Аналитические методы в нелинейной теории пучково-плазменных неустойчивостей

Актуальность работы

Впервые явление резонансной пучково-плазменной неустойчивости, представляющее собой вынужденное черенковское излучение прямолинейным электронным пучком собственных электромагнитных волн плазмы, было описано в работах А. И. Ахиезера, Я. Б. Файнберга [1] и Д. Бома, Е. Гросса [2].

Начало создания последовательной нелинейной теории резонансного пучково-плазменного взаимодействия относится к основополагающим работам В. Д. Шапиро, В. И. Шевченко с соавторами [3−9], а также Р. И. Ковтуна, А. А. Рухадзе [10]. В данных работах исследовалось взаимодействие нерелятивистских или слаборелятивистских электронных пучков малой плотности с потенциальными ленгмюровскими волнами плазмы. Полученные результаты показали, что насыщение неустойчивости связано с захватом электронов пучка плазменной волной и приводит к полной модуляции пучка по плотности. Отсутствие в уравнениях пучково-плазменного взаимодействия малого параметра фактически свидетельствовало о невозможности создания строгой аналитической нелинейной теории явления пучковой неустойчивости в плазме. Так, например, предпринятая в [11] попытка получить приближённые аналитические решения, основанная на предположении о наличии у замоду-лированного пучка в плазме равновесных состояний, оказалась не вполне успешной, поскольку, вследствие сателлитной неустойчивости равновесные состояния пучка сами оказываются неустойчивыми.

Последующие теоретические исследования физических механизмов электромагнитного взаимодействия пучков с плазмой показали, что существуют различные режимы пучково-плазменных неустойчивостей [12−24]. Выяснилось, что в зависимости от значений плотностей электронов пучка и плазмы, их пространственного распределения и других геометрических факторов, степени релятивизма пучка, величины внешнего магнитного поля, могут реализовываться следующие основные режимы [25−28]: одночастичный вынужденный эффект Черенкова, коллективный вынужденный эффект Че-ренкова, томсоновское излучение и рассеяние, рамановское излучение и рассеяние, аномальный эффект Доплера, а также многие разновидности и комбинации перечисленных режимов резонансных неустойчивостей.

Оказалось, что многие из перечисленных выше неустойчивостей стабилизируются при достаточно слабой нелинейности, при малых амплитудах плазменной и пучковой волн. Это говорит о наличии в теории малого параметра, определяющего связь пучковой и плазменной подсистем, и делает возможным аналитическое описание нелинейной динамики соответствующих режимов пучково-плазменных неустойчивостей.

В связи со сказанным разработка, развитие и обоснование аналитических методов описания нелинейной динамики пучково-плазменных неустойчивостей представляются весьма актуальными. Актуально и применение развитых аналитических методов к решению конкретных задач физики плазмы и плазменной СВЧ-электроники. Данным вопросам и посвящена настоящая диссертационная работа.

Цели и задачи работы

1. Разработка аналитических методов нелинейной теории резонансных неустойчивостей плотных электронных пучков в пространственно — ограниченных плазменных системах.

2. Последовательный учет релятивистских и непотенциальных эффектов в нелинейной теории пучково-плазменных неустойчивостей.

3. Применение разработанных аналитических методов для описания нелинейных процессов, в которых реализуются коллективные режимы пучково-плазменных и электрон-ионных взаимодействий, а также процессов рассеяния плазменных и электромагнитных волн на электронных пучках.

Основная идея работы

Наиболее общее описание нелинейных стадий пучково-плазменных не-устойчивостей в отсутствии столкновений основано на кинетическом уравнении Власова для одночастичных функций распределения частиц — электронов пучка, электронов (и ионов) плазмы.

Мощный и универсальный метод решения кинетического уравнения Власова основан на представлении одночастичной функции распределения в виде интеграла по начальным данным фазовых (координата — импульс) траекторий частиц. Метод удобен как при численном моделировании, так и при аналитических исследованиях пучково-плазменных неустойчивостей.

Аналитическое описание пучково-плазменных неустойчивостей и других процессов, развивающихся в коллективных режимах, должно проводиться посредством разложения фазовых (координата — импульс) траекторий частиц по степеням малого параметра взаимодействия пучковой и плазменной подсистем.

Проверка эффективности аналитических решений, полученных разложением фазовых траекторий частиц, осуществляется сравнением с численными решениями, основанными на представлении одночастичной функций распределения в виде интегралов по начальным данным.

Научная новизна

В ходе выполнения работы впервые:

1. Разработан и строго обоснован метод решения задачи Коши для кинетического уравнения Власова с начальными и граничными условиями, заключающийся в представлении одночастичной функции распределения в виде интеграла по начальным данным фазовых траекторий частиц.

2. Разработаны и строго обоснованы методы разложения уравнений поля по возмущениям траекторий и импульсов частиц, позволяющие аналитически описывать неустойчивости, развивающиеся в режимах типа коллективного эффекта Черенкова нерелятивистского и релятивистского пучков.

3. Методами разложения траекторий и импульсов аналитически исследована нелинейная динамика следующих процессов:

— коллективного черенковского взаимодействия плотного нерелятивистского электронного пучка с нелинейной плазмой;

— трехволновых и четырёхволновых резонансных взаимодействий двух электромагнитных волн с одной и двумя пучковыми волнами плотности заряда при слабой дисперсии последних;

— резонансной бунемановской неустойчивости в условиях слабой связи электронных и ионных ленгмюровских полей;

— высокочастотной и низкочастотной неустойчивостей релятивистского электронного пучка, развивающихся в режиме коллективного эффекта Че-ренкова в линейной плазме.

4. Исследована нелинейная динамика резонансной бунемановской неустойчивости в существенно не одномерной электрон-ионной плазме с учётом электромагнитных полей, создаваемых изменяющейся постоянной составляющей электронного тока в нерелятивистском и релятивистском случаях.

5. Разработана релятивистская теория рассеяния линейно поляризованных волн на незамагниченном пучке электронов.

6. Получены точные граничные условия для полной нестационарной системы уравнений электромагнитного поля в цилиндрическом плазменном резонаторе с коаксиальной системой вывода излучения.

Практическая и научная значимость работы

Разработанные в диссертационной работе методы решения кинетического уравнения Власова, а также методы разложения траекторий и импульсов частиц могут быть использованы:

— при теоретическом исследовании резонансных нелинейных явлений, возникающих при взаимодействии электронных пучков с волнами в плазме и иных диспергирующих средах;

— при решении прикладных задач в релятивистской СВЧ-электронике;

— при разработке источников электромагнитного излучения, принцип действия которых основан на коллективных режимах развития пучково-плазменного взаимодействия;

— при разработке новых теоретических курсов по физике плазмы и плазмо-подобных сред, использующих новые методы исследования в области нелинейной плазмы и учитывающих современные достижения в этой области.

Достоверность результатов диссертации устанавливается:

— сравнением результатов, полученных с помощью предложенных в работе аналитических методов с результатами численного моделирования;

— сравнением с результатами расчётов, проводимых другими исследователями.

На защиту выносится

1. Метод решения кинетического уравнения Власова в постановке начальной и граничной задач, основанный на представлении одночастичной функции распределения в виде интеграла по начальным данным фазовых траекторий частиц. Критерием применимости метода является отсутствие в системе дис-сипативных сил. В случае граничной задачи (задача инжекции) метод интегрирования по начальным данным применим приближённо в случае малого изменения скорости частиц в направлении инжекции.

2. Метод разложения траекторий частиц, основная идея которого состоит в представлении координат частиц пучка и плазмы в виде суммы двух слагаемых, описывающих, соответственно, поступательное (усреднённое) движеt ние данных частиц и их колебательное движение. Для амплитуд гармоник колебательного движения получаются бесконечные зацепляющиеся системы обыкновенных дифференциальных уравнений с алгебраическими рациональными нелинейностями бесконечного порядка. При коллективных режимах развития неустойчивостей есть малый параметр теории, позволяющий оборвать цепочки уравнений и понизить порядок нелинейностей. Метод разложения траекторий является основным при аналитическом исследовании нелинейных коллективных процессов нерелятивистских пучков.

3. Метод разложения релятивистских импульсов частиц пучка, заключающийся в представлении импульсов в виде суммы двух функций, одна из которых описывает действие средней силы реакции излучения, а другая характеризует колебательное движение частиц. Для амплитуд гармоник колебаний импульса получаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с алгебраическими иррациональными нелинейностями. В случае процессов типа коллективного эффекта Черенкова иррациональные нелинейности раскладываются до кубических. Метод разложения импульсов является основным методом нелинейной теории коллективных неустойчиво-стей релятивистских пучков.

4. Нелинейные физико-математические модели низкочастотной и высокочастотной неустойчивостей плотных прямолинейных релятивистских электронных пучков, развивающихся в условиях коллективного вынужденного эффекта Черенкова в поперечно-неоднородных плазменных волноводах. Модели, отличающиеся большой общностью и универсальностью, получены методами разложения исходных уравнений Власова-Максвелла по возмущениям фазовых (координаты — импульсы) траекторий электронов по малому параметру взаимодействия пучковой и плазменной подсистем.

5. Аналитические результаты исследования с помощью указанных выше методов и моделей, нелинейной динамики следующих процессов:

— коллективного черенковского взаимодействия плотного нерелятивистского электронного пучка с плотной нелинейной плазмой в случае резонансного и нерезонансного взаимодействия гармоник пучковых и плазменных волн;

— трехволновых и четырёхволновых резонансных взаимодействий двух электромагнитных волн с одной и двумя пучковыми волнами плотности заряда;

— резонансной бунемановской неустойчивости в условиях слабой связи электронных и ионных ленгмюровских полей;

— нелинейной динамики резонансной бунемановской неустойчивости в существенно неодномерной электрон-ионной плазме с учётом электромагнитных полей, создаваемых изменяющейся постоянной составляющей электронного тока в нерелятивистском и релятивистском случаях (при этом частично были использованы также и численные методы);

— высокочастотной и низкочастотной неустойчивостей релятивистского электронного пучка, развивающихся в режиме коллективного эффекта Че-ренкова в волноводе с линейной плазмой;

— рассеяния линейно поляризованных электромагнитных волн на незамаг-ниченном релятивистском пучке электронов в режимах коллективного (ра-мановского) рассеяния и релятивистской энергетической группировки.

6. Классификация режимов электромагнитных релятивистских черенковских пучково-плазменных неустойчивостей в поперечно-неоднородных волноводах. Установлены физические особенности исследованных режимов неустойчивостей, найдены резонансные условия их возникновения, вычислены инкременты нарастания.

7. Нестационарные парциальные граничные условия излучения для полной нестационарной системы уравнений электромагнитного поля в цилиндрическом плазменном резонаторе с коаксиальной системой вывода излучения. Показана практическая применимость этих условий для постановки и решения характерных задач, возникающих в нелинейной электродинамике плазмы.

Апробация и структура работы

Основные результаты диссертации опубликованы в 24 работах, в числе которых 3 обзорных статьи (включая статью в «Энциклопедии низкотемпературной плазмы») и 21 публикация в центральных рецензируемых журналах.

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались: на научных семинарах кафедры физической электроники физического факультета МГУ, на семинарах по плазменной электронике отдела физики плазмы и теоретического отдела в Институте общей физики РАН.

Основные аналитические методы и ряд результатов, полученных в работе, использованы в учебном пособии, допущенном МО РФ для студентов Вузов, обучающихся по специальностям «Физика» и «Радиоэлектроника и электроника» (В частности, в МГУ им. М. В. Ломоносова и МГТУ им. Н. Э. Баумана.)

Диссертационная работа содержит 288 страниц машинописного текста, 74 рисунка, 3 таблицы и состоит из введения, восьми глав, двух приложений и заключения.

Список литературы

включает 111 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведём основные результаты диссертационной работы.

1. Разработан и строго обоснован метод решения кинетического уравнения Власова с начальными и граничными условиями, основанный на представлении функции распределения в виде интеграла по начальным данным фазовых траекторий частиц. В начальной задаче Коши для уравнения Власова единственным условием применимости метода является отсутствие дис-сипативных сил. В случае граничной задачи (задачи инжекции) рассматриваемый метод применим приближенно для частиц, у которых скорость в направлении инжекции велика и изменяется незначительно.

2. Разработаны и математически обоснованы методы разложения уравнений поля и уравнений движения по степеням возмущений траекторий и импульсов частиц, позволяющие аналитически описывать нелинейную динамику пучково-плазменных неустойчивостей и других процессов, развивающихся в коллективных режимах. С помощью метода разложения траекторий аналитически исследована нелинейная динамика коллективного черенковского взаимодействия плотного нерелятивистского электронного пучка с плотной нелинейной плазмой, рассмотрено резонансное и нерезонансное взаимодействие гармоник пучковых и плазменных волн.

3. Методом разложения траекторий электронов пучка для трёхволновых пучковых неустойчивостей в плазменном волноводе установлены новые кубичные нелинейности, существенно уточняющие структуру нелинейного потенциалапроанализировано влияние новых нелинейностей на стабилизацию неустойчивостей. Установлено, что в случае резонансного четырёхволнового взаимодействия до момента насыщения амплитуд плазменных и электромагнитных волн волновода происходит многократный обмен энергией между ленгмюровскими волнами пучка.

4. Исследована нелинейная динамика бунемановской неустойчивости в существенно неодномерной электрон-ионной плазме с учётом генерируемого в плазме постоянного электрического поля. Установлены условия, при которых наблюдается обычный для бунемановской неустойчивости срыв электронного тока в плазме, а также условия, когда срыв тока отсутствует. Релятивизм электронов качественного изменения в картину развития бунемановской неустойчивости не вносит. Аналитически, с помощью метода разложения траекторий, проанализирован случай слабой связи, когда ионный и электронный пучки разведены в пространстве. Получено соответствующее аналитическое решение.

5. Методом интегрирования по начальным данным получены общие уравнения, описывающие нелинейную динамику пучково-плазменного взаимодействия в релятивистском непотенциальном случае. В результате линеаризации этих уравнений получено дисперсионное уравнение, анализ которого позволил определить новые режимы развития неустойчивостей плотного релятивистского трубчатого электронного пучка в волноводе с трубчатой плазмой, провести классификацию данных режимов, определить необходимые для их развития резонансные условия и в предельных случаях вычислить соответствующие инкременты.

6. Методами разложения траекторий и импульсов электронов разработана аналитическая нелинейная теория резонансной неустойчивости плотного прямолинейного релятивистского электронного пучка, развивающейся в условиях коллективного вынужденного эффекта Черенкова в волноводе с линейной плазмой. Рассмотрены два случая: плазмы большой плотности, когда неустойчивость развивается в высокочастотной области, а возбуждаемая в плазме волна оказывается потенциальнойи плазмы меньшей плотности, когда неустойчивость имеет место в низкочастотной области, а возбуждаемые плазменные волны сильно непотенциальны. Получены аналитические решения, сравнение которых с результатами численного решения общих нелинейных уравнений показало их хорошее согласие в широком диапазоне параметров. Аналитически исследована также нелинейная динамика высокочастотной неустойчивости релятивистского электронного пучка в плотной нелинейной плазме.

7. Разработана нелинейная теория рассеяния линейно поляризованных электромагнитных волн на незамагниченном релятивистском пучке электронов. Получены общие нелинейные уравнения, описывающие процесс рассеяния с точностью до четвёртого порядка по параметру vjc (v± - поперечная по отношению к направлению распространения пучка скорость электронов). Проведена классификация различных режимов процессов рассеяния, определены их инкременты и механизмы нелинейной стабилизации. С помощью методов разложения траекторий и импульсов электронов пучка для случая, когда рассеяние происходит в коллективном режиме, вычислены амплитуды насыщения волн, время нелинейной стабилизации, а также максимальная эффективность рассеяния. Отдельно рассмотрен процесс вынужденного рассеяния в режиме энергетической группировки. Показано, что в данном случае процесс рассеяния четвёртого порядка по параметру vLjc реализуется с большей эффективностью по сравнению с процессами второго порядка. г

8. Сформулированы точные граничные условия для полной нестационарной системы уравнений электромагнитного поля в цилиндрическом плазменном резонаторе с коаксиальной системой вывода излучения. Показана применимость этих условий для наиболее полной и строгой постановки актуальных задач, возникающих в нелинейной электродинамике плазмы и плазменной СВЧ-электронике.

10. Методами численного моделирования установлено, что при сильном взаимодействии ультрарелятивистского электронного пучка с плазмой вблизи порога, когда возбуждаемая в плазме волна является сильно непотенциальной происходит интенсивная генерация высших (относительно резонансной), гармоник плотности плазменной волны. При этом с увеличением релятивизма пучка одночастичная резонансная Черенковская неустойчивость становится все более широкополосной.