 214−228.

62. Namm R.V., Woo G. On a convergence rate of finite element method in Signorini’s problem with nonhomogeneous boundary condition. //Дальневосточный математический журнал. 2001. — т.2, № 1. — с.77−80.

63. Rockafellar R.T. Characterization of the sub differentials of convex functions. //Pacific J. Math. -1966. -V.17, pp. 497−510.

64. Rockafellar R.T. Convex programming and systems of elementary mono-tonic relations. //J. Nath. Anal. Appl. -1967. -V.19, pp. 543−564.

65. Scarpini F., Vivaldi M.A. Error estimates for the approximation of some unilateral problems. // R.A.I.R.O. Ser. Rouge Anal. Numer. -1977. -V.ll, № 2, pp. 197−208.

66. Schmitt H. On the regularized Bingham problem. //Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. -Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1997. -V.452, pp. 298−315.

67. Tanner R.I., Nicrell R.E., Bilger W.W. Finite element methods for the solution of some incompressible fluid mechanics problem with free surfaces. //Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. -1975. -V.6, pp. 155−160.

68. Webster M.F. A technique to solve incompressible non-Newtonian flow problem. //Int. J. Numer. Meth. Eng. -1986. -V.20, pp. 227−240.

69. Webster M.F., Suli E.E., Morton K.W. Numerical case study of a non-Newtonian flow problem. //Int. J. Numer. Meth. Eng. -1988. -V.26, pp. 695−704.Список работ, опубликованных по темедиссертации.

70. Золотухин А. Я., Намм Р. В., Пачина А. В. О методе Ньютона для минимизации негладких функций. //Тезисы докладов Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е. В. Золотова. -Владивосток, 1999. -с.48.

71. Пачина А. В. Решение регулиризованной задачи Бингама. Математическое моделирование: методы и приложения. Сборник научных трудов. Хабаровск, ХГПУ, 2000. -с.94−100.

72. Золотухин А. Я., Намм Р. В., Пачина А. В. Приближенное решение вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона. //Сиб. журн. вычисл. математики. РАН Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2000. — Т. 4, № 2. — с.163−177.

73. Пачина А. В. Об устойчивом методе решения вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона.- Хабаровск, 2000. 39 с.-(Препринт 2000;48, ВЦ ДВО РАН).

74. Пачина А. В. О единственности решения задачи Бингама с трением на границе по закону Кулона. //Сборник научных трудов НИИ КТ / Под ред. С. В. Соловьева. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2000. Вып. 10. -с.94−100.

75. Пачина А. В. Исследование задачи Синьорини с неоднородным краевым условием. Математическое моделирование. //Сборник научных трудов. Хабаровск, ХГПУ, 2001. -с.70−76.

76. Золотухин А. Я., Пачина А. В. О решении полукоэрцитивной задачи Си-ньорини с неоднородным краевым условием. //Тезисы докладов Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е. В. Золотова. -Владивосток, 2001. -с.16.

77. Намм Р. В., Пачина А. В. Устойчивый метод решения вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона. // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Пермь, 2001. с. 447.

78. Пачина А. В. Решение полукоэрцитивной задачи Синьорини с неоднородным краевым условием. //Дальневосточный математический журнал. 2001. — т.2, т. — с.81−89.