Явление буферности и хаос в нелинейных волновых уравнениях

Краевые задачи гиперболического типа описывают большой класс физических моделей, связанных с проблемами распространения волн различной природы. При этом, в нелинейной постановке такие задачи решаются, как правило, численно, аналитические же результаты в этой области появляются достаточно редко.

Одним из наиболее содержательных примеров привлечения к моделированию физических явлений нелинейных волновых уравнений является математическая модель RCLG автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи. Эта задача была поставлена и частично решена A.A. Виттом в работе [1], она состоит из линейных уравнений в частных производных гиперболического типа, а нелинейность содержится в краевых условиях. При решении проблемы Витт использовал метод медленно меняющихся фаз и амплитуд и на этом пути получил асимптотические формулы для периодических решений изучаемой задачи. Вид асимптотических формул позволил, кроме того, заключить, что при подходящем выборе параметров данная краевая задача может обладать произвольным наперед заданным числом циклов. Такое явление приобрело название буферности, и под ним в настоящий момент понимают одновременное существование в фазовом пространстве динамической системы сколь угодно большого числа однотипных аттракторов (циклов, торов и т. д.) Следует отметить, что результаты, полученные Виттом, были в значительной степени эвристическими, поскольку отсутствовал необходимый математический аппарат для их обоснования.

В целом, нелинейные краевые задачи гиперболического типа довольно долго изучались лишь в квазилинейной постановке. Такой подход подробно изложен и обоснован, например, в книге Ю. А. Митропольского и Б. И. Мосеенкова [2]. Бифуркационные задачи для уравнений гиперболического типа начали изучаться лишь в конце прошлого века в работах Ю. С. Колесова, А. Ю. Колесова и С. А. Кащенко [3−11].

Основная трудность, с которой приходится сталкиваться в этой ситуации, состоит в том, что при критических значениях параметров счетное число точек спектра оператора линеаризованной задачи лежат на мнимой оси. Тем самым реализуется так называемое бесконечномерное вырождение. Одной из характерных задач, обладающих таким свойством, является телеграфное уравнение: с краевыми условиями Дирихле или Неймана на границах отрезка [0,1] изменения про.

0.1) странственной переменной х. Здесь u{t, x) — скалярная функция, определенная при t > t0, О < х < 1,? — положительный малый параметр, а > 0, f (u, v) — скалярная функция из С00, порядка малости в нуле выше первого.

Как известно, цепочки и решетки связанных генераторов с сосредоточенными параметрами являются полезными физически содержательными моделями, позволяющими выяснить ряд закономерностей развития пространственно-временного хаоса в сплошных средах [12−14]. При этом, как правило, в качестве отдельно взятого звена цепочки (парциальной системы) рассматривается генератор, описывающийся системой обыкновенных дифференциальных уравнений с единственным устойчивым циклом. Например, в работах [12−14] бралась одна и та же парциальная система й — и — du2u, d = 1 + гс0, с0 G К, (0.2) где и — комплекснозначная функция, но рассматривались различные отвечающие ей цепочки. А именно, в [12,13] изучалась цепочка однонаправленно связанных генераторов (0.2), т. е. система вида j + a (uj — Uj-i) = Uj — duj2uj, j = 1,2,., a G €, (0.3) а в [14] — аналогичная цепочка диффузионно связанных генераторов йj = a (uj+1 — 2Uj + Uj-1) + Uj — duj2uj, j = 1,2,., a G C, (0.4) где щ = i = Щ, Rea > 0. Было установлено, что в обоих случаях при достаточно большом числе звеньев в соответствующей системе может наблюдаться хаотическое поведение, обусловленное коллективным взаимодействием парциальных осцилляторов. Предположим теперь, что в цепочках (0,3), (0.4) или в какой-либо аналогичной цепочке каждое звено заменено генератором с распределенными параметрами вида (0.1), в итоге получаем систему, имеющую (при определенных дополнительных условиях) достаточно большое число сосуществующих аттракторов различной природы. Как будет показано ниже при рассмотрении конкретных примеров, для того, чтобы добиться требуемого эффекта, вовсе не обязательно брать цепочку из большого числа звеньев, как это обычно делается в случае сосредоточенных осцилляторов, или, как это было сделано в статье [15], в которой рассматривались цепочки диффузионно связанных обобщенных кубических уравнений Шредингера или нелинейных телеграфных уравнений. Достаточно ограничиться некоторым минимально допустимым их количеством. В работе [16] рассматривается система трех однонаправленно слабо связанных осцилляторов, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В данной работе в качестве парциальных осцилляторов были выбраны нелинейные уравнения гиперболического типа. Таким образом, исследовались системы из трех одно-направленно связанных волновых уравнений вида d2Uj дщ 2d2Uj. du*,. 1 л «+ Щ + еащ-1 = о + ^)' Э = 2'3' щ = с краевыми условиями Дирихле или Неймана.

Цель работы. Основной целью данной диссертационной работы является изучение динамических свойств нелинейных краевых задач (0.1) в различных постановках и с различными нелинейностями f (u, v), а также систем (0.5) связанных в кольцо осцилляторов такого типа, Особое внимание уделяется условиям возникновения явления буферности в этих задачах.

Методы исследования. Методом решения бифуркационных задач с бесконечномерным вырождением является метод квазинормальных форм, впервые предложенный в работе Ю. С. Колесова [3] для уравнений параболического типа с малой диффузией, а затем обоснованный и распространенный на уравнения гиперболического типа и на сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения с запаздыванием (A.B. Васильева [4], С. А. Кащенко [5−8], А. Ю. Колесов [9−11], А. Ю. Колесов и Н. Х. Розов [17−19]). Однако, этот метод не позволяет автоматически распространять свойства решений квазинормальной формы на решения исходной задачи и как следствие говорить о их соответствии друг другу. Для обоснования такого соответствия необходимо оценивать невязку асимптотического приближения решения, полученного на основе грубых устойчивых режимов нормализованной системы (см., например, работы [17−19], где соответствующий анализ проделывается).

Научная новизна работы. В диссертационной работе предложено решение нескольких бифуркационных задач для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. Найдены условия возникновения в этих задачах явления буферности. На защиту выносятся следующие положения:

1) Доказано существование и устойчивость двухмодового цикла телеграфного уравнения с малым параметром при квадратичной нелинейности при наличии внутреннего резонанса 1:2.

2) Исследована система трех нелинейных телеграфных уравнений с малой однонаправленной связью, получены условия существования и устойчивости циклов системыв рамках задачи продемонстрировано явление буферности.

3) Показано наличие буферности в системе трех однонаправленно связанных осцилляторов без квадратичной нелинейности.

4) Создан программный комплекс численного анализа динамических систем ТгасегЗ.

5) Обоснован метод динамической перенормировки определения старшего ляпуновско-го показателя для отображений.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Ее основные результаты могут быть использованы для анализа систем нелинейных волновых уравнений. Представленный в последней части работы программный продукт (ТгасегЗ) может найти и находит применение в качестве иллюстративного материала в учебном процессе и в качестве исследовательского инструмента при численном анализе инвариантных числовых характеристик динамических систем.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

1) XXVII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, Москва, 2005;

2) XXVIII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, Москва, 2006 (В рамках общеуниверситетской конференции молодых ученых «Ломоносов-2006».);

3) VIII Крымская международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения» (МФЛ-2006), Крым, Алушта, 2006.

Кроме того, результаты диссертации докладывались на ряде семинаров кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, а также обсуждались на семинаре «Моделирование и исследование нейронных сетей» кафедры компьютерных сетей Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 8 работ [20−27]: 5 статей и 3 тезисов докладов. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором.

Краткое содержание работы. Структурно диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 52 наименования. Диссертация содержит 13 рисунков и одно приложение, в котором приводится принципиальная часть разработанных автором вычислительных процедур, входящих в программный комплекс ТгасегЗ.

Заключение

.

В работе изучены некоторые общие свойства уединенных (глава 1) и связанных в кольцо (главы 2,3) осцилляторов, описываемых нелинейными уравнениями гиперболического типа.

Для нелинейного телеграфного уравнения с граничным условием Дирихле был рассмотрен критический случай резонанса 1:2, возникающего между пространственными модами краевой задачи. С привлечением метода квазинормальных форм, удалось доказать существование и устойчивость цикла, бифурцирующего на этих резонансных модах.

При объединении в систему нескольких нелинейных телеграфных уравнений естественно было ожидать существенного усложнения динамики. Была рассмотрена система из трех уравнений с нелинейностью общего вида и краевыми условиями Неймана, а также несколько более простая задача с кубической нелинейностью и условиями Дирихле. Для обеих задач удалось строго обосновать возникновение явления буферности. При этом сосуществующими аттракторами в этих задачах могут быть как циклы, так и торы.

Наконец, с помощью специализированного программного комплекса Tracer, описанного в главе 4, численно проанализированы квазинормальные формы, построенные во второй и третьей главах, и высказаны предположения о возможной хаотичности исходных краевых задач.