Разветвленные циклические накрытия линзовых пространств

В данной диссертационной работе исследуется класс замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий, которые являются разветвленными циклическими накрытиями линзовых пространств. Как известно, по теореме Александера [10], каждое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие разветвленно накрывает трехмерную сферу 53. Более того, Хилден [28] и Монтезинос [38], показали, что для каждого многообразия такое накрытие может быть выбрано трехлистным, но при этом, оно не обязательно будет регулярным.

Среди регулярных накрытий особое место занимают циклические накрытия, соответствующие действию циклической группы. Многообразия, представимые как циклические накрытия 5'3, разветвленные над узлами или зацеплениями являются объектами интенсивных исследований. В частности, актуальной является проблема определения для многообразия является ли оно разветвленным циклическим накрытием Б3 и описания соответствующего множества ветвления.

Наиболее изученным является случай, когда множеством ветвления является двухмостовый узел или двухмостовое зацепление. Примеры такого рода хорошо известны: додекаэдральное гиперболическое пространство Вебера — Зейферта [51], которое является 54 листным строго циклическим накрытием б" 3, разветвленным над 2-компонентным зацеплением Уайтхедамногообразия Фибоначчи [24], являющиеся циклическими накрытиями б" 3, разветвленными над узлом «восьмерка" — дробные многообразия Фибоначчи [1], являющиеся циклическими накрытиями 53, разветвленными над двухмостовыми (2к + т^) — узлами. Различные описания (в терминах фундаментальных многогранников, хирургий Дэна, разбиений Хегора, кристаллизации, двулистных разветвленных накрытий сферы) трехмерных многообразий, являющихся циклическими накрытиями, разветвленными над двухмостовыми узлами и зацеплениями, приведены в [40].

Интерес к получению различных описаний трехмерных многообразий с циклической симметрией был связан, в частности, с вопросом Данвуди из работы [19], где он построил семейство многообразий, диаграммы Хегора которых имеют циклическую симметрию. Это семейство замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий принято называть многообразиями Данвуди. Данвуди нашел представления их фундаментальных групп как групп с циклическим представлением в смысле [30]. Оказалось, что полиномы, ассоциированные с циклическими представлениями, совпадают с полиномами Александера некоторых узлов в б" 3. Вопрос Данвуди состоял в следующем: являются ли рассматриваемые многообразия циклическими накрытиями разветвленными над узлами с указанными полиномами Александера? Положительные ответы на вопрос Данвуди, для многих частных случаев, были получены в работах [1, 3, 15, 31, 32]. В общем случае результат оказался следующим [23]: многообразия Данвуди являются в точности циклическими разветвленными накрытиями (1,1)-узлов, т. е. узлов, допускающих 1-мостовое представление рода 1.

Другими словами, многообразия Данвуди — это циклические накрытия многообразий, допускающих разбиение Хегора рода один, разветвленные над 1-мостовыми узлами, лежащими в этих многообразиях. Напомним, что многообразия, допускающие разбиение Хегора рода один — это линзовые пространства Ь (р, включая 52 х Б1 — 1/(0,1) и53 = ?(1,0) (определение разбиения Хегора приведено в параграфе 1.1). Класс (1,1)-узлов содержит двухмостовые узлы и торические узлы в трехмерной сфере 53.

Существование и единственность циклических разветвленных накрытий (1,1)-узлов исследованы в [18]- там же приведен алгоритм вычисления фундаментальной группы накрытия. Основанный на этом алгоритме подход к построению полинома Александера для (1,1)-узлов реализован в [33]. Оценки сложности многообразий Данвуди получены в [13].

Нас будут интересовать трехмерные многообразия которые лежат в классе циклических накрытий (1, Ь)-зацеплений, 6².

Напомним определение (д, Ь)-узлов и зацеплений. Узел или зацепление Ь в трехмерном многообразии М3 называют (д, Ь)-узлом или ((¡-г, Ь)-зацеплением, если существует разбиение Хегора рода д вида:

МЬ) ^ (Нд, Аь) и (я-, 4),.

Ч> у где Нд' и Н’д — полные крендели рода д, М3 = Нд Ц, Н’д, Бд — Нд П Н’д — поверхность рода д, Аь = {а1,., аь} С Нд и А’ъ = а! ъ., а! ъ} С Н’д — множества собственно вложенных тривиальных дуг, а у: (дН'д, дА'ь) —(дНд, дАъ) — гомеоморфизм (см. рис. 0.1).

Напомним, что множество собственно вложенных дуг Аь = {аь ., аь} тривиально вложено в Нд, если существует множество попарно непересекающихся дисков {?>1,., Иь} в Нд таких, что аг-ГШг- — щ П дБг = щ и — щ С дН9, где г = 1,., Ь.

Рис. 0.1. (д, Ь)-узлы и зацепления.

Отметим, что (0,1)-узлы являются тривиальными узлами в трехмерной сфере, а (0, 2)-узлы и (0,2)-зацепления являются двухмосто-выми узлами и зацеплениями в трехмерной сфере (см. рис. 0.2).

Как видно из приведенных выше результатов, разветвленные циклические накрытия двухмостовых узлов и зацеплений, а также, (1,1)-узлов (см. рис. 0.3) изучены достаточно подробно. Намного сложнее обстоит дело с разветвленными циклическими накрытиями (1,2)-зацеплений (см. рис. 0.4). Циклические накрытия линзовых проь.

Рис. 0.2. (0,1) и (0, 2)-узлы и зацепления.

Рис. 0.3. (1,1)-узлы. странств, разветвленные над зацеплениями с двумя и более компонентами, изучены недостаточно: известны лишь отдельные примеры двулистных накрытий. Например, в [36] развит метод построения 2-листных разветвленных накрытий пространств Ь (р: </), при которых фундаментальные группы возникающих многообразий являются подгруппами конечного индекса в группах Коксетера.

Рис. 0.4. (1,2)-узлы и зацепления.

В диссертации исследуется класс замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий, являющихся п-листными циклическими накрытиями линзовых пространств. При этом, накрытия разветвлены над двухкомпонентными зацеплениями.

Известно, что любое замкнутое трехмерное многообразие может быть представлено как результат попарного отождествления граней многогранника. Приведем три наиболее известных примера такого рода: гомологическая сфера Пуанкаре как результат отождествления граней сферического 27г/3-додекаэдрагиперболическое пространство Вебера — Зейферта как результат отождествления граней гиперболического 27г/5-додекаэдралинзовое пространство, склеиваемое из би-пирамиды.

Многогранник Р будем называть фундаментальным для трехмерного многообразия М, если М может быть получено как результат попарного отождествления граней Р. Ниже мы будем использовать описания многообразий через их фундаментальные многогранники. Определяя попарные отождествления граней многогранников, мы построим бесконечное семейство замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий Мп (р, д), где п ^ 1, р ^ 3, 0 < д < р и (р, д) = 1. Будет доказано, что многообразие Мп (р, д) является п-листным циклическим накрытием линзового пространства Ь (р, д), разветвленным над двухкомпонентным зацеплением.

Основными целями диссертации являются создание и реализация универсального метода построения фундаментальных многогранников для многообразий, которые разветвленно циклически накрывают линзовые пространства, и изучение свойств таких многообразий.

Перейдем к изложению содержания работы и точным формулировкам основных результатов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дан краткий обзор результатов по геометрии и топологии трехмерных многообразий, относящихся к тематике диссертации. Сформулированы цели работы и кратко изложено ее содержание.

Первая глава посвящена построению многообразий из правильных многогранников. Приводится полный список Эверита [20] замкнутых ориентируемых трехмерных сферических, евклидовых и гиперболических многообразий, фундаментальные многогранники которых являются правильными многогранниками в соответствующих геометриях. В качестве примера рассматривается гиперболическое додека-эдральное пространство Вебера — Зейферта, построенное в 1933 г. Далее строятся два гиперболических икосаэдральных многообразия М24 и М25 из [20] и изучаются свойства этих многообразий.

Глава имеет следующую структуру.

Параграф 1.1 носит вводный характер, он содержит основные определения и понятия, используемые в дальнейшем.

В параграфе 1.2 излагаются основные результаты о построении многообразий из правильных многогранников и подробно рассматривается гиперболическое додекаэдральное пространство Вебера — Зейферта.

В параграфах 1.3 и 1.4 строятся два трехмерных икосаэдральных гиперболических многообразия М24 и М25 из [20]. Топологические свойства многообразия М24 изучались Кавиккиоли, Спаджари и ТелI лони: в работе [16] была сформулирована, а в работе [17] — доказана следующая теорема.

Теорема 1.4. Многообразие М24 = Мз (3,1) является трехлистным циклическим накрытием линзового пространства 1/(3,1), разветвленным над двухкомпонентным зацеплением.

Мы приводим новое доказательство этой теоремы, полученное при помощи последовательности движений Зингера (см. [42, 49]), приводящей к канонической диаграмме Хегора линзового пространства. Это доказательство допускает обобщение и позволяет установить топологические свойства более широкого класса многообразий, что и будет проделано в следующих главах.

Напомним, что согласно [42] под движениями Зингера понимают: изотопию, замену системы меридианов с помощью связной суммы, стабилизацию и дестабилизацию (см. подробнее [6]).

Аналогичным топологическим свойством обладает многообразие м25.

Теорема 1.7. Многообразие М25 = -Мз (3,1) является трехлистным циклическим накрытием линзового пространства Ь{3,1), разветвленным над двухкомпонентным зацеплением.

Во второй главе строятся два бесконечных семейства замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий: Мп{3,1) и Мп (3,1). Они определены через фундаментальные многогранники, обобщающие конструкции многообразий М24 и М25, соответственно. Устанавливаются топологические свойства построенных многообразий.

Параграф 2.1 посвящен семейству многообразий Мп (3,1), п ^ 3, где Мз (3,1) = М24. Изучены свойства многообразий из этого семейства и доказана следующая теорема, обобщающая теорему 1.4.

Теорема 2.3. Многообразие Мп (3,1), п ^ 3 является п-лист-ным циклическим накрытием линзового пространства 1/(3,1), разветвленным над 2-компонентным зацеплением.

Аналогичная теорема для многообразий Мп{?>, 1), п ^ 3, где Мз (3,1) = М25, доказана в параграфе 2.4.

Теорема 2.8. (1) Для любого нечетного п ^ 3 многообразие Мп{3,1) является п-листным циклическим накрытием линзового пространства Ь (3,1), разветвленным над 2-компонентным зацеплением.

2) Для любого четного п ^ 4 многообразие Мп{3,1) является п/2-листным циклическим накрытием линзового пространства 1/(3,1), разветвленным над 3-компонентным зацеплением.

В параграфах 2.2 и 2.4 даны явные описания многообразий рассматриваемых семейств при п = 2.

Теорема 2.4. Многообразие М2(3,1) является многообразием Зейферта с параметрами (52- (3,1), (3,2), (3, 2), (1, —1)).

Теорема 2.7. Многообразие Мг (3,1) является линзовым пространством Ь{ 3,1).

В заключении главы найдены геометрические и топологические инварианты для многообразий Мп (3,1) и Мп (3,1) при малых значениях п = 3,4, 5, 6.

В главе 3 диссертации реализуется новый метод построения трехмерных многообразий, с заданными накрывающими свойствами, через их фундаментальные многогранники. Этот метод можно было бы назвать «методом вспомогательных вершин». С его помощью строится двупараметрическое семейство замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий Мп (р, где п ^ 1, р ^ 3, 0 < д < р, (р, д) = 1, которые являются разветвленными циклическими накрытиями линзовых пространств.

В параграфе 3.1 конструкция многообразий Мп (3,1) обобщается до конструкции многообразий Мп (р, 1) (п ^ 1 и р ^ 3), добавлением «вспомогательных» вершин. При этом, имеет место обобщение соответствующих топологических свойств.

Трехмерные многообразия Мп (р, д), обобщающие многообразия Мп (р, 1), строятся в параграфе 3.2. Следующая теорема показывает, что топологические свойства многообразий Мп (р, д) естественным образом обобщают топологические свойства многообразия Мз (3,1), которое, напомним, является гиперболическим икосаэдральным многообразием М24 из [20].

Теорема 3.5. Многообразие Мп (р, д) (п ^ 1, р ^ 3, 0 < <7 < р, {р, д) = 1) является п-листным циклическим накрытием линзового пространства Ь (р, q), разветвленным над двухкомпонентным зацеплением.

Отметим, что результат получен для всех линзовых пространств Ь (р, .

В параграфе 3.3 подробно обсуждается типичный частный случай — многообразия Мз (5,д), где q — 1,2,3,4. Для этих многообразий вычислены гиперболические объемы, фундаментальные группы и группы гомологий.

Краткий перечень результатов.

Основными результатами настоящей работы являются следующие:

1. разработан универсальный метод построения фундаментальных многогранников для многообразий, п-листно разветвленно циклически накрывающих линзовые пространства Ь (р, д) — метод реализован для всех возможных значений параметров п, р ид;

2. установлено, что результаты Кавиккиоли, Спаджари и Теллони [17] о свойствах многообразий М2ь{ть) = Мп{3,1) для четного п неверны. Ошибки авторов исправлены и дано полное описание свойств многообразий в этом случае;

3. для построенных в диссертации бесконечных семейств многообразий, в случае малых значений параметра п, найдены гиперболические объемы и группы гомологий.

Результаты диссертации докладывались на международных и российских конференциях: на ХЬУШ и ХЫХ Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс», НГУ (Новосибирск) 2010 и 2011 гг., на Школе-конференции по геометрии и анализу, Телецкое озеро (Горный Алтай) 2009 г., на российской конференции «Топоноговские чтения», Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, (Новосибирск) март 2010 г., на Международной школе-конференции «Геометрия и анализ на многообразиях» Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, (Новосибирск) июнь 2010 г., на семинаре «Дифференциальной геометрии и приложений» в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова под руководством академика РАН А. Т. Фоменко, в рамках Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2011» (Москва) апрель 2011, на 41-й Всероссийской Молодежной школе-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург) февраль 2010 г., на Международной школе-конференции по геометрии и анализу (Кемерово) июнь 2011 г.

Результаты диссертации обсуждались на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка, на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН И. А Тайманова, на семинаре «Инварианты трехмерных многообразий» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством чл.-корр. РАН А. Ю. Веснина и на семинаре «Теория карт на римановых поверхностях» ИМ СО РАН под руководством профессора А. Д. Медных.

За результаты, вошедшие в диссертационную работу, автору были присуждены стипендия имени Л. В. Сабинина (2009;2010 гг.) и грамота за лучший доклад на XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (МГУ им. Ломоносова 2011 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [52, 53] в журналах из списка ВАК и в тезисах докладов конференций [54]-[63]. Результаты работы [53] получены авторами совместно, при равном вкладе, и являются неделимыми.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава диссертации разбита на параграфы. Нумерация тео.

1. Веснин А. Ю., Ким А. Ч. Дробные группы Фибоначчи и многообразия // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39, № 4. С. 765−775.

2. Веснин А. Ю., Матвеев C.B., Петронио К. Двусторонние оценки сложности многообразий Лёбелля. Доклады РАН. 2007. Т. 416, № 3. С. 295−297.

3. Грасселли Л., Мулаццани М. Многообразия Зейферта и (1,1)-узлы // Сиб. матем. журн. 2009. Т. 50, № 1. С. 28−39.

4. Зейферт Г., Трелъфаллъ В. Топология. Ижевск. 2001. 448 с.

5. Масси У., Столлингс Дою. Алгебраическая топология.

Введение

М.: Мир. 1977. 205 с.

6. Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. М.: Наука. 1998. 304 с.

7. Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. М.: МЦНМО. 1997. 351 с.

8. Прасолов В. В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М.: МЦНМО. 2004. 352 с.

9. Савельев Н. П. Лекции по топологии трехмерных многообразий.

Введение

в инвариант Кассона. П. П. Савельев.- М.: МЦИМО. 2004. 216 с.

10. Alexander J. W. Note on Riemann spaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1920. V. 26. P. 370−372.

11. Best L.A. On torsion-free discrete subgroups of PSL (2,C) with compact orbit space // Can. J. Math. 1971. V. 23. № 3. P. 451−460.

12. Barbieri E., Cavicchioli A., Spaggiari F. Some series of honey-comb spaces // Rocky Mountain J. Math. 2009. V. 39. № 2. P. 381−398.

13. Cattabriga A., Mulazzani M., Vesnin A. Complexity, Heegaard diagrams and generalized Dunwoody manifolds //J. Korean Math. Soc. 2010. V. 47. № 3. P. 585−599.

14. Casson A., Jungreis D. Convergence groups and Seifert fibered 3-manifolds // Invent, math. 1994. V. 118. P. 441−456.

15. Cavicchioli A., Ruini В., Spaggiari F. On a conjecture of M. J. Dunwoody // Algebra Colloquium. 2001. V. 8. № 2. P. 169−218.

16. Cavicchioli A., Spaggiari F., Telloni A. Topology of compact space forms from Platonic solids. I // Topology Appl. 2009. V. 156. P. 812−822.

17. Cavicchioli A., Spaggiari F., Telloni A. Topology of compact space forms from Platonic solids. II // Topology Appl. 2010. V. 157. P. 921 931.

18. Cristofori PMulazzani M., Vesnin A. Strongly-cyclic branched coverings of knots via (g,^-decompositions // Acta Math. Hungarica. 2007. V. 116. № 1−2. P. 163−176.

19. Dunwoody M. J. Cyclic presentations and 3-manifolds // In: Proc. Inter. Conf., Groups-Korea '94, Walter de Gruyter, Berlin-New York 1995, P. 47−55.

20. Everitt B. 3-manifolds from compact space forms from Platonic solids // Topology Appl. 2004. V. 138. P. 253−263.

21. Gabai D. Convergence groups are Fuchsian groups // Ann. of Math. 1992. V. 136. № 2. P. 447−510.

22. GAP Groups, Algorithms, Programming a System for Computational Discrete Algebra, available at http://www.gap-system.org.

23. Grasselli L., Mulazzani M. Genus one 1-bridge knots and Dunwoody manifolds // Forum Mathematicum. 2001. V. 13. № 3. P. 379−397.

24. Helling H., Kim A., Mennicke J. A geometric study of Fibonacci groups //J. Lie Theory. 1998. V. 8. № 4. P. 1−23.

25. Helling H., Kim A., Mennicke J. Some honey-combs in hyperbolic 3-space // Comm. Algebra 1995. V. 23. P. 5169−5206.

26. Hempel J. 3-manifolds. Annals of Math. Studies // Princeton University Press. Princeton. N. J. V. 86. 1976.

27. Hilden H. Every closed orientable 3-manifold is a 3-fold branched covering space of S3 // Bull. Amer. Soc. 1974. V. 80. P. 1243−1244.

28. Hodgson C. Degeneration and regeneration of geometric structures on three-manifolds // Ph.D.Thesis. — Princeton: Princeton University Press. 1986.

29. Johnson D. Topics in the theory of group presentations // London Math. Soc. Lect. Note Ser. 1980. V. 42. Cambridge Univ. Press.

30. Kim G., Kim Y., Vesnin A. The knot 52 and cyclically presented groups //J. Korean Math. Soc. 1998. V. 35. № 4. P. 961−980.

31. Kim A., Kim Y., Vesnin A. On a class of cyclically presented groups // «Groups-Korea 1998», Proceedings of the International Conference held in Pusan, Korea, August 10−16, 1998, Berlin New-York, de Gruyter 2000. P. 211−220.

32. Koda Y. Strongly-cyclic branched coverings and the Alexander polynomial of knots in rational homology spheres // Math. Proc. of the Cambridge Philos. Soc. 2007. V. 142. P. 259−268.

33. Lorimer P. Four dodecahedral spaces. Pacific J. Math. 1992. V. 156. № 2. P. 329−335.

34. Lobell F. Beispiele geschlossene dreidimensionaler Clifford — Kleinischer Raume negative Krummung // Ber. Verh. Sachs. Akad. Lpz., Math.-Phys. Kl. 1931. V. 83. P. 168−174.

35. Mednykh A., Vesnin A. Coxeter groups and branched coverings of lens spaces // J. Korean Math. Soc. 2001. V. 38. № 6. P. 1167−1178.

36. Montesinos M. Classical Tessellations and Three-Manifolds // Universitext. Springer-Verlag. Berlin. 1987.

37. Montesinos M. A representation of closed, orientable 3-manifolds as 3-fold branched coverings of S3 // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. V. 80. P. 845−846.

38. Mulazzani M. Cyclic presentation of groups and cyclic branched covering of (1, l)-knots // Bull. Korean Math. Soc. 2003. V. 40. № 1. P. 101−108.

39. Mulazzani M., Vesnin A. The many faces of cyclic branched coverings of 2-bridge knots and links // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. Supplement al Vol. IL 2001. P. 177−215.

40. Mulazzani M., Vesnin A. Generalized Takahashi manifolds // Osaka Math. J. 2002. V. 39. № 3. P. 705−721.

41. Ozsvath, P., Szabo, Z. Heegaard diagrams and holomorphic disks // International Mathematical Series. 2004. V. 3. P. 301−348.

42. Orlik P. Seifert manifolds // Lecture Notes in Mathematics 291. Springer-Verlag. Berlin-New York. 1972.

43. Prok I. Classification of dodecahedral space form // Baitrage Algebra Geom, 1998. V. 39. № 2. P. 497−515.

44. Prok I. Fundamental tilings with marked cubes in spaces of constant curvature // Acta Math. Hungar. 1996. V. 71. № 1−2. P. 1−14.

45. Three-manifold Recognizer, the computer program developed by members of the topology group of Chelyabinsk State University.

46. Richardson J. S., Rubinstein J. H. Hyperbolic manifolds from regular polyhedra. Preprint. 1982.

47. Scott P. There are no fake Seifert fibre spaces with infinite tt // Ann. of Math. 1983. V. 117. № 2. P. 35−70.

48. Singer J. Three-dimensional manifolds and their Heegaard diagrams // Trans. Amer. Math. Soc. 1933. V. 35. № 1. P. 88−111.

49. Thurston W. Three-dimentional Geometry and Topology // Princeton: Princeton University Press, 1997.

50. Weber C., Seifert H. Die Beiden Dodekaederaume // Math. Z. 1933. V. 37. P. 237−253.Работы автора по теме диссертации.

51. Козловская Т. А. Об обобщении многообразия Эверита // Матем. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 2. С. 69−74.

52. Веснин А. Ю., Козловская Т. А. Разветвленные циклические накрытия линзовых пространств // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52, № 3. С. 542−554.

53. Козловская Т. А. Трехмерные многообразия, разветвленно накрывающие линзовое пространство Ь (3,1) // Материалы ХЬУШ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск: Изд-во НГУ, 2010. С. 72.

54. Козловская Т. А. О циклических накрытиях линзовых пространств Ь (р, 1) // Материалы ХЫХ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск: Изд-во НГУ, 2011. 1 с.

55. Козловкая Т. А. Трехмерные многообразия, разветвленно накрывающие линзовые пространства Ь{р, 1) // Материалы школыtконференции по геометрии и анализу. Горный Алтай, 2009. http://fmf.gasu.ru/kafedra/geomap/ru. С. 20.

56. Козловкая Т. А. Разветвленные циклические накрытия линзовых пространств // Материалы российской конференции Топоногов-ские чтения. Новосибирск, 2010. http://math.nsc.ru/conference/ Geomap2010/Abstracts/kozlovskaya.pdf. 4 с.

57. Козловкая Т. A. Branched cyclic coverings of the lens space // Материалы Международной школы-конференции «Геометрия и анализ на многообразиях» Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН. Новосибирск, 2010. С. 20.

58. Козловская Т. А. О циклических накрытиях линзовых пространств // Материалы Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010». Москва, 2010. С. 13.

59. Козловская Т. А. Трехмерные многообразия разветвленно накрывающие линзовые пространства L (p, q) // Материалы Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2011». Москва, 2011. 1 с.

60. Козловская Т. А. Обобщение многообразия Эверита // Тезисы Международная школы-конференции по геометрии и анализу. Кемерово, 2011. 4 с.

61. Козловская Т. А. Трехмерные многообразия, разветвленно накрывающие линзовое пространство L (p, 1) // Тезисы4 Международной конференции «Метрическая геометрия поверхностей и многогранников», посвященной 100-летию Н. В. Ефимова. Москва, 2010. С. 33.