Дипломы, курсовые, рефераты, контрольные...
Срочная помощь в учёбе

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на ньютоновской решетке в пространствах Соболева Wmp (En)

Диссертация: Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на ньютоновской решетке в пространствах Соболева Wmp (En)
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

J f (x)dx = -—ДО) +—/(1) +—/(2) — /' (0) +—/'(О ~—/'' (2) • q 60'V 15 60' ' 240 24/ 240 б) Пусть G=3 и о" =2, тогда точность w=4×3-l=l 1. Сама формула примет вид: f (x)dx = elm + C,°/(l) + С2°/(2) + с3°/(3) -f€i/'(0) + c-/'(l) + о С'/ ' (2) + СГ (3) + С02/'' (0) + Clr' (1) + СГ • (2) + С32/' • (3). Для определения коэффициентов формулы решим систему (10) и получим следующие коэффициенты со… Читать ещё >

Содержание

  • РАЗДЕЛ I. Построение эрмитовых кубатурных формул
    • 1. 1. Пространства W?{En), Lmp (En)
    • 1. 2. Элементарные квадратурные формулы общего вида
    • 1. 3. Периодические функционалы погрешности квадратурной формулы общего вида
    • 1. 4. Элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешности 3 О
    • 1. 5. Построение кубатурной формулы общего вида с пограничным слоем при п = 2, G — 1, сг = 2 41 РАЗДЕЛ II. Оценка нормы функционала погрешности
    • 2. 1. Общий вид функционала погрешности кубатурной формулы в пространств eWp (En)
    • 2. 2. Норма периодического функционала погрешности кубатурной формулы общего вида
    • 2. 3. Оценка сверху нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем
    • 2. 4. Оценка снизу нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида
    • 2. 5. Асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида в W^ (Еп)

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на ньютоновской решетке в пространствах Соболева Wmp (En) (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Основная задача многомерного приближенного интегрирования состоит в отыскании с заданной точностью интеграла.

Jn (x) = j.

Q En где x — точка «-мерного пространства Еп, Zn (x) — характеристическая функция ограниченной области интегрирования Q с кусочно-гладкой границей Г = r (Q) и функция (р{х) непрерывна в замыкании области Q.

Многомерный интеграл (1) приближенно выражается суммой k=\a

2) узлы, С" где коэффициенты формулы (2), N — число узлов и, а — порядок старшей производной, входящей в формулу (2).

Формулу (2) будем называть кубатурной формулой общего вида. Погрешность кубатурной формулы общего вида (2) определяется равенством.

В данной работе рассматривается пространство C.JI. Соболева W™(En), <�р<�оо с нормой 1.

IH*)IU =.

1 z.

Епа<�т.

14'.

Da.

Условие вложения W" в Са имеет вид рт > п, р (т -15|) > п, где S <

Функционал погрешности кубатурной формулы общего вида.

М-Е £с?(-1 pD°s{x-xW) 4.

3) p{x)dx.

4) является линейным непрерывным функционалом в пространстве W™ и его норма определяется формулой feW|L.(?)=Sup.

11 WP ср*0 ln>

W" Sup.

Ы"т =1 d.

5).

Введем обозначения: Вт = <у е Еп, 0 < yt < 1 т ньютоновская система узлов, В} - множество индексов, а значений функции и ее производных порядка не выше а-т п Р.

1 и Da (p{x) — совокупность значений функции и её производных в одной точке.

Рассмотрим кубатурную формулу общего вида с ньютоновской системой узлов для фундаментального куба, А q{x)dx=? Y, CrD>® (6) д уеВт аеВ, и функционал погрешности формулы (6).

Г (*Ых)}= J.

4МЕ уеВт аеВ] p{x)dx.

7).

Данная диссертация посвящена исследованиям кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов и некоторых вопросов, связанных с реализациями функционалов общего вида, вычислениям норм функционалов и применениям этих реализаций к исследованиям функционалов погрешности кубатурных формул общего вида.

В работе построены эрмитовы кубатурные формулы в л-мерном пространстве Еп и не эрмитовы кубатурные формулы с ньютоновской системой узлов для кубов, являющихся аналогами формул Ньютона-Котеса.

Построенные эрмитовы формулы не могут быть получены интегрированием формул Тейлора, так как они содержат не один, а несколько узлов. Формулы получены с помощью символического метода В. А. Диткина и Л. А. Люстерника [2].

В одномерном случае эрмитовы квадратурные формулы исследовались в работах С. М. Никольского [24], Н. П. Корнейчука [10] и его учениками.

Эрмитовы кубатурные формулы рассматривались и ранее Т. И. Хаитовым [61] в гильбертовом пространстве Z,™.

В работе В. И. Половинкина и Л. И. Дидур [36] рассмотрены последовательности эрмитовых формул в пространстве L™ и получена оценка.

В. И. Половинкин отмечает, что в этой работе не выписывались явно коэффициенты таких конкретных формул и вычисление этих коэффициентов при узлах формул является технически трудной задачей.

В диссертации Н. Б. Цыренжапова [62] рассматривалась решетчатая эрмитова формула вида.

В работе [62] крайние узлы в ньютоновской системе узлов Вт заменялись на значения производных в точках, лежащих ближе к началу координат, вследствие чего уменьшается область влияния функционала. Однако при mesnyhm (1 + о (1)),.

ГОЛ Р’М Ю.

9) определении коэффициентов некоторых формул возникает трудность при выборе отдельных точек.

В отличие от работы Н. Б. Цыренжапова, в данной диссертационной работе рассмотрены формулы, в которых участвуют все значения функции и её производные до порядка сг включительно в узлах ньютоновской решетки и в явном виде получены кубатурные формулы общего вида.

Основной целью диссертации является построение и обоснование асимптотической оптимальности решетчатых кубатурных формул общего вида в пространстве СЛ. Соболева W™.

Для достижения цели ставятся задачи:

• построение элементарных кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов;

• получение общего вида функционала погрешности, получение в явном виде нормы функционала погрешности и экстремальной функции, соответствующей данному функционалу;

• получение в явном виде нормы периодического функционала yyj погрешности в W^, выделение главного члена нормы периодического функционала погрешности, получение нормы экстремальной функции, соответствующей данному периодическому функционалу погрешности;

• оценка сверху нормы функционала погрешности;

• оценка снизу нормы функционала погрешности.

Объектом исследования в данной работе служат формулы приближенного вычисления многомерных интегралов, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования Q при этом ограничена кусочно-гладкой границей в «-мерном евклидовом пространстве Е, в остальном она произвольна.

В данной работе рассматриваются кубатурные формулы с ньютоновской системой узлов, в которых участвуют значения функции и её производные. В этом случае алгебраическая система линейных уравнений для определения коэффициентов элементарной формулы общего вида имеет решение и периодический функционал, построенный с помощью элементарного функционала с ньютоновской системой узлов асимптотически оптимален в w-{ а).

Для нахождения коэффициентов формулы используем метод JI.A. Люстерника и В. А. Диткина [2].

Функцию <�р (х) разлагаем в ряд Маклорена в операторной форме оо, т, x, d-,+.+xndn.

Ф)= Е k (xidl+. + xndnf (p (Q) = e-1 1 П П (рф)> к—О где = (i=l,., n) — оператор частного дифференцирования.

1 I d.(p{x) =? d = {d^ d 2,—^ дифференциальный вектор, i ds =d.(ds~l).

S-я степень дифференциального оператора dd.d. произведение дифференциальных операторов d. и d.,.

1 J dx — d1xl + d2x2 +. + dnxn «скалярное произведение» вектора d на вектор х.

Находим производную и интеграл от этой функции. Подставив в формулу (6) и приравняв коэффициенты при равных степенях Д получаем систему для нахождения коэффициентов элементарной кубатурной формулы общего вида.

G 1 г=0а=0 X Са^=г=/,, v и k = L+k0+. + k <т, (10) to 7 W + 1)! 111−2 п где/ а.

Гк а, если к-а > 0 7— к-а, если |£|-|ог|>0 к-а =.

О, если к — а <0.

0, если < 0 '.

G +1- число точек лежащих на оси ОХ^ сг — порядок старшей производной. с" :=с/с2.с «I Е. Е.

7 а '2 U r = 0ri=0y2 = 0 yn=Q Е = Е Е — Е, а = 0 а, = =0 а =0.

12 п.

Если m — точность формулы (6), то число коэффициентов С®равно т + и С" зависит от выбора параметров G и и.

При заданной точности т числа G и сг согласованы таким образом, чтобы система (10) имела единственное решение.

Сначала рассмотрим квадратурную формулу. Пусть т — точность квадратурной формулы (6), т +1 — число всех одночленов, входящих в произвольный многочлен степени т, G +1 — число всех узлов формулы, лежащих на оси ОХь сг + 1- число значений функции и её производных в одной точке и (G + l)(cr + l) — число всех коэффициентов формулы (6). Параметры т, G и сг определяются следующим образом:

1. Пусть заданы параметры G и сг. Тогда точность т формулы (6) определяется из уравнения: m + l) = (G + l)(cr +1) (11).

Отсюда m = (G + lX<7 +1)~ 1. Приведем следующие примеры: а) Пусть G=2 и <т=1, тогда точность m=3×2-l=5.

Для определения коэффициентов формулы (6) решим систему (10) и получим следующие коэффициенты:

0 38 &bdquo-о 449 о 541.

1 «15' 2 — 60 * О» 60 ' с1 = 137 с 2937 ci= 2513 1 24 ' 0 240 ' 2 240 «.

Квадратурная формула для данного случая будет иметь вид.

541 38 449 2937 137 2513.

J f (x)dx = -—ДО) +—/(1) +—/(2) — /' (0) +—/'(О ~—/'' (2) • q 60'V 15 60' ' 240 24/ 240 б) Пусть G=3 и о" =2, тогда точность w=4×3-l=l 1. Сама формула примет вид: f (x)dx = elm + C,°/(l) + С2°/(2) + с3°/(3) -f€i/'(0) + c-/'(l) + о С'/ ' (2) + СГ (3) + С02/'' (0) + Clr' (1) + СГ • (2) + С32/' • (3). Для определения коэффициентов формулы решим систему (10) и получим следующие коэффициенты со = 912 523 со = 23 717 со 5851 со = 35 339.

0 2 395 008' 1 29 568' 2 29 568' 3 2 395 008'.

1 = 214 943 1 = 10 657, = 10 657×5941.

3 991 680' 1 ~ 147 840' 2 ~ 147 840' 3~ 1 330 560' П369 с2 = 4423 С2=7453 с2 ^ 1513 0 3 991 680' 1 88 704' 2 443 520' 3 3 991 680*.

2. Пусть задана точность т формулы. Из уравнения (3) заключаем. Если т +1 — нечетное число, то G и сг — чётные. Если т +1 — четное число, то G нечетно или о нечетно. Если т + - четное число и (.

Если перечисленные условия не выполнены, система уравнений (10) может не иметь решений.

3. Пусть заданы числа т и G. Предположим m-G > G +1. Из уравнения (11) находим m — G сг =-.

G +1.

Приведем следующие примеры:

3−1 а) Пусть т= 3 и G=, тогда о = —= 1;

Решая систему (10) для данного случая получаем формулу: f (x)dx = 1 ДО) + i /(1) + -L /• (0) — i /' (1). q .z z i z i z б) Пусть m=5 и G=l, тогда о- = ~~ = 2;

Решая систему (10) для данного случая получаем формулу: f (x)dx =- ДО) + -Д1) + —/'(0) -—/'(1) + —/" (0) +—/" (1) q 2 2 10 10 120 120.

11−2 в) Пусть /7?=11 и G=2, тогда сг = —-— = 3;

Решая систему, получим следующие коэффициенты со = 24 965 с0 = 128 со=ИОЗ, =4357 I=J. = 169.

0 59 136' 1 231' 2 59 136' 0 59 136' 1 б' 2 19 712' С2= 2819 2 = 64 с2 = 509 сз= 41 C3=J сз = 17 0 221 760' 1 3465' 2 443 520' 0 177 408' 1 360' 2 295 680'.

Таким образом, построена элементарная квадратурная формула общего вида для интервала [0,l).

Далее рассматривается представление финитных функционалов. Общий вид финитного функционала погрешности имеет следующее представление: = J Z Щвае2т (х)Ч^{х)Уаср (х)ск V.

<�т п I.

Известно [44], что при рт>п и 0.

D <�р (х) непрерывна и при сг = т.

Л Р..

-1, пространство W™ (Е^) вложено в пространство непрерывных дифференцируемых функций С (Е)..

Условие вложения Wm (E) в Си (Е) имеет вид р 4 п' v п' и|S|<<r..

Доказаны следующие леммы:.

Лемма 2.1. Пусть 1 < р < оо, — + -L = 15 р (т-|5|)> п, рт > п и р^ (х) е W™, тогда т-метагармонический оператор (1-Д)т переводит функцию в обобщенную функцию (l — А) т (р^ (х) — (x) g W™ и выражение l?(xp (x) = J z ^Da.

W^EJ. представляет собой ограниченный линейный функционал над пространством г т Р.

Лемма 2.2. Пусть рт>пу p (m-S^}>n, S.

1 -Ay""(x) = lg (x) и функционал погрешности общего вида имеет следующее представление.

E a.

Отметим, что доказательства лемм проводятся по схеме работы Ц. Б. Шойнжурова [71], однако свертка Da ^ (*) * (х) в функционале общего вида имеет более высокую особенность в узлах у..

Теорема 2.1. Если рт>п, Iq (x)eS* и свертка то экстремальная функция соответствующая функционалу Iq{x) кубатурной формулы общего вида определяется формулой, а <т..

Sign{Dae 2я (х)*%{х)): и норма функционала Iq (x) в Wзадается равенством w т г..

Е а<�т. п1 1.

Fl! oi" .

Далее исследуется норма периодического функционала погрешности и норма экстремальной функции, соответствующей периодическому функционалу погрешности..

С.Л. Соболевым [44] построена экстремальная функция в гильбертовом пространстве. На основе этой функций проводятся исследования в периодическом пространстве. В данном пункте исследования проводятся в негильбертовом пространстве и в явном виде получена норма периодического функционала, выделен главный член периодического функционала погрешности, что имеет большое значение для численного подсчета..

Yl.

Лемма 2.3. Если 1 < р < со, рт > п, 0 < S < т—, сг = тп.

IP J.

-1,.

S < сг, /0СТ (х) е Wp*{А) — периодический функционал погрешности общего вида имеет следующее представление где Ds = 2jDy и коэффициенты Dy определяются из линейной системы.

ГеВт уравнений (10), то функция вида ecw* вгг (х)+с. ог|<�п? О является экстремальной функцией, соответствующей периодическому функционалу /0 ^(х). Нормы функции <�Ра{х) и функционала 10а (х) соответственно определяются равенствами.

Д) д аК/я.

I Bgtt+c. dx.

IM д).

IS д|а|<�т.

Теорема 2.2. Пусть 1 < p n, 0 < m—, cr = mP n P..

-1, <7 и (pa (x) g W" (a) — экстремальная функция, соответствующая функционалу l0a (х), тогда периодический функционал погрешности s.

W" (A), норма его равна ICWJ^.^.

IS д|а|<�т.

BahfAx)+Ca dx и ka>.

I, а 'о.

Далее обосновывается асимптотическая оптимальность кубатурных формул общего вида с регулярным пограничным слоем при нечетном т..

В.И. Половинкиным [30] доказано, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в.

1Y! пространстве L при 1< /?<оо..

Получена оценка сверху нормы функционала погрешности, для этого предварительно доказаны лемма 2.4, лемма 2.5 и теорема 2.3..

Лемма 2.4.Если рт > п, р (т-| п, — + — = 1, а-т.

Р Р п Р..

-1, щ = т, Г т), |x|.

Sup J а<�тА h.

Dae2m{xH[l dx.

Лемма 2.5. Если l^(x)e R{L, A, S^, a = m и [S^ra или |.S| = w + l, то при |х| > Lh выполняется неравенство.

Sup а<�т.

Da+°+Ss2m (x)*r fx).

Khj C hn+lsl+ae~ 2 ш-2л1+|а|+сг+|5| «.

Теорема 2.3. Если Qограниченная область в Еп с кусочно-гладкой границей Г = Г (Г2), рт > п, р (т-S) > п, Ы < а, — + — = 1, 1<�р<�оо, р р то норма равномерно распределенного в области функционала /q (x) в W™* при h —> О удовлетворяет неравенству ш wp (?"> к.

-л mesQ.) р hm, где К — положительная константа, не зависящая от h,.

1 1.

Теорема 2.4. Если рт> п, p (m-S)> п, S< а, — +— = 1, 1</?<оо и.

Р Р' ограниченная область Q имеет кусочно-гладкую границу в Еп> то при h—>0 для всех функционалов с регулярным пограничным слоем в смысле определения СЛ. Соболева имеет место неравенство: gw wfm mesO.) d p dx hm (l + 0(h))..

Далее получена оценка снизу нормы функционала погрешности, для чего предварительно доказана вспомогательная лемма 2.6..

Лемма 2.6. Пусть область Q имеет кусочно-гладкую границу из r = T (Q). Тогда при /г —> 0 существует последовательность функций о qfh (х) е Wp такая, что.

1. (х) = 0, если x = hj3 и хе Q!2h,.

2. f<�т.

Bah-:{x)+ca dx (+ 0{h))..

Теорема 2.5. Пусть область Q имеет кусочно-гладкую границу Г=Г (?2), тогда для любого функционала погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на решетке с шагом h, при h —> 0 имеет место следующая оценка снизу mesQ).

EZ1 P.

0 р'.

JZ ч cbc hm (+ 0(h))..

Используя полученные ранее оценки сверху и снизу функционала погрешности, доказана следующая теорема..

Теорема 2.6. Пусть область Q имеет кусочно-гладкую границу.

Г = r (Q). При нечетном т функционал Iq с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимален в пространстве Соболева Wf (En) и выполняется равенство.

К («) (mesCl).

Ell р а\.

Бхм cbc hm (+ 0(h))..

Основные результаты диссертационной работы являются новыми. пространстве Соболева W при нечетных т..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Данная работа посвящена оценке погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве.

Соболева Для решения данной проблемы был использован функционально-аналитический поход. В работе получены следующие результаты:.

• построение элементарных кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов-.

• получен общий вид функционала погрешности, получена в явном виде норма функционала погрешности и экстремальной функции, соответствующей данному функционалу-.

• получена в явном виде норма периодического функционала погрешности в, выделен главный член нормы периодического функционала погрешности, получена норма экстремальной функции, соответствующей данному периодическому функционалу погрешности-.

• показана асимптотическая оптимальность кубатурных формул общего вида, с регулярным пограничным слоем с узлами на решетке в.

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1973. — 631 с.
  2. И.С., Жидков Н. П. Методы вычислений. М.: Гос. изд. физмат. лит-ры, Т.1, 1959. -464 с.
  3. Н.И., Войтишек Л. В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников //Тр. Семинара акад. С. Л. Соболева. 1979. — № 1. — С. 5−15.
  4. Е.Г. Квадратурные формулы с симметричным пограничным слоем //Сборник научных трудов: Физико-математические науки. -Улан-Удэ, 2000.- Вып.5. С. 49−54.
  5. Е.Г. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы с пограничным слоем //Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. — C. 14.
  6. В.Л. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.01) / Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 1982. 108 с.
  7. А.В. Использование аппроксимационных функциональных базисов в методах Монте-Карло //Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М. В. Носков. -Красноярск, 2003 .-С. 45−53.
  8. B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.-280 с.
  9. Л.И. Весовые эрмитовы кубатурные формулы на периодических функциях // Тр. Семинара акад. С. Л. Соболева. 1981. — № 1. — С. 48−56.
  10. Ю.Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. — М.: Наука, 1981.-431 с.
  11. Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур // С. М. Никольский. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.-С. 127−253.
  12. Н.М. Теоретико-числовые методы о приближенном анализе.-М.: Наука, 1962.-224с.
  13. И.В. Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. — Вып. 1. — С. 150−152.
  14. И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. -Вып.1. — С. 147−150.
  15. Корытов И. В. Норма периодического функционала погрешности в
  16. Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинарасовещ. / Отв. ред. М. Д. Рамазанов. Уфа, 1996. — С. 32−36.
  17. И.В. Оценка сверху нормы функционала погрешности срегулярным пограничным слоем в // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа, 1996. — С. 71−78.
  18. И.В. Оценка снизу нормы функционала погрешности всеминара-совещ. / Отв. ред. М. Д. Рамазанов. Уфа, 1996. — С 37−40.
  19. В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2-е изд., доп. -М.: Наука, 1967.-500 с.
  20. Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Матем. ин-таим. В. А. Стеклова АН СССР. 1959. -Т.55. — С. 1−181.
  21. Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III
  22. Г. А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. — М.: Наука, 1987.-236 с.
  23. С.В. О реализации линейных функционалов в весовых пространствах многомерных периодических функций // Вопросы математического анализа: Сб. науч. ст. / Отв. ред. В. И. Половинкин. -Красноярск. 1996. С. 20−25.
  24. С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1977. -456 с.
  25. С.М. Квадратурные формулы. 4-е изд., доп. с добавлением Н. П. Корнейчука. — М.: Наука, 1988. — 256 с.
  26. С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1991. — Т.2. — 544 с.
  27. М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Методы вычислений / Под ред. И. П. Мысовских. Л., 1991.-Вып. 16.-С. 16−23.
  28. В.И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае // Мат. заметки. 1968. — Т. З, № 3. — С. 319−326.
  29. В.И. О кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1972. — Т. 13, № 4. — С. 951−954.
  30. В.И. Последовательность функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. — Т. 15, № 2. — С. 413−429.
  31. В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетном т. II Сиб. мат. журн. 1975. — Т. 16, № 2. — С. 328−335.
  32. В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. Дис.докт. Физ.-мат. наук (01.01.01) / ЛГУ. Л., 1979 — 18 с.
  33. В.И. О реализации функционалов ошибок кубатурных формул в пространствах типа L17^ II Краевые задачи для уравнений счастными производными. Новосибирск, 1988.-С. 125−136.
  34. В.И. Реализация линейных функционалов из Lm (Q) //
  35. Сиб. мат. журн. 1995. — Т.36, № 1. — С. 156−158.
  36. В.И. О реализации финитных функционалов в Lm(E) //р п
  37. Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. -Новосибирск, 1989.-С. 137−139.
  38. В.И., Дидур Л. И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул. Сиб. мат. журн. -1978. — Т. 19, № 3. — С. 663−669.
  39. В.И., Дидур Л. И. О порядке сходимости кубатурных формул // Вопросы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент: Изд. Ин-та кибернетики и ВЦ АН УзССР, 1975.- вып. 34. С. 3−14.
  40. М.Д. Об оптимальных функционалах ошибки над периодическими функциями из банаховых пространств // Сиб. мат. журн. 1972. -Т.13, № 2. — С. 481−484.
  41. М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. -Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. — 174 с.
  42. М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР. 1974. — Т.126, № 1. — С. 44−45.
  43. М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М. Д. Рамазанов. -Уфа, 1996.-С. 77−89.
  44. М.Д. К L теории соболевских формул // Вопросыматематического анализа: Сб. науч. ст. / Отв ред. В. И. Половинкин. -Красноярск, 1996. С. 39−52.
  45. C.JI. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.-808 с.
  46. C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. — 255 с.
  47. С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Под ред. О. А Олейник. 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1988. — 336 с.
  48. С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989. — 254 с.
  49. С.Л. Уравнения математической физики / Под ред. A.M. Ильина. 5-е пепераб. и доп. — М.: Нука, 1992. — 432 с.
  50. С.Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. — 484 с.
  51. И.М. Численные методы Монте-Карло. -М.: Наука, 1973. 311 с.
  52. А.В., Цыренжапов Н. Б. Построение кубатурных формул общего вида с узлами на решетке для фундаментального куба на плоскости // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М. В. Носков. -Красноярск, 2003-С. 184−187.
  53. А.В., Шойнжуров Ц. Б. Общий вид финитных функционалов погрешности кубатурных формул в пространстве Соболева.- Журнал Вычислительные технологии.- 2004.- Т.9.- С. 133−138.
  54. А.В., Шойнжуров Ц. Б. Построение кубатурных формул общего вида с участием производных // Сборник научных трудов: Физико-математические науки.- Улан-Удэ, 2004.- Вып.7 -С. 56−75.
  55. А.В. Построение кубатурных формул общего вида //Математика, её приложения и математическое образование: Материалы международной конференции. 4.2 (24−28 июня 2002 г., г. Улан-Удэ), — Улан-Удэ: ВСГТУ, 2002.- С.81−84.
  56. А.В., Шойнжуров Ц. Б. Оценка снизу нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VIII междунар. семинара-совещ. /Отв. ред. Ц. Б. Шойнжуров. -Улан-Удэ, 2005 -С. 126−131.
  57. А. В. Шойнжуров Ц.Б. Норма периодического функционала погрешности // Математика, её приложения и математическое образование: Матер, всероссийской конф. с междунар. участием (26−30 июня 2005, г. Улан-Удэ).- Изд-во ВСГТУ, 2005.-С.275−278.
  58. Г. Л. Кубатурные формулы в пространстве Lm II Сборникp, sнаучных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1999. -Вып.4 — С. 94.
  59. Г. Л. Оценка сверху функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в пространстве С.Л. Соболева с весом // Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. — C. 14.
  60. Г. Л. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовом пространстве Соболева: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог. ун-т Улан-Удэ, 2001.-99 с.
  61. Т.И. Кубатурные формулы с заданием производных // Докл. АН ТаджССР. 1969. — Т. 12, № 10. — С. 3−6.
  62. Т.И. Оптимальные и близкие к ним периодические кубатурные формулы с кратными узлами // Вопр. вычисл. и прикл. матем — Ташкент 1975. -вып.32 С. 168−173.
  63. Н.Б. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева1.(E): Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07)7 Вост.-Сиб: технолог. р пун-т Улан-Удэ, 2004: — 102 с.
  64. Н.Б. Общий вид функционала погрешности кубатурныхформул в пространстве С.Л. Соболева L17^ (Е^) // Математика, ее
Заполнить форму текущей работой

Заказал и сдал!