Моделирование конвективных процессов с факторами, характерными для мантии Земли
В рассмотренном в работе случае, флюидизированном гранулированном веществе с неоднородностями упаковки, добавочные напряжения сводятся к увеличению эффективной вязкости и давления среды. Основной вклад создается за счет неоднородностей, у которых выполняется условие резонанса между частотой распада и частотой упругих волн в среде. Величина поправок определяется, главным образом, плотностью среды… Читать ещё >
Содержание
- 1. ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ В НЕДРАХ ЗЕМЛИ: ОБЗОР ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
- 1. 1. Тепловая конвекция в несжимаемой жидкости
- 1. 2. Конвекция с объемным тепловыделением
- 1. 3. Хаотизация конвективных течений
- 1. 4. Конвекция при сильной зависимости вязкости от температуры
- 1. 5. Конвекция с другими факторами характерными для мантий
- 1. 5. 1. Зависимость вязкости от давления
- 1. 5. 2. Конвекция в неньютоновской жидкости
- 1. 6. Выводы
- 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ С ОБЪЕМНЫМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ С ПОМОЩЬЮ СВЧ ИЗЛУЧЕНИЯ
- 2. 1. Методы моделирования конвекции с объемным тепловыделением
- 2. 2. Использование электромагнитного излучения СВЧ диапазона для моделирования конвекции с объемным тепловыделением
- 2. 2. 1. Установка
- 2. 2. 2. Тепловыделение
- 2. 2. 3. Динамическое взаимодействие излучения и жидкости
- 2. 3. Техника эксперимента
- 2. 3. 1. Температурный режим эксперимента
- 2. 3. 2. Рабочая жидкость
- 2. 4. Использование мелкодисперсной примеси для визуализации течений
- 2. 5. Выводы
- 3. КОНВЕКЦИЯ С ВНУТРЕННИМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ И ВНЕШНИМ ПОДОГРЕВОМ
- 3. 1. Параметры течений, полученных в экспериментах
- 3. 2. Распределение скорости жидкости
- 3. 3. Распределение температуры
- 3. 4. Зависимость конвективных течений от времени
- 3. 5. Соотношение Ыи (Яа)
- 3. 6. Моделирование конвекции с континентальными плитами
- 3. 7. Выводы
- 4. ГРАНУЛИРОВАННАЯ СРЕДА С ВНУТРЕННИМИ НЕОДНОРОДНОСТЯ-МИ
- 4. 1. Модели движения гранулированных сред
- 4. 1. 1. Модели на основе кинетической теории газа
- 4. 1. 2. Кинематическое описание
- 4. 1. 3. Неоднородности в гранулированном веществе
- 4. 1. 4. Механизмы формирования неоднородностей
- 4. 2. Пространственно-временные характеристики неоднородностей
- 4. 3. Гидродинамическое описание гранулированного вещества с неоднородно-стями
- 4. 4. Определение напряжений, создаваемых неоднородностями
- 4. 5. Выводы
- 4. 1. Модели движения гранулированных сред
- 5. ДВИЖЕНИЕ ГРАНУЛИРОВАННОЙ СРЕДЫ С НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
- 5. 1. Уравнения крупномасштабных движений среды
- 5. 1. 1. Усреднение уравнений движения
- 5. 1. 2. Определение вариаций
- 5. 2. Состояние гранулированной среды при квазистационарных внешних условиях
- 5. 2. 1. Равновесное значение псевдотемпературы
- 5. 2. 2. Влияние неоднородностей на состояние равновесия среды
- 5. 3. Течение флюидизированной гранулированной среды с неоднородностями упаковки
- 5. 3. 1. Характер поведения среды при вариациях упаковки
- 5. 3. 2. Определение крупномасштабных напряжений
- 5. 3. 3. Изменения вязкости и давления, вызванные неоднородностями
- 5. 3. 4. Спектральные характеристики вариаций давления, создаваемые неоднородностями упаковки
- 5. 4. Выводы
- 5. 1. Уравнения крупномасштабных движений среды
Моделирование конвективных процессов с факторами, характерными для мантии Земли (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Конвективный перенос массы, импульса и энергии в недрах Земли осложняется большим количеством факторов действующих одновременно: зависимостью параметров от температуры и давления, сложными реологическими свойствами вещества и рядом других. Получил распространение подход, в котором эти факторы рассматриваются по отдельности, что позволяет сначала выделить наиболее важные черты, а затем синтезировать общую картину.
В одной из наиболее эффективных моделей твердую оболочку Земли рассматривают как вязкую жидкость, находящуюся в процессе тепловой конвекции, вызванной объемным тепловыделением за счет распада радиоактивных элементов (и, ТЬ, К). Движение жидкости с хорошей точностью описывается гидродинамическими уравнениями, которые достаточно просто разрешаются средствами современной вычислительной техники. Поэтому, к настоящему времени в области численного моделирования мантийных течений достигнуты значительные успехи. С другой стороны, экспериментальное моделирование подобных течений затруднительно. Это связано с тем, что мантийное вещество характеризуется сильной зависимостью вязкости от температуры и большим числом Прандтля. До настоящего момента не удавалось получить объемное тепловыделение в модельных средах с подобными свойствами. В данной работе предлагается новый метод моделирования таких течений, основанный на использовании электромагнитного излучения СВЧ диапазона. Предлагаемый метод может представлять интерес и для моделирования процессов в некоторых технических системах. К одной из наиболее важных задач можно отнести моделирование тяжелых аварий на АЭС, сопровождающихся образованием расплава ядерного топлива (Пономарев-Степной, 1992).
Другой существенной особенностью мантии и коры является неоднородность их структуры. Она проявляется на разных масштабных уровнях: блочное строение коры, возможность химических неоднородностей в мантии, приводящих к седиментационной конвекции, поликристаллическая структура многих веществ, неоднородности упаковки молекул в жидкостях и аморфных веществах и т. д.
Рассмотрение подобных явлений сталкивается с большими трудностями, поскольку для неоднородных сред отсутствуют математические модели, позволяющие описать их движение с необходимой точностью. В предлагаемой работе рассмотрена одна из моделей неоднородных сред — гранулированное вещество. К сожалению, даже для этого, относительно простого случая, не удалось получить уравнения движения, обеспечивающие столь же точное описание, как гидродинамические уравнения для жидкостей. Предсказания поведения гранулированных сред, полученные методами успешными для газов и конденсированных сред, оказались гораздо менее точными и универсальными. Причины этих трудностей в настоящее время остаются не ясными.
Представляется разумным следующий подход: выделить факторы, отличающие эти среды от жидкостей и исследовать их возможное влияние на конвекцию. Ряд авторов (Ширко 1985, Мета 1993) указывает на то, что в гранулированных средах должны существовать выделенные группы «среднего» числа гранул (от 5−6 до нескольких десятков), вызванных неоднородностями упаковки и некоторыми другими причинами. В данной работе теоретически рассмотрено влияние подобных групп гранул (неоднородностей) на крупномасштабные (конвективные) движения среды.
Целями защищаемой работы является:
1. Разработка нового метода экспериментального моделирования конвекции с объемным тепловыделением, основанном на использовании СВЧ излучения.
2. Исследование пространственного распределения и временной зависимости скорости течения и температуры среды при конвекции с параметрами подобия, соответствующими мантии Земли. Получение закономерностей теплообмена в подобных течениях.
3. Построение модели среды, позволяющей связать пространственно-временные характеристики мелкомасштабных неоднородностей с ее крупномасштабными свойствами. Рассмотрение с помощью модели влияния неоднородностей упаковки на крупномасштабные движения гранулированной среды.
На защиту выносятся следующие положения.
1. Методика экспериментального моделирования свободной тепловой конвекции с объемным тепловыделением с помощью электромагнитного излучения СВЧ диапазона. Она позволяет изучать конвективные течения с интенсивным конвективным переносом тепла, при малом переносе импульса, характерные для твердотельной ползучести в геофизических системах.
2. Подтверждение качественных представлений (квазистационарность и наличие изотермического ядра) и количественных соотношений для теплопотока (Ш-Яа) и средней скорости, используемых в моделях тепловой эволюции геофизических систем. Показано, что для жидкости с вязкостью, зависящей от температуры, средние теплопоток и скорость хорошо описываются соотношениями для жидкости с вязкостью, равной вязкости изотермического ядра.
Показано, что при конвекции с объемным тепловыделением в жидкости с сильной зависимостью вязкости от температуры возможно формирование быстрых и узких восходящих течений. Это является существенным отличием от конвекции с объемным тепловыделением в жидкостях с постоянной вязкостью, где восходящие токи шире и медленнее нисходящих. Результаты показывают, что осуществление широких восходящих течений в мантии, с которыми часто связывают распределения топографии и теплопотока в зонах спрединга, требует выполнения дополнительных условий, кроме наличия объемного тепловыделения.
3. Модель среды с неоднородностями нескольких типов, в частности неодно-родностями упаковки. С ее помощью показано, что крупномасштабное (конвективное) движение вещества с внутренними неоднородностями описывается в рамках приближения сплошной среды. Влияние неоднородностей приводит к возникновению дополнительных напряжений и изменению средней энергии мелкомасштабных движений гранул.
Показано, что во флюидизированном гранулированном веществе добавочные напряжения, порождаемые неоднородностями упаковки, сводятся к увеличению эффективной вязкости и давления среды. Величина поправок определяется, в основном, характерным размером неоднородности, плотностью среды и амплитудой вариации координационного числа гранул. Для плотной случайной упаковки поправки составили порядка нескольких процентов.
Научная новизна результатов.
1. Впервые разработана и использована методика использования СВЧ-излуче-ния для моделирования конвекции с объемным тепловыделением. 8.
2. Впервые с использованием разработанной оригинальной методики объемного нагрева экспериментально промоделированы динамические свойства конвективной ячейки среды с параметрами подобия, предполагаемыми для мантии Земли.
3. Впервые получена система уравнений гидродинамического типа, описывающая движение гранулированной среды с внутренними неоднородностями.
Практическая и научная ценность результатов.
1. Разработанные экспериментальные методы могут найти применение при моделировании процессов в мантиях Земли и других планет. На их основе возможно выявление физических механизмов геофизических явлений.
2. Возможность моделирования гидродинамических течений с объемным тепловыделением представляет интерес для решения ряда задач, связанных с переработкой, транспортировкой и захоронением радиоактивных материалов.
3. Предложенный подход к описанию гранулированных веществ мог бы послужить дополнением к существующим кинетическим и феноменологическим методам, а также указывают на возможное новое направление экспериментов и численного моделирования гранулированного вещества.
5.4. Выводы.
1. Показано, что крупномасштабное (конвективное) движение гранулированного вещества с внутренними неоднородностями описывается в рамках приближения сплошной среды. Влияние неоднородностей приводит к возникновению дополнительных напряжений и изменению средней энергии мелкомасштабных движений гранул.
2. В рассмотренном в работе случае, флюидизированном гранулированном веществе с неоднородностями упаковки, добавочные напряжения сводятся к увеличению эффективной вязкости и давления среды. Основной вклад создается за счет неоднородностей, у которых выполняется условие резонанса между частотой распада и частотой упругих волн в среде. Величина поправок определяется, главным образом, плотностью среды, средним размером неоднородностей и амплитудой вариации координационного числа гранул. Для среды с расположением гранул, соответствующим плотной случайной упаковке, при объемной доле гранул, соответствующей большинству экспериментальных работ, поправки составят от нескольких десятых до нескольких процентов. Оценки показывают, что в определенных условиях возможен более заметный эффект. В частности, увеличение значения поправок примерно на порядок следует ожидать в средах с упаковкой частиц переходной между аморфной и кристаллической.
3. Показано, что при крупномасштабных (конвективных) движениях среды наличие неоднородностей упаковки приводит к появлению флуктуаций давления с частотами близкими к частоте, при которой происходит резонанс между распадом неоднородностей и упругими колебаниями в среде. Резонансная частота имеет величину промежуточную между скоростью относительной деформаций вещества и частотой соударения отдельных гранул.
Заключение
.
В диссертации получены следующие основные результаты.
1. Разработана методика экспериментального моделирования конвективных течений с объемным тепловыделением с помощью электромагнитного излучения СВЧ диапазона. Применение СВЧ позволяет получать объемное тепловыделение в жидких диэлектриках с сильной зависимостью вязкости от температуры, применение которых позволяет более реалистично моделировать свойства ряда геофизических сред. В частности, позволяет получать течения с интенсивным конвективным переносом тепла и малым конвективным переносом импульса, что характерно для движений в мантиях планет.
2. Полученные в экспериментах результаты подтверждают качественные представления (квазистационарность и наличие изотермического ядра) и количественные соотношения для теплопотока (Ыи-Яа) и средней скорости, используемые в моделях тепловой эволюции геофизических систем. Результаты показывают, что для жидкости с вязкостью, зависящей от температуры, средние теплопоток и скорость хорошо описываются соотношениями для жидкости с вязкостью, равной вязкости изотермического ядра.
3. Показано, что при конвекции с объемным тепловыделением в жидкости с сильной зависимостью вязкости от температуры возможно формирование быстрых и узких восходящих течений. Это является существенным отличием от конвекции с объемным тепловыделением в жидкостях с постоянной вязкостью, где восходящие токи шире и медленнее нисходящих. Результаты показывают, что осуществление широких восходящих течений в мантии, с которыми часто связывают распределения топографии и теплопотока в зонах спрединга, требует выполнения дополнительных условий, кроме наличия объемного тепловыделения.
4. Рассмотрены процессы перестройки конвективных течений с объемным тепловыделением под теплоизолирующей пластиной, имитирующей континентальную плиту. Основным следствием теплоэкранировки является переход к течению с восходящим током под пластиной, в согласии с результатами других авторов, исследовавших аналогичную ситуацию без объемного тепловыделения.
5. Предложена модель среды с внутренними неоднородностями нескольких.
106 типов. С ее помощью показано, что крупномасштабное (конвективное) движение гранулированного вещества с неоднородностями описывается в рамках приближения сплошной среды. Влияние внутренних неоднородностей приводит к возникновению дополнительных напряжений и изменению средней энергии мелкомасштабных движений гранул.
6. В рассмотренном в работе случае, флюидизированном гранулированном веществе с неоднородностями упаковки, добавочные напряжения сводятся к увеличению эффективной вязкости и давления среды. Основной вклад создается, за счет неоднородностей, у которых выполняется условие резонанса между частотой распада и частотой упругих волн в среде. Величина поправок определяется, главным образом, плотностью среды, средним размером неоднородностей и амплитудой вариации координационного числа. Для среды с расположением гранул, соответствующим плотной случайной упаковке, поправки составят от нескольких десятых до нескольких процентов. Оценки показывают, что в определенных условиях, возможен более заметный эффект.
Содержание работы докладывалось на конференции молодых ученых, посвященной 50-летию МФТИ, а также на семинарах в ИДГ РАН и Мехмате МГУ.
Сообщение было направлено на ежегодную конференцию LPSI 1998 (Хьюстон).
Основные положения работы изложены в следующих статьях.
Михин К. В. Возникновение конвекции в жидкости с объемным тепловыделением и вязкостью зависящей от температуры. //В сб. «Динамические процессы в геосферах: геофизика сильных возмущений», под ред. Ю. И. Зецера, С. 122 127, М. Наука, 1998.
Зецер Ю.И., Овсянников Г. А., Михин К. В., Экспериментальное моделирование конвективных течений с объемными источниками энерговыделения с помощью СВЧ излучения. // В сб. «Динамические процессы в геосферах: геофизика сильных возмущений», под ред. Ю. И. Зецера, С. 162−169, М. Наука, 1996.
Адушкин В.В., Зецер Ю. И., Михин К. В., Овсянников Г. А. Экспериментальное моделирование конвективного движения вещества в глубинных областях Земли при наличии объемных источников энерговыделения. // ДАН РАН т. 360(1998), № 3, С. 390−393.
Список литературы
- Витязев A.B. Неизотермическая неустойчивость процесса гравитационной дифференциации в недрах Земли. Коми Филиал ИФЗ АН СССР, Сыктывкар-Москва, 1974
- Гарифуллин Ф.А. Возникновение конвекции и теплообмен в плоских слоях неньютоновской жидкости. Казань, 1994.
- Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М. Наука, 1972.
- Голицын Г. С. Исследование конвекции с геофизическими приложениями и аналогиями. Л. Гидрометеоиздат, 1980.
- Добрецов Н.Л., Кирдяшкин А. Г. Глубинная геодинамика. Новосибирск, изд-во. СО РАН, 1994.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М. Наука 1992.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. М. Наука, 1995
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 2. М. Наука, 1975.
- Лыков А.В. Конвекция и тепловые волны, М. 1974.
- Мясников В.П., Фадеев В. Е. Модели эволюции планет земной группы. Итоги науки и техники, серия «Физика Земли», т.5, ВИНИТИ, М, 1980.
- Пономарев Степной Н. Н. (ред.) Физические модели тяжелых аварий на АЭС. М., Наука, 1992.
- Родионов В.Н., Сизов И. А., Цветков В. М. Основы геомеханики. М. Недра 1986.
- Соу С. Гидродинамика многофазных систем. М. Мир 1971. 536 С.
- Хиппель А.Р. Диэлектрики и их применение. М. Госэнергоиздат, 1959, 336С.
- Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М. ИЛ 1960.
- Таблицы физических величин. Под ред. И. К. Кикоина, М. Атомиздат, 1976.
- Физические величины. Под ред. И. С. Григорьева и Е. 3. Мейлихова, М. Энерго-атомиздат, 1991.
- Установка «Зеркало», отчет. Часть 1, состав установки. Спецсектор ИФЗ АН СССР, 1983.
- Берналл Д., Кинг С. Экспериментальное моделирование простых жидкостей. // В сб. «Физика простых жидкостей», под ред. Г. Темперли, Д. Роулинсона, Дж. Рашбрука, С. 116- 135, М. Мир, 1971.
- Бобров А.М., Трубицын В. П. // Физика Земли, № 4 (1984), С. 13−21.
- Дрешер А., де Йонг Ж. Проверка механической модели течения гранулированного материала методами фотоупругости. //В сб. «Определяющие законы механики грунтов», под ред. В. Н. Николаевского, С. 144−165, М. Мир, 1975.
- Житников Ю.В., Зецер Ю. И. Исследование нагрева конденсированных сред при объемных источниках энерговыделения. // ДАН РАН, т. 324(1992), № 5. С. 977 -981.
- Зецер Ю.И., Ланцбург Е. Я. Разрушение гетерогенных диэлектрических сред интенсивным микроволновым излучением. // ДАН РАН, т. 324(1992), № 5, С. 1011−1014.
- Зецер Ю.И., Ратников Е. В., Гуськов Ю. А. О возможности экспериментального исследования процесса дифференциации планетного вещества. // В сб. Происхождение солнечной системы, С. 112 -114, М., 1993.
- Зимин В. Д, Кетов А. И., Конвективные колебания в подогреваемой снизу кубической полости. // Ученые записки ПГУ, № 327(1975), С. 3−12.
- Кочарян Г. Г., Федоров А. Е. Об особенностях механики сейсмического процесса в блочной геофизической среде. // ДАН СССР, 1990, т. 315, № 6, С. 1345−1349.
- Кочарян Г. Г., Кулюкин A.M., Родионов В. Н., Федоров А. Е. Модельное исследование процесса обрушения выработки в трещиноватом горном массиве при динамическом воздействии. // ФТПРПИ (1991), № 4, С. 16−23
- Кулаки Ф. А., Негл М. Е. Естественная конвекция в горизонтальном слое жидкости с распределенными по объему источниками тепла. // Теплопередача, 1974, № 2
- Кулаки Ф.А., Эмара A.A. Численное исследование тепловой конвекции в слое тепловыделяющей жидкости. // Теплопередача, 1980, том 102, № 3, С. 159 167.
- Любимов Д.В., Путин Г. Ф. Надкритические движения в кубической полости. // ГидродинамикаХ (1977), С. 15−25, из-во. ПГУ.
- Неддерман Р., Тюзюн У.(а) Кинематическая модель течения гранулированных материалов. // В сб. «Механика гранулированных сред. Теория быстрых движений», под. ред. И. В. Ширко, С. 171−191, М. Мир, 1985.
- Овчинников А. П., Конвективная устойчивость жидкости в кубической полости. //ПМТФ,№ 3 (1967), С.118−120.
- Ревуженко А.Ф., Стажевский С. Б., Шемякин Е. И. О механизме деформирования сыпучего материала при больших сдвигах. // ФТПРПИ (1974), № 3, С. 37−43.
- Ромашов А.Н., Цыганков С. С. Развитие разрывного нарушения в сыпучей среде. // Физика Земли 1986, № 3, С. 77−80.
- Турунтаев С.Б., Кулюкин A.M., Герасимова Т. И., Дубиня М. Г. Динамика локализации сдвиговой деформации в песке. // Доклады РАН, т. 354 (1997), № 1, С. 105−108.
- Трубицын В.П., Бобров A.M., Кубышкин В. В. Влияние континентальной литосферы на структуру мантийной тепловой конвекции. // Физика Земли, 1993а, № 5, С. 3−11.
- Трубицын В.П., Белавин Ю. С., Рыков В. В. Тепловое и механическое взаимодействие мантии с континентальной литосферой. // Физика Земли, 19 936, № 11, С.3−15.
- Трубицын В.П., Бобров A.M. Времена перестроек структуры мантийных течений под континентами. // Физика Земли, 1995, № 7, С. 5−13.
- Трубицын В.П. Роль плавающих континентов в глобальной тектонике Земли. // Физика Земли, 1998, № 1, С. 3−10.
- Фарук Б. Турбулентная тепловая конвекция в замкнутой полости с внутренним тепловыделением. // Теплопередача 1988, № 4, Р. 105−112.
- Berg van den А.Р., Yuen D.A., van Keken P.E. Rheological transition in mantle convection with a composite temperature dependent, non-Newtonian and Newtonian rheology. // Earth Planet. Sci. Lett. V.129 (1995), P. 249−260.
- Boon-Long P. Lester T.W., Faw R.E. Convective heat transfer in a internal heated horizontal fluid layer with unequal boundary temperature. // I.J. Heat Mass Transfer V.22 (1979), P. 437−445.
- Bridgwater J. Mixing and segregation mechanism in particle flow. // В сборнике «Granular matter. An interdisciplinary approach.», ed. by A. Mehta, 161−193, N.Y. P. 1994.
- Busse F.H., Frick H. Square-pattern convection in fluids with strongly temperature-dependent viscosity. // J. Fluid Mech. Y.150 (1985), P. 451−465.
- Campbell C.S., Brennen C.E. Computer simulation of granular shear flows. // J. Fluid Mech. V.151 (1985), P. 167−188.
- Campbell C.S., Gong A. The stress tensor in two-dimensional granular shear flow. // J. Fluid Mech. V.164 (1986), P. 107−125.
- Carrigan C.R. Convection in internally heated, high Prandtl number fluid: a laboratory study. // Geophys. Astrophys. Fluid. Dyn. V.32 (1985), P. 1−21.
- Castaing B., Gunaratne G., Heslot F., Kadanoff L., Libchaber A., Tomae S., Wu X.Z., Zaleski S., Zanetti G. Scaling of hard thermal turbulence in Rayleig -Benard convection. // J. Fluid Mech. V.204 (1989), P. 1−30.
- Chen Y.M., Pearlsten A. J. Onset of convection in variable viscosity fluids assessment of approximate viscosity -temperature relations. // Phys. Fluids V.31 (1988), P. 1380.
- Cheung F. B. Boundary layer behavior in transient turbulent thermal convection flow. // Transaction of the ASME Heat Transfer V.102 (1980), P. 373−375 .
- Christensen U. Convection with pressure- and temperature- dependent non-Newtonian rheology. // Geophys. J.R. Astr. Soc. V.77 (1984 a), P. 343−384.
- Christensen U. Heat transport by variable viscosity convection and implication for the Earth thermal evolution. // Phys. Earth Planet. Inter. V.35 (1984 6), P. 264−282.
- Christensen U. Heat transport by variable viscosity convection II: pressure influence, non-Newtonian rheology and decaying heat sources. // Phys. Earth Planet. Inter. V.37 (1985), P. 183−205.
- Christensen U., Harder H. 3D convection with variable viscosity. //Geophys. J. Int. V.104 (1991), P. 213−226.
- Cooke M.H., Bridgwater J. Interparticle percolation: a statistical mechanical interpretation. // Ind. Eng. Chem. Fund V.18 (1979), P. 25−27.
- Cowin S.C. Kinematic waves in vertical sand columns. // B c6. «Mechanics of granular materials: new models and constitutive relations», ed. by J.T. Jenkins and M. Satake, P. 347- 356, Elsevier, 1983.
- Davies G. F., Richards M. A. Mantle convection. // J. Geology V.100 (1992), P. 151 206.
- Edwards S.F., Mounfield C.C. A theoretical model for the stress distribution in granular matter. Part 1−3. // Physica A V. 226 (1996), P. 1−33
- Fisman R.S., Hill E.F., Storsved T.K., Bierwagen G.P. Density fluctuation in hard -sphere systems. // J. Appl. Phys. V.79 (1996), P. 729−735.
- Grossman E.L., Zhou T., Ben-Nain E. Toward granular hydrodynamic in two dimensions. // Phys. Rev. E V.55 (1997), P. 4200 -4206.
- Guillou L., Jaupart C. On the effect of continents on mantle convection. // J. Geophys. Res. V.100 B (1995), P. 24 217−24 238.
- Gurnis M., Davies G. The effect of depth-dependent viscosity on convecting mixing in the mantle and the possible survival of primitive mantle. // Geophys. Res. Lett. V.13 (1986), P. 541−544.
- Haff P.K. Grain flow as a fluid mechanical phenomenon. // J. Fluid Mech. V.134 (1983), P. 401−430.
- Hansen U., Yuen D.A., Kroening S.E., Transition to hard turbulence in the thermal convection at infinite Prandtl number. // Phys. Fluids V.2 (1990) P. 2157−2163
- Hansen U., Yuen D.A., Malevsky A.V. Comparison of steady-state and strongly chaotic thermal convection at high Rayleigh number. // Phys. Rev. A Y.46 (1992), P. 4742−4752.
- Holzbecher M., Steiff A., Laminar and turbulent free convection in vertical cylinder with internal heat generation. // I.J. Heat Mass Transfer. V.38 (1995), 2893- 2903.
- Jenkins D.R. Rolls versus squares in thermal convection of fluids with temperature-dependent viscosity. // J. Fluid Mech. Y.178 (1987), P. 491−506.
- Jenkins J.T., Savage S.B. A theory for the rapid flow of identical, smooth, nearly elastic, spherical particles. // J. Fluid Mech. V.130 (1983), P. 187−202.
- Jenkins J.T., Richman M.W. Grad’s 13 moment system for a dense gas of inelastic spheres. // Arch. Rat. Mech. Anal. V.87 (1985), P. 355−377.
- Jenkins J.T., Richman M.W. Boundary conditions for plane flows of smooth nearly elastic, circular disks. // J. Fluid Mech. V.171 (1986), P. 53−69.
- Jenkins J.T., Mancini F. Balance laws and constitutive relations for plane flows of a dense, binary Mixture of smooth, nearly elastic, circular, disks. // J. Appl. Mech. V.54 (1987), P. 27−34.
- Johnson P.C., Jackson R. Frictional collisional constitute relation for granular materials, with application to plane shearing. // J. Fluid Mech. V.176 (1987), P. 67−93.
- Johnson P.C., Nott P., Jackson R. Frictional collisional equation of motion for particulate flows and their application to chutes. // J. Fluid Mech. V.210 (1990), P. 501−535.
- Keken van P.E., Yuen D.A., van den Berg A.P. Implications for Mantle Dynamics from the High Melting Temperature of Perovskite. // Science V.264 (1994), P. 1437−1439.
- Keyhani M., Kulacki F.A. Experiments of transient thermal convection with internal heating. Large time results. // Transaction of the ASME Heat Transfer V.105 (1983), P.261−266.
- Kikychi Y., Kawasaki Т., Shoyama T. Thermal convection in a horizontal fluid layer heated internally and from below. // I.J. Heat Mass Transfer V.25 (1982), P. 363 370.
- Kim D.M., Viskanata R. Study of the effects of wall conductance on natural convection in differently oriented square cavities. // J. Fluid Mech. V.144 (1984), P. 153 176.
- Krishnamurti R. Finite amplitude convection with changing mean temperature. Part 1. Theory. // J. Fluid Mech. V.33 (1968), P. 445.
- Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection. Part 1−2. // J. Fluid Mech. V.42 (1970), P.295−320.
- Kulacki F. A., Emara A .A. Steady and transient thermal convection in a fluid layer with uniform volumetric energy sources. // J. Fluid Mech. V.83 (1977), P. 375 -395.
- Mehta A. Relaxational dynamics, avalanches and disoder in real sandpile. // В сборнике «Granular matter. An interdisciplinary approach.», P. 2−33, ed. by A. Mehta, N.Y. 1994.
- Miller В., Hern C.O., Behringer R.P. Stress fluctuations for continuously sheared granular matter. //Phys. Rev. Lett. V.77 (1996), P. 3110−3113.
- Morris S., Canright D. A boundary-layer analysis of Benard convection in a fluid of strongly temperature-dependent viscosity. // Phys. Earth Planet. Inter. V.36 (1984), P. 355−373.
- Nowak E.R., Knight J.B., Ben-Haim E., Jaeger H.M., Nagel S.R. Density fluctuation in vibrated granular materials. // Phys. Rev. E V.57 (1998), P. 1971−1982.
- Ogawa M., Shubert G., Zebib A., Numerical simulation of three dimensional thermal convection in a fluid with strongly temperature-dependent viscosity. // J. Fluid Mech. V.233 (1991), P. 299−328.
- Pouliquen O., Nicolas M., Weidman P.D. Crystallization of non-Brownian Spheres under Horizontal Shaking. // Phys. Rev. Lett. V.79 (1997), P. 3640−3643.
- Richter F.M., Nataf H.C., Daly S.F. Heat transfer and horizontally averaged temperature of convection with large viscosity variations. // J. Fluid Mech. V.129 (1983), P. 173−192.
- Roberts P. H. Convection in horizontal layers with internal heat generation. Theory. // J. Fluid Mech. V.30 (1967), P. 33−49.
- Savage S.B., Sayed M. Stresses developed by dry cohesionless granular material in an annular shear cell. // J. Fluid Mech. V.142 (1984), P. 391−430.
- Savage S.B., Lun C.K.K. Particle size segregation in inclined chute flow of dry cohesionless granular solids. // J. Fluid Mech. V.189 (1988), P. 311−335.
- Shape H.N., Peltier W.R. A thermal history model for the Earth with parameterized convection. // Geophys. J.R. Astr. Soc. V.59 (1979), P. 171−203.
- Shwidersky E. W., Shwab H. J. Convection experiments with electrolytically heated fluid layers. // J. Fluid Mech. V.48 (1971), P. 703−719.
- Shwidersky E.W. Current dependence of convection in electrolytically heated fluid layers. // Phys. Fluids V.15 (1972), P. 1189−1196.
- Smith W., Hammitt F.G., Natural convection in rectangular cavity with internal heat generation. //Nuclear science and engeneering V.25 (1966), P. 328−342.
- Sparrow E. M, Goldstein R.J., Jonsson V.K. Thermal instability in a horizontal fluid layer: effect of boundary conditions and non-liner temperature profile. // J. Fluid Mech. V.18 (1964), P. 513- 528.
- Stengel K.C., Oliver D.S., Booker J.R., Onset of convection in a varible-viscosity fluid. //J. Fluid Mech. V.120 (1982), P. 411−431.
- Solomatov V.S. Scaling of temperature- and stress dependent viscosity convection. // Phys. Fluids V.7 (1995), P.266.
- Tackley P.J. Effect of strongly temperature dependent viscosity on time-dependent, three-dimensional models of mantle convection. // Geophys. Res. Lett. V.20 (1993), P. 2187−2190.
- Travis B., Weinstein S., Olson P. Three-dimensional convection with internal heat generation. // Geophys. Res. Lett. V.17 (1990), P. 243−246.
- Travis B., Olson P. Convection with internal heat sourses and thermal turbulence in the Earth’s mantle. // Geophys. J. Intern. V. l 18 (1994), P. 1−19
- Tveitereid M., Palm E. Convection due internal heat sources. // J. Fluid Mech. V.76 (1976), P. 481−499.
- Vincent A.P., Yuen D.A., Thermal attractor in chaotic convection with high -Prandtl number fluids. // Phys. Rev. A V.8 (1988)a, P.328−334.
- Vincent A.P., Yuen D.A. The onset of plume dynamics in spectral space. // Phys. Fluids V. 31 (1988)6, P. 225−228.
- Weinstein S.A., Olson P. Planforms in thermal convection with internal heat sources at large Rayleigh and Prandtl numbers. // Geophys. Res. Lett. V.17 (1990), P. 239 242.
- Weinstein S.A., Christensen U. Convection planforms in a fluid with temperature dependent viscosity beneath a stress-free upper boundary. // Geophys. Res. Lett. V.18 (1991), P.2035−2038.
- White D.B. The planforms and onset of convection with a temperature-dependent viscosity. // J. Fluid Mech. 191 (1988), P.247−286.
- Yuen D.A., Hansen U., Zhao W., Vinsent A.P., Malevsky A.V. Hard turbulent thermal convection and Thermal evolution of the Mantle. // J. Geophys. Res. E V.98 (1993), P. 5355−5373.
- Zetzer J.I., Vityazev A.V. Experiment «Tsarev» and differentiation of chondritic bodies. Small bodies in the Solar System and their interactions with the Planets. Proceedings. Mariehamn, Finland. 1994.
- Ъ -мера контраста вязкости в объеме жидкости Ь = Уверх /униз
- Ср- удельная теплоемкость жидкостискорость звука с -«изотермическая скорость звука"дртс1 размер частички примеси или гранулы.-напряженность электрического поляе коэффициент восстановления гранулы при ударе§-? ? / ускорение свободногопадения
- Н мощность тепловыделения на единицу объема
- Ь -характерный размер системы, обычно высота слоя. Н мощность тепловыделения на единицу объемаразмер неоднородности среды, кластерат масса частицы примеси или гранулы
- Ыи —число Нуссельта Ре- число Пельтье Рг число Прандтля р-давление О, — теплопотокд удельный поток тепловой илипсевдотепловой энергии
- К длина корреляции флуктуацийпараметра 2, средняя длинанеоднородности.1. Яа число Рэлея
- Яакри -критические значения числа Рэлея
- Лап- тепловое число Рэлея.
- V скорость среды до усреднения движения неоднородностей-скорость гранулы 2 параметр неоднородностей