Использование систем компьютерной алгебры при построении эффективных численных алгоритмов решения некоторых задач математической физики

Численные исследования и компьютерная алгебра в настоящее время одинаково успешно используются в цикле вычислительного эксперимента [1, 2]. Численные методы, развиваясь по мере развития теории и совершенствования ЭВМ, остаются важнейшим, а иногда и единственным средством решения сложных задач математической физики, например, нелинейных уравнений. В связи с этим возрастает роль теоретического обоснования корректности численных методов. Для этой цели, а также для построения численных методов с заранее заданными свойствами всё чаще используются системы компьютерной алгебры (СКА) [3]-[5].

Построение разностных аппроксимаций заданного качества — &bdquo-один из главных вопросов теории численных методов," — отмечает в [1] академик А. А. Самарский. Построение разностных схем связано с громоздкими выкладками и поэтому является естественной областью для приложений систем компьютерной алгебры (СКА). Перечислим наиболее известных авторов ([б]-[16]): Вирт М. С., Ворожцов Е. В., Ганжа В. Г., Лиска Р., Мазурик С. И., Стейнберг С., Шапеев В. П., Шашков М. Ю., Щенков И. Б. (Отметим, что почти все эти авторы занимаются также исследованием устойчивости разностных схем с применением СКА). В приведённых работах для построения разностных схем используются различные методы — метод конечных элементов [7], метод разностных аппроксимаций [11], метод неопределённых коэффициентов [9] и др. Иногда авторы разрабатывают специальные методы и языки [6, 8], удобные для заданных классов дифференциальных уравнений. Программы, связанные с построением и исследованием устойчивости разностных схем, включаются в библиотечные пакеты универсальных СКА (см., например, [17]).

Построенные разностные аппроксимации используются, как правило, для проведения дальнейших численных экспериментов, поэтому возникает необходимость представления их в формате языков численного программирования. Одним из важнейших требований к СКА при построении разностных схем (и вообще при построении эффективных численных алгоритмов) является хорошо организованный символьно-численный интерфейс [18], и, в частности, возможность генерации эффективных программ на языках численного программирования (а в идеале — и для современных параллельных суперкомпьютеров).

Одним из первых, кто в нашей стране применил СКА для построении разностных схем, был В. В. Русанов — еще в 1969 г. в [23] он использовал язык РЕФАЛ [24] для вычисления коэффициентов своей знаменитой явной схемы, широко используемой в газодинамических расчётах. Схема Русанова имеет третий порядок точности. С увеличением порядка точности необходимость использования СКА возрастает.

К схемам высокого порядка точности относятся так называемые схемы максимального нечётного порядка точности. Эти схемы были предложены в работе [26] Стрэнгом (для уравнения щ ~ их) и рассматривались Цинь Мэн-чжао в работе [27], где изучались конечноразностные методы решения задачи Коши для уравнения щ + и^ = 0, t = пт, х — иЬ. Накладывалось естественное ограничение на отношение шагов сетки (т/Н) < 1. Было показано, что [27] на схемах порядка точности 1пД-1 достигаются оптимальные в Ь2 оценки сходимости.

С.И.Сердюковой в работах [28]-[30] рассматривался подкласс С-устой-чивых схем максимального нечётного порядка точности (2к — 1). При начальных данных из С£ для схем порядка точности 1п/г-1 установлена оценка погрешности решения в С порядка точности 1п 1п/г-1). Кроме того, доказано, что число точек, на которые &bdquo-размывается" изолированный разрыв, обратно пропорционально порядку схемы. Зона размывания разрыва имеет ширину порядка 1п /г-1.

Тем самым было доказано, что схемы максимального нечётного порядка точности 2к — 1, к = 0(1п/г-1), обладают свойствами, близкими к оптимальным в С, и хорошо приспособлены для счёта разрывных решений, которые нередко возникают в практических расчётах.

Построение аналога схем Стрэнга для двумерного случая производится в диссертации. Эту задачу для схем высоких порядков точности невозможно осуществить без применения СКА. Отметим, что рассматриваемое нами простейшее гиперболическое уравнение щ = сих обычно применяется при исследовании численных методов, разрабатываемых, например, для решения задач газовой динамики. Система уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах дю х, 2) т дх т = V г.

1/ г.

-(7−1)/ +.

7 ~ 3> 2 р

— 7/.

7 — 1) г2 г.

2 р Р Р.

7 — термодинамическая константа, р где г = ру, / = - (71}, 2, плотность, V — скорость, р — давление) является квазилинейной гиперболической системой. Это означает, что в рассматриваемой области изменения матрица Тш имеет различные вещественные собственные значения. При фиксированных значениях переменных такая матрица приводится к диагональному виду, то есть, получается система дщ дщ г дх'.

Поэтому простейшее гиперболическое уравнение щ = сих является хорошей моделью для исследования явлений неустойчивости, которые наблюдаются в газодинамических расчётах. Таким исследованиям посвящены работы С. К. Годунова и В. С. Рябенького [32, 33], В. В. Русанова [23], А. А. Самарского [34, 39], Р. П. Федоренко [35], И. Н. Яненко [36], а также работы Х.-О.Крайса [54, 55], Дж. Олигера [59], Р. Рихтмайера и К. Морто-на [37], Г. Стрэнга [26], В. Томэ [38].

Анализ устойчивости РКЗ является ключевым вопросом теории численных методов. Для исследования устойчивости РКЗ применяются различные методы — метод энергетических неравенств [1, 39, 40]- метод разделения переменных [41, 44]- методы, основанные на принципе максимума [1, 41, 44] и др. Однако применение этих методов на практике 2 часто оказывалось сложным — во многом из-за необходимости проведения громоздких алгебраических преобразований. Поэтому при исследовании устойчивости часто приходилось &bdquo-обращаться к эмпирике, к здравому смыслу, к интуиции" [45].

Появление и развитие СКА стимулировало появление работ, в которых устойчивость исследуется с помощью компьютера ([46]-[53]) с применением, например, спектральных методов в [46, 47], метода дифференциальных приближений в [48] и других. Отметим, что в перечисленных работах по исследованию устойчивости речь идет в основном о задаче Коши. Математический аппарат исследования краевых задач, о которых пойдет речь далее, на порядок сложнее.

В диссертации рассматриваются линейные разностные краевые задачи (РКЗ), аппроксимирующие системы гиперболических [83] дифференциальных уравнений (ДУ). Гиперболические ДУ описывают широкий класс нестационарных процессов и часто встречаются в приложениях. Общая теория устойчивости для РКЗ этого класса изложена в работах [39]-[44], [54]-[58]. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости полубесконечных разностных линейных РКЗ.

Теоретической основой проведённых нами исследований является GKSтеория, предложенная шведскими математиками Б. Густаффсоном, Х.-О.Крайсом и А. Сандстрёмом и в работах [54, 55] и развитая С.И.Сер-дюковой в работах [56]-[58]. Основные сведения из GKS-теории представлены в разделе 2.1 диссертации. GKS-теория опирается на важнейшие результаты спектральной теории Годунова-Рябенького [42]: для устойчивости полу бесконечной РКЗ необходимо, чтобы была устойчива соответствующая задача Коши и чтобы спектр оператора перехода от слоя к слою лежал в единичном круге г < 1. Если есть точки спектра вне единичного круга, наблюдается сильная неустойчивость экспоненциального типа. Если спектр расположен сторого внутри единичного круга z < 1, задача устойчива. Случай точек спектра на единичной окружности исследован С. И. Сердюковой в работах [56]-[58]. В этом случае задача может быть как устойчивой, так и неустойчивой.

Метод исследования устойчивости РКЗ, основанный на GKS-теории, носит название NMA — «Normal Mode Analysis». Анализ устойчивости в NMA сводится к задаче определения точек спектра оператора G (оператора перехода от слоя к слою) и, тем самым, к алгебраической задаче: выводу и решению системы полиномиальных уравнений. Ряд исследователей решает эту задачу численнорассмотрим кратко некоторые работы.

В работе [59] Дж. Олигер исследует устойчивость РКЗ для схемы 4-го порядка точности по пространственной переменной и 2-го порядка точности по времени для уравнения щ = —сих. В качестве дополнительных граничных условий используется аппроксимация 3-го порядка точности по пространственной переменной. Система нелинейных уравнений решается методом редукции — сведением к одному полиномиальному уравнению (очень высокой степени) от одного неизвестного. Для этого производится последовательное исключение переменных и многократное вычисление результанта (методом Коллинза вычисления полиномиальных результантов от многих переменных [60], [61]). Корни полинома находятся затем стандартными численными методами. Методика требует больших машинных ресурсов.

В работе [62] Дж. Гари обобщил предложенную Олигером аппроксимацию введением скалярного параметра в дополнительные граничные условия, что позволило управлять устойчивостью.

Д.М.Слоун [63] определил область устойчивости рассматриваемой РКЗ. Система полиномиальных уравнений в данной работе решается численно (методом, описанным в [60]), для фиксированных значений параметра, а = т/h — отношения шагов сетки. Аналогичная методика применена в работе [64].

Наиболее эффективной из существующих численных методик исследования устойчивости с использованием GKS — теории представляется методика М. Сунэ [65, 66]. Во-первых, этот алгоритм предназначен не только для одномерного, но и для двумерного по пространственным переменным гиперболического уравнения, во-вторых, он специализирован: определяются не все решения системы полиномиальных уравнений, а только те, которые лежат в кольце 1 < z < 1 + где е = 1/3A", N— число переменных в аппроксимируемой системе ДУ. (Необходимость нахождения только таких решений доказывается в [66]). Методика реализована в виде системы автоматического исследования устойчивости гиперболических РКЗ определённого класса — ШвТАВ [65].

В этих работах все вычисления проводятся, как правило, для фиксированных значений параметра, а (а — отношение шагов сетки), а это не гарантирует, что в области г > 1 будут найдены все точки спектра РКЗ. В случае численного исследования окончательный вывод об устойчивости данной РКЗ сделать невозможно, поэтому в особенности важным представляется аналитическое исследование.

Оказалось, однако, что проведение такого исследования аналитически до конца требует значительных усилий даже для простых модельных задач и аппроксимаций невысокого порядка [76, 82], так как только вывод основной системы уравнений СКБ-теории (не говоря о её решении) является достаточно трудоёмким и связан с громоздкими аналитическими выкладками, выполнить которые без применения СКА не представляется возможным. В настоящей диссертации предложена методика исследования устойчивости РКЗ с помощью СКА, включающая вывод системы полиномиальных уравнений, описывающей спектр данной задачи, и решение этой системы с помощью специального алгоритма.

Разработка этой методики началась с исследования явления неустойчивости, которое наблюдалось при численном моделировании [68]- [70] движения флюксонов в протяжённых структурах с микронеоднородно-стями [67]. Использовалась явная схема Русанова [71] третьего порядка точности, имеющая 5 точек в основании и требующая дополнительных граничных условий. В зависимости от способа аппроксимации дополнительных граничных условий рассматриваемая РКЗ оказывалась устойчивой или неустойчивой (при счёте наблюдалась сильная неустойчивость экспоненциального типа, распространяющаяся от границ). Хотелось бы такого рода явления неустойчивости исключить заранее.

Как обычно при исследовании устойчивости, использовалось модельное уравнение — как правило, если удаётся выяснить причины возникновения неустойчивости на подходящем модельном уравнении, то удаётся найти устойчивый алгоритм решения задачи. В диссертации проводится теоретическое исследование граничных условий двух типов (определяющих как устойчивость, так и неустойчивость). Выводится система полиномиальных уравнений, описывающая спектр задачи. При решении этой системы мы столкнулись со следующими трудностями. Попытки применить уже обсуждавшуюся программу IBSTAB [65], а также метод базисов Грёбнера [72, 73] успеха не имели. Применение формул Кардано и Феррари [74], а также общих символьных алгоритмов, реализованных в системе REDUCE, приводило к громоздким выражениям с радикалами, не поддающимся преобразованиям. С. И. Сердюковой и Н. Е. Мазепой был разработан специальный алгоритм [75]-[77] для решения систем полиномиальных уравнений, описывающих спектры РКЗ. Сложная алгебраическая задача вычисления спектра была сведена к решению одного полиномиального уравнения. Этот алгоритм был положен в основу программы SPECTR [79] для вычисления спектров разностных краевых задач. С помощью этой программы была исследована устойчивость ряда известных модельных краевых задач [75, 77], в частности, устойчивость дополнительных граничных условий для разностных схем максимального нечётного порядка точности [80].

В дальнейшем &bdquo-алгоритм сведения" был усовершенствован [81]. Усовершенствованный вариант алгоритма включён в методику полного исследования устойчивости линейных разностных гиперболических краевых задач, которая обсуждается в диссертации. По сравнению с предыдущей новая версия алгоритма более автоматизированавсе этапы исследования проводятся на компьютере с помощью систем REDUCE и MAPLE [22]. Расширен круг исследуемых задач вплоть до схем 6 порядка точности. Алгоритм может быть использован для решения более сложных задач — так, в работе [82] данный алгоритм используется С. И. Сердюковой и М. Сунэ для исследования устойчивости схемы Русанова и схемы Гари с начальными условиями, дополнительными граничными условиями и условиями стыковки на областях составной структурыиспользуются СКА REDUCE и MAPLE. В случае схемы Гари была получена система уравнений седьмого порядка, которая была сведена к полиному 900 степени. Этот полином был вычислен и факторизован с помощью системы MAPLEполученные уравнения (от одной переменной), порядки которых не превосходили 100, были решены численно с помощью REDUCE.

Усовершенствованный алгоритм &bdquo-работает" следующим образом: сначала исследуемая нелинейная система уравнений, описывающая спектр, алгебраическими методами сводится к двум полиномиальным уравнениям. После вычисления результанта [72] получаем одно полиномиальное уравнение, которое решается численно. (Отметим, что на вычисление полиномиального результанта опираются многие современные алгоритмы компьютерной алгебры для решения нелинейных систем уравнений [72, 86, 87], развиваемые наряду с алгоритмами, основанными на использовании базисов Грёбнера [5, 72]).

Таким образом, рассматриваемая методика позволяет с помощью компьютера исследовать устойчивость определённого класса РКЗ, таких, например, как упоминавшаяся задача [67] о движении флюксонов в системе с микронеоднородностями. Отметим, что эта задача описывается уравнением, являющимся модификацией знаменитого нелинейного уравнения синус-Гордон [89]: является полностью интегрируемым и имеет точные аналитические решения, описывающие взаимодействие N солитонов (кинков). Однако на практике часто приходится иметь дело с нелинейными уравнениями, не являющимися полностью интегрируемыми. К таким уравнениям, как правило, относятся неодномерные (I) > 2) нелинейные уравнения в частных производных. Свойства частицеподобных решений (солитонов) таких уравнений за редким исключением не удаётся изучить аналитически. Основным средством решения таких уравнений служит численный эксперимент (см. [90]). В диссертации рассматриваются двумерные модели магнетиков Гейзенберга (МГ) и численно исследуются стационарные (&bdquo-частицеподобные") решения соответствующих нелинейных уравнений в частных производных, описывающие локализованное в двумерном пространстве распределение нормированного (единичного) вектора намагниченности. Интересно отметить, что в результате редукции рас.

Фы = Фхх — - х0))з'тф — афг.

0.1).

Напомним, что уравнение синус-Гордон имеет вид.

Щг — ихх + и — 0).

0−2) сматриваемой в разделе 3.2 модели МГ может быть получено уравнение синус-Гордон.

Компьютерный эксперимент является наиболее широко используемым подходом не только для поиска частицеподобных решений, а также для исследования их формирования, устойчивости и динамики взаимодействия. Для моделирования солитонов используются различные численные методыможно выделить два основных подхода: метод аппроксимирующих функций и конечноразностный метод. В случае использования первого подхода точное решение u (x, t) аппроксимируется приближённым решением u (x, t), определённым на конечномерном подпространстве: п u (x, t) И U (x, t) — Cj (t)ipi (х). о.

Функции cpi (x) образуют соответствующим образом выбранный базис. Обычно выбираются тригонометрические функции, что приводит к спектральному методу. Другой выбор базиса определяет метод конечных элементов.

Пожалуй, самым популярным методом при численном моделировании нелинейных уравнений остаётся конечноразностный метод. Используются как явные, так и неявные разностные схемы. В качестве примера рассмотрим уравнение синус-Гордон. По-видимому, первыми, кто численно исследовал это уравнение, были Дж.Л.Перринг и Т. Скирм [92]. Они использовали два подхода. Во-первых, простую схему с чередованием:

1 = -гС1 + а2"+1 + гС-j) + 2(1 — a2) unm — г sin<, (0.3) где, а = г/А. Численные тесты и линейный анализ устойчивости показали, что схема неустойчива при г = h, но было найдено, что выбор г = 0.95h устраняет неустойчивость. Второй подход связан с представлением этого уравнения в виде пары двух уравнений первого порядка, принимающих вид.

Ux + Щ = и, Vx — vt = sin u, (0.4) и введением новых переменных r?,? = t±x, таких, что (0.4) приводится к виду.

1 1 uv = nvi v^ = —smu (0.5) к так называемой характеристической форме). Характеристиками в этом случае являются прямые линии. Уравнения (0.5) можно решить стандартными методами для решения обыкновенных ДУ. С использованием обоих подходов было исследовано взаимодействие кинков. Были исследованы также связанные состояния типа пары кинк-антикинк (бри-зеры).

В работе [93] М.Дж.Абловиц, М. Д. Крускал и Дж.Ф.Лейдик показали, что схему (0.3) можно сделать устойчивой для т = к, если в последнем члене заменить и^ пространственным средним + гС-1)* ® этом случае схема имеет вид.

Эта схема более эффективна, чем предыдущая, при её использовании затраты машинного времени уменьшаются в два раза. Существуют, конечно, и другие интересные схемы, аппроксимирующие уравнение синус-Гордон.

При проведении компьютерных экспериментов на основе эволюционных уравнений целесообразно контролировать выполнение законов сохранения таких величин, как энергия, импульс и заряд. Важным является вопрос о способе выбора граничных условий. При численном исследовании от задачи с граничными условиями на бесконечности переходят к задаче на некотором конечном интервале. При этом границу стараются выбрать на большом расстоянии от области, где функция имеет характерные особенности. Иногда используют так называемое условие потока наружу: предполагают, что любая часть решения, достигающая границы, удовлетворяет некоторому линейному или нелинейному однонаправленному волновому уравнению, которое в каком-то смысле аппроксимирует исходное уравнение. Это позволяет избавиться от трудностей, вызываемых отражением от границ. Иногда для этих же целей вблизи границы вводится &bdquo-поглощающий" слой.

Переходя к рассмотрению моделей магнетика Гейзенберга (МГ), изучаемых в диссертации, отметим, что эти модели являются примером так называемых нелинейных ДТ-компонентных сигма-моделей с N — 3. Уравнения Лагранжа-Эйлера, определяемые лагранжианами УУ-компонентных нелинейных сигма—моделей описывают (при заданных начальных и гра.

— гС1 + <+1 + - Д2 8т{-«+1 +.

0.6) ничных условиях) эволюцию во времени пространственных распределений единичного iV-компонентного изовектора sasa = 1, i, а = 1,., N, к = 1,, т. е. задают отображения (D + 1)—мерного пространства-времени на единичную сферу SN1. Важно отметить, что для некоторых сочетаний D w N эти отображения характеризуются существованием особых целочисленных интегралов движения (&bdquo-топологических зарядов"), сохраняющихся независимо от конкретного вида уравнений движения. Локализованные решения с такими зарядами называются топологическими солитонами.

Приведём примеры неодномерных стационарных топологических со-литонов в соответствующих сигма-моделях. В ядерной физике и физике адронов это &bdquo-скирмионы" в модели Скирма (см., например [91], рассматриваемые как барионы с барионным зарядом, определяемым величиной топологического заряда [102]. В квантовой теории поля — монополи т’Хофта-Полякова [105, 106] в соответствующих моделях. В модели двумерного изотропного магнетика Гейзенберга — это солитоны Белавина— Полякова [107]. Исследованиям стационарных и нестационарных топологических солитонов в различных моделях магнетиков гейзенберговского типа посвящена монография [98], в которой изложен единый подход к исследованиям магнитных солитонов на основе макроскопических уравнений динамики намагниченности (уравнений Ландау-Лифшица).

Модели МГ, будучи нелинейными сигма-моделями с N = 3, обладают нетривиальными топологическими свойствами при D = 2 и D — 3. В диссертации рассмотрены топологические солитоны с ненулевыми топологическими зарядами при D = 2.

В случае однополевых моделей, к числу которых относятся нелинейные сигма-модели (без включения дополнительных полей, например, векторных) существует серьезное препятствие для существования (устойчивых) D—мерных (D > 2) стационарных солитонов, известное как теорема Деррика-Хоббарта [103], которая доказывается в вариационном подходе при рассмотрении масштабных преобразований. Однако можно указать по крайней мере два способа обхода этого препятствия. Один из них был использован Скирмом [102] при разработке квазиклассической модели ба-рионов, в которой адрону с единичным барионным зарядом ставится в соответствие стационарный солитон с единичным топологическим зарядом (степенью отображения Я, 3 —" б" 3). В моделях Скирма и ее обобщениях (для которых N = 4, И = 3) эффективный квазиклассический лагранжиан содержит стабилизирующие члены 4-го (или более высокого) порядка по пространственным производным единичного 4-компонентного изовектора 3{(хк). В диссертации этот механизм стабилизации и построения устойчивых солитонов изучается для сигма-модели с N — 3, И = 2, т. е. для моделей магнетиков Гейзенберга при наличии анизотропии типа «лёгкая ось» .

В диссертации рассмотрен также другой возможный механизм существования устойчивых стационарных солитонов в нелинейных £)-мерных сигма-моделях, связанный с включением взаимодействия дополнительных полей (например, векторных) со скалярным полем единичного изовектора. Предложена калибровочно-инвариантная модель анизотропного антиферромагнетика (АФМ) Гейзенберга, в качестве дополнительного поля рассматривается поле Максвелла.

Исследования двумерных (2.0) моделей магнетиков Гейзенберга являются актуальными для описания явлений в тонких магнитных плёнках [97]. Большое внимание, уделяемое в последнее время в теории магнетизма 2И моделям, объясняется появленим новых материалов (среди которых особое место занимают высокотемпературные сверхпроводники) с выраженной слоистой (&bdquo-квазидвумерной," ф2И) структурой [129]. Использование 2Б моделей для слоистых <52.0 материалов эквивалентно пренебрежению взаимодействием спинов, находящихся в разных слоях, по сравнению с взаимодействиями спинов, находящихся в выбранном слое.

Кратко опишем содержание представляемой диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы.

Заключение

.

1. Для случая двух пространственных переменных построен аналог известных явных схем максимального нечётного (3,5,7,9) порядка точности. Используется система REDUCE. На численном эксперименте проверяется устойчивость в С построенных разностных аппроксимаций: установлена ограниченность функции Грина G™ • в метрике Ь при естественном ограничении на отношение шагов сетки (т/h) < Результаты численных экспериментов показывают также, что построенные схемы хорошо приспособлены для счёта разрывных решений. Как и в случае одной пространственной переменной, схемы максимального чётного порядка точности такими хорошими свойствами не обладают.

2. Разработана и реализована на языках REDUCE и MAPLE методика полного исследования устойчивости линейных разностных гиперболических краевых задач. Система полиномиальных уравнений, описывающая спектр, сводится к решению одного уравнения. Методика применима к схемам вплоть до 6 порядка точности. Исследована устойчивость ряда практически важных модельных задач.

3. Исследовано явление неустойчивости, которое наблюдалось в окрестности границ при численном моделировании движения флюксонов в протяжённой системе с микронеоднородностями. Движение флюксонов описывается уравнением синус-Гордона с сингулярностями. Теоретически исследованы два типа граничных условий: одно из дополнительных граничных условий, приводящих к сильным осцилляциям, и схема-тренога, обеспечивающая устойчивость.

4. Аналитически показано, что в классической модели анизотропного магнетика Гейзенберга (при любом виде анизотропии) двумерные стационарные солитоны существовать не могут. Предложены и исследованы два различных обобщения этой модели, для которых существование двумерных стационарных солитонов оказывается возможным.

5. Выполнено численное моделирование двумерных стационарных солитонов в модели легкоосного магнетика Гейзенберга со стабилизирующими членами типа Скирма. Методом конечных разностей (с использованием техники &bdquo-стрельбы") решается двумерное нелинейное уравнение Гейзенберга-Скирма 2 порядка с граничными условиями. Численно найдены солитоны с топологическими зарядами = 1,2 для различных значений характерного безразмерного параметра р. Показано отсутствие нетопологических (<5 = 0) солитонов. Установлено, что солитоны с топологическим зарядом ф = 1 притягиваются друг к другу, и энергетически выгодным является образование их связанного солитонного состояния с топологическим зарядом <3 = 2.

6. Численно исследована 1/(1) калибровочно-инвариантная модель легкоосного антиферромагнетика Гейзенберга (АЗМ модель). Найдена подстановка, сводящая задачу поиска стационарных двумерных солитонов в АЗМ модели к решению системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями в нуле и на бесконечности. Для решения этой системы разработан специальный метод установления, позволяющий наблюдать &bdquo-эволюционный" процесс &bdquo-формирования" стационарных локализованных решений.

7. Численно найдены двумерные стационарные солитонные решения АЗМ модели с топологическим зарядом (?} = 1. Показано, что они существуют в области значений безразмерного параметра 0 < р < ро и 0.4. Обнаружено, что энергия двумерных солитонов в АЗМ-модели меньше энергии двумерных солитонов Белавина-Полякова в изотропном МГ, т. е. солитоны АЗМ модели при 0 < р < р0 ~ 0.4 представляют собой локализованное связанное состояние двух полей — АЗ-поля и поля Максвелла.

Автор глубоко и искренне благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук С. И. Сердюковой за руководство работой и помощь на всех этапах работы над диссертацией. Автор благодарен профессорам Е. П. Жидкову и В. П. Гердту за постоянную поддержку и полезные обсуждения, а также В. А. Ростовцеву за конструктивную помощь и ценные консультации.