Метод ложных возмущений в обобщенной задаче на собственные значения

Методы малого параметра имеют существенное значение в вычислительной и прикладной математике, математическом моделировании. Прежде всего, они возникли в регулярных задачах механики, когда главная часть дифференциального выражения вместе с краевыми и начальными условиями представляет собой обратимый оператор в некотором функциональном пространстве. Затем появились задачи, преимущественно в нелинейных явлениях, когда главная часть нелинейного уравнения — линеаризованный оператор, не имеющий обратного. Задачи такого рода относятся к теории ветвления решений нелинейных уравнений, представителем которых явилась задача о фигурах равновесия вращающейся жидкой массы (К. Якоби, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, Л. Лихтенштейн, Л. Н. Сретенский), а также, задачи по теории волн на поверхности тяжелой жидкости (А. И. Некрасов, Т. Леви-Чивита, Д. Стройк, Н. Е. Кочин). Однако, первая задача такого рода была рассмотрена еще Л. Эйлером — задача о малых изгибах прямолинейного стержня под действием постоянной нагрузки. С возникновением функционального анализа, такие задачи стимулировали исследования по спектральной теории линейных операторов, зависящих от одного или нескольких малых параметров (Ф. Реллих [92], Т. Като [78], Б. Секефальви-Надь [95]). Наиболее полное исследование дискретного спектра фредгольмовых операторов, аналитически зависящих от малого параметра, методом диаграммы Ньютона, выполнено в работе В. А. Треногина [71]. М. К. Гавуриным [12]-[15] были получены неулучшаемае оценки в теории возмущений. Начиная с 50-ых годов прошлого века, ведутся исследования по теории сингулярных возмущений, когда малый параметр является сомножителем главной части дифференциального выражения (А. Н. Тихонов, Коул, А. Б. Васильева, М. И. Вишик и JI. А. Люстерник, М. М. Хапаев, В. Ф. Бутузов, В. А. Треногин).

М.К.Гавурин [16], [17] предложил, основанный на теории возмущений, метод вычисления собственных чисел и векторов линейных операторов, названный методом ложных возмущений. Идея этого метода состоит в построении оператора ложного возмущения Dq, такого, что известные приближения к собственным числам и элементам становятся точными для возмущенного оператора. В работе [16] рассматриваются самосопряженные операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Результаты М. К. Гавурина были развиты Ф. Кунертом для простых собственных чисел несамосопряженных операторов. Обзор его работ содержится в [79]. Дальнейшее развитие метода ложных возмущений в спектральной теории линейных операторов в банаховых пространствах содержится в работах Б. В. Логинова и Н. А. Сидорова [45], [46]- Б. В. Логинова и Д. Г. Рахимова [41], [42]. Обзор, полученных здесь результатов, представлен в [89]. В [42], [89] был предложен оператор ложного возмущения, позволяющий уточнять обобщенные жордановы цепочки (ОЖЦ) для линейной по спектральному параметру оператор-функции Aq — tA без учета ОЖЦ сопряженной оператор-функции. Задача уточнения приближенно заданных собственных чисел, собственных элементов и обобщенных жордановых цепочек прямой и сопряженной задач оператор-функции спектрального параметра в общем случае оставалась нерешенной.

Данная работа посвящен изучению этого общего случая и его приложений в различных спектральных задачах теоретического характера, а также, в модельных задачах вычислительной и прикладной математики.

Первая глава (п. 1.1.) содержит необходимые определения и сведения аппарата обобщенных жордановых цепочек, а также, теории ветвления решений нелинейных уравнений. Необходимость последних вызвана используемыми в работе методами исследования уравнения разветвления в задаче о ветвлении собственных значений, собственных элементов и ОЖЦ фред-гольмовых оператор-функций спектрального параметра.

В п. 1.2. рассмотрены возможности линеаризации полиномиальной оператор-функции спектрального параметра, исследованы соотношения между ОЖЦ оператор-функции и ее линеаризации.

Пункт 1.3. посвящен одному частному случаю теоремы Ф. Реллиха. Методом диаграммы Ньютона установлены некоторые условия, гарантирующие разложения в ряды по целым степеням малого параметра собственных чисел А (е) = Ао + fi (e) и соответствующих собственных элементов задачи на собственные значения А (е)у = X (e)Ry, А (е) = Aq — еА — линейная оператор-функция малого параметра.

Пункт 1.4. содержит применеиие линеаризации по спектральному параметру к задачам устойчивости стационарных разветвляющихся решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с фредгольмоdx выми операторами А— = В (е)х — R (x, e), R (0,e) = 0, Де (0,0) = О,.

IX i".

В (е) = B + B1? + B2s2 +. = В + С (Е) и + +.

Аг^ = Вх + Нх,^,.,^-1^, \f (x, xu,.)x^t)\ = о (\х\), ||я|| = 0^ах 1 lk (fc)|| 0. Установленные здесь результаты обобщают критерии, полученные в работах [44], [90].

В п. 2.1. главы второй предложены варианты моделей ложного возмущения, симметрично использующие приближения ОЖЦ кратного собственного значения линейной оператор-функции. Лемма 2.1. позволяет определить системы элементов? Щ, ^ биортогональ-ные к приближенно заданным собственным элементам и ОЖЦ прямой и сопряженной {ФмУГ-т^ линейной оператор-функций спек X^il /С X трального параметра и определить два вида оператора ложного возмущения, такого, что заданные приближения к собственному числу и ОЖЦ прямой и сопряженной оператор-функций становятся точными для их возмущений (теорема 2.1., следствие 2.1.). Далее методами теории ветвления строится «определитель полноты «обобщенного жорданова набора п.

7, § 30.3], имеющий точное собственное значение К = p¿—кратным i корнем (К — корневое число, равное сумме длин ОЖЦ), к которому в п. 2.2. применяются различные итерационные процессы вычисления точного собственного значения и отвечающих ему ОЖЦ. Это метод Ньютона-Канторовича (теорема 2.2. (замечание 2.1.)) в его основном (модифицированном) варианте, имеющем квадратичную (линейную) скорость сходимостиитерационный процесс Ныотона-Канторовича с кубической сходимостью (теорема 2.3.) — итерационный процесс Эйткена-Стеффенсена с квадратичной скоростью сходимостиитерационный процесс М. К. Гавурина, обладающий сверхлинейной сходимостью (теорема 2.4.). Здесь же устанавливается, что вычисленные ОЖЦ биортогональны с точностью до 0(£и), где е = А — До — разности между точным собственным значением и его приближением, и — номер итерации. Далее предлагается итерационный процесс, использующий технику уравнения разветвления в корневом подпространстве. Также показано, что используемый оператор Э. Шмидта является регуляризатором рассмотренных итерационных процессов.

Пункт 2.3. посвящен приложениям ЛВ-метода. Это одномерная задача со смещением (Бицадзе-Самарского [5]) и" + Хи = 0, и (0) = О, и{хо) = и{ 1), для которой вычислены точные собственные значения и ОЖЦ и проведены вычислительные эксперименты по их уточнению методом ложных возмущений. Листинг программ вынесен в приложение 1. Далее следуют четыре одномерные задачи с двумя смещениями первого и второго рода по В. А. Ильину и Е. И. Моисееву [25], [26]. Приводится иллюстрация метода ложных возмущений (приложение 2). Рассмотрен пример уточнения ЛВ-методом кратных корней полинома. Хотя и считается, что прием замены алгебраического уравнения характеристическим уравнением матрицы Фробениуса нерационален, пример представляется нам интересным, так как здесь, попутно, установлены рекуррентные формулы суммирования и показано, что кратному корню многочлена отвечает собственное значение матричного оператора с жордановой цепочкой, длина которой равна кратности корня. Проведен вычислительный эксперимент (приложение 3). Изложен вариант дискретизации линейной оператор-функции, использующий абстрактную теорию разностных схем [73], [74], с приложением к задаче Штурма-Лиувилля.

В п. 2.4. ЛВ-медот применен для определения чисто мнимого критического собственного значения при динамической бифуркации.

В цикле работ начала ХХ-го столетия по линейным и нелинейным интегральным уравнениям [93] Э. Шмидт ввел системы собственных чисел Хк оператора В: Я Н, учитывая их кратности, и собственных элементов {ipk}i°, {фк}Т, удовлетворяющих соотношениям Bipk = Хифк, В*фк = Хк^Рк и позволяющих обобщить теорию Гильберта-Шмидта на несамосопряженные вполне непрерывные операторы в абстрактном сепа-рабельном гильбертовом пространстве Я [21], [56]. Под названием s-чисел эта система нашла многие применения в вычислительной математике и теории некорректных задач [19]. В статьях [40], [33] было предложено спектральное разложение линейных операторов в гильбертовом пространстве по спектру Шмидта и отмечено, что системы подобного вида встречаются в релятивистской квантовой теории Дирака [57], [32] и при исследовании некоторых проблем электромагнитных процессов [10]. Отметим работу текущего года [6] в которой спектр Э. Шмидта применяется в современных физических теориях.

В п. 2.5. определены две модельные задачи на спектр Э.Шмидта. В задаче, А для двух линейных операторов В и, А в гильбертовом пространстве H введены Л-собственные значения и элементы Шмидта, определяемые равенствами Bip = ХАф, В*ф = ХА*(р. Модельная задача В рассматривает задачу на собственные значения, возникающую в абстрактных системах типа Дирака [32], [64] при нестационарном ветвлении и приводимую к обобщенной задаче на спектр Шмидта. Для обеих задач дана модификация JIB-метода: построены операторы ложного возмущения и описан итерационный процесс Ньютона-Канторовича. Рассмотрены прикладные задачи на спектр Шмидта. Это модельные задачи теории электромагнитных колебаний в резонаторах без потерь, для которых доказана фредгольмовость обобщенных собственных значений Э. Шмидта. Граничная задача со смещением для системы ОДУ u" +Xv—0, v" +Xu=0- w (0)=0, w (£o)—'и{1), и (1)=0, i-(a-o)=v (0), для которой вычислены точные собственные значения и собственные функции. Доказано, что присоединенные элементы отсутствуют. Вычислительный эксперимент, иллюстрирующий ЛВ-метод, выполнен для случая xq=- (приложение 4). Рассмотрена пространл ственно одномерная динамическая задача со смещением, сводящаяся к системе дифференциальных уравнений и" + и = iav, v" + v = —iau со смещениями в граничных условиях и (0) = 0, и (хо) = и (1), г-(1) = 0, = v (0). Проведен вычислительный эксперимент по иллюстрации Л Вметода (приложение 5).

В главе3, в п. 3.1. рассмотрены различные обобщения задач на собственные значения с последующим применением метода ложных возмущений. В п. 3.1. выполнена линеаризация задачи на собственные значения A (t)X = 0, A{t) G L{E —> Е2}, t E (a, b) в банаховых пространствах последовательностей 1Р (Е{), i = 1,2. По заданным приближениям к собственному числу Л и ОЖЦ? Ф{о ' г ~ 1, • • •,™) s = 1, Pi построены их приближения для линеаризованной задачи и по схеме п. 2.1. построены модели ложного возмущения с описанием итерационных процессов М. К. Гавурина и Ньютона-Канторовича.

В п. 3.2. предложены обобщения спектральных задач Э. Шмидта. В модельной задаче С определены А-собственные значения и соответствующие им ОЖЦ для системы s операторов Bi, B2,.-, Bs. Модельная задача D является обобщенной задачей на собственные значения Шмидта полиномиальной оператор-функции спектрального параметра.

В п. 3.3. отмечены связи JlB-метода с теорией возмущений дискретного спектра и дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах с необратимым оператором при производной. Предложены общие схемы модификации ЛВ-метода.

В приложениях, все программы, реализующие численное решение рассмотренных задач, выполнены с применением системы компьютерной математики Maple 9.5.

Всюду ниже формулы, теоремы, леммы, следствия и замечания имеют сквозную нумерацию внутри каждой главы: первая цифра соответствует номеру главы, вторая — номеру утверждения.

Заключение

.

1. Следуя идее М. К. Гавурина, для линейной оператор-функции спектрального параметра построены модели ложного возмущения, симметрично использующие приближения к кратному собственному значению и обобщенным жордановым цепочкам, такие, что эти приближения становятся точными для возмущенной оператор-функции.

2. На основе общей теории возмущений дискретного спектра фред-гольмовых операторов предложены итерационные процессы последующего уточнения указанных приближений с оценкой скорости их сходимости.

3. Дано развитие ЛВ-метода в применении к спектральным задачам Э. Шмидта с линейным вхождением спектрального параметра.

4. Рассмотрены модификации ЛВ-метода для спектральных задач нелинейно зависящих от параметра на основе их линеаризации в виде матричных операторов.

5. Даны иллюстрации ЛВ-метода с соответствующими численными экспериментами в применении к одномерным задачам с одним и двумя смещениямидля определения чисто мнимых критических собственных значений в задачах динамической теории ветвленияв спектральных задачах Э. Шмидта с приложениями к модельным задачам теории электромагнитных колебаний, к граничной задаче со смещением для системы ОДУ, к пространственно одномерной динамической задаче со смещениемдля уточнения корней алгебраических уравнений.

6. Отмечена связь метода ложных возмущений с аналитическими возмущениями и дифференциальными уравнениями с необратимым оператором при производной.

В перспективе предполагается детальное выполнение схем последнего пункта, а также исследование спектральных разложений по спектру.

Э. Шмидта и некоторых других прикладных задач математической физики, в частности при решении задач теории резонаторов, обладающих определенной групповой симметрией. Результаты линеаризации полиномиальной оператор-функции спектрального параметра предполагается использовать для обобщения методов А. Н. Крылова, Леверрье, Д. К. Фаддеева.

Соискатель выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Борису Владимировичу Логинову за постановку задач и постоянное внимание к работе.