Метод декомпозиции области для эллиптической краевой задачи с внутренним вырождением

Метод конечных элементов (МКЭ) является эффективным методом решения краевых задач для уравнений математической физики. Теория метода хорошо развита для задач с регулярными входными данными, т. е. с достаточно гладкими правой частью, коэффициентами и границей области. Для таких задач известны априорные оценки решений в нормах пространств Соболева, которые позволяют строить оптимальные конечно-элементные схемы. В настоящее время опубликовано большое число статей и монографий по теории МКЭ. Отметим лишь некоторые из них, оказавшие значительное влияние на развитие метода, его применение в промышленных расчетах, в технике и научных исследованиях: это монографии Ж. Обэна [36], Г. Стренга и Дж. Фикса [41], Ф. Сьярле [43], В. Г. Корнеева [18], Л. Сегерлинда [39], Г. И. Марчука и В. А. Агошкова [27], Э. Митчела и Р. Уэйта [29], Д. Норри и Ж. де Фриза [35], О. Зенкевича [14], О. Зенкевича и К. Моргана [15] и других. Большое количество работ посвящено многосеточным методам, которые позволяют находить решение возникающей в МКЭ системы из N неизвестных за 0(N) арифметических операций. Эти успехи также нашли отражение в многочисленных монографиях, например, В. Хакбуша [79], К. Джонсона [83], В. В. Шайдурова [64], Ф. Брези и М. Фортина [71], К. Bathe [67], В. Бангерта и Р. Раннахера [66], Д. В. Хаттона [81] и многих других.

Практический интерес представляют краевые задачи с особенностями во входных данных, для которых, как показывают теоретический анализ и результаты численных экспериментов, применение стандартных методов, не учитывающих сингулярного поведения решения в окрестности особых точек, является неэффективным. Поэтому актуальной задачей является построение методов решения таких задач. Данная работа посвящена численному решению уравнений с вырождающимся дифференциальным эллиптическим оператором. Подобные задачи встречаются при решении многих важных вопросов математической физики. Значительную роль такие уравнения играют для газовой динамики. Классическим примером вырождающегося уравнения является уравнение с оператором Трикоми (см., напр. [62]), описывающее течение газа на околозвуковых скоростях.

Систематическое изучение вырождающихся уравнений было начато в статьях М. В. Келдыша [17], М. И. Вишика [5]-[8], С. Г. Михлина [30], [31] и продолжено работами М. И. Вишика и Л. А. Люстерника [10], М. И. Вишика и В. В. Грушина [9], В. П. Глушко [11], О. А. Олейник [37], С. М. Никольским и его учениками [34], [33], [21]-[25], [3].

Одной из первых работ, посвященных сеточным методам решения вырождающихся краевых задач, была статья Ю. А. Гусмана и Л. А. Оганесяна [12], в которой рассматривалась конечно-разностная схема первого порядка точности для уравнения с оператором типа Трикоми, вырождающегося на части границы Г = [0, а] х {0} прямоугольной области Q = (0,а) х (0,6). На Г рассматривались однородные краевые условия двух типов — Дирихле и Неймана. Заметим, что поведение решения в окрестности точек вырождения существенным образом зависит от типа граничного условия. А именно, в задаче с условием Дирихле решение имеет неограниченный градиент, в то время, как задача Неймана на один порядок более гладкое и для него можно использовать стандартные разностные схемы или схемы МКЭ с кусочно-линейными конечными элементами. Вариационно-разностная схема, предложенная в работе [12] использует специальную замену переменных, с помощью которой достигается оптимальная скорость сходимости на правых частях класса L, 2(?l). Недостатком этой схемы является то, что она существенно использует прямоугольность области и диагональность матрицы коэффициентов дифференциального оператора.

Такое же уравнение рассмаривалось в работе В. В. Катрахова и А.А.Кат-раховой [16], где на линии вырождения Г рассматривались отдельно два граничных условия — однородное условие Дирихле для степени вырождения коэффициентов, а < 0 и однородное условие Неймана при 0 < а < 2. Для аппроксимации этой краевой задачи строилась сетка, сгущающаяся по нормали к Г, и на каждом прямоугольнике решение приближалось функциями вида со + сх + С2у1~а + с^хух7а.

P.Moing [88] для уравнения д2и д (ди «... хщ —)+и=fix) ва =(0'1) х (0с однородным граничным условием Неймана на Г получил оценки скорости сходимости схем МКЭ с треугольными конечными элементами в энергетической и /^-нормах.

М.Хатри [80] для уравнения в единичном квадрате 0 = (0,1) х (0,1).

—к (^ё) — kik (х2я{х)?)=/(ж)'и=°на ш vг' с однородным условием Неймана на Г = [0,1] х {0}, исследовал схемы МКЭ с прямоугольными и треугольными конечными элементами и доказал оценку погрешности 0(h) в энергетической норме.

В плоской области Q = {х 6 R2: 0 < Х < д (хъ), Х2 € (1, b)} Д. Марини и П. Пиетра [85] исследовали смешанный метод конечных элементов для задачи с сингулярными коэффициентами.

1 / —div— v и — —> и — 0 па <9Q, х х и получили почти оптимальные оценки точности метода.

Большое количество работ посвящено исследованию проекционно-сеточ-ных схем для двухточечной краевой задачи с вырождением:

— D (xaa (x)Du{x)) + aQ{x)u{x) = f{x) в (0,1), г/(0) = и (1) = О,.

P.Jamet [82] показал, что конечно-разностный метод для этой задачи на равномерной сетке имеет погрешность 0{h}~a) в норме LooИспользуя L-сплайны в методе Ритца-Галеркина, П. Сьярле, Ф. Наттерер и Р. Варга [74] получили сходимость 0(h2~a) в норме Ь^. В статьях Г. Реддина [90], Г. Реддина и Л. Шумакера [91] анализировались методы коллокации. Метод, основанный на разложении решения в окрестности нуля по степеням хп~а исследовались Б. Густаффсоном [78]. В работе Р. Шрейбера [93] рассматривался метод Галеркина с кусочно-полиномиальными базисными функциями с весом х~а.

В статье М. Р. Тимербаева [55] для двумерной задачи в области — (0,1) х (0,1) ik {x>i{x)S) ~ i (<�а2(ж)?)+ Чх) и{х)=т>и|зп=0 рассматривался МКЭ с мультипликативным выделеним особенности, в котором использовались кусочно-полиномиальные базисные функции, умноженные на сингулярную весовую функцию, определяемую степенью вырождения коэффициентов уравнения. Было доказано, что предложенный метод является оптимальным. В работах [59], [40] данный подход был применен для аппроксимации двухточечной задачи четвертого порядка.

Отметим, что в указанных работах рассматривались уравнения, вырождающиеся на границе, с однородными краевыми условиями. В диссертации исследуются дифференциальные уравнения с коэффициентами, вырождающимися степенным образом внутри области. А именно, мы будем рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка на интервале (—1,1).

— D (xaa{x)Du{x)) + xab (x)u{x) = f (x) и уравнение в частных производных в двумерной области Q = (—1,1) х (0,1).

— i —? (W*<�">?) =.

Сложность этой задачи состоит в том, что, в отличие от вырождения на границе, значение решения в точках вырождения неизвестно и непосредственно применить эффективный метод мультипликативного выделения особенности в этой задаче нельзя. Поэтому нами был использован метод декомпозиции области, позволивший свести задачу с внутренним вырождением к двум задачам с вырождением на границе с неоднородными краевыми условиями, исследованию которых посвящена значительная часть диссертации. Отметим, что ранее задачи с неоднородными условиями в точках вырождения не рассматривались. В диссертации строится специальный оператор продолжения, с помощью которого неоднородные краевые условиями сводятся к однородным. В отличие от задач с гладкими коэффициентами, построение оператора продолжения для задачи с вырождением не является тривиальной задачей и применение для этой цели таких же операторов, как и в регулярной задаче, может ухудшить дифференциальные свойства правой части.

Метод декомпозиции области (другое название — метод разделения области [1] или метод композиции [20]) применяется с 1958 г. (см., напр., [2], [92]). Идея этого метода заключается в следующем: область, в которой рассматривается дифференциальное уравнение разбивается на подобласти, задается начальное приближение. Далее уравнение решается одним из сеточных методов в каждой подобласти со специальными условиями на общих границах (интерфейсах), которые включают в себя значения решения на предыдущей итерации. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Различные варианты условий «склейки» на интерфейсах приводят к различным алгоритмам метода декомпозиции. Так в работах Л. Д. Марини и А. Квартерони [86], [87], P.E.Bjostad и O.B.Widlund [68], Д. Фуноро, А. Квартерони и П. Занолли [76] рассматривался алгоритм Дирихле-Нейман. Метод Нейман-Нейман рассматривался в статьях В. И. Агошковаи В.И.Лебедева [1], J.F.Bourgat, R. Glo-winski, P. Tallec и M. Vidrascu [69], метод Робина — в работе П. Лионса [84]. Такое разбиение на задачи в подобластях позволяет естественным образом использовать распараллеливание процесса вычисления. Кроме того, поскольку число операций необходимых для нахождения решения, как правило, имеет нелинейную зависимость от шага сетки в выбранном методе, то такое разбиение на подзадачи может ускорить в несколько раз общее время решения.

Различные вопросы, связанные с теорией метода декомпозиции области такие, как независимость числа итераций от шага сетки h, от геометрических соотношений в L-, Т— и С—подобных областях и пр., рассматривались в статьях [72], [73], [70], [75] и [77]. Отметим также монографию А. Квартерони и А. Валли [89].

Остановимся подробнее на содержании диссертации. Первая глава посвящена исследованию двухточечных граничных задач с вырождением на границе и внутри области. Получены теоремы гладкости решений этих задач, описаны схемы МКЭ с выводом оценок скорости сходимости приближенного решения к точному.

В параграфе 1.1 приводятся вспомогательные результаты: теорема вложения пространств Соболева с весом (теорема 1.1), вводится интегральный оператор Харди, доказывается его непрерывность (теорема 1.3).

В параграфе 1.2 рассматривается задача с неоднородными граничным условием Дирихле в точке вырождения. Доказывается теорема гладкости решения однородной задачи.

Теорема 1.5 Пусть a-s-3/2 < 7 < ½, а е W4+1(Q) и xb G W^Q). Тогда оператор, А в левой части дифференциального уравнения (1.6) является изоморфизмом пространства П Щ{0) на При этом для решения задачи (1.6) выполняется граничное условие x2~aDu (x)x==0 = 0.

Далее строится специальная функция продолжения, с помощью которой неоднородная задача сводится к однородной, и доказывается теорема гладкости для неоднородной задачи (теорема 1.7). Эти результаты используются в дальнейшем при получении оценок скорости сходимости приближенных методов.

В параграфе 1.3 для задачи с неоднородным условием Неймана в точке вырождения доказывается теорема гладкости 1.10. Ключевым результатом здесь является то, что решение задачи может быть записано в виде и (х) = рф (х) + и0(р (х) + х2~ай (х): где р = xaa (x)Du (x) |ж=о,^о — ^(0), ф (х) и <�р (х) — известные функции, а й (х) — гладкая функция. Этот результат будет использован при построении аппроксимирующего пространства в методе конечных элементов для этой задачи.

Параграф 1.4 посвящен получению оценок погрешности интерполяции в весовых пространствах Соболева. Основной результат этого параграфа содержит теорема:

Теорема 1.11 Если, а <½ и т + 0 — а > 0, то для любой функции и Е #&trade-+1(Г2) справедливы оценки.

Ds{u-< c^r^Ml^^ll^) (* = 1,2,., п),.

РЧи-П^)!!^ < c2he\Dm+1u\b2Any где s — 0,1 и 0 = min (т + 1 — s, m + l + ft — a — s).

В параграфе 1.5 приводятся схемы МКЭ для задач с граничными условиями Дирихле и Неймана. Для правой части / € и конечных элементов степени т доказывается следующая оценка скорости сходимости приближенного решения Uh к точному и в энергетической норме (теоремы 1.12 и 1.13): и — uh\a < ch9, где 0 — min (m, mЬ 7 — а/2).

В параграфах 1.6 и 1.7 на примере однородной задачи Дирихле строится схема с численным интегрированием, формулируются условия на точность квадратурных формул, при которых схема однозначно разрешима (теорема 1.14) и погрешности вычисления интегралов не влияют на порядок сходимости схемы (теорема 1.15).

В параграфе 1.8 вводятся пространства Соболева 1,1) с весовой функцией, имеющей особенность внутри области.

В параграфе 1.9 рассматривается однородная задача Дирихле с вырождением внутри области. Устанавливается гладкость решения (теорема 1.9). Здесь же строится схема МКЭ с аддитивным и мультипликативным выделением особенности и доказывается оценка погрешности схемы (теорема 1.17) в энергетической норме:

Iи — uh\a < che.

Вторая глава диссертации посвящена вырождающимся уравнениям 2-го порядка в частных производных.

В параграфе 2.1 приводятся известные [60] теоремы гладкости решения неоднородных граничных задач Дирихле и Неймана с вырождением.

В параграфе 2.2 для неоднородных граничных задач строятся функции продолжения граничных значений в область.

В параграфе 2.3 рассматривается однородная задача Дирихле с внутренним вырождением в прямоугольной области Q — (—1,1) х (0,1): идп. = 0.

С помощью леммы 2.1 эта задача переписывается эквивалентным образом в виде задачи в подобластях Oi = (—1, 0) х (0,1) и Q2 = (0,1) х (0,1).

— i (w^fe) — к (^^ё)=>(*>• *е пь.

15 щ (х) = u2(x), г€Г = П Ш2, м iQ^l. / adu2.

ФОМ ^к==о- = a{x)x1 — |Xl=o+, x°ai{x)S) — (а2(х)ё)=/(ж)-x 6.

В параграфе 2.4 для этой задачи строится конечноэлементная аппроксимация.

Третья глава посвящена методу декомпозиции области для задачи с внутренним вырождением.

В параграфе 3.1 даны формулировки двух вариантов алгоритма метода декомпозиции — Дирихле-Нейман и Нейман-Нейман. Приводится формулировка этих алгоритмов в каноническом виде. Для одномерного уравнения доказывается сходимость методов.

В параграфе 3.2 доказываются некоторые важные свойства операторов Стеклова-Пуанкаре, действующих в пространстве следов А, и их дискретных аналогов. А именно устанавливается справедливость утверждений:

Теорема 3.3 Операторы Si и S2 являются симметричными, непрерывными и положительно определенными на, А и имеет место двусторонняя оценка с независимыми постоянными к и к2.

K^Sirj^x < (S2rj, rj) x < K2(SiT), rf) x V77 e A, которая означает, что операторы Si и S2 являются спектрально эквивалентными.

Теорема 3.4 Операторы Sith и S2jh являются самосопряженными, непрерывными и положительно определенными равномерно по h в Ад и имеет место двусторонняя оценка с независящими от h постоянными ki и h (Si, hr) h, Vh) x < (S2,hr}h, Vh) x < k2(SilhTih, m) x^Vh G Ah.

В параграфе 3.3 на основе этих свойств устанавливается сходимость метода декомпозиции в двумерной области.

Перечислим основные результаты диссертации.

1. Построен оператор продолжения граничных значений в область, позволяющий свести задачу с неоднородными краевыми условиями к однородным.

2. Получены оценки решений двухточечных краевых задач с вырождением на границе и внутри области в нормах весовых пространств Соболева.

3. Получены оценки точности схем МКЭ с мультипликативным выделением особенности для двухточечной краевой задачи с вырождением. Исследовано влияние численного интегрирования на погрешность таких схем.

4. Доказана сходимость метода декомпозиции области для краевой задачи с внутренним вырождением.

Результаты диссертации докладывались на шестом и седьмом Всероссийских семинарах «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 1−4 октября 2005 г., 21−24 сентября 2007 г.), на шестой Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения задач математической физики» (26 июня — 1 июля 2006 г.), на четвертой-шестой Всероссийских конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 29−31 мая 2007 г., 29−31 мая 2008 г., 1−4 июня 2009 г.), на всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 18−20 июня 2007 г.), на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений» (Москва, 30 марта — 2 апреля 2009 г.), на шестнадцатой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 25−31 мая 2009 г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета под руководством.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44] — [54].

Автор искренне благодарен доктору физико-математических наук, доценту М. Р. Тимербаеву за предложенную тему и руководство работой.

1. Агошков В. И., Лебедев В. И. Операторы Пуанкаре — Стеклова и методы разделения области в вариационных задачах // Вычислительные процессы и системы.- Т. 2 — М.: Наука, 1985, С.173−227.

2. Алексидзе М. А. О целесообразности применения альтернирующего метода Шварца на электронных цифровых машинах // Докл. АН СССР. 1958. Т. 120, С.231−234.

3. Байделдинов Б. Л. Об аналоге первой краевой задачи для эллиптических уравнений с вырождением. Метод билинейных форм // Тр. МИ АН. 1984. — Т. 170. — С.3−11.

4. Бахвалов Н. С, Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -М.: Наука. 1987. — 634 с.

5. Вишик М. И. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Докл. АН СССР. 1953. — Т.93, N1. — С.9−12.

6. Вишик М. И. О краевых задачах для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Докл. АН СССР. 1953. — Т.93, N2. — С.225−228.

7. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Успехи мат.наук. 1954. — Т. 9, N1. -С.138−143.

8. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Матем. сб. 1954. — Т.35., N5. — С. 187 246.

9. Вишик М. И., Грушин В. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе // Матем.сб. 1969. — Т.80. — С.455−491.

10. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пграничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // УМН. 1957. — Т. 12, N5. — С.3−122.

11. Глушко В. П. Первая краевая задаа для уравнений эллиптического типа, вырождающихся на многообразиях // ДАН СССР. 1962. — Т. 143, N3. — С.492−495.

12. Гусман Ю. А., Оганесян Л. А. Оценки сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллиптических уравнений // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1965. — Т.5, N 2. — С.351−357.

13. Даутов Р. З., Карчевский М. М.

Введение

в теорию метода конечных элементов. Учебное пособие. Казань: Казанский гос. ун-т. — 2004. -239 с.

14. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. — 1975. — 256 с.

15. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир. — 1986. — 318 с.

16. Катрахов В. В., Катрахова А. А. Метод конечных элементов для некоторых вырождающихся эллиптических задач // ДАН СССР. 1984. -Т.279, N4. — С.799−802.

17. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 1951. — Т.77, N2. -с.181−183.

18. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высокого порядка точности. JL: изд-во Ленинград, ун-та. — 1977. — 206 с.

19. Кудрявцев Л. Д. Об эквивалентных нормах в весовых пространствах // Тр. МИАН им. Стеклова. 1984. — т. 170, ч.Ю. — С.161−190.

20. Лебедев В. И. Методы композиции. М.: ОВМ АН СССР, 1986.

21. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Эллиптические уравнения с вырождением. Вариационный метод // ДАН СССР. 1981. — Т.257, N1. -С.42−45.

22. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства // ДАН СССР. 1981. — Т.257, N2. — С.278−282.

23. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Эллиптические уравнения с вырождением. Вариационный метод // Тр.Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. -1981. Т. 157. — С.90−118.

24. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением // ДАН СССР. 1981. — Т.259, N1. -С.28−30.

25. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью / / Тр.Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1983. — Т. 161. — С. 157−183.

26. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.:Мир.-1971.-371 с.

27. Марчук Г. И., Агошков В. И.

Введение

в проекционно-сеточные методы.- М.: наука. 1981. — 416с.

28. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. 608 с.

29. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир. — 1981. — 315 с.

30. Михлин С. Г. О применимости вариационного метода к некоторым вырождающимся эллиптическим уравнениям // Докл. АН СССР. 1953. Т.91, N4. С.723−726.

31. Михлин С. Г. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 1954. — Т.94, N2. — С.183−186.

32. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, изд.2-ое, перераб. 1977. — 456 с.

33. Никольский С. М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границе // Тр.Мат. ин-та им. B.А.Стеклова. 1979. — Т.150. — С.212−238.

34. Никольский С. М., Лизоркин П. И. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением на границе // ДАН СССР. 1964. — Т.159, N3. — С.512−515.

35. Норри Д., де Фриз Ж.

Введение

в метод конечных элементов. М.: Мир. — 1981. — 237 с.

36. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических задач. М.: Мир. — 1977. — 383 с.

37. Олейник О. А. О гладкости решений вырождающихся эллиптических и параболических уравнений // ДАН СССР. 1965. — Т. 163, N3.C.557−580.

38. Павлова М. Ф., Тимербаев М. Р. Пространства Соболева. Казань: изд-во КГУ, 2002. 120 с.

39. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир. -1979. — 267 с.

40. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. — 1977. — 349 с.

41. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука. 1966. 292 с.

42. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. — 512 с.

43. Тимербаев М. Р., Таюпов Ш. И. Метод декомпозиции области для эллиптической задачи с внутренним вырождением коэффициентов // Материалы шестого всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения», Казань. 2005 г. — С.214−216.

44. Таюпов Ш. И. О методе конечных элементов для эллиптической задачи с внутренним вырождением коэффициентов // Материалы седьмого всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения», Казань, 2007. — С.276−279.

45. Таюпов Ш. И., Тимербаев М. Р. Схемы МКЭ высокого порядка точности для неоднородной двухточечной граничной задачи с вырождением // Ученые записки Казанского государственного университета. 2006. N 4. — С.63−75.

46. Ляшко А. Д., Таюпов Ш. И., Тимербаев М. Р. Схемы МКЭ высокого порядка точности для системы эллиптических уравнений с вырождающимися коэффициентами на интервале // Изв. Вузов. Математика. -2009. N 7. — С.22−34.

47. Таюпов Ш. И. Схемы МКЭ с численным интегрированием для вырождающейся задачи. // В сб. трудов 5-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи «, Самара, 29−31 мая 2008 г. С.167−169.

48. Таюпов Ш. И. Схема МКЭ для эллиптической задачи с внутренним вырождением коэффициентов // В сб. трудов 6-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 1−4 июня 2009 г. С.213−216.

49. Ляшко А. Д., Таюпов Ш. И., Тимербаев М. Р. Схемы МКЭ для двухточечной краевой задачи с вырождением. // Труды международной конференции 11 Современные проблемы математики и механики", Москва, 30−31 марта 2009 г. С.ЗЗЗ.

50. Тимербаев М. Р. Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Дифф. уравнения. 2000. — Т.36, — N 7. — С.1086−1093.

51. Тимербаев М. Р. Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизатроп-ным вырождением на части границы // Изв. вузов. Математика. -2003. N 1. — С.60−73.

52. Тимербаев М. Р. О непрерывности интегральных операторов в пространствах вектор-функций // В сб. «Исследования по прикладной математике и информатике», вып.23, изд-во Казанск.матем.общ-ва, 2001. С.118−121.

53. Тимербаев М. Р. Весовые оценки решения анизатропно вырождающегося уравнения с граничными условиями Неймана в точках вырождения // Изв. вузов. Математика. 2005. — N 7. — С.63−76.

54. Тимербаев М. Р. О схемах МКЭ для 2-точечной граничной задачи Дирихле 4-го порядка со слабым вырождением // Исслед. по прикл. мат. и инф. 2004. — Вып.25. — С.78−85.

55. Тимербаев М. Р. Оптимальные проекционно-сеточные методы для краевых эллиптических задач с особенностями на границе. Дис. д-ра физ.-мат. наук. Казань, 2007. — 247 с.

56. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир. — 1980. — 664 с.

57. Трикоми Ф. О линейных уравениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М.: Гостехиздат, 1947. — 192 с.

58. Харди Г., Литтлвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ. — 1948. -456 с.

59. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука. — 1989. — 289 с.

60. Adams R.A. Sobolev spaces. New York, San Francisco, London: Academic press, 1975. — 270 c.

61. Bangerth W., Rannacher R., Adaptive Finite Element Methods for Differential Equations. Birkhauser. — 2003. — 125 p.

62. Bathe K. Finite Element Procedures. Prentice Hall. — 1996. — 1050 p.

63. Bjostad P.E., Widlund O.B. Iterative methods for the solution of elliptic problems on regions partitioned into substructures // SI AM J. Numer. Anal. 1986. — V.23. — P.1097−1120.

64. Bourgat, J.-F., Glowinski, R., Le Tallec, P. and Vidrascu, M. Variational formulation and algorithm for trace operator in domain decomposition calculations. In Domain Decompositions Methods, T.F. Chan et al. eds., SIAM, Philadelphia, 1989. pp. 3−16.

65. Bramble J.H., Pasciak J.E., Schatz A.H. The construction of preconditioners for elliptic problems by substructures // Math. Сотр., 1986. N 46. — P.361−369.

66. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Element Methods. Springer. -1991. — 362 p.

67. Chan T.F. Analysis of domain decomposition preconditioners // SIAM J. Numer. Anal. 1987. — V24. — P.382−390.

68. Chan T.F., Hou T.Y., Lions P.L. Geometry related convergence results for domain decomposition algorithms// SIAM J. Numer. Anal. 1991. — V.28. — P.378−391.

69. Ciarlet P.G., Natterer F., Varga R.S. Numerical methods of higher-order accuracy for singular two-pint boundary value problem // Numer.Math. -1982. V.39. — P.341−350.

70. Dryja M. A capacitance matrix method for Dirichlet problem on polygon regions // Numer. Math. 1982. — V.39. — P.51−64.

71. Funaro D., Quarteroni A., Zanolli P. An iterative procedure with interface relaxation for domain decomposition methods // SIAM J. Numer. Anal. -1988. V.25. — P.1213−1236.

72. Golub G.H., Mayers D. The use preconditioning over irregular regions //in Computing Methods in Applied Sciences and Engineering, VI, R. Glowinski and J.L.Lions, eds., North-Holland, Amsterdam, 1098, P1987.

73. Gustafsson B. A numerical method for solving singular boundary value problem // Numer.Math. 1973. — v.21. — P.328−349.

74. Hachbush W. Multi-grid Methods and Applications. Springer. — 1985.

75. Hatri M. Estimation d’erroe optimale par la methode des elements finis pour un probleme aux limities degenere // Comptus rendus de I’Acad. bulgare Sc. 1984. — v.37, N5. — P.573−576.

76. Hutton D.V. Fundamentals of Finite Method Analysis. McGraw-Hill. -2004. — 505 p.

77. Jamet P. On the convergence of finite-difference approximation to one-dimensianal singular boundary value problem // Numer.Math. 1970. -v.14. — P.355−378.

78. Johnson C. Numerical solutions for partial differential equations by the finite element method. Cambridge University Press. — 1987. — 282 p.

79. Lions P.-L. On the Schwarz alternating method II: a variant for non-overlapping subdomains //In Third International Symposium on Domain Decomposition Methods for Partial Differencial Equations, T.F. Chan et al. eds. SIAM, Philadelphia, P.202−231.

80. Marini D., Pietra P. Mixed finite element approximation of degenerate elliptic problem // Numer. Math. 1995. — V.71 — P.225−236.

81. Marini L.D. and Quarteroni A. A relaxation procedure for domain decomposition methods using finite elements // Numer.Math. 1989. -V.55. — P.575−598.

82. Moing P. Resolution par une methode d’elements finis du probleme de Dirichle pour un operateur elliptique degenere // C.R.Acad. Sci. Paris, ser.I. 1981. — v.292, N3. — p.217−220.

83. Quarteroni A., Valli A. Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations. Oxford: Clarendon press, 1999. — 363 c.

84. Reddien G.W. Projection methods and singular two-point boundary value problems // Numer.Math. 1973. — v.21. — P. 193−205.

85. Reddien G.W., Schumaker L.L. On a collacation method for singular two-point boundary value problems // Numer.Math. 1976. — v.25. — P.427−432.

86. Saltzer Ch. An abridged block method for the solution of the Dirichlet problem for the Laplace difference equation // J. Math, and Phys. 1953. V. 32, P. 63−67.

87. Schreiber R. Finite element methods of high-order accuracy for singular two-point boundary value problems with nonsmooth solutions / / SI AM J.Numer. Anal. 1980. — V.17. — P.547−56G.