Об исключительных множествах в бинарных аддитивных задачах с простыми числами

Настоящая диссертация относится к аддитивной теории чисел. В ней рассматриваются задачи об исключительных множествах в бинарных аддитивных проблемах, которые затем распространяются на короткие промежутки. Под понятием «короткого промежутка» мы имеем в виду, что отношение длины короткого промежутка к основному параметру стремится к нулю при росте этого параметра к бесконечности. А слово «исключительное множество» означает ту совокупность чисел, которые не допускают заданного представления.

В 1742 году было выдвинуто два предложения, связывающие целые числа с простыми числами. Они звучат так: (А) каждое нечетное число, превосходящее 9, представляется в виде суммы трех нечетных простых чисел- (Б) каждое четное число, превосходящее 6, представляется в виде суммы двух нечетных простых чисел. Несмотря на то, что математики не могли доказать эти два предложения, большое количество вычислительных опытов подтверждает, что вероятно, они имеют место. Эти два предложения и получили называние «проблема Гольдбаха-Эйлера». В течение 250 лет они постоянно привлекали и привлекают внимание самых выдающихся математиков. Благодаря этому были развиты новые важнейшие методы в области аналитической теории чисел.

И только в 1937 году И. М. Виноградов [5, б] впервые получил нетривиальную оценку тригонометрической суммы по простым числам, а затем с: помощью кругового метода Рамануджана-Харди-Литтлвуда-Виноградова доказал, что каждое достаточное большое нечетное число является суммой трех нечетных простых чисел. Точнее говоря, И. М. Виноградов получил асимптотику 1(п) числа решений уравнения и = р{ + р2 + p-h где р|, р'2, и рз простые числа. Он доказал, что где.

Ып) =? T^C.i-N) = П (1−7—Цт^) П.

7=1 Ф’ЛЧ) рп (рl) (, vO=i а> — 1)-J 2.

Это в основном решило первое предложение. Метод И. М. Виноградова имеет глубокое значение. Он позволил его последователям получить дальнейшие результаты о представлениях целых чисел простыми числами.

Однако второе предложение, часто называемое бинарной проблемой Гольдбаха-Эйлера, до сих пор остается нерешенным. Ученые пытаются с разных направлений подойти к этому предложению. В частности, один из этих способов состоит в разложении четного числа в виде суммы простого и составного чисел. В этом направлении самого большого успеха достиг Чень Джин-рун [15]. Он создал свой метод решета с весами и доказал, что любое достаточно большое четное число является суммой простого числа и произведения, в которое входят не больше двух простых чисел.

Другой важной задачей является определение верхней границы мощности исключительных множеств бинарной проблемы Гольдбаха-Эйлера, т. е. множества четных чисел, непредставимых в виде суммы двух простых чисел. Решение тернарной проблемы Гольдбаха-Эйлера позволяло сразу нескольким ученым получить первые результаты в этой задаче. В частности, в 1975 году X. J1. Монтгомери и Р. К. Бону [16] впервые удалось получить в них степенное понижение, хотя его числовое значение ими не вычислялось. В 1988 году Чен Джин-рун и Лю Ян-Мин [14] доказали, что для количества Т{х) четных чисел, не превосходящих х и непредставимых в виде суммы двух простых чисел при х —> оо справедлива оценка.

Т (х) < х.

В настоящее время самое большое продвижение в этом направлении имеет Ли Хон-дже. В 1999 году он [20] получил следующую оценку:

Г (:г) " .гД921.

Ясно что эти результаты уже утверждают, что почти все четные числа представимы в виде суммы двух простых чисел.

Рамачандра [22] распространил этот результат на короткие промежутки. Для количества Т (х, х°) четных чисел, находящихся в промежутке (ж — х°, х) и непредставимых в виде суммы двух простых чисел при х —> оо, он получил оценку.

In X где.

1>0>1— + е. с.

Здесь число с является той константой, которая возникает в оценке плотности нулей L— функции Дирихле :

N (a, T, q) < (qT)c{l~a){nqT)Cl.

Наиболее сложный момент в доказательстве Рамачандры состоит в том, что в конце промежутка суммирования сдвиг тригонометрической функции становится более коротким и сложность оценки возрастает. Смысл его в том, что почти все четные числа, находящиеся в конце промежутка, представимы в виде суммы двух простых чисел при х —> оо.

В 1997 году Г. И. Архипов, К. Бурцев, В. Н. Чубариков [2, 1] обобщили бинарную аддитивную проблему Гольдбаха-Эйлера и рассмотрели вопрос о представлении натуральных чисел п в виде суммы n = a (p) + b (q), (1) где р, q — простые числа и а (х), Ь{х) — заданные цело-значные функции натурального аргумента, кроме того, обычно предполагается, что число п подчинено некоторым естественным дополнительным условиям арифметического характера. Например, в бинарной проблеме Гольдбаха-Эйлера имеем а{х) = .т, Ь{х) — х и п = 0 (mod 2).

Они доказали следующие теоремы :

A) Пусть ft > 0, Т (х) количество чисел п на промежутке (2, х) не представимых в виде п =р+ [/fy], где р и q ~ простые числа.

Тогда при х —> оо справедливы следующие оценки: а) если неполные частные числа ft ограничены в совокупности, то.

Т{х) < ж*(log яг)8- б) если ft — иррациональное алгебраическое число, то.

Т (х) .

B) Пусть с > 1 — нецелое число, су = 1, Т'{х) количество чисел тг на промежутке (2, х) не представимых в виде п = P + [q% где р и q простые числа.

Тогда при х —" ос справедлива следующая оценка: где величина S > 0 определяется из условия e2nin^ У1~6, (2) г/7 причем параметр, а удовлетворяет неравенству у-0−8 < о < 1.

Их идея состоит в получении нетривиальной оценки остаточного члена с помощью арифметического свойства функции «целая часть числа». Сначала они выделяли главный член круговым методом с использованием только малой окрестности нуля, затем оценивали остаточный член. На возможность использования этой окрестности впервые обратил внимание К. Буриев при решении некоторых аддитивных задач теории чисел.

Опираясь на их метод и продолжая эти исследования, мы рассматриваем аналогичные задачи об оценках мощности исключительных множеств. При работе с остаточном членом самой большой трудностью оказывается оценка сверху в окрестностях с малыми знаменателями, т. е. окрестностях, которые должны были входить в главный член при круговом методе. Чтобы эту трудность преодолеть, необходимо учесть арифметическое свойство цепной дроби числа ft. Это свойство впервые было учтено в работе [2, 1]. Мы также будем проводить подобные вычисления.

Полученные нами результаты можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 1. Пусть ft > 0- 1 (х) количество чисел п на промежутке (2, х) не представимых в виде n=p+[fiq], где р и q — простые числа и р изменяетел в прогрессии вида р = I (mod d).

Тогда при х оо и d < (log:/:)'2″ «5, справедливы следующие оценки: а) если неполные частные иррационального числа (3 ограничены в совокупности, то.

Т{х) (p (d)2x^(logх)8 б) если [3 — иррациональное алгебраическое число, то.

Ti (x) .

Теорема 2. Пусть ft > 0, d и, а натуральные числа, (a, d) — 1, Т'2(х) — количество чисел п на промежутке (2, ж) не пред-ст, авимых в виде.

П = + где р и q — простые числа.

Тогда, при х оо, справедливы следующие оценки: а) если неполные частные иррационального числа, (3 ограничены в совокупности, то.

Т2(х)4?хЦlog.x)8 б) если (3 — иррациональное алгебраическое число, то.

Т2(х) .

Теорема 3. Пусть ft > 0 иррациональное алгебраическое число, Тз (ж, у) — ¦ количество чисел п на промежутке (х—у. х) не представимых в виде п = P+[fiq], где р uq — простые числа.

— г-" 9 9 9 /1 ^.

Тогда при х —" оо и (1 — е) х > у > a: To (lri:r)2oe-TOcl|n-r)J справедлива оценка где с > 0 — некоторая постоянная.

Теорема 4. Пусть с > 1 — нецелое число, су = 1. — количество чисел п на промежутке (х — у, х) не предста-вимых в виде п — р+ [qc], где р и q — простые числа.

Тогда при х —оо и х у х^+£, справедлива оценка.

Щх, у)<^у1−26Ыъх где величина S определена в неравенстве (2).

Результаты настоящего исследования позволяют нам сделать вывод, что несмотря на то, что не доказаны теоремы о равномерном распределение простых чисел в коротких арифметических прогресиях, тем не менее можно представить в виде (1) почти все натуральные числа, которые, может быть, подчинены некоторым естественным дополнительным условиям, если правильно выбрать растущие целозначные функции натурального аргумента а (х), Ь (х).

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору В. Н. Чубарикову за научное руководство и профессору Г. И. Архипову за постоянное внимание и вдохновляющие разговоры.

Обозначения.

У потребляются устоявшиеся обозначения: t) А (п) <�р (п) fl (n) ф (х).

IMI.

Р,<1 c2nU. функция Мангольдта. функция Эйлера, функция Мебиуса, функция Чебышева. функция Чебышева в прогресии с разностью d. pa, стояние до ближайшего целого числа, произвольно малое положительное число. В текущей работе будем обозначать разные величины с 1, с2, • • • через один и то же знак е. простые числа .

1. Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н. Тригонометрические суммы в бинарных аддитивных задачах с простыми числами. / / Матер. Между нар. науч. чт. по аналитической теории чисел и приложениям. М. МГУ. 1997. С. 12−13.

2. Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н. О мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами. // Тр. МИР АН 1997. т.218 с. 28 с.57.

3. Виноградов И. М. Основы теории чисел. // М. Наука 1972.

4. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. // М. Наука 1971.

5. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. // М. Наука 1976.

6. Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР. 1937. Т. 15, No. 6−7. С. 291−294.

7. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дздета-функция Ри-мана. // М. Наука 1994.

8. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. // М. Наука 1975.

9. Касселс Дж. В. С.

Введение

в теорию диофантовых приближений. // М. Исд-во иностр.лит., 1961.

10. Попов О. В. Арифметические приложения оценок сумм Г. Вейля от многочленов растущей степени. // Канд. дис. М. МГУ, 1995.

11. Прахар К. Распределение простых чисел. // М. Мир, 1967.

12. Рахмонов 3. X. Простые числа и средние значения функции Чебышева. // Докт. дис. 1996.

13. Чэнь Чжун-И. О мощности особого множества в бинарной аддитивной задаче с простыми числами на коротких промежутках. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2000. No 3. 57−61.

14. Chen Jing-run, Liu Jian Min. The exceptional set of Goldbach-numbers (III) // Chinese Quart. J. Math. l989.V.4, No 1. P. 1−15.

15. Chen Jing-run. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. // Sci. Sin,. 16(1973), 157−176- II, Sci. Sin., 21 (1978), 421−430.

16. Montgomery H. L., Vaughan R. C. The exceptional set of Goldbach’s problem // Acat. arith. 1975. V. 27. P. 353 370.

17. Davenport, H. Multiplicative Number Theory. // Markham. 1967.

18. Hua Lokeng. Introduction to Number Theory. // Taipei (Taiwan): Fan-yi. 1997.

19. Hua Lokeng. Additive Number Theory of Primes. // Be-jing (China):Science Press, 1957.

20. Li Hongze. The exceptional set of Goldbach numbers. // Quart.J.Math.Oxford. 50,1999.

21. Pan Chendong, Pan Chenbiao. Goldbach Conjecture. // Be-jing (China):Science Press, 1992.

22. Ramachandra K. On the number of Goldbach numbers in small intervals. // J. Indian Math. Soc., 37(1937) 157−170.

23. Vaughan R. C. On Goldbach’s problem. // Acta Arith., 22(1972) 21−48.V" - у Г ¦м^ч If.