Инволюции конечных групп и выпуклые правильногранники

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена избранным проблемам теории групп, комбинаторной и метрической геометрии многогранников, а также применению систем компьютерной алгебры и графики как в приложениях этих теорий, так 1 и в доказательствах. Синтез этих дисциплин в диссертации отражает современную тенденцию развития теории групп и геометрии многогранников.

Фундаментальными результатами теории групп второй половины XX века стали теорема Брауэра-Фаулера о существовании только конечного числа конечных простых групп с данным централизатором инволюции [7, 68], теорема Фейта-Томпсона [74] о разрешимости конечной группы нечётного порядка, а также открытие периодических нелокально конечных групп и новых конечных простых групп. Эти факты коренным образом изменили строительство существующего тогда здания теории групп: в начале восьмидесятых годов было объявлено о завершении классификации конечных простых групп (ККПГ) — появилась теория групп, удовлетворяющих условиям конечности более сильным, чем периодичность, и более слабым, чем локальная конечность. К настоящему времени конечные простые группы разделены на бесконечные серии групп: циклических, знакопеременных и групп лиева типа, а также на серию 26 исключительных (спорадических) групп [11, 67]. Большинство спорадических групп открыто сравнительно недавно (после 1964 г.) и остаются неясными причины их исключительности. Беспрецедентность объема создаваемого текста доказательства (оценки до 20 000 журнальных страниц) теоремы о ККПГ делает актуальным поиск нового доказательства. Оно не может не опираться на свойства самих конечных простых групп, изучение которых далеко от завершения. Именно такие группы исследованы в первых двух главах диссертации.

Значительное увеличение роли симметрии в изучении геометрии многогранников, прежде всего под влиянием исследований А. В. Шубникова [64] и Г. С. М. Коксетера [70], а также появление таких фактов как теорема Александрова о развертках [1], позволили от построения отдельных примеров выпуклых многогранников с правильными гранями перейти к описанию всех таких фигур. В 1960 г. появилось предположение Н. Джонсона [79] о том, что кроме правильных и равноугольно-полуправильных многогранников существует только девяносто два выпуклых многогранника с правильными гранями. В. А. Залгаллер разделяет такие многогранники на простые и составные, причём для каждого составного тела существует плоскость, рассекающая его на два многогранника с правильными гранями. В работе [16] описаны все простые многогранники, а предположение Джонсона сформулировано в ней как теорема, доказательство которой состоит лишь из указания получить все составные многогранники путем соединения простых тел. Доказательство более сильной теоремы содержит четвёртая' глава настоящей диссертации. Ей предшествует построение алгебраических моделей несоставных многогранников.

Процесс нахождения составных многогранников алгоритмизирован. Пока не найдено принципиально иных подходов к увеличению прозрачности доказательства, естественным выглядит программирование тех его частей, которые позволяют это сделать. Действительно, проведённые по одной схеме рассуждения при таком подходе превращаются в программу с набором входных данных, соответствующих каждому логически повторяющемуся фрагменту доказательства. Собственно по такому пути и развиваются системы компьютерной алгебры. Факты, полученные с применением таких систем, вызывают не меньшее доверие, чем некоторые огромных размеров доказательства, не использующие компьютер. С развитием в последние два-три десятка лет систем компьютерной алгебры игнорировать «машинные» доказательства стало невозможно.

Цель работы заключается в отыскании всех составных многогранников трёхмерного евклидова пространства и в нахождении строго’вещественных элементов конечной простой группы, а также минимальных систем порождающих эту группу инволюций с ограничениями на порядки их произведений. Алгоритмизация процесса решения этих задач тоже относится к цели настоящего исследования, поскольку позволяет не только получать по созданным алгоритмам новые знания о группах и многогранниках, но и делает более надёжными и доступными для нематематиков как входные данные этих алгоритмов в виде систем порождающих групп и фундаментальных вершин многогранников, так и результаты вычислений, готовые к применению в специализированных компьютерных системах.

Методы исследования основаны на дополняющих друг друга алгебро-геометрической технике и системах компьютерной алгебры. В качестве метода исследования применены и системы компьютерной графики.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретичег ский характер. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших, исследованиях по теории групп и геометрии многогранников. Построенные в работе компьютерные модели групп и многогранников доступны для приложений в других областях знаний:

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений. Библиографический список содержит 93 наименования. В работе размещены 120 рисунков, 10 таблиц, предметный указатель. Диссертация изложена на 250 страницах.

Заключение

.

Сформулируем предложения о приложениях результатов диссертации.

1. Количество мазуровских троек инволюций каждой небольшой простой группы лиева типа, в которой Я. Н. Нужин явно указал мазуровскую тройку, [31], можно увеличить и даже в некоторых случаях явно указать все такие тройки с точностью до сопряжённости. Этого можно добиться применением методов и программных продуктов, описанных в первых двух главах диссертации. Уже первые такие приложения привели А. И. Макосия, [25], к необходимости уточнить для каждой знакопеременной группы A^ki к > 2, строение её мазуровской тройки.

2. Полученный опыт нахождения мазуровских троек и автоматизация работы по схеме из статьи [23] позволяют надеяться на появление в недалёком будущем приложения к системе GAP, которое по заданной группе будет выбирать необходимый для построения мазуровской тройки алгоритм и строить инволюции самой тройки. t.

3. Применение теоремы о примитивном элементе алгебраического расширения поля рациональных чисел Q позволит найти такой минимальный многочлен /, что каждая координата любой (фундаментальной) вершины несоставного многогранника принадлежит расширению Q (0), где в — некоторый корень многочлена /.

4. Алгебраические модели многогранников позволяют в автоматическом режиме найти такие стандартные характеристики каждого из них как количество, рёбер, вершин, гранейобъём, площадь поверхности, радиусы сфер, касающихся граней, рёбер, а также описанных около многогранника сферы или эллипсоида.

5. Процесс получения выпуклых правильногранников из несоставных тел, описанный в 4-й главе может быть продолжен до заполнения пространства многогранниками, при более слабых, чем в настоящей работе ограничениях на несоставные слагаемые и составленнные из них тела, [12, 14, 15].

6. Непосредственно в естествознании уже применяются группы и геометрические фигуры, изученные в настоящей работе, [2, 64]. Для этих целей более доступными, чем чисто теоретические, могут оказаться компьютерные модели из приложений, А и Б.