Развитие дисперсионной полумикроскопической модели ядро-ядерного потенциала

Представляемая диссертация посвящена развитию дисперсионной к описанию полумикроскопической модели в рамках потенциального подхода взаимодействия ядер с ядрами в области энергий от нескольких единиц до 100 МэВ/нуклон. Представляемые разработки применяются для физической интерпретации экспериментальных данных по упругим ядро-ядерном столкновениям. Они также могут быть использованы для предсказательных расчетов при планировании новых экспериментов. Основные результаты представляемой диссертации опубликованы в работах [1−8]. Суть потенциального подхода состоит в том, что система двух взаимодействующих ядер при заданной энергии в упругом канале описывается волновой функцией, которая является модельной и находится из решепия одночастичного уравнения Шредингера с эффективным потенциалом [9]. Термин «эффективный» в применении к ядро-ядерному потенциалу содержит в себе двоякий смысл. Первый связан с обычным для механики переходом, когда задача взаимодействия двух ядер в системе центра масс (с.ц.м.) сводится к задаче движения материальной точки с эффективной массой в потенциальном поле, зависящем от расстояния между центрами масс этих систем (г). Второй с переходом от задачи многоканального взаимодействия к одноканальной задаче. Одним из наиболее удобных путей формализации этого подхода является использование проекционных операторов[10]. Тогда уравнение Шредингера имеет вид: (Е-Н,)Ч,=О с эффективным гамильтонианом в /*-прострапстве (1.1) (1.2) где, И проекционные операторы, H*, =РЦ?, i модельная волновая функция. Первый член в (1.2) есть просто точный полный гамильтониан, снроецированный на пространство модельной волновой функции отвечающее упругому каналу. Второй член является комненсацией за пренебрежение частью, отвечающей пространству всех остальных каналов VPg. Эффективный потенциал ядро-ядерного взаимодействия определяется через исходный потенциал взаимодействия ядер V в виде аналогичном эффективному гамильтониану [9]: (1.3) Первый член в (1.3), который не зависит явно от энергии, часто называют «статическим», а также «потенциалом среднего поля» («СП»). Второй член AV (E) обычно называют «динамическим поляризационным потепциалом» («ДПП»). В нем заключена информация обо всех возможных неупругих каналах взаимодействия сталкивающихся ядер, включая каналы с перераспределением частиц, развала и слияния этих ядер. Его реальная часть определяется виртуальными переходами. Мнимая часть реальным уходом из упругого канала. Модельную волновую функцию обычно отождествляют не с, а с ее усреднением по энергии, т. е. ««1 =Р [9]. Соответственно проводят усреднение амплитуд и сечений. Эти средние в свою очередь задаются усредненным эффективным потенциалом. Таким образом, все величины рассматриваются как усредненные по энергии. Основная задача потенциального подхода построение эффективного потенциала на основе модельных представлений и экспериментальной информации о ядро-ядерных взаимодействиях. Современная теория вьщеляет ряд важнейших свойств эффективного потенциала. Он является нелокальным, комплексным, зависящим от энергии. Одна из основных причин нелокальности эффективного потенциала связана с действием принципа Паули, приводящего к появлению так называемых обменных компонент в эффективном потенциале. В результате обычного перехода к локальному представлению получается «дополнительная» явная зависимость эффективного нотенциала от энергии. «Основная» энергетическая зависимость ДПП определяется структурой взаимодействующих ядер и каналами их взаимодействия. В некоторых областях энергии она может иметь нерегулярное поведение. Важнейшую роль играют аналитические свойства эффективного потенциала, как комплексной функции энергии, которые обусловлены принципом причинности. Они приводят к дисперсионным соотношениям между реальной и мнимой частями ДПП. Более подробно эти вопросы рассмотрены, например, в [9,11]. Используя более привычные обозначения для усредненных по энергии реальной и мнимой частей ДПП, Re{AV (E)} Vp (E) и lm{AV (E)} W (E), дисперсионные соотношения имеют вид[9]: P ЕЕ (1.4) Реальную часть ДПП часто называют «дисперсионной поправкой» к СП, вместе с которой она дает полную реальную часть эффективного потенциала. На практике дисперсионные соотношения также применяют для интегральных характеристик компонент эффективного потенциала. В частности для обьемпых интегралов, определяемых обычным образом (в пересчете на нуклон): практических расчетах более удобна разностная форма дисперсионного соотношения[11]: Здесь Е-так называемая «нулевая» энергия («reference energy»), при которой эта величина обращается в нуль в рассматриваемой области энергий. Эта форма помогает преодолеть неопределенность нашего знания о поведении подинтегральных величин в предельных областях очень высоких и очень малых энергий, при этом дисперсионная поправка определяется с точностью до константы. С учетом антисимметризации модельная волновая функция представляется как[9] где ifi (Xj) — внутренние волновые функции сталкивающихся ядер в основных состояниях. Задача сводится к одноканальному одночастичному уравнению Шредингера для волновой функции рассеяния и (г), описывающей движение частицы с массой равной приведенной массе сталкивающихся ядер, в эффективном комплексном потенциале (1.3): [-—V 2// +U]ur) Еи*г) (1.8) Это уравнение является основой для формулировки оптической модели упругого рассеяния, суть которой заключается в построении модели эффективного потенциала, дающей в результате решения уравнения (1.8) на выходе описание экспериментальных наблюдаемых упругого рассеяния. Такой модельный потенциал должен обладать свойствами эффективного потенциала, отражая себе свойства структуры сталкивающихся ядер и фундаментальные свойства нуклон-нуклонных взаимодействий. В настоящей работе применяются модели только центрально-симметричных потенциалов. В этом случае оптический потенциал есть просто функция расстояния г между центрами масс ядер (и, естественно, оператор в спин-изоспиновом пространстве), а волновые функции рассеяния раскладываются по парциальным волнам (по собственным функциям орбитального момента). Решение проблемы построения ядро-ядерного потенциала осуществляется с помощью двух основных подходов: феноменологического и микроскопического (см. [9] и ссьшки в ней). В феноменологическом нодходе весь эффективный потенциал моделируется локальной комплексной функцией расстояния между центрами масс ядер с помощью различных параметризацией. Параметры находятся путем их нодгонки для воспроизведения экспериментальных наблюдаемых. В диссертации используются наиболее часто употребляемая фермиевская функция радиуса (обычно называемая «потепциалом Вудса-Саксона») и ее производные. Модельный нотенцнал представляется в виде: и {г) -Vfixy) iWf (x) iAW Vc{r), где xr Кулоновская комнонента Vc® моделируется потенциалом взаимодействия (1.9) (1.10) точечного заряда Ze с однородно заряженной сферой, имеющей заряд Ze и радиус Re. Z Z, e r (1.11) Радиус этой сферы оценивается через среднеквадратичные зарядовые радиусы ядер: .у Параметры радиусов соответствующих потенциала (1−12) обычно комнонент выражаются через параметры приведенных радиусов Г и массы сталкивающихся ядер: (1.13) Силовые параметры («глубины потенциалов») F) и Wi, а также «геометрические» параметры (радиусы и диффузности) г/ и а, находятся путем анализа экспериментальных угловых распределений упругого рассеяния с помошью «-|-метода», С помощью программ автоматического поиска параметры варьируются таким образом, чтобы получить минимум величины Суммирование ведется по углам при которых измерены экспериментальные дифференциальные сечения ОехрЗдесь Ааехр{в,) соответствующие ошибки измерения. Величинаf определяет поверхность в Лу-мерном пространстве варьируемых параметров, В общем случае математическим критерием наилучшего подбора параметров является достижение значения)1 NF 1, где NF NgN. В различных работах обычно применяются различные многоступенчатые алгоритмы поиска параметров и различные определения ошибок. Для удобства сравнения результатов, здесь при анализе, как и в большинстве других работ, используется равномерное распределение ошибки и, как оптимальное для рассматриваемых примеров, берется значение 10% (для всех i=, Na). Кроме того, вместо Х/ NF используется величинаОчевидно, что успех феноменологической модели в описании данных во многом зависит от адекватности выбранных форм параметризации. Чем более гибкая форма используется, тем лучше можно воспроизвести экспериментальные данные. Однако более гибкая форма требует и большего числа свободных параметров, а это приводит к большей статистической неопределенности значений этих параметров, к неоднозначности определения потенциала. Феноменологический подход обладает несомненным преимуществом простоты и удобства в практическом применении. Тем не менее, основной его проблемой остается неоднозначность определения искомых параметров при апализе данных, которая обусловлена наличием статистических и абсолютных ошибок измерений, непольютой самих экспериментальных данных, например, ограниченностью измерений по диапазону углов рассеяния. Широко и давно известны так называемые «непрерывные» и «дискретные» неоднозначностии (см, например, [9]), Они характерны для анализа сильного поглощения, когда столкновений при низких энергиях и в условиях наблюдаемые величины практически не чувствительны к внутренней области потенциала, т, е, для радиусов, меньших радиуса сильного поглошсния (RSA) — в связи с этим, большое значение приобрело явление, впервые обнаруженное в упругом рассеянии альфа-частиц[12] в области энергий выще 10 МэВ/нуклон и получившее названия «ядерной радуги». Радужные эффекты, проявляются в условиях «неполного поглощения», В большей степени они определяются преломляющими свойствами ядро-ядерного потепциала (т.е, его реальной частью) и показывают чувствительность наблюдаемых угловых распределепий к поведению потенциала на расстояниях, заметно меньших радиуса сильного поглощения. Характерной идеальной картиной для дифференциальных сечений в таких случаях является наличие в области малых углов нескольких частых осцилляции идет фраунгоферовской дифракции, затем имеются один-два (редко три) широких пика, интерпретируемых как первичпая или вторичная радуги, после которых экспоненциальный спад сечения в классически недоступной области. Важной величиной, характеризующей классическое и квазиклассическое рассеяние является функция отклонения, которая определяет угол отклонения частиц с энергией Е, движущихся в потенциале U® по траекториям с прицельным параметром [13]: -Чг, (1,15) где Гтт расстояние наибольшего сближения, определяемое из равенства нулю выражения в квадратных скобках, (Напомним, что для монотонного потенциала нритяжения функция отклонения всегда отрицательна, а для отталкивающего потенциала положительна,) Если функция отклонения имеет экстремумы, тогда при в,=@{Ь), т, к, 0(,) О, Если вЬ и вп, соответствующих прицельных параметрах Ьг у классического сечения возникает сингулярность при угле рассеяние вблизи угла 9, называют радужным, а сам этот угол называют углом радуги. Именно сильное притяжение, имеющее место в ядерных столкновениях, может нривести к радужному рассеянию. При квантовомеханическом рассмотрении сечение не обращается в бесконечность при в в и не обращается в нуль в классически недостунной области в>в. Определением квантовой функции отклонения считают выражение: 0(Z,) 2Re|—Л (1,16) где фаза 8L рассматривается как функция L и содержит в себе ядерную и кулоновскую части. в области достаточно больших значений L, отвечающих траекториям с большими прицельными параметрами, где рассеяние определяется отталкивающей кулоновской частью взаимодействия, функция отклонения положительна, и ее максимум определяет угол кулоновской радуги ®JK Этот угол является довольно малым по величине. В области, где определяющим является сильный притягивающий ядерный потенциал, она отрицательна, и ее минимум при некотором значении Lr дает угол ядерной радуги (дг лежащий в области средних и больших углов. Заметим, что амплитуда при заданном угле рассеяния вблизи угла 0 определяется вкладом двух ветвей функции отклонения, отвечающих значениям L< (т.е. L (т.е. L>Lr). Удобным приемом исследования таких процессов является разложение амплитуды рассеяния па ближнюю («near») и дальнюю («far») комноненты[14]. Напомним, что разложение по парциальным волнам амплитуды рассеяния представляет собой ряд по полиномам Лежандра. Полиномы Лежандра, в свою очередь, можно представить в виде суммы двух компонент: P:(cos) Qi-4cos) QW (cos), Тогда амплитуда разбивается на две составляющие Дв) f (в) /в), (1.17) физический смысл которых проявляется в квазиклассической асимптотике функций Q2(cos) при больших/, [15]: (1.18) Компонента /в) отвечает рассеянию на отрицательные углы траекторий, проходящих через «дальний» край рассеивателя, поэтому ее называют дальней амплитудой и обозначают /р (в) /9). Соответственно, /*в) отвечает рассеянию на положительные углы траекторий, проходящих через «ближний» край рассеивателя, и называется ближней амплитудой fN (d)/*e). Таким образом, полная амплитуда представляет интерференцию ближней и дальней компонент. Там, где эти компоненты сравнимы по величине, в сечении получается дифракционная картина фраунгоферовских осцилляции, отвечающая дифракции на краю черного диска радиуса R. величиной [16] Период этих осцилляции оценивается где кимпульс в с.ц.м. и Lgугловой момент, отвечающий касательной траектории. С другой стороны, эффект ядерной радуги, происходящий в рассеяпии на отрицательные углы определяется дальней амплитудой. При этом в нее дают вклад две ветви функции отклонения L< и L>. Интерференция этих вкладов и дает картину широких радужных осцилляции в «светлой» области оценивается величиной [17] (9< ©-г» *!). Их период гораздо больше и A"_J (1.20) В квазиклассическом приближении, вблизи угла ядерной радуги, если пренебречь поглощением, дальняя амплитуда и сечение могут быть выражены[13] по аналогии с оптикой через функцию Эйри Ai (z): При углах рассеяния меньше, чем угол радуги, функция Эйри имеет форму осцилляции. Пик при наибольшем отрицательном угле, т. е. наиболее близком к углу радуги, отвечает первичной радуге. Последующие экстремумы дают вторичные радужные пики. При углах больших, чем угол радуги, функция Эйри имеет форму падающей экспоненты. В реальности (в присутствии поглощения, которое подавляет в первую очередь амплитуды отвечающие ветви L<) эйри-эксремумы в угловом распределении сглаживаются. При этом в этой области углов по-прежнему доминирует дальняя компонента. Поэтому одним из способов, позволяющих интерпретировать угловое распределение, как отвечающее радужному рассеянию, является рассмотрение его дальней компоненты при зануленном поглощении, которая в этом случае должна представлять эйри-картину. С другой стороны, часть вторичных экстремумов функции Эйри в реальных угловых распределениях попадает в область углов, где дальняя и ближняя компоненты становятся сравнимыми, и эти структуры «скрываются» за фраунгоферовской дифракционной картиной. Если поглощение настолько сильное, что вклад от L< становится незначительным, эффект интерференции L< и L> пропадает, и мы уже не увидим в угловом распределении эйри-структур, будет наблюдаться только нлавное падение сечения. Важной характеристикой радужного рассеяния является зависимость положения эйри-экстремумов от энергии. В квазиклассическом приближении показано, что при рассеянии па действительном ядерном потенциале, например, в форме Вудса-Саксона (1.9−1.10) положение угла первичпой радуги является обратной функцией энергии[18]: 10 О.5б|1. (1.22) С ростом энергии экстремумы сдвигаются к малым значениям угла рассеяния. Так что, при некотором значении энергии даже первичный радужный максимум может «скрыться» в области дифракции Фраунгофера. При достаточно малых энергиях (менее 10-ти МэВ/нуклон), первичпая радуга может сдвинуться в нефизическую область, и наблюдаемые эйри-структуры будут вторичными. Квазиклассические оценки также ноказывают[9], что преломляющие эффекты зависят от баланса сил реальной (преломляющей) и мнимой (поглощающей) частей потенциала. Это позволяет наложить определенные требования на силу реальной части потенциала в области, существенной для данного эффекта, т. е. на расстояниях г RSA, И использовать радужное рассеяние для определения силы рассеивающего потенциала. Таким образом, использовапие эффекта ядерной радуги позволяет разрещить указанные выше неоднозначности[12]. Однако в условиях радужного именно рассеяния для могут проявляться и другие неоднозначности, характерные таких процессов, например эйринеоднозначность, или «неоднозначность сдвига радуги"[19]. Она заключается в том, что могут существовать различные потенциалы, которые дают одинаковые угловые распределения в наблюдаемой области. Однако эти распределения отвечают сдвинутой по порядку нумерации эйри-картине. Поэтому одним из важнейших направлений развития потенциального подхода является поиск путей разрешения неоднозначностей на основе включения в анализ дополнительной физической информации. Очень полезным оказалось построение энергетических систематик, как наблюдаемых величин, так и параметров, и интегральных характеристик модельных потенциалов. В недавних работах [20−22] была предложена и апробирована процедура, основанная на построении энергетической систематики положений эйри-экстремумов в экспериментальных угловых распределениях. На основе имеющихся на то время данных было показано, что такая систематика нодчиняется закону обратной зависимости от энергии в с. ц. м., однозначно устанавливая норядковый номер эйри-экстремумов. Это приводит к разрешению эйри-неоднозначности и позволяет однозначно определить параметры феноменологического оптического потенциала при анализе радужного упругого рассеяния. В частности, были онределены индивидуальные наборы параметров ВудсСаксоновского потенциала, описывающие комплекс экспериментальных данных для 11 систем О+С и Li+C в области энергий до 100 МэВ/нуклон, Для этих систем получена зависимость от энергии объемньк интегралов реальной и мнимой частей потенциала. Более того, с помощью дисперсионного анализа определена эмпирическая зависимость СП от энергии, которую можно было сравнить с микроскопическими расчетами. В последнее время появились новые экспериментальные данные по радужному рассеянию при различных энергиях ядер 0 на изотопах С[2,4,23]. Кроме того, являются доступными другие данные и примеры феноменологического анализа, например, по рассеянию альфа-частиц[24,25], в угловых распределениях которых можно хорошо выделить эйри-структуры. Это дает возможность дополнительной проверки найденной ранее эмпирической энергетической зависимости объемных интегралов, в частности, компоненты СП, а также не только подтверждения энергетической систематики, но и определения массовой зависимости положений эйри-экстремумов. Решение этих задач и было одной из целей диссертации. В частности во второй главе проводится феноменологический анализ новых экспериментальных данных, но упругому рассеянию ядер 0 на С при лабораторной энергии 330 МэВ, на «С при 132 МэВ и на «С при 132, 281 и 382 МэВ, а также на ядремишени «Са при энергии 214 МэВ. Результаты сравниваются с полученными ранее энергетическими систематиками положений эйри-минимумов и объемных интегралов. Анализируется массовая зависимость положений эйри-минимумов. Другой подход к построепию эффективного потенциала микроскопический является «попыткой понять взаимодействие двух ядер через движение и взаимодействие индивидуальных нуклонов их составляющих"[9]. В микросконическом подходе есть два главных аспекта. Первый структурная информация, заключенная в ядерных волновых функциях. Проблема содержится в нахождении адекватной структурной модели, которая была бы к тому же удобной в практическом использовании при вычислении соответствующих матричных элементов. Второй взаимодействие между нуклонами налетающего ядра и ядра-мишени. Это взаимодействие не является взаимодействием свободных нуклонов. Оно происходит в ядерной среде, являясь эффективным взаимодействием (см., например, [9]). Статическая составляющая является матричным элементом реального эффективного нуклон-нуклонного взаимодействия в обкладках волновых функций основных состояний сталкивающихся ядер [9]: Обычно в (1.23) рассматривается парное нуклон-нуклонное взаимодействие 12.

3.7. Выводы.

Разработана процедура коррекции энергетической зависимости обменной компоненты потенциала среднего поля — статической составляющей эффективного ядро-ядерного потенциала, вычисляемой в рамках модели двойной свертки с учетом обменных эффектов в приближении однонуклонного обменного выбивания. Процедура основана на использовании эмпирической энергетической зависимости потенциал среднего поля, получаемой при дисперсионном анализе интегральных характеристик феноменологических оптических потенциалов.

Предложено и апробировано псевдоосцилляторное приближение для вычисления ядерной матрицы плотности, используемой при расчете обменной компоненты потенциала среднего поля в рамках модели двойной свертки. Проведена необходимая модификация существующей вычислительной программы.

Процедура коррекции применена для вычисления потенциала среднего поля и анализа данных по упругому рассеянию альфа-частиц на ядрах кислорода в рамках дисперсионной полумикроскопической модели оптического потенциала. Получено вполне удовлетворительное описание экспериментальных сечений и дисперсионной связи объемных интегралов модельного потенциала.

Вычислен скорректированный потенциал среднего поля для взаимодействия пар ядер |60+12С и 160+ыС в области энергий с.ц.м. до 600 МэВ, с использованием которого в рамках дисперсионной полумикроскопической модели проведен анализ всех имеющихся данных по упругому рассеянию i60+i2c при лабораторных энергиях от 132 до 1500 МэВ и 160+14С при энергиях 132, 281 и 382 МэВ.

Однозначно определены параметры модельного потенциала. Показано, что энергетическая зависимость объемных интегралов удовлетворяет дисперсионным соотношениям и согласуется с результатами феноменологического анализа. В том числе подтверждается проявление «аномальной ядерной дисперсии».

Получены явные радиальная и энергетическая зависимости дисперсионной составляющей действительной части оптического потенциала для рассмотренных случаев взаимодействия пар ядер а+|60, |60+12С и, 60+|4С. Для всех случаев в поверхностной области дисперсионная поправка является отталкивающей.

Сформулируем основные результаты представленной работы.

1. Проведен феноменологический анализ набора новых экспериментальных данных по упругому рассеянию 1бО+12С при лабораторной энергии 330 МэВ, 160+14С при энергиях пучка ионов 160 132 и 281 МэВ и при энергии пучка ионов 14С 334,4 МэВ, 1бО+13С при энергии 132 МэВ и 16О+40Са при энергии 214 МэВ, из которого: а) для рассеяния 160 на изотопах углерода показано, что наблюдающиеся в экспериментальных угловых распределениях эйри-минимумы хорошо согласуются с обратной зависимостью от энергии в с.ц.м., подтверждая полученную ранее систематику положений эйри-минимумовб) на основе этой систематики однозначно определены параметры феноменологических потенциалов вудс-саксоновского типав) показано, что энергетическая зависимость объемных интегралов действительной и мнимой частей этих потенциала в диапазоне от 132 до 1503 МэВ хорошо согласуется с полученной ранее и удовлетворяющей дисперсионным соотношениямг) для рассеяния 160 при энергии 132 МэВ на изотопах углерода 12С, 13С и 14С не обнаружено существенных изотопических эффектов и продемонстрирована близость рефракционных свойств этих систем (объемных интегралов от действительных частей потенциалов). д) для рассеяния 16О+40Са при энергии 214 МэВ показано, что в угловом распределении есть ясные признаки наличия эффекта радужного рассеяния, т. е. в такой более тяжелой системе впервые наблюдалась ядерная радуга, при этом минимум около 45 ° можно интерпретировать как эйри-минимум.

2. Построена систематика эйри-минимумов по приведенным массам в диапазоне от 2 до 8 а.е.м. и показано, что положения эйри-минимумов зависят от приведенной массы сталкивающихся ядер квадратичным образом.

3. Разработана процедура коррекции энергетической зависимости обменной компоненты потенциала среднего поля, вычисляемой в рамках модели двойной свертки с учетом обменных эффектов в приближении однонуклонного обменного выбивания.

4. Предложено и апробировано псевдоосцилляторное приближение для вычисления ядерной матрицы плотности, используемой при расчете обменной компоненты потенциала среднего поля в рамках модели двойной свертки.

5. Вычислен скорректированный потенциала среднего поля для взаимодействия пар ядер а+160,160+, 2С и 160+14С в области энергий с.ц.м. до 600 МэВ, и в рамках дисперсионной полумикроскопической модели ядро-ядерного потенциала проведен анализ всех имеющихся данных по упругому рассеянию для этих систем, из которого: а) однозначно определены параметры модельного потенциала и показано, что энергетическая зависимость объемных интегралов удовлетворяет дисперсионным соотношениям и согласуется с результатами феноменологического анализаб) получено удовлетворительное описание экспериментальных сечений и продемонстрирована дисперсионная связь объемных интегралов компонент модельного потенциалав) получены явные радиальная и энергетическая зависимости дисперсионной составляющей оптического потенциала и показано, что для всех рассмотренных случаев эта составляющая в поверхностной области является отталкивающей.

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю С. А. Гончарову за совместную работу, полезные обсуждения и консультации, а также всем своим российским и зарубежным коллегам, в совместной работе с которыми получены представленные здесь результаты.