Модели сильного взаимодействия элементарных частиц, основанные на глобальной и калибровочной симметриях

Построение законченной теории сильных взаимодействий — одна из центральных задач физики элементарных частиц. В течение последних лет сложилось убеждение, что эти взаимодействия правильно описываются квантовой хромодинамикой, т. е. калибровочной теорией со структурной группой $]/ (з) (так называемой «цветной» группой). Такое убеждение покоится в основном на сравнении теории с опытом в области жестких процессов рассеяния, протекающих при больших энергиях и переданных импульсах. Благодаря ультрафиолетовой асимптотической свободе, присущей квантовой хромоди-намике, эффективная сила взаимодействия в этой области мала, вследствии чего применима стандартная теория возмущений.

Иначе обстоит дело с такими задачами, как расчет масс адро-нов и описание мягких процессов рассеяния. В этом случае. константа связи, входящая в уравнения хромодинамики, велика, и обычная теория возмущений не может быть использована. В настоящее время в рамках хромодинамики не существует достаточно эффективных методов расчета характеристик мягких процессов. Отдельные количественные результаты, полученные в этой области, основываются на замене непрерывного пространства-времени решеткой, а калибровочных потенциалов — S V~ матрицами.(Обзор таких методов содержится, например, в работах [i, 25]). Однако рещеточное приближение не достигло точности, необходимой для однозначного сравнения теории с опытом²⁶ J. Дальнейшее увеличение точности ограничивается быстро растущим объемом вычислений. Громоздкость вычислений сильно затрудняет широкое применение этого метода. Кроме того, нет уверенности, что решеточное приближение хорошо апроксимирует непрерывную хромодинамику. Поэтому для сравнения нужны другие методы расчета.

В то же время, имеется очень много экспериментального материала, полученного при изучении мягких процессов рассеяния. Поскольку непосредственное применение хромодинакшки в данной области связано с большими трудностями, для систематизации и объяснения этого материала широко используется ряд феноменологических и полуфеноменологических моделей. Сюда относится, в частности, нерелятивистская модель кварков и дуальная модель рассеяния адронов. Последняя строится в соответствии с общими принципами релятивистской инвариантности, микропричинности и вытекающей из нее аналитичности. Это одна из наиболее последовательных моделей такого рода.

Обе упомянутые модели возникли раньше хромодинамики. Но они не потеряли своего значения. Задача состоит в том, чтобы обосновать эти модели с помощью хромодинамики как некоторое приближение и применять их и дальше. Представляется наиболее вероятным, что окончательное объяснение спектра адронных масс и закономерностей мягких процессов будет достигнуто благодаря сочетанию хромодинамики с приближенными моделями подобного рода. Общей чертой всех таких моделей является выход за ражи стандартной теории возмущений и широкое использование симметрий, как глобальных, так и калибровочных. Чтобы прийти к решению вопроса, нужно исследовать различные модели сильного взаимодействия, обладающие этими свойствами.

Настоящая диссертация посвящена изучению ряда моделей с ильного взаимодействия. Она содержит материал, опубликованный за период с 1969 по 1982 гг. В рассмотренных моделях максимально используются свойства симметрии. В то же время, обычная теория возмущений не применяется. В главе I исследуются дуальные амплитуды рассеяния адронов. Глава П посвящена модели, которая возникла первоначально в процессе релятивистского обобщения нерелятивистской (&J — симметрии, а затем приобрела самостоятельный интерес. В главе Ш на примере калибровочного $Ц~(2J — поля изучаются задачи хромодинамики. Преследуется цель найти способ расчета, применимый в области мягких процессов, но отличный от известного решеточного приближения. Все эти три подхода дополняют друг друга и позволяют с разных сторон подойти к описанию сильного взаимодействия. Далее содержание отдельных глав излагается более подробно.

В первой главе рассматриваются дуальные модели амплитуды рассеяния адронов в приближении бесконечно узких резонансов. Материал этой главы опубликован в работах ?27, 2, 28, 3J. Представление о дуальности появилось в конце шестидесятых годов ?29j, когда полевой теории сильных взаимодействий не существовало и предпринимались попытки построить амплитуду рассеяния, исходя из общих принципов причинности, унитарности и релятивистской инвариантности. Впервые явное выражение для дуальной амплитуды написал Венециано ?30j. Вскоре эту амплитуду удалось представить в виде интеграла по единичной окружности на комплексной плоскости [ 31, 32], а также построить операторный формализы, порождающий такие амплитуды? 33, 34, 35J. Выяснилось, что модель Венециано инвариантна относительно автоморфизмов единичного круга, образующих группу (i. d.)' Оказалось, что такую модель можно сравнительно легко обобщить. Для этого нужно видоизменить «вершины», фигурирующие в формализме, включив в них новые операторы. Последние должны принадлежать пространству какого-либо представления группы Достаточно общий вид модифицированной амплитуды указали Клавелли и Рамон [ 36^J .

Возникла проблема классификации дуальных амплитуд вида. предложенного Клавелли и Рамоном. Чтобы провести эту классификацию, нужно было сначала отобрать представления группы S U (^-/i) * к которым могут относиться исходные операторы, фигурирующие в теории. Решение этой задачи описано в § I главы I. Рассмотрены два случая, что обусловлено следующим обстоятельством. Теория Венециано содержит, как известно, нефизические состояния, которым присущи отрицательные вероятности («духи»). Теперь стррго установлено [з7, 38], что «духи» отсутствуют, если модель имеет дополнительную симметрию, введенную Вирасоро [39]. В § I главы I отобраны все подходящие представления группы? JJ (dji) как для случая, когда симметрия Вирасоро отсутствует, так и для случая, когда она имее/гся. При наличии такой симметрии пространства выбранных представлений группы, 5^являются, конечно, также пространствами представлений алгебры Вирасоро. Задача решена в рамках простейших допущений, которые позволяют строить ^^-представления в операторном формализме по аналогии с теорией свободного квантового поля. Отобранные представления перечислены в пункте Г параграфа I главы I. К тем же выводам в отношении моделей, имеющих симметрию Вирасоро, пришли независимо Жерве и CaKHTa^4oj| при более сильных ограничениях. Описанные результаты широко использовались впоследствии.

Рассмотрение, проведенное в § I главы I, породило жесткие ограничения на способы построения дуальных амплитуд без нефизических особенностей. Оставшаяся свобода недостаточна для описания реального-рассеяния элементарных частиц. Поэтому нужны были дальнейшие обобщения. Возможное обобщение описано в § 2 главы I. Здесь принято во внимание, что некомпактные варианты всех классических групп Ли могут быть реализованы автоморфизмами специальных областей в пространствах многих комплексных переменных (так называемых классических областей) ?4, 5J. Это аналогично реализации группы $]J (JLt ij автоморфизмами единичного кру$ га на комплексной плоскости. Применяя такую аналогию, удалось получить интегральные представления обобщенных амплитуд, в которых единичный круг заменен классической областью большего числа измерений. Выяснилось, что только группы симметрии Sl/^j^J приводят к результатам, представляющим интерес. Другие группы порождают амплитуды с трудно обозримыми нефизическими особенностями.

В § 2 главы I написано представление для амплитуды, обладающей SlffdjftJсимметрией с любым значением /7. Для простейшего случая группы SV (i 2) построен операторный формализм, подтверждающий, что вычеты в полюсах амплитуды факторизуются. Последнее необходимо для истолкования этих вычетов в терминах частиц. Главная траектория Редже Sl/fajh)~ амплитуды имеет при интерсепт" ' 2. П • Отсюда видно, что предпринятое обобщение не улучшило «физических» свойств дуальных амплитуд. Тем не менее, эти амплитуды могут служить материалом для построения более совершенных моделей, подобно тому как амплитуда ВенецианоВирасоро послужила основой для известной модели Невью — Шварца? 41 ] .Кроме того, содержание параграфа 2 главы I может быть интересно в двух отношениях. Во-первых, SU-амплитуды, повидимому, связаны с движением ?2 ^ ^ J-мерных тел подобно тому, как обычная дуальная амплитуда связана с движением струны. В частности при /7 = 2 тело оказывается трехмерным .Во-вторых, построенные амплитуды, возможно, имеют отношение к теории многомерных вполне интегрируемых систем так же, как модель Венециано имеет отношение к двумерным системам такого рода.

Во второй главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с искривлением и компактификацией пространства-времени, имеющего дополнительные измерения. Описанное там построение проведено с целью обобщения Slf (б) -симметрии, присущей нерелятивистской теории кварков в случае, когда группа «оттенков» есть SV&J' это построение имеет самостоятельный интерес, и полученные результаты могут найти применение в современных моделях, основанных на компактификации пространства. Материал главы П опубликован в работах £б, 7J .

Нерелятивистская ^-симметрия? 42 J возникла в резуль тате расширения прямого произведения группы трехмерных вращений Sirfej1* ГРУППЫ «оттенков». Новожилов и Терентьев установили ?43J, что релятивистским обобщением группы SVfc) служит группа JSL (бС-)^ SL Тзб4 ' содержащая 36 сдвигов.

Эта группа допускает реализацию движениями Зб-мерного пространства, в которое вложено четырехмерное пространство время.

Ясно, что JT$ jj (fiCJ — симметрия могла бы существовать только в нарушенном виде. Нарушить ее. можно путем искривления Зб-мерного пространства и его компактификации по 32 измерениям. В главе П изучается более общий случай нарушенной $(h С^фТ^ё" симметрии при любом /7. С самого начала глобальная SLt Tftlинвариантность заменяется локальной калибровочной) (ftC) -инвариантностью подобно тому, как при переходе от псевдоэвклидова пространства к риманову пространству эйнштейновской теории гравитации симметрия относительно группы Пуанкаре заменяется локальной £fee)-симметрией. Предполагается подчинить локальные характеристики пространства уравнениям типа гравитационных уравнений Эйнштейна и искать решения, описывающие компактифицированную модель. Чтобы это осуществить, нужно, прежде всего построить тензорный анализ в пространстве, наделенном локальной Jj5^ fa СJсимметрией, причем удобно использовать аналогию с реперным формализмом теории гравитации. Почти вся глава П посвящена решению этой задачи.

В § I главы П рассматривается касательное расслоение над /72—мерным многообразием. Каждый слой считается пространством вещественного представления локальной группы SL (hC).

Во всякой точке вводится репер, векторы которого образуют базис слоя. Компоненты этих векторов, именуемые далеереперными параметрами, выбираются в качестве исходных переменных. В таком пространстве развивается тензорный анализ. Из реперных параметров и их первых производных строятся коэффициенты аффинной связности. Вводится понятие ковариантной производной. Выясняется, что коэффициенты связности у^при П^Qj несимметричны по нижним индексам, вследствие чего существует тензор кручения. Находится явное выражение для этого тензора, а также для тензора кривизны через реперные параметры, их первые и вторые производные. Доказывается, что из этих производных нельзя образовать никаких других независимых тензоров.

Главное отличие групп SL fa cj при /7от группы SL (Я ^/состоит Б том, что при/?>2 фундаментальное /7 -мер ное представление не эквивалентно контраградиентному представлению, Вследствие этого при /7² из реперных параметров, о которых говорилось только что, нельзя образовать тензора второго ранга, аналогичного обычному метрическому тензору, что затрудняет построение вариационного принципа для аналога гравитационных уравнений. Чтобы исправить положение вещей, оставаясь в рамках геометрической модели, можно удвоить число измерений базисного многообразия и, следовательно, касательного пространства (слоя). После этого слой следует рассматривать как прямую сумму пространства (t7 t}^) — представления группы SL (ftCjn пространства контраградиентного представления (ft Число реперных параметров удваивается, и из них можно образовать метрический тензор. Параграф 2 главы П посвящен построению тензорного анализа в та-ком²/7^ -мерном пространстве. Применительно к этому пространству здесь повторяется рассмотрение, проведенное ранее для /7^-мер-ного случая.

Сравнительно скоро после введения в теорию рассмотренной выше SIf (б) -симметрии вьиснилось, что она на является фундаментальной, а отражает лишь свойства кварков в нерелятивистском приближении. Поэтому в свое время автор не применил разработанный тензорный анализ для построения конкретных моделей элементарных частиц. Но сейчас конструкции, описанные в главе П, снова приобрели актуальность в связи с исследованиями по большому объединению элементарных частиц. Тензорный анализ в пространствах, наделенных локальной? I, (ft С-J — симметрией, может быть полезен при построении моделей, которые соединяют пространственную и внутреннюю симметрию способами, не имеющими отношения к нерелятрь вистской группе В § 3 главы П обсуждаются вопросы, связанные с конструированием моделей при помощи описанного тензорного анализа. В частности, рассматривается возможность обобщения разработанного формализма на случай суперпространства с локальной суперсимметрией.

Глава Ш диссертации посвящена проблемам калибровочной теории поля и ее применению к описанию сильных взаимодействий. В параграфе I рассматривается ряд классических решений уравнений поля. Выясняется, что в теориях со спонтанным нарушением калибровочной инвариантности могут существовать «конечные струны», энергетически устойчивые относительно поперечных разрывов, а также связанные состояния первично квантованных’фермионов с классическим монополем «т Хоофта — Полякова 8*^ (при условии, что фер мионы непосредственно взаимодействуют с полем Хиггса). Первоначально предполагалось, что такие конечные струны с монополями на концах способны служить протатипами адронов. Но затем выяснилось, что это не так, поскольку в рамках хромодинамики подобных решений нет. Тем не менее, такого рода решения существуют в ряде моделей большого объединения элементарных частиц и поэтому представляют интерес для космологии.

Кроме того, в § I рассмотрено так называемое меронное решение, существующее в эвклидовой теории калибровочного поля. Показано, что оно, вообще говоря, неустойчиво и не может служить основой для квазиклассического приближения. Изучено также плоскопараллельное классическое поле Янга — Миллса в эвклидовом пространстве. Для такой задачи выделены явно все известные интегралы движения, рассмотрен процесс проникновения этого поля в полупространство через гиперплоскость. Таким путем удалось выяснить ряд общих свойств классического эвклидова калибровочного поля.

Материал параграфа I главы Ш опубликован в работах [ 9, 10, II, 12] .

Параграфы 2 и 3 главы Ш посвящены непосредственно проблемам квантовой хромодинамики. Но эти проблемы изучаются на примере простейшего калибровочного поля со структурной группой? 1/(2) • Обобщение на Усимметрию не связано с принципиальными изменениями.

В рамках хромодинамики особенно трудными оказываются расчет адронных масс и описание мягких процессов. Как уже отмечалось, расчеты этого рода, проведенные до сих пор, используют калибро-вочно-инвариантную регуляризацию, основанную на замене непрерывного пространства — времени решеткой. Применяются четырехмерные [45], трехмерные [4б]и даже двумерные? 47^решетки. (В последних двух случаях одно или два измерения остаются непрерывными). Несмотря на важность полученных таким путем результатов, обзор которых приведен в работах 25], проблема все еще далека от окончательного решения. Во-первых, точность подобных расчетов согласно теоретическим оценкам не превышает 10−20% и недостаточна для однозначного сравнения теории с опытом в этой области энергий Во-вторых, нет уверенности, что решеточная апроксимация при использованных параметрах регуляризации правильно отражает свойства исходной хромодинамики, сформулированной в непрерывном пространстве. При таком положении вещей нужно, с одной стороны, искать другие методы расчета, требующие минимального отклонения от исходной теории, а, с другой стороны, пытаться обосновать решеточное приближение. Эти задачи побудили провести рассмотрение, описанное в параграфах 2 и 3 главы Ш.

Неабелева калибровочная теория в непрерывном пространствевремени обычно формулируется с помощью континуального интеграла при определенном выборе дополнительных условий. С точки зрения релятивистской инвариантности наиболее удобны дополнительные условия Лоренца. (Если эти условия накладываются с помощью дельта-функции, вносимой под знак континуального интеграла, то говорят о калибровке Ландау). Однако при использовании таких дополнительных условий вне рамок теории возмущений возникает существенное осложнение, обнаруженное Грибовым [ 13 ]. (При построении теории возмущений это осложнение несущественно). Оказывается, что, применяя калибровку Ландау, нужно соответствующим образом ограничивать область континуального интегрирования, чтобы избежать многократного учета одних и тех же орбит калибровочной группы. Грибов отметил, что это ограничение подавляет вклад низкочастотной части поля и может служить причиной отсутствия безмассовых физических частиц в хромодинамике. В этом отношении ограничение области-интегрирования является благоприятным обстоятельством. Но выделить и учесть при интегрировании нужную часть функционального пространства очень трудно. Параграф 2 главы Ш посвящен изучению этой проблемы с помощью вариационного принципа, из которого следует дополнительное условие Лоренца.

Возможность получить условие Лоренца из вариационного принципа отмечена, например, в статье «но, по-видимому, была известна раньше. Применение этого принципа к указанной выше задаче рассмотрено в совместной работе автора и Семенова-Тян-Шан-ского?, где опубликована основная часть материала, изложенного в § 2 главы Ш. В этом параграфе в абстрактных терминах описана правильная область континуального интегрирования в калиб ровке Ландау. Установлены свойства симметрии данной области. Получены явные оценки пределов, между которыми заключена граница области интегрирования. Эти оценки показывают, что вклад низкочастотной части поля сильно подавлен. Поскольку высокочастотный вклад также подавлен из-за асимптотической свободы хромодинамики? 49,50 ], то в формировании спектра масс адронов активно участвует только ограниченная полоса частот (во всяком случае, в калибровке Ландау). В этом состоит основной качественный результат проведенного рассмотрения.

К аналогичному заключению о подавлении низких частот в не-абелевой калибровочной теории пришел Фейнман ?51 J, используя иные соображения. Между этими соображениями и вариационным принципом для условия Лоренца можно проследить связь. Описанные результаты находятся также в соответствии с расчетами, проведенными в рамках решеточной апроксимации .Эти расчеты дают приемлемые значения характеристик адронов, будучи выполнены на ко 7 нечных кубических решетках с числом узлов 40 и меньше С Пчисло измерений решетки), что соответствует выделению ограниченной полосы частот. Таким образом, рассмотрение, проведенное в § 2 главы Ш, совместно с другими известными результатами позволяет заключить, что при расчете масс адронов достаточно учесть конечное число степеней свободы поля, которые описывают соответствующую полосу частот. Это число все же достаточно велико (порядз ка 10, как показывают расчеты на решетках).

Наиболее прямолинейный подход к расчету масс адронов заключается в решении уравнения Шредингера после регуляризации, выделяющей нужную полосу частот. Если это уравнение записано в обычных лоренцевых координатах, то прежде всего приходится искать физическое вакуумное состояние, что связано с большими трудностями. Обойти проблему вакуумного состояния можно, применяя координаты светового фронта X±^z (0С°±X3) у X*j и рассматривая? С"^как время, а оператор R — P сдвига вдоль + + оси ОС — как гамильтониан. При такой постановке задачи виртуальное рождение пар частиц из математического вакуума невозможно I из-за положительности сохраняющегося импульса п р. Поэтому математический вакуум совпадает с физическим. Следовательно состояния адронов лежат в пространстве Фока, построенном над математическим вакуумом. Строго говоря, это можно утверждать заранее только, пренебрегая «нулевыми модами», т. е. возбуждениями поля, для которых J^rO* Тем не менее, в силу возникающего упрощения исследование калибровочной теории в координатах светового фронта представляет значительный интерес. Этой задаче посвящен 3 главы Ш, материал которого опубликован в работах? 15, 52, 53.

Формулировка калибровочной теории в координатах светового фронта осложняется инфракрасными расходимостями. Чтобы их устранить и одновременно четко выделить нулевые моды, удобно ввести обрезание по координате X ~ при некоторых значениях it и подчинить поля периодическим граничным условиям по этой координате. Такая регуляризация не нарушает сохранения импульса 7L «При ' переходе к точной теории нужно положить оо. Но изложенные выше соображения относительно ограниченности существенной полосы частот позволяют надеяться, что расчеты, выполненные при конечном Ц, приведут к удовлетворительным результатам. Если, руководствуясь теми же соображениями, осуществить, кроме того, инфракрасное обрезание по координатам 30 ЭсЯ, а также ультрафиолетовое обрезание, то можно свести уравнение Шредингера к.

— 18 набору конечномерных матричных уравнений.

Действительно, импульс коммутирует с гамильтоном Поэтому задача должна решаться отдельно для каждого собственного подпространства оператора 2. • ® пренебрежении нулевыми модами импульс 2. всякого элементарного возбуждения положителен и при наличии обрезания по ОС не может быть меньше величины ^/h .Поэтому при фиксированном полном значении величины 2. число одновременно существующих возбуждений не больше, чем Если, кроме того, из-за ограниченности количества степеней свободы число возможных типов возбуждений тоже конечно, то собственные подпространства оператора /2 оказываются конечномерными.

Изложенные соображения еще раз говорят о важности изучения калибровочной теории в координатах светового фронта. Кроме того, они заставляют искать конетрукцию, корректную не только в пределе jj, но и до снятия инфракрасного обрезания. В связи с этим в § 3 главы Ш строится канонический формализм для поля Янга — Миллса с калибровочной группой SU &J в координатах светового фронта при наличии обрезания по 3?.~ и периодических граничных условиях. Основные трудности на этом пути обусловлены первичными и, особенно, вторичными связями второго рода (по терминологии Дирака? 16 3).Последние имеют прямое отношение к описанию нулевых мод. Все эти связи анализируются, и подавляющая их часть решается явно.

Теория калибровочного поля в координатах светового фронта рассматривалась ранее рядом авторов [^54,55, 56, 57]. Но в этих работах либо вовсе не вводилось обрезание по ОС"? 54~], либо отбрасывались существующие при таком обрезании нулевые моды ?55*], либо, наконец, с самого начала применялась решеточная апроксимация по координатам ЗС^, ОС2″ L 56, 57] .

Явное решение большинства связей второго рода, появляющихся в рассматриваемой задаче, возможно только при введении калибровки, в которой Э"С другой стороны, наиболее последовательная процедура квантования при сделанных предположениях, состоит в учете методом континуального интегрирования всех орбит калибровочной группы, на которых имеется хотя бы одно поле, периодическое по с периодом^/). В связи с этим возникает проблема приведения произвольного классического периодического поля Янга — Миллса к калибровке указанного типа. Этот вопрос рассмотрен в пункте Б параграфа 3 главы Ш для случая калибровочной группы (zj. Приведение к калибровке О. которая часто применяется [54, 55 J осуществимо только в случае полей, подчиненных специальным условиям. Приведение же к другим калибровкам типа А**—О (например, /4 — О) всегда возможно, но порождает, вообще говоря, сингулярности потенциалов. Описан характер таких сингулярностей, имеющих топологическую природу. Эти результаты, представляющие самостоятельный интерес, справедливы также для полей, периодических по ОС° или по (соответственно в калибровках типа 0 А0 —О и ^ Aj ~ О)• К аналогичным выводам пришли независимо Гросс, Писарский и Джаффе? 57 3 в связи с задачей другого рода, сформулировав эти выводы в несколько иной форме.

В настоящее вреда неясно, как можно учесть упомянутые только что сингулярности классических полей, находящихся под знаком континуального интеграла. Поэтому приходится прибегать к дальнейшим упрощениям. В частности, в настоящей диссертации континуальное интегрирование к этой проблеме не применяется, а непосредственно строятся два варианта канонического формализма для случая калибровочной группы SVH). В первом варианте, рассмотренном в пункте В параграфа I главы Ш, вводится калибровочное условие = О, и потенциалы, удовлетворяющие этому условию, считаются периодическими по ОС • Во втором варианте, который fi изложен в пункте Г того же параграфа, применяется дополнительное условие ~— о^ 0> и потенциалы, подчинен ные ему, также считаются периодическими по ОС. Сингулярности, которые могли бы возникнуть при переходе к такой калибровке, во внимание не принимаются. Первый вариант изучался ранее в работе ?55] в пренебрежении нулевыми модами, второй же вариант прежде не рассматривался.

Как видно из предыдущего обсуждения, ни один из упомянутых вариантов не учитывает всех орбит калибровочной группы, на которых имеются периодические поля. Но второй вариант позволяет принять во внимание больше таких орбит, чем первый. В пределе ¦ [л со оба варианта оправданы, поскольку при «плотность», с которой расположены учтенные орбиты среди всех орбит, и в том и в другом случае неограниченно растет. Однако только конкретные численные расчеты позволят установить, с помощью какого варианта можно получить при конечном более точные результаты, затрачивая меньше усилий. Поэтому оба варианта канонического формализма рассмотрены подробно. Выяснилось, что уеловие ~0>более простое по виду, приводит к сложным вторичным связям второго рода. При переходе к условию И — = О, Q эти связи резко упрощаются, но в то же время, усложняется ряд других выражений.

После построения канонического формализма квантование теории проводится стандартным способом, в результате чего возникает уравнение Шредингера. Переход к случаю калибровочной S1f (i)-сим-метрии не связан с какими-либо новыми осложнениями. Это же относится к включению в теорию фермионов, которое можно осуществить методом, описанным в работе Катера [55 J. В пункте Д параграфа 3 главы Ш обсуждается возможность использования полученного уравнения Шредингера для определения адронных масс. В частности, в рамках такого формализма рассматривается разложение по обратным степеням константы связи. Из-за конечномерности пространства состояний при каждом значении импульса J^ вычислительные трудности, связанные с построением этого разложения, не превосходят, по-види-мому, разумного предела.

Ниже в начале каждой главы приведено ее краткое содержание. Результаты подробно сформулированы в конце каждого параграфа глав I и Ш, а также в конце главы П. Применяется нумерация формул с помощью трех чисел: первое число — номер главы, второеномер параграфа, третье — номер формулы. При ссылках внутри параграфа приводится только номер формулы, а при ссылках на другой параграф той же главы — номер параграфа и номер формулы. В диссертации получены следующие основные результаты: Для обобщенной дуальной модели, основанной на операторном.

— формализме, отобраны все представления группы SUfai), которые можно использовать при построении амплитуд. Это сделано как при отсутствии, так и при наличии симметрии Вирасоро. Полученные сведения позволяют конструировать дуальные амплитуды в рамках операторного формализма. Показано, что при наличии симметрии Вирасоро SU^ij-oпин представлений может принимать лишь значения О, — £,-1.Это резко ограничивает возможные виды амплитуд.

— 22.

Обнаружен новый тип обобщенных дуальных амплитуд, обладающих S V (4h)-симметрией с любым /7 .Эти амплитуды представлены интегралами по соответствующим классическим областям в пространствах многих комплексных переменных.

Развит тензорный анализ в пространствах с локальной SLfac)-симметрией, допускающий обобщение на суперпространства с локальной суперсимметрией и предназначенный для проведения ком-пактификации соответствующих пространств.

С помощью вариационного принципа для дополнительного условия Лоренца оценены границы правильной области контщуального интегрирования в теории поля Янга — Миллса в калибровке Ландау. Проанализировано подавление вклада низкочастотной части поля в этой калибровке.

Сформулирован канонический формализм для неабелевой калибровочной теории в координатах светового фронта при обрезании по ОС и периодических граничных условиях. Написано уравнение Шредингера, которое может найти применение при расчете адронных масс в рамках хромодинамики. Описано разложение по обратным степеням константы связи, возникающее в рамках этого формализма. Отмечено, что в результате перехода к координатам светового фронта такое разложение резко упрощается.

Новизна полученных результатов:

Выбор представлений группы? Jf (i d.) «пригодных для построения дуальных моделей, был осуществлен в полном объеме впервые. Этот результат широко использовался впоследствии.

Дуальные амплитуды, основанные на S V (dу П) -симметрии не были ранее известны.

Тензорный анализ в пространствах с локальной SL (h С) симметрией, доведенный до явного построения конкретных тензоров, ранее не существовал.

Вариационный принцип для условия Лоренца к проблеме ограничения области континуального интегрирования в калибровке. Ландау ранее не применялся. Полученные конкретные оценки подавления низкочастотного вклада служат независимым аргументом в пользу отсутствия безмассовых физических частиц в хромодинамике.

В существовавших ранее работах по квантованию калибровочного поля в координатах светового фронта при периодических условиях по координате DC ряд связей второго рода не учитывалА <2. ся, причем всегда применялась калибровка / ~ О. В настоящей диссертации построен канонический формализм как в калибровке A := О, так и в калибровке, А А ~ — А О t причем учтены все связи. Переход к калибровке =: ^^ ОРезко упростил самые сложные связи. При наличии ультрафиолетового и инфракрасного обрезания построенный формализм сводит уравнение Шредингера для хромодинамики к конечномерным матричным уравнениям. Впервые отмечено, что разложение по обратным степеням константы связи резко упрощается при переходе к координатам светового фронта.

Материал диссертации опубликован в работах? 2, 3, б, 7, 9, 10, II, 12, 14, 15, 27, 28, 52, 53J. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на сессиях отделения ядерной физики АН СССР, на семинаре по составным и дуальным моделям в г. Киеве (1971 г.), на международных семинарах по нелокальной и нелинейной теории поля в г. Алуште (1973 и 1876 гг.) и на международных семинарах по физике высоких энергий и квантовой теории поля в Протвино (1981 и 1982 гг.).

— 25.

Г Л, А В A I.

ДУАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ АДРОНОВ В ПРИБЛИЖЕНИИ БЕСКОНЕЧНО УЗКИХ РЕ30НАНС0 В.

Настоящая глава посвящена рассмотрению дуальных амплитуд рассеяния адронов. В § I изучаются возможности обобщения амплитуды Венециано Ц 303 с помощью операторного формализма, основанного на SV (i, d) -симметрии? 33,34,35]. В этом параграфе отбираются представления группы S i), которые можно использовать при построении дуальных амплитуд. Рассматриваются два случая. В первом случае накладывается лишь требование S^fajiJ-инвариантности, а во втором, кроме того, предполагается, что имеет место симметрия Вирасоро? 39^J, которая позволяет избавиться от нефизических Состояний, несущих отрицательные вероятности. Обсуждаются ограничения в отношении дуальных моделей, вытекающие из проведенного.рассмотрения. Кратко описываются отдельные результаты, касающиеся модели Невью — Шварца [ 41, 58 J, которая принадлежит к числу немногих, удовлетворяющих полученным ограничениям. Материал этого параграфа опубликован в работах [27, 2, 28] .

В §' 2 предпринимается дальнейшее обобщение. Здесь для построения дуальных амплитуд используется реализация классических групп Ли автоморфизмами областей в пространствах многих комплексных переменных. Для групп ST/fljhJ написаны амплитуды, имеющие вид интегралов по таким областям. Обсуждаются свойства этих амплитуд. Материал параграфа 2 опубликован в работе [ 3 ] .

— 26.

§ I. Выбор представлений группы svd. i) .которые можно использовать при построении дуальных амплитуд.

А. Постановка задачи.

В этом параграфе в рамках простейших предположений отбираются представления группы SV (i, i)* к которым могут относиться исходные операторы, фигурирующие в выражении для дуальной амплитуды, предложенной Клавелли и Рамоном? 36 J .

Представление Клавелли — Рамона дуальной // -точечной амплитуды Ai^iрассеяния скалярных частиц имеет вид:

Л а/ = (к^^'^кн) — fa'**(I" I" I) где.

Здесь к I s импульсы внешних частиц.

С кР>0 для вылетающих частиц, О — для влетающих), причем д/.

Z к< = о /.

2/ - комплексные переменные. Каждое интегрирование в (I) и (2) ведется по единичной окружности. Из-за0 — функций, входящих в (I), ненулевой вклад в этот интеграл дают только наборы точек ", расположенных вдоль единичной окружности в порядке их л" ^ номеров. Вершины VtftijjZlJ строятся из операторов рождения и уничтожения, действующих в некотором пространстве Фока. Через f’O^. обозначен математический вакуум этого пространства. Все вершины Jfc ' J относятся к какому-либо одному представлению группы^{-преобразований} где Jq^I^^I^J =^, а черта обозначает комплексное сопряжение, (Закон изменения вершин определен ниже формулой (7)), Эти представления характеризуются SVfdjit) ~ «спином» .Все вершины f/^ имеют одинаковое значение «спина11^-, которое входит в выражение (I). Интеграл, содержащийся в нормировочной постоянной (2), расходится и компенсирует бесконечный объем группы $ Jf failj в правой части формулы (I). Это не порождает неоднозначности [36J. Постоянная С^ в выражении (2) конечна.

Амплитуды исходной теории Венециано можно записать в виде.

I), выбрав подходящее выражение для вершин Vl fa J о.

Это выражение, которое будет обозначаться через Jff/f- % * J «¦ получено в работе. Оно приведено ниже (соотношение (17) Формализм, воспроизводящий исходную теорию Венециано, содержит jClf. уг | операторы рождения и уничтожения CL^ j CL^ (ft — и пару векторных операторов yfc. • Существенную роль в этом формализме играет вектор * 0ТН0СЯ1Дийся к STT (i, i)~ представлению —^. Он определен далее равенством (1Я).

В рамках модели Клавелли — Рамона используются вершины более общего вида: yL (ki, zJ=Al (kLj V (ki, a-i-" где fi^T^J" некотоРые операторы. При этом вводятся следующие предположения.

Считается, что, кроме величин, присущих исходной теории Ве-нециано, модель содержит любое конечное число новых операторных функций НJ и что множители (f.

7 (n^+^'oj00) ' отличных от Cof' + a,^', и что зависимость величин Нfa) от $линейна.

Более точно, принимается, что где J^ - комплексное число, а коэффициенты о (^ при каждом Г) удовлетворяют одному из равенств 2п, «6, = f», -л.

Здесь — комплексные числа. Функции //fej выбираются в форме (5), чтобы возможно проще прийти к известной серии £)представлений.

Предполагается далее, что операторы ^^ ^ «содержащиеся в НJ, строго коммутируют с величинами CL^**, ^п** % fljb, ^^, входящими в вершины VfkljjZi) .Кроме того, считается, что наборы операторов, ^^ образующие разные функцииfjfjtJ «строга коммутируют между собой С или строго антикоммутируют, если тот и другой набор состоит из фермионных операторов). Величины f~j (%) (а, значит, и операторы j) могут иметь лоренцевы индексы или индексы внутренней симметрии. Если лоренцев спин величин f^(z) превосходит ^^, то, вообще говоря, возникаюаг новые состояния с отрицательным квадратом нормы, не присущие исходной теории Венециано (.как при квантовании электромагнитного поля в лоренцевой калибровке). В этом случае может потребоваться дополнительная симметрия для «обезвреживания» таких состояний. Данный вопрос здесь не рассматривается^ все рассуждения проводятся так, как если бы операторы не имели доренцева спина.

Наконец, предполагается, что каждая величина Н (^) отно~ сится к некоторому представлению группы § Jf j (J .т.е. преобразуется при замене (.3) по тому же закону, что и вершины.

Vi (^i ^Ф°РыУла W) г но, вообще говоря, с другим значением^,. С — «спины»^, отвечающие разным функциям J"), могут быть различны).

Возникает вопрос: к каким представлениям группы SU (djj.) могут относиться величиныfjfy} в рамках сделанных предположений, если отсутствуют какие-либо иные ограничения (и, в частности, нет симметрии Вирасоро [39])? На этот вопросдается ответ в пункте Б настоящего параграфа. Модели, которые можно построить в этом случае, содержат, вообще говоря, состояния с отрицательным квадратом нормы С" духи" -.

Как теперь доказано ^37,38″ ], в обычной модели Венециано нет «духов», если SVf^jiJ" «спин» ьершин Име" ет значение —?, а число измерений пространства-времени равно 26. Такая модель обладает дополнительной симметрией, обнаруженной Вирасоро ^39^ .Формула Клавелли — Рамона (I) с вершинами J^ (к^ типа (4) позволяет построить более широкий класс амплитуд, имеющих эту симметрию. Вершины таких амплитуд должны принадлежать представлениям алгебры Вирасоро, которая включает в себя алгебру Ли группы SV (ljJ-) • Это требование к вершинам описывается формулой (40), приведенной ниже. Представления алгебры Вирасоро, как и ИРОДставления, характеризуются «спином» ^ .При рассмотрении модели Клавелли-Рамона, имеющей симметрию Вирасоро, предполагается (дополнительно к введенным ранее, условиям), что величины относятся к определенным представлениям его алгебры. Это значит, что функции f-j{%) удовлетворяют тому же соотношению (40), что и вершины ^(kl но, вообще говоря, с другим «спином» ^-(быть может, различным для разных Н))• Из последующего видно, что функции (%) в силу этого принадлежат также определенным представлениям подалгебры Sl/fet^J • Предположение, сделанное только что, вместе с линейностью величин j-](%) относительно операторов рождения и уничтожения исключает из рассмотрения более общую модель, предложенную недавно Поляковым[59J в связи с предпринятым им квантованием релятивистской струны.

Возникает второй вопрос: к каким Sfff^-/^) — представлениям могут относиться величины Ц (%) >если имеется симметрия Вирасоро и выполняются все перечисленные требования? На этот вопрос дается ответ в пункте В. Далее, в пункте Г рассматриваются ограничения в отношении дуальных моделей, вытекающие из обсуждения, проведенного в предыдущих пунктах. Здесь же кратко описываются отдельные факты, касающиеся модели Невью — Шварца.

41, 58] .которая удовлетворяет этим ограничениям. В пункте Д перечисляются полученные результаты.

Б. Выбор Sfffdji) -представлений при отсутствии симметрии Вирасоро.

Перечислим, прежде всего, условия, которым Клавелли и Рамон [36] подчинили амплитуду (I), чтобы она приобрела свойства дуальности. а) Каждому преобразованию (3) должен соответствовать опера-Т0Р Ц/д «действующий в пространстве Фока и изменяющий вершины Vi (ки)=¦ V (следующим образом:

WA Vfi°)) / - fc

0 (Оvj > о) > можно записать условие (7) в виде.

LWj Г (к, Vfcvl о,^. о.

Здесь.

4=4.

Г-енераторы [j^ Slffajj) — преобразований, действующие в пространстве Фока, удовлетворяют соотношениям-^: ф.

LM, Ьм] = (M-M)LМ=-4} о^л 1−1-12).

Из сделанных предположений вытекает, что эти генераторы можно представить в виде ^.

Lff'—Liа/ + L у ' (I-I-I3) где ^ ^ действует только на операторы, присущие исходной теории Венециано, а ц д/ лишь на величины. Операторы ^^ и jj ^ независимы и коммутируют между собой при любых у и^. Величины jj состоят, в свою очередь, из независимых слагаемых, каждое из которых действует только на. одну какую-либо функцию //'fyj .

Операторы, порождающие исходную теорию Венециано, удовлетворяют условиям.

Генераторы ^^ выбраны так, чтобы позднее возникло соответствие со стандартными обозначениями для алгебры Вирасоро.

CLjo)=03 p^/o^O, (I-I-I5) где IоУ — вакуум пространства Фока, а метрический тензор ^^ обладает сигнатурой, Генератор и вершина 1/(к, ^) имеют вид [ЗкЗ.

I-I-I6).

V «л ,.

— 7 = 1.

I-I-I7).

Q^fe))? у ~ наклон тРаект°Рии Редже о^ (Sjrz. о ((qJ+o^S* исходной теории Венециано, h=± /7 = 1.

I-I-I8) ч — символ нормального упорядочения, который, в частности, ставит J ^ слева от ^^. $ 1/ fit, -ij ~ «спин» вершшгы V (/X/^J определяется равенством 'т2-— — ol (q), где отвечает главной траектории Редже. С помощью операторов? u Q (ъ) можно построить величину т к2 для которой ^ П — <1 б) Операторы «J/J/^, входящие в равенство (7), должны удовлетворять соотношениям.

U-I-20J т. е.

Условия «а» и «б» гарантируют, что подынтегральное выражение в формуле (I) инвариантно относительно ~ преобразований (3). в) i) «спины всех веРшин Vi А/, %t) должны быть одинаковы. г) Для каждой вершины Jf ^^J Д°лжны существовать предельные векторы состояния.

Я*" {<�° ISt'^V (*,*)] = Cl-I-22 a) iPrft. mh/r},.

U-I-22 6) отличные от нуля.

Если условия «а — г» выполнены, то амплитуду (I) можно записать в виде [36^: где константа С (f конечна и.

1−1-го О оо с Z——г}~0.

Здеаь Cfj — -численные коэффициенты. Формулы (23- ,(24j обеспечивают факторизуемость амплитуды, т. е. возможность истолкования ее полюсов в терминах частиц.

Ю Должна иметь место циклическая симметрия матричных элементов:

Щ (к^л ft* Vsfk3) *Ж.

Это условие гарантирует перекрестную симметрию амплитуды.

Перечисленные условия! не исчерпывают всех физических требований к амплитуде, так как допускают существование состояний с мнимой массой («тахионов») и с отрицательным или с комплексным квадратом нормы («духов). Потребуем поэтому дополнительно, чтобы введение множителей J^ ^ ^^ g^J в вершины (формула (4)) не ухудшало положения с «духами» и «тахионами» по сравнению с исходной теорией Венециано.

Оператор «входящий в выражение (16), действуя на вектор состояния, превращается в его полный импульс. Поэтому равенства (13), (16), (23), (24) позволяют написать следующее условие отсутствия новых тахионов (по сравнению с исходной моделью Венециано): е) Слагаемое / ', содержащееся в формуле (13), должно иО быть неотрицательным эрмитовым оператором.

Используя аналогию между выражением (23) и древовидными фейнмановскими диаграммами обычной теории поля, можно, далее, сформулировать условие отсутствия новых «духов» в форме: ж) Вершины Vl (kij l^fkj %) Должны Удовлетво рять равенству.

V (k3zhV+(-k}z), где обозначает сопряжение в смысле метрики, имеющейся в пространстве Фока. Не должно существовать никаких операторов рождения, которые, действуя на математический вакуум, создают состояния с отрицательным квадратом нормы, кроме операторов o-h исходной теории Венециано. Выведем теперь из сделанных предположений следствия в отношениипредставлений, к которым могутг относиться величины Н (%) -Ранее было принято, что каждая функция Н (%) принадлежит некоторому SU (i}i) -представлению. Это, значит, что справедливо равенство.

N=-1,0,1. CI-I-26) -спин, содержащийся в $tf согласно СИ), может, быть различен для разных величин и" вообще говоря, отличен от.

— спина вершин Vi (kl} 2 J-, .

Из равенства (5) видно, что величину Н (*/ можно записать в виде W.

НЫН (*J, м) где. функция ///2?/допускает разложение в ряд Лорана в некотором кольце /5?/< +? • Известно [60J, что всякое неприводимое или не вполне приводимое представление группы SVf^ji) в пространстве таких функций характеризуется двумя (вообще говоря, комплексными) числами ^ и входящими в формулы (II) и (5). Заметим, что из-за многосвязности группы §-JJона имеет также иные представления, не принадлежащие.

— 37 к IK — типу. Одно из таких представлений осуществляет величина ///#J, заданная равенством (18). Из-за наличия ло-горифма в этой формуле функцию Q^^C^J нельзя разложить в ряд Лорана в кольце? </?/<^-f?. Приняв формулу (5), мы тем самым предположили, что величины fj (%) относятся к представлениям (i^fff)~ типа. Расклассифицируем все такие представления.

Подставляя разложение (5) в (26) и применяя формулы (II), приходим к соотношениям.

L0) Un]= (n~FC)Uh, (I-I-28a).

В соответствии с требованием «Ж» напишем, далее, обычные перестановочные (или антиперестановочные) соотношения для оператора '^ft ' ВХ°ДЯ1ЧИХ в fa, CL = ^,.

— h + причем ~ = о, ^ =^. (I-I-30).

Здесь J^ (С1+) 0(5°значает коммутатор (антикоммутатор). Формулы (28 а, б, в), (29) позволяют явно построить все неприводимые и не вполне приводимые Slf (ij d) -представления (^ff) -типа [60] .В таблице I перечислены эти представления (как унитарные, так и неунитарные).

Таблица I.

Неприводимые и не вполне приводимые представления группы $ir (i, i) ft К) ивойства чисел /и К значения, при которых ctfi^O значения /7, при которых oCh~0 приводи-I) мость у не целое, (.Т'+К) не целое. н.п. целое 3 {У+К) не целое — П < °° н.в.п. н.п. ty-K) не целое, Ct+K) целое. н.в.п. н.п. ty-K) целое, целое, оо</7< с? о н.в.п. н.п. н.п. q-К) целое, целое, -ОО Сп 400 н.в.п.

— J'+K^h+oo н.в.п. н.в.п.

— 7+К4П&+К — ОО < /7 <r-дн.п. целое, С 3+к) целое, — 00 <Г/7 н.п.

ОО н.п.

•^Обозначения: н.п. — неприводимое, н.в.п. — не вполне приводимое.

— 39.

Выясним, к каким из перечисленных представлений могут относиться величинысодержащиеся в вершинах J/^ (k^Sil) Из равенств (б), (29), (30), (21) и (28а) непосредственно следует, что часть генератора /jQ, действующая на данную функцию j-/ имеет вид ft.

Н-Чпвп- (I-I-32) о увели о (Г)~0'.

Здесь и далее часть генератора. действующая на некоторую величину обозначается тем же символом, что и весь генератор (если не может возникнуть недоразумения). Из требования «еп теперь следует, что.

Тт КОj а-1-зъ) tf J если (&trade-а) ot-h-ln^n J^СЛ И К' (I-1−346).

При целом JC остается произвол в выборе коэффициента о (^. В этом случае полагаем J* ' (I-I-35).

Другой выбор ot’fC не изменил бы последующих выводов. В соответствии с равенствами (5), (33), (34 а, в), (35), (31) Ш.

Си 1п 4 2 ci-i-36) п>К ' К.

— но где суммирование ведется по тем значениям /7, для которых.

Обратимся теперь к равенствам (28 б, в). Из них можно заключить, учитывая соотношения (34 а, б), что генератор Ц^, вообще говоря, содержит член, а генератор Z — член fe+i+к-к) ii,. «-i-386>

1 и K-hd. К } где }(есть целая часть числа JC. (ТС^- К как при.

К} о, так и при Jf^O}.Члены (38 а, б) не удовлетворяют требованию «б» и, тем самым, нарушают SfffatlJ — инвариантность подынтегрального выражения в формуле (I). Поэтому допустимы только такие представления, для которых эти члены исчезают.

Используя таблицу I и учитывая, что равенства Ь =zO.

7 ft эквивалентны, легко установить, когда это происходит. Члены (38 а, б) отсутствуют только при одновременном выполнении следующих условий:

I) хотя бы одно из чисел.

7-/Г). СрЯ-Ю целое;

3) представление неприводимо. При этом, очевидно, Xr JC—JhiJ. о • Третье условие означает, что все не вполне приводимые представления (см. таблицу I) дожны быть отброшены. Конечно, вполне приводимые представления, составленные из неприводимых, могут применяться.

Как будет показано в пункте В, требование «ж» в отношении самосопряженности вершин не порождает дополнительных ограничений на тип представления в рассматриваемом случае. Поэтому условиями I, 2, 3 исчерпываются ограничения, накладываемые на SV~ представления, к которым дожны относиться величины f когда симметрия Вирасоро не обязательна. Функции (%) могут при этом строиться как из операторов рождения и уничтожения, удовлетворяющих перестановочным соотношениям, так и из oneраторов, подчиненных антиперестановочным соотношениям. Наконец, тривиальное представление //— Co/ist, для которого конечно, удовлетворяет всем поставленным условиям.

В. Выбор SV (ij) -представлений при наличии симметрии Вирасоро.

Потребуем теперь, чтобы при соблюдении всех перечисленных ранее условий имела место симметрия Вирасоро [39J. Это значит, что дополнительно вводятся следующие требования. а) Должны существовать операторы Ь^ (М— Ojil^Z,.^00), удовлетворяющие соотношениям В*//, (V-MJbAS+M •+ (I-I-39).

MJ А/— О+ где Сщчисла. Коммутаторы этих операторов с вершинами Vlfolft? J дожны иметь вид с.

СССР г:. с, в. tossa .

L", V (kA)h ЯуГМ, с&trade-) где.

— ъа/И u-i-w.

Здесь ^— SV~ спин вершины.

Известно [ 61 J, что алгебра Ли, образованная операторами /., .отвечает группе всех аналитических преобразований комплексной плоскости. Условие «а» означает, что вершины ковариантны относительно таких преобразований. Рассмотренная ранее алгебра Ли группы SV[4−1 «4.) (требование «а» из пункба Б) есть подалгебра алгебры Вирасоро (39), порожденная генераторами Lл и / о ° Вершины gfj исходной теории Венециано подчиняются соотношениям (40), если — d Должны выполняться равенства 0 при А/^ <�± «(I-I-42).

Заметим, что, вообще говоря, .

Если все условия «а', «б, 'в» выполнены (а также условия «а-ж» предыдущего пункта), то всякий «физический» вектор состояния удовлетворяет соотношению [ 37 J xffl (L0-LM + M~±J=0 при.

Обозначения в формуле (44) те же, что и в (23).Как теперь известно ^37,38], применяя равенство (45), можно построить модели вовсе не содержащие духов.

Выясним, какие ограничения в отношении $ 17fa/^J представлений, к которым принадлежат величины j-j (%J. вытекают из вновь введенных требований. Ранее было принято, что функции ///%/ удовлетворяют таким же соотношениям коммутации с генераторами Ljy, как и вершины V^ (формула (40) т. е.

LM, H (*)h 4/ 9 ± CI-I-46) где определено равенством (41), в котором^ может при нимать различные значения для разных Яfyj (независимо от величины ^ для вершин). Подстановка разложения (5) в формулу (46) приводит к соотношениям.

М>4п1= fr-HZ'-W-TfJoCn^, (I-I-47).

Равенства (28 а, б, в) предыдущего пункта составляют, очевидно, часть соотношений (47).

Обратимся теперь к условию «ж» пункта Б, которое требует самосопряженности вершин J—Vf/tj'Z:J соответствующем смысле). Чтобы эта самосопряженность могла иметь место, вершина должна содержать вместе с величиной НЫ) также сопряженную величину.

Н+(ФТ^%'"+*1 (I-I-48) 7 fcjLh «Ьк» «* > где комплексно сопряжено с .Была использована формула (36) и принято во внимание, что /%/^zd. «так как в равенстве (I) интегрирование ведется по единичной окружности. В силу условия «ж» пункта Б операторы сопряжены с ^^ в смысле обычной положительной метрики, что отражено в коммутаторах (антикоммутатора) (29).

Функция (%)входит в вершины J на Рав~ ных правах с f-jJ и, значит, должна удовлетворять всем тем требованиям (сформулированным ранее), что и И) «В частности, для должен выполняться аналог формулы (47).Сравнивая соотношения (5) и (48), видим, что он имеет форму.

— г / где J- - некоторое число. В то же время, равенство сопряженное (47), есть.

Принято во внимание, что числа^ и JC (а также^ ^) вещественны в соответствии с результатами предыдущего пункта. Из соотношений (49), (50) следует, что.

Для всех представлений, которые были отобраны в пункте Б как допустимые коэффициенты ot^ обращаются в нуль при некоторых значениях f). Поэтому всегда можно так подобрать числа.

7 и //, чтобы выполнялись условия: l (Jhп п ' ft—flf Следовательно, в силу равенства (51) ^ и.

ВЪ ~ J о Yh, М, (i-i-52).

Пусть hpj в этой формуле обозначает часть полного генератора симметрии Вирасоро, действующую только на определенную величину /-f (%J. Тогда согласно (48) Д^ может зависеть лишь от операторов,^, содержащихся в Учитывая, опять таки, равенство (48), заключаем на основании формулы (52), что.

LM=L-M + CM, (I-I-53) о где Qу — число. Известно [34], что генераторы исходной теории Венециано, наделенной симметрией Вирасоро, удовлетворяют условию о. о.

Lft-L — M. (1−1-54).

Поэтому равенство (53) верно и для полных генераторов симметрии Вирасоро, которые состоят из ц ^ и членов, действующих на различные Ц (%)* Написав, наконец, соотношение, сопряженное равенству (39), и подставив туда величины (53), видим, что.

Сц—О, Таким образом для полных генераторов должно выполняться условие.

I-I-55) где сопряжение понимается в смысле метрики, действующей в пространстве Фока. При выводе равенства (55) учтено условие h~t = L о «полученное ранее в пункте Б.

Извлечем следствие из соотношения^. Чтобы удовлетворить условиям (47), в которых величины ^^ определены равенствами (34 а, в), нужно, в частности, включить в генераторы Z/д^ и Ll—frf при.

М>о следующие члены: J?*? Л, т,/ (I-I-56a) п>к h $ (п-м^-юм.

П<�К-М сп+м ^ .(I-I-566).

Мы не выписываем здесь других членов, входящих в Z/u/ и 1/* Из требования — выражений (56 а, б) вытекает соотношение.

JW./- ju и> 0.

I ~~ h+M}+M-rr т • а-х-57).

— При//—./это соотношение должно выполняться даже в случае отсутствия симметрии Вирасоро, так как генераторы БХ°- • дят в алгебру Ли J • Используя таблицу I (стр. 38), легко проверить, что для всех представлений, которые в пункте Б были признаны допустимыми, правая часть равенства (57) положительна при Д/= 4. (если только ^ О и ®) •.

Поэтому всегда можно так подобрать коэффициенты, что при. равенство (57) будет выполнено. Отсюда видно, что требование «ж» пункта Б не накладывает новых ограничений на выбор SVfadJпредставлений при отсутствии симметрии Вирасоро. Это отмечалось в пункте Б.

Обратимся к равенству (57) при других значениях М. Полагая там получаем соотношение ?/7+2. Zf П-УЗ—ТГ (1-Х-58) ln / n+ty+Z-FC '.

С другой стороны, применяя дважды формулу (57) при? .обнаруживаем, что lh+2. I.

1п / / 2/W.

I-I-59) h+j +Z-Kj (h+^ dК).

Сравнивая формулы (58) и (59), приходим к равенству.

Это соотношение должно выполняться для бесконечного числа значений величины (h-K). Последнее возможно лишь, если каждое из чисел (—(J?" ^)" (JT^^) равно какому-либо из чисел (2.J+2), (—J+d.),) и наоборот. Отсюда легко заклю чить, что ^ -" спин" может принимать только три значения: л L и-> 2>).

Как следует из результатов пункта Б, имеется только тривиальное представление (^ ff) — типа, для которого^гг^^гсо/-^/. Но известно ?34], что существует более общее представление с JrQ, которое реализуется в пространстве функций содержащих (формула (18)). Легко, далее, проверить, что величина ^р^, заданная равенством (19), относится к представлению С^—^, коль скоро -" спин" функции равен нулю. Если в этом случае перейти к пределу, то.

— 49.

— представление становится представлением (^J^rjтипа^, причем для него, по-прежнему, ^ —. Тесная связь между представлениями с ^^^и /обусловлена тем, что оператор Казимира группы tSlffd/d-) имеет для этих представлений одно и то же значение ^J= о «Представления отвечающие функциям Q^feJ^ ffi* реализуют симметрию Вирасоро. Существенно, что эти функции образованы из бозонных операторов рождения и уничтожения.

Функция Н'(%) осуществляющая симметрию Вирасоро в случае «спина» — —, была построена Невью и Шварцем • Эта функция сконструирована из фермионных операторов рождения и уничтожения.

Покажем, что для реализации симметрии Вирасоро при^ = — ^ нельзя воспользоваться фермионными операторами рождения и уничтожения. Из соотношений (47), (48) следует, что для «спина» операторы // ^ и при содержат члены hM У fa (п+М)! — (1−1-б1а) причем.

HfehZ it /^74"f u-1−6″.

7 — d. oo.

Это неприводимое представление алгебры Вирасоро, но вполне приводимое представление группы SUC-lj-iJ, состоящее из двух сопряженных представлений (формула (62- -.

Если, $ - бозонные операторы, то из равенств (61 а, б) J вытекает, что Л, г /,', как и должно быть. Но, если.

М w М tf ~ фермионные операторы, то согласно (61 а, б) — —^д/ «что противоречит сформулированным ранее требованиям, (Здесь через ' ^ д/ обозначены части (61 а, б) соответствующих генераторов).Аналогичным образом можно показать, что при нельзя применить бозонные операторы •tf^j*, ^^, а при ^ о нельзя использовать фермионные операторы.

Таким образом в рамках сделанных предположений при наличии симметрии Вирасоро величины Н fa) могут относиться лишь к следующим представлениям: f)^^— .

Условия I, 2, 3 пункта Б, конечно, тоже должны выполняться. Если отказаться от требования, что представления принадлежат &KJтипу, то становится возможным случай:

О — применяются бозонные операторы рождения и уничтожения. Этот случай реализуется функциями вида (18).

Близкие результаты независимо получили Жерве и Сакита [HOj. Они задались целью записать дуальную амплитуду, обладающую симметрией Вирасоро, в виде континуального интеграла. Оказалось, что в рамках простейших предположений (аналогичных введенным выше) это можно сделать лишь в том случае, когда ^ -" спин" исходных функций равен О или — .!. Поскольку представление с7=-^?можно.

2 —. получить из представления с по формуле (19), эти результаты согласуются с описанными выше.

Г. Следствия в отношении классификации амплитуд. обладающих симметрией Вирасоро. Располагая набором величин /-/(%) обладающих нужными свойствами, легко строить различные вершины Jfc^ имеющие симметрию Вирасоро. Каждая такая вершина может быть представлена в форме (4), где Л'0)=Л есть полином от различных функций fjfyj и «Удовлетворяющий условию J^.Допускается зависимость величины.

Л (к%) от^J и от внешнего импульса к. Функции Н&-) могут нести лоренцевы индексы.

Полный Sfffa/d)-" спин" вершины^ складывается из SVfr. i). -" спинов" отдельных сомножителей, входящих в и $ 17(d, i) -" спина" J вершины ^fa^/исходной теории Венециано: = (I-I-63).

Поэтому в силу условия^ в «пункта В (формула (43)) должно выполняться равенство о.

I-I-64) с о.

Известно [ 34], что между величиной ^ и массой внешних частиц, отвечающих вершинам J^{существует} соотношение.

J — о ('/Г? * (I-I-65).

При добавлении к этим вершинам^{множителей} /L (kjli) масса м не меняется (если сохраняется^-).Что же касается максимального полного лоренцева спина с/(kz)вершины Vfaj^J, то он связан с лоренцевым спином? вершины V (fc, равенством otfoj^tifr'-J+e'j ci-i-бб) где g — лоренцев спин множителя.

Поскольку % f/czJ= ZfoJ+j'/r2 я то (/c*J=. -и % 2 + Г + J 'к * CI-I-67) или в силу равенств (64), (65).

Ufrj+J'k2- = Z" J.+i+r+j'k2- (I-I-68) с- /Т > откуда ol (cj=- d + (I-1−69).

Эта формула определяет «интерсепт» траектории Редже, на которой лежат «внешние» частицы амплитуды Клавелли — Рамона. Согласно результатам пункта В могут принимать значения (- ^) или (-1).(Мы с читаем, что величина (??^{имеющая} Sl/fijlJ — спин 0, не входит в. Поэтому из равенства (69) следует, что «интерсепт» o ((oj может быть только целым или полуцелым.

Если 'J — ^^^о «то мас°а ^/^/of' «внешних» частиц вещественна., Это не значит, однако, что тахионы не могут возникнуть в промежуточных состояниях. Действительно, в силу соотношений (13) и (16) «пропагатор» (24) в «факторизационной» формуле (23) при^ = —^равен величине.

00? w? h=Q -^'/^-Т: (I-I-70) г = * С+Ь'г1*11.

Теория может, вообще говоря, содержать промежуточное состояние, для которого.

I-I-7I).

Если, кроме того, в формуле (70)?, то имеется тахион с J квадратом массы tn = — таэс.

Легко видеть, что не только траектория Редже, на которой лежат внешние частицы, но и все другие траектории, описывающие расположение промежуточных состояний, могут иметь в рассматриваемой теории только целый или полуцелый «интерсепт» .Действительно, в соответствии с условием I, сформулированным в конце пункта Б, для всякого представления^ которому относится какая-либо величина fj (%], одно из чисел (^-/-/if)") должно быть целым. Если J принимает лишь значения О, -½, -1,то в силу этого условия число JC может быть только целым или полуцелым. Поэтому согласно равенствам (31), (32) оператор /, дей-ствующий на величины /7, имеет только целые или полуцелые собственные значения. Квадраты масс промежуточных состояний равны значениям оператора /г^, при которых знаменатель пропага-тора (70) обращается в нуль. В силу сказанного это может проис о ходить только при целом или полуцелом </ tn. Поскольку лоренцев спин резонанса отоже целый или полуцелый, то тем же свойством обладает «интерсепт» (oj, входящий в равенство о (U (oJ+ «.

Некоторые из коэффициентов? , заключенных в формуле (70), могут обращаться в нуль. Поэтому отдельные резонансы из числа перечисленных ранее или даже целые траектории Редже могут отсутствовать. Как правило, такое положение вещей имеет место, если модель обладает дополнительной симметрией (кроме симметрии Вирасоро). Этим путем можно, в частности, избавиться от тахиона с квадратом массы м^ rz — ^/jf. До настоящего времени такой.

Та ос /вс результат получен только в рамках модели Невью — Шварца [ 41 «j, ? 58и ее обобщений (например, [ 61 ]). Остановимся на некоторых свойствах этой модели.

Модель Невью — Шварца существует в бозонном [" 41 ] и в фермионном[58] варианте.(Название варианта связано с лоренцевым спином внешних частиц).И в том и в другом случае эта модель обладает, кроме симметрии Вирасоро, специальной суперсимметрией, в силу которой в бозонном варианте отсутствует тахион при tin1 —^ilci* .Бозонную амплитуду Невью — Шварца можно предста-тах ' вить в виде (I) с вершинами типа (4), где.

I-I-72) причем лоренцев вектор относится к Slffd^-представлению —— и построен по указанным выше правилам из фермион-ных операторов > • Полный SZ^fij-dJспин вершины.

7 g у/ равен (-4) .Хотя эта модель и свободна от тахиона с ~ /ц'* она содержит тахион с массой /77^= — ^/faot'J*.

Как отметили автор, М. В. Локтионов и М. М. Нестеров [ 27*] из бо-зонной модели Невью — Шварца можно выделить подмодель, которая вовсе не содержит ни тахионов, ни «духов» .В самом деле, модель Невью — Шварца удовлетворяет правилу отбора, запрещающему переход состояния, полученного из математического вакуума действием I в состояние, которое образова7 но с помощью нечетного числа таких операторов. Поэтому любой набор частиц, лежащих на траектории Редже с целыми «интерсептами», не может перейти в одну «частицу», принадлежащую траектории с полуцелым «интерсептом» .Образовав с помощью факторизации совокупность всех амплитуд, у которых внешние частицы лежат только на траекториях с целым «интерсептом», мы получим, следовательно, замкнутую подмодель. (Дальнейшая факторизация этих амплитуд не породит частиц, расположенных на траекториях с полуцелым интерсептом). Поскольку тахион с ft) У/^2 о (/) лежит на траектории с полуцелым интерсептом, то он не содержится в выделенной подмодели.

Как известно [61^, модель Невью — Шварца строится в 10-мерном пространстве-времени.Из сказанного видно, что в таком пространстве существует корректная бозонная дуальная модель, не содержащая нефизических состояний. Процедура компактификации позволяет придать шести измерениям пространства из десяти смысл внутренних степеней свободы. Таким путем можно получить корректную бозонную дуальную модель в четырехмерном пространстве-време-ни.Но спектр ее резонансов не согласуется с экспериментальным. В частности, такая амплитуда не содержит? -мезонной траектории, имеющей «интерсепт», близкий к ½^.

Чтобы включить в теорию частицы с полуцелым лоренцевым спином, Невью и Шварц предложили фермионный вариант своей модели [" 58^ .Рассмотренная ими амплитуда описывает рассеяние любого числа бозонов на фермионе и соответствует конфигурации, показанной на рис. 2 (сплошные линии там отвечают фермионам. а волни.

А7.

Г)—г 1 рссс' *.

Позднее ШварцL 61J предложил описывать с помощью такой модели рассеяние фотонов, гравитонов и других «истинно элементарных» частиц. Несоответствия с опытом при этом нет. стые — бозонам).Эта амплитуда была первоначалвдо представлена в факторизованной форме типа (23):

И =. ^ где о.

Здесь величины Vfa’Z),? c отвечают теории Венециано, причем Л* ^ (положено о/ 4) — ^ - матри.

-/2—" —- 'см, «Г цы Дирана- ^^ «- операторы, удовлетворяющие условию, ^ гJ Л.

Вформуле (73) индексы с/, нумеруют внутренние возбуждения фермионных состояний. 7Z (/t/* U (/l^ - дираковские функции фермионов. М — масса невозбужденного фермиона. Предполагается, чтоодно из состояний в обкладках удовлетворяет условию.

Л> о• (и-?*).

Чтобы, исходя из амплитуды (73) .построить замкнутую дуальную модель, нужно было, прежде всего преобразовать эту амплитуду к дуальному каналу, т. е. перейти к конфигурации, показанной на рис. 2. L .ко .l рис .2.

Последнее нетривиально, поскольку амплитуда (73) не имеет ковариантного вида типа (I).Указанное преобразование осуществил Торн [бз] в предположении, что внешние фермион-ные состояния отвечают невозбужденным частицам:

CI-I-75).

При этом оказалось, что точке, А на рис. 2 соответствует весьма сложная вершина (вершина Торна).Факторизация амплитуды на участке ВА позволила установить, что в бозонном секторе теория совпадает с ранее описанной моделью Невью — Шварца? 41. которая была определена формулой (72) для вершины.

С целью дальнейшего продвижения к самосогласованной дуальной теории необходимо было обобщить вершину Торна на возбужденные состояния внешних фермионов. Эту работу провел автор совместно с С. Н. Манидой? 2,28″ ] .Был получен аналог вершины Торна для случая, когда один фермион возбужден произвольным образом, но находится на поверхности масс, а другой — вне поверхности масс, что отвечает конфигурации, показанной на рис.З.

Я, А рис.З.

Оказалось, что результат можно представить в двух формах, которые воспроизводят одну и ту же амплитуду (73), но отличаются спектром бозонных возбуждений на участке ВА. В одной форме при массе фермиона М— — — (и только при этом значении) бозонный % 9 сектор обладает симметрией Вирасоро и, по-видимому, не содержит духов", но там имеется тахион с массой /7?^=—^. В другой форме, аналогичной первоначальной вершине Торна, нет тахиона при fr)2 = — 4, но нет и симметрии Вирасоро в бозонном секторе, тах так что там почти достоверно существуют «духи». Таким образом, фермионный вариант модели Невью — Шварца [ 58^] в его исходной форме не привел к самосогласованной дуальной теории рассеяния фермионов и мезонов. Недавно Шварцу [ 61″ ] удалось выделить из этой модели сектор, обладающий 10-мерной суперсимметрией и, по-видимому, лишенный нефизических состояний. Бозонная часть этого сектора совпадает с рассмотренной выше четной подмоделью первоначальной бозонной модели Невью — Шварца. Д. Результаты параграфа I. При условиях, перечисленных в пункте А, и при отсутствии симметрии Вирасоропредставления fyjK) -типа" к которым относятся операторы /-(faJ «фигурирующие в вершинах амплитуды (I), должны удовлетворять следующим требованиям: I) хотя бы одно число целое;

2)}<0 ;

3) представление неприводимо или вполне приводимо. Могут использоваться как бозонные, так и фермионные операторы рождения и уничтожения.

При тех же условиях и при наличии симметрии Вирасоро допустимы только следующие представления (^ Jf) — типа: п 1 ^.

1)7 =— J. — применяются бозонные операторы рождения и уничтожения;

2)7″ -— - применяются фермионные операторы рождения и уничтожения.

— 59.

Требования 1−3, приведенные выше, тоже должны выполняться.

Если допускаются представления, не принадлежащие ^/^/-ти-пу, то при наличии симметрии Вирасоро возможен, кроме того, вариант: применяются бозонные операторы рождения и уничтоженияфункции, образующие пространство представления, определяются формулой (18).

Интерсепты11 всех траекторий Редже, присущих амплитуде типа (I), в случае симметрии Вирасоро имеют целые или полуцелые значения." Интерсепт" траектории, на которой лежат внешние частицы, в этом случае определяется формулой (69).

Из дуальной, бозонной модели Невью-Шварца можно выделить подмодель, не содержащую нефизических состояний, спектр резонан-сов которой однако не совпадает с адронным спектром.

Построить законченную дуальную’модель рассеяния фермионов и бозонов, применяя метод Торна к исходной фермионной амплитуде.

Невью — Шварца, не удается.

Основные результаты диссертации изложены во введении. Поэтому здесь будут сделаны лишь отдельные замечания.

Аппарат, использующий канонический формализм в координатах светового фронта и описанный в параграфе 3 главы Ш, позволяет исследовать спектр адронных масс с помощью хромодинамики. Этот аппарат существенно отличается от основанного на четырехмерном решеточном приближении, которое применяется в последнее время. Указанные два подхода хорошо дополняют друг друга и могут служить для взаимной проверки. Тем не менее, объем вычислений, связанный с непосредственным применением хромодинамики к описанию мягких процессов, очень велик. Поэтому практически подобные расчеты проводятся сейчас и будут проводиться в ближайшем будущем только для ограниченного числа конкретных случаев. Цель этих расчетов состоит, прежде всего, в проверке самой хромодинамики путем сравнения ее выводов с экспериментом.

В этих условиях более простые модели (и, в частности, дуальные модели) полностью сохраняют свое значение для систематизации и анализа экспериментальных данных. Этой цели служат результаты, полученные в главе I.

Вместе с тем, ряд моделей, разработанных первоначально для описания сильных взаимодействий, находит применение в более общих теориях. Так обстоит дело с методами компактификации многомерных пространств, описанными в главе П. В настоящее вреш рассмотренный там тензорный анализ нужен для построения «больших объединений элементарных частиц», описывающих единым образом все взаимодействия, включая гравитацию. Это относится в определенной мере также к дуальным моделям, которые применимы не только к непосредственному описанию адронов, но и к анализу взаимодействия фотонов, гравитонов и других частиц, считающихся «истинно элементарными». Включение сильных взаимодействия в общую схему «большого объединения» позволяет лучше понять их природу.

Таким образом, описанные в диссертации результаты, полученные с помощью различных подходов к теории сильных взаимодействий, дополняют друг друга и могут быть использованы для анализа большого экспериментального материала, имеющегося в этой области.

— 267 -Л-итература.

1. Макеенко Ю. М., Поликарпов М. И. Адроны на решетке. Обзор текущей литературы. — Препринт ИТЗФ-74, М., 1982, с.1−27.

2. Манида С. Н., Франке В. А. Анализ дуальной фермионной модели.-ЯФ, 1972, 16, JS 4, 769−777.

3. Манида С. Н., Франке В. А. Построение факторизованных дуальных амплитуд на основе представлений классических групп функциями многих комплексных переменных. — ЯФ, 1973, 18, 3, 623−629.

4. Фукс Б. А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. — Гос.изд.физ.-мат.лит., М., 1963.

5. Хуа Ло-кен. Гармонический анализ функций многих кош лекеных переменных в классических областях, ИЛ, М., 1959.

6. Франке В. А. К построению тензорного анализа в пространстве, локальные свойства которого определяются группой Sh (ttC). Вестник ЛГУ, 1969, J5 15, 15−20.

7. Франке В. А. О построении тензорного анализа ъ 2/12- -мерном пространстве, локальные свойства которого определяются группой Sbl^C). — В кн.: Проблемы теоретической физики, вып.2. Изд. ЛГУ, Л., 1975, с.105−118.

8. Поляков A.M. — Письма в ЖЭТФ, 1974, 20, 430−434.

9. Прохватилов Е. В., Франке В. А, Об устойчивости решений типа струн в классических калибровочных теориях поля. — ТМФД977, 31 > 3, 300−307.

10.Прохватилов Е. В., Франке В. А. Фермионы в поле монополя Хуф-та — Полякова. — ЯФ, 1976, 24, 4, 856−860.

11. Исмагилов Р. Г., Франке В. Л. Флуктуации около меронного решения в евклидовой теории Янга — Миллса. — ТМФ, 1982, 52, 2, 229−236.

12. Прохватилов Е. В., Франке В. А. О критическом электрическом заряде в классической модели Вайнберга — Салама. — Вестник ЛГУ, 1979, В 4, 13−18.

13. Грибов В. Н. — В кн.: Материалы ХП зимней школы ЛШФ по физике ядра и элементарных частиц. Л., 1977, с.4−91.

14. Семенов-Тян-Шанский М.А., Франке В. А. Вариационный принцип для условия Лоренца и ограничение области континуального интегрирования в неабелевой калибровочной теории.- В кн. вопросы квантовой теории поля и статистической физики.3 (Зап. научн.семин. ЛОМИ, т.120), Наука, Л., 1982, 159−165.

15. Новожилов Ю. В., Прохватилов Е. В., Франке В. А. Теория поля в координатах светового фронта.-Вестник ЛГУ, 1981, Д 22, 13−18.

16. Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике.- Мир, М., 1968.

17. Пятецкий-Шапиро И.И. — ДАН СССР, 1959, 124, й 2, 227−273.

18. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств.-Наука, М., 1981.

19. Абрикосов А. А. — ЖЭТФ, 1957, 32, 1442−1453.

20. Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д. — ЖЭТФ, 1950, 20, 1064−1073.

21. Сан-Жам Д., Сарма Г., Томас Е. Сверхпроводники второго рода.- Мир, М., 1970.

22. Гайдук А. В. — ТМФ, 1980, 44, 358−369.

23. Матинян С. Г., Саввиди Г. К., Тер-Арутюнян Н.Г. — Письма в ЖЭТФ, 1981, 34, 613−617.

24. Эйнштейн А. Сущность теории относительности. Ш, М., 1955.

25. Bhannot G. Lattice gauge theory: the Monte Carlo approach.-Preprint TH.35o7, CEfflT, 1983, p. 1−24.

26. Montvay I. Quantum chromodynamics on the lattice.- Preprint 83−001, DESY, 1983, p.1−48.

27. Loktionov M.V., TTesterov M.M., Franke V.A. On the construction of generalized dual models in the absense or presense of the Virasoro symmetry.- In the book: Composite and dual models. Ed. by Institute for theoretical Physics of the Academy of Sciences of Ukrainian SSR, Kiev, 1971, p.58−94.

28. Franke V.A., Manida S.F. Analysis of the dual fermion ver-ticies.- Ed. by Leningrad State University, Leningrad, 1972, p.1−14.

29. Schmid C. — Phys.Rev.Lett., 1968, 20, 628−631, 689−691.

30. Veneziano G.- Nuovo Cim., 1968, ?7A, 190−201.

31. Koba Z., Nielsen H.B.- Nucl.Phys., 1969, Ц0, 633−646.

32. Chan Hong-MoPhys.Lett., 1969, 28B, 425−429.

33. Fubini S., Gordon D., Veneziano G.- Phys.Lett., 1969, 29B,.

679−684.

34. Amati D., Bouchiat C., Gervais J.L.- Lett. Nuovo Cim., 1969, 2, 399−4O4.

35. Gliozzi F. — Lett. Nuovo Cim., 1969, 2, 846−85o.

36. Clavelli L., Ramond P. — Phys.Rev., 1970, D2, 973−982- D3, 988−1o1o.

37. Brower R.C.- Phys.Rev., 1972, D6, 1655−1663.

38. Goddard P., Th-orn C.B. — Phys.Lett., 1972,^OB, 235−24o.

39. Virasoro M.A.- Phys.Rev., 1970, D1, 2933−2944.

40. Gervais J.L., Sakita B. — Nucl.Phys., 1971, F34, 477−491.

41. Feveu A., Schwarz J.- Nucl.Phys., 1971, B31, 86−98.

42. Ruegg H., Ruhl W., Santhanam T.S.- Helv.Phys.Acta,. 1967, 40, 9−134.

— 27о.

43. Novozhilov Yu.V., Terentjev I.A.- Phys. Lett, 1965, Ц, 86−9o.

44. 't Hooft G.- ITucl.Phys., 1974, B79, 276−284.

45. Wilson K. — Phys. Rev., 1974, Щ0, 2445−2457.

46. Kogut J., Susskind L.- Phys.Rev., 1975, Ш1, 399−41o.

47. Bardeen W.A., Pearson R.B.- Phys.Rev., 1976, D14, 547−551.

48. Jaffe L.- Nucl.Phys., 1979, B151, 247−258.

49. Gross D., Wilczek P.- Phys. Rev, 1973, D8, 3633−3641 .

50. Politzer U.O.- Phys.Eep., 1974, UC, N4, 129−160.

51. Feynraan R.- Nucl.Phys., 1981, B188, 479−512.

52. Franke V.A., Novozhilov Yu.V., Prokhvatilov E.V. On the Light-cone formulation of classical non-abelian gauge theory.-Lett.Math.Phys., 1981, 5, 239−245.

53. Franke V.A., Novozhilov Yu.V., Prokhvatilov E.V. Light-cone quantization of gauge theories with periodic boundary conditions.- In the «book: Dynamical systems and Microphysics. Ed. by Avez A. a.o., Academic Press, N.Y.-L., 1982, p.389−400.

54. Tomboulis E.- Phys.Rev., 1973, D8, 2736−2740.

Ш, ~.

55. Cacher A.- Phys.Rev., 19 767⁴⁵²−465.

56. Bardeen W.A., Pearson R.B., Rabinovici E.- Phys.Rev., 1980, D21, 1037−1055.

57. Gross D.J., Pisarski R.D., Jaffe L.G.- Rev.Mod.Phys., 1981, 53, 43−68.

58. Neveu A., Schwarz J.H.- Phyo.Rev., 1971, M> 1Ю9−1121.

59. Polyakov A.M. — Phys.Lett., 1981, 1o3B, 207−210, 211−214.

60. BargmannV.- Ann.Math., 1947, 48″ 568−587.

61. Schwarz J.H. — Phys.Rep., 1982, 89, N3, 223−322.

62. Schwarz J.H. — Nucl.Phys., 1972, B46, 61−73.

63. Thorn C.B.- Phys.Rev., 1971, D4> 1112−1121.

64. Cartan E. — Abhand aus dem Math.Sem. d. Hamburg. Univ., 1936, 11, 116−162.

65. Shapiro J.A.- Phys.Lett., 1970, 23B, 361−369.

66. Virasoro M.A.- Phys.Rev., 1970, ЕИ, 2309−2316.

67. Kac V.G.- Comm.Math.Phys., 1977, 53, 31−64.

68. Nielsen H.B., Olesen P.- Nucl.Phys., 1973, Ml" 45−63.

69. Hepp K. — Comm.Math.Phys., 1974, 35, 265−277.

70. Dashen R.P., Haslacher В., Neveu A. — Phys.Rev., 1974, Р10″ 4138−4151.

71. Callan C.G., Dashen R. Gross D.J. — Phya.Rev., 1978, D17, 2717−2763.

72. Belavin A.A., Polyakov A.M., Schwarz A.S., Tyupkin Yu.S.-Phys.Lett., 1975, 59B, 85−89.

73. Atiyah M.F., Hitchin N.J., Drinfeld V.G., Manin Yu.I.-Phys.Lett., 1978, 6? A, 185−19o.

74. Callan C.G., Dashen R.F., Gross D.J.- Phys. Lett, 1976, 63B, 334−340.

75. De Alfaro V., Fubini S., Furlan G. — Phys.Lett., 1977, ?5B, 1631−1635.

76. 't Hooft G.- Phys.Rev., 1976, D14, 3432−3440.

77. Mandula J.E.- Phys.Rev., 1976, D14, 3497−3507.

78. Mandula J.E.- Phys.Lett., 1977, 67B, 175−178.

79. Zwanziger D. — Nucl.Phys., 1982, B209, 336−348.

80. Dirac P.A.M. — Rev.Mod.Phys., 1949, 21, 392−393, 1949.

— 265 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ.