Дипломы, курсовые, рефераты, контрольные...
Срочная помощь в учёбе

Аппроксимационные и регуляризирующие свойства штрафных функций и функций Лагранжа в математическом программировании

Диссертация: Аппроксимационные и регуляризирующие свойства штрафных функций и функций Лагранжа в математическом программировании
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Большое значение при численном решении задачи (1) имеет корректность ее постановки. Решение корректно поставленной задачи должно непрерывно зависеть от информации о функциях fi (x). Так как в реальных практических задачах эти функции задаются, как правило, с определенной степенью погрешности, то решение этой приближенной задачи в случае ее корректности и малой величины погрешности будет близким… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Метод штрафных функций и несобственная задача выпуклого программирования
    • 1. 1. Метод штрафных функций для задач выпуклого программирования
      • 1. 1. 1. Метод точных штрафных функций
      • 1. 1. 2. Асимптотический случай
    • 1. 2. Метод штрафных функций и оптимальная коррекция несобственных задач выпуклого программирования
    • 1. 3. Метод штрафных функций в лексикографической оптимизации
    • 1. 4. Расширенная штрафная функция в анализе несобственных задач выпуклого программирования
    • 1. 5. Комбинирование точной и квадратичной штрафных функций
    • 1. 6. Метод барьерных функций
    • 1. 7. Метод барьерных функций и оптимальная коррекция несобственных задач выпуклого программирования
  • Глава 2. Методы регуляризированной функции Лагранжа
    • 2. 1. Разрешимая задача выпуклого программирования
      • 2. 1. 1. Общий вид стабилизирующих функций
      • 2. 1. 2. Стабилизирующие функции на базе евклидовой нормы
      • 2. 1. 3. Применение нормы Гельдера
    • 2. 2. Несобственная задача выпуклого программирования
      • 2. 2. 1. Несобственная задача выпуклого программирования
  • 1-го рода
    • 2. 2. 2. Общий случай несобственности задачи выпуклого программирования
    • 2. 3. Несобственная задача линейного программирования
    • 2. 4. Несобственная задача квадратичного программирования
    • 2. 5. Задача полноквадратичного программирования
    • 2. 6. Об одном общем подходе к оптимальной коррекции несобственных задач выпуклого программирования
    • 2. 6. 1. Задача выпуклого программирования с противоречивыми ограничениями
    • 2. 6. 2. Задача выпуклого программирования с совместной системой ограничений
  • Глава 3. Методы регуляризации задач выпуклого программирования
    • 3. 1. Метод штрафных функций и регуляризация задачи выпуклого программирования
    • 3. 2. Метод барьерных функций и регуляризация задач выпуклого программирования
  • З.З.Регуляризирующие свойства модифицированной функции
  • Лагранжа La{pc, Л) для задач, заданных приближенно
    • 3. 3. 1. Регуляризация разрешимых задач выпуклого программирования
    • 3. 3. 2. Несобственная задача выпуклого программирования
    • 3. 4. Методы регуляризации на основе расширенных штрафных функций
    • 3. 5. Метод расширенной штрафной функции и регуляризация задачи линейного программирования
    • 3. 6. Методы итеративной регуляризации для несобственных задач линейного и выпуклого программирования
    • 3. 6. 1. Метод итеративной регуляризации для разрешимой задачи линейного программирования
    • 3. 6. 2. Итеративная регуляризация несобственной задачи линейного программирования
    • 3. 6. 3. Метод итеративной регуляризации для несобственной задачи выпуклого программирования

Аппроксимационные и регуляризирующие свойства штрафных функций и функций Лагранжа в математическом программировании (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Данная работа посвящена построению и исследованию свойств методов численного анализа задач математического программирования (МП), основанных на применении различных модификаций штрафных функций и функций Лагранжа. Основное внимание при этом уделяется задачам оптимизации с особенностями, прежде всего, несобственным и некорректно поставленным.

Рассмотрим задачу МП где X = {х еЖп: Цх) < 0}, /(ж) = [Л (х),., /т (х)], /¿-(ж) непрерывные функции, определенные на 1п (г = 0,1,., т).

Метод штрафных функций лежит в основе универсального подхода к решению экстремальных задач различной природы. Применительно к МП данный метод ставит в соответствие проблеме (1) последовательность задач где = /о (ж) + Ф (ж, г), Ф (ж, г) — заданная некоторым образом функция «штрафа» за нарушение ограничений, определяющих множество X, 7* = [7*1,. , Гт] ~ вектор штрафных коэффициентов, Г{ > 0, 1 < г < т, Хо — множество более простой природы, чемX (чаще всего Хо = Мп). Функция Ф (х, г) строится таким образом, чтобы последовательность решений задачи (2) сходилась (в том или ином смысле при определенном изменении параметра г) к решению исходной задачи (1).

Метод штрафных функций порождает не только целое семейство вычислительных процедур, но и служит эффективным инструментом теоретического анализа задач оптимизации. Методу посвящено большое количество работ (их обзоры содержатся, например, в [12, 20, 47, 55, 83, 112, 167, 184, тш{Мх):хеХ} (=/*),.

1).

2>

185]). При этом важное значение имеет метод точных штрафных функций, предложенный в 1966 г. И. И. Ереминым [61, 62, 242]. Данный метод позволяет в принципе свести решение исходной задачи на условный экстремум к однократной минимизации без ограничений подходящим образом выбранной вспомогательной функции. Проблема построения таких функций и нахождение условий точности для различных классов задач МП занимает заметное место в специальной литературе и продолжает оставаться актуальной [48, 52, 56, 57, 68, 185, 192, 197, 206, 211, 243].

Вместе с тем точные штрафные функции не всегда отвечают необходимым условиям гладкости для применения эффективных процедур численной минимизации к решению задачи (2). С другой стороны, выбор конструкций штрафных функций достаточно обширен, что позволяет в общем случае обеспечить требуемые свойства выпуклости и гладкости функции г) при фиксированном г, но при этом сходимость метода достигается в пределе при ттгг —> +оо. С ростом же г увеличивается овражность функции Ф (ж, г) (ухудшается обусловленность (см., например, [123, 217]) задачи (2)), что влечет за собой значительные вычислительные трудности при практическом поиске минимума F (x, г).

Один из возможных путей преодоления трудностей, возникающих вследствие ухудшения обусловленности задачи (2), предлагает метод модифицированной функции Лагранжа. Наиболее прозрачно идея этого метода выглядит для задачи (1) с ограничениями-равенствами fi (x) = 0, г = 1, m. В этом случае задаче (1) ставится в соответствие задача mi M (х, А, г), (3) X m где М (х, А, г) = /оН + ЕШ + Ф^г), А = [Ai,., Am] > 0, i.

Ф (ж, г) = г > 0. С одной стороны, данный метод можно рассматривать как некоторое расширение метода штрафных функций (за счет введения в штрафную функцию дополнительного слагаемого т.

X))> с Другой — замечаем, что М (х, Л, г) = Ь (х, А) + Ф (ж, г), где 1.

Ь (х, Л) = /о (^) + X Лг/г (ж)) — стандартная функция Лагранжа для задачи (1). Поэтому М (х, Х, г) можно интерпретировать и как определенную модификацию функции Лагранжа для задачи (1).

Хорошо известна тесная связь между решением задачи (1) и нахождением седловых точек [х, А] функции Ь (х, А). Эта связь, выраженная в классической теореме Куна-Таккера [171], играет центральную роль в теории МП. Множители Лагранжа, А важны при анализе оптимальности и устойчивости в задаче МП [39, 73, 108], имеют наглядную и полезную интерпретацию, связанную с содержательной постановкой задач, прежде всего, экономических [72, 86, 104]. Идея поиска седловых точек функции Ь (х, А) широко используется для построения численных алгоритмов МП. Типичным представителем таких алгоритмов является градиентный метод Эрроу-Гурвица [171]. Однако данный метод сходится при достаточно жестких ограничениях на задачу (1) [40, 87, 123, 171]. Причина плохой сходимости кроется в неоднородности свойств выпуклости и вогнутости функции Ь (х, А) по х и по, А соответственно.

Для улучшения сходимости метода Эрроу-Гурвица и была первоначально использована [171] функция М (х, А, г) из (3). Таким образом, целесообразность рассмотрения модификаций функции Лагранжа обусловлена как трудностями численной реализации алгоритмов, основанных на штрафных функциях, так и алгоритмов поиска седловых точек функции Ь (х, А).

С конца 60-х годов прошлого столетия был предложен достаточно широкий спектр модификаций функции Лагранжа и численных алгоритмов, основанных на их применении, для различных классов задач МП [4, 35, 42, 55, 79, 84, 123, 124, 183, 184, 191, 196, 208, 227, 229, 244]. Как правило, новые функции строились таким образом, чтобы имело место совпадение множеств седловых точек модифицированной функции Лагранжа и функции L (x, А) или оно достигалось в пределе при изменении соответствующих параметров.

Современные тенденции в развитии методов штрафных функций и модифицированных функций Лагранжа состоят как в нахождении новых перспективных конструкций вспомогательных функций (например, сочетающих свойства функции Лагранжа и барьерных функций [127, 128, 176, 179, 195, 226]), так и в максимальном расширении сферы применения этих функций. В первую очередь это касается построения новых алгоритмов для анализа таких классов задач МП, как невыпуклые [48, 58, 84, 95, 178, 186, 187, 191, 202, 210], негладкие [25, 51, 175, 238], нестационарные [32, 55, 75], бесконечномерные [1, 9, 52, 189, 190, 193, 198, 232], многокритериальные [82, 90, 121, 166], полуопределенные [194, 212, 225, 237], билинейные [6, 241], несобственные [29, 76, 126,140,150,155] и некорректные [3,18,19, 22,152], а также задач большой размерности [180]. В настоящей работе основное внимание уделяется применению указанных выше функций к несобственным и некорректным задачам линейного и выпуклого программирования.

Одним из важнейших в теории МП является понятие двойственности. Задача, двойственная к (1), может быть сформулирована как где ф (А) = іпїЦх, А), А = {А Є 1?: ф (А) > -оо}. Из теории двойх ственности для различных классов задач МП известны условия (см., например, [12, 39, 73,129,131,170]), при которых для задач (1) и (4) выполняются соотношения двойственности где X* и А* — множества решений задач (1) и (4) соответственно. max{V>(A): А Є А}, (= ф*).

4).

X* ^ 0, А* ^ 0, /* =.

Если соотношения двойственности (5) не выполняются, то задача (1) становится несобственной [76]. Свойство несобственности тесно связано с тем, совместны или нет множества X и Л. Поэтому о несобственных задачах говорят в более узком смысле как о «противоречивых» моделях МП или как о задачах МП с противоречивыми ограничениями.

Интерес к противоречивым моделям обусловлен как потребностями математической теории (анализ систем уравнений и неравенств, задачи теории приближения функций, некорректные задачи, задачи идентификации, распознавания образов и др.), так и необходимостью анализа прикладных задач с противоречивыми условиями, прежде всего экономических. При этом практика показывает, что появление несовместных моделей в сфере управления производственной деятельностью — это обычное явление. Причинами его могут быть, с одной стороны, погрешности моделирования сложной экономической системы (ошибки в выборе и оценке структурных связей, плохое качество исходной информации, трудности формализации и т. п.), с другой, — объективные противоречия, характеризующие моделируемую систему. Так, для систем управления производственно-экономической деятельностью противоречивость может возникнуть вследствие дефицита сырьевых, финансовых и других ресурсов, необоснованности требований к состоянию технико-экономических показателей, несогласованности целей производства и охраны окружающей среды, стремления к оптимизации по нескольким критериям и т. д.

Распространенность и актуальность несобственных задач порождает острую необходимость разработки теории и методов их численной аппроксимации. Отдельные публикации, связанные с анализом противоречивых задач, появились достаточно давно [60, 63, 103,110, 115, 116]. Систематическое же исследование несобственных задач МП было инициировано работами уральской школы по МП, возглавляемой академиком И. И. Ереминым.

65, 67, 74, 76]. Впоследствии эта тема получила достаточно широкое отражение в специальной литературе [17, 26, 28, 29, 44, 46, 78, 89, 102, 111, 114, 125, 169, 172, 188, 216, 231]. В области теории несобственных задач основное внимание уделялось формированию двойственных задач и выводу соотношений двойственности [8, 66, 71, 72, 74, 113], в области численных методов — созданию методов оптимальной коррекции несобственных задач [2, 27, 91, 126, 142, 150]. Построение методов оптимальной коррекции как объективных процедур «развязки» противоречивых ограничений может базироваться на разных идеях. Это может быть идея погружения рассматриваемой противоречивой модели в параметрическое семейство разрешимых задач с нахождением при этом оптимального значения параметра. Далее, существует идея ранжирования ограничений, когда условия задачи разбиваются на две части. Одна часть ограничений определяет непустое множество M, а вторая агрегируется с помощью вспомогательной штрафной функции с последующей ее минимизацией на M. Наконец, это может быть подход с позиций дискретной оптимизации, связанной с решением оптимизационной задачи на совместных покрытиях системы ограничений исходной модели.

Большое значение при численном решении задачи (1) имеет корректность ее постановки. Решение корректно поставленной задачи должно непрерывно зависеть от информации о функциях fi (x). Так как в реальных практических задачах эти функции задаются, как правило, с определенной степенью погрешности, то решение этой приближенной задачи в случае ее корректности и малой величины погрешности будет близким к решению точно заданной задачи. С другой стороны, многие важные в прикладном отношении задачи планирования, проектирования и управления не обладают [163] свойством корректности, т. е. задачи являются некорректно поставленными. Более строго: задача (1) некорректно поставлена [18], если /* > — ОО, X* 0, существует последовательность точек Xf~ Е X таких, что lim fo{xk) = /*, но lim p (xk, X*) ф 0. В таких задачах в качеоо к—>оо стве приближенного решения, вообще говоря, нельзя брать элемент минимизирующей последовательности с произвольно большим номером к. Для этой цели требуется строить специальные методы, которые бы обеспечивали сходимость итерационной последовательности точек к множеству решений задачи (1). Такие методы называются методами регуляризации.

Начало исследований теории и методов некорректных задач связано с именами А. Н. Тихонова [161, 162], В. К. Иванова [92, 93], М. М. Лаврентьева [105]. К настоящему времени по данной проблематике опубликовано значительное количество работ, среди которых отметим [15, 18, 21, 24, 69, 94, 101, 106, 117, 163, 164]. К этому направлению также тесно примыкают исследования по устойчивости задач МП (работы [7, 10, 16, 70, 108, 166, 174, 177, 199, 204, 245] — для непрерывных задач МП, [49, 50, 59, 132] — для дискретного случая).

Таким образом, тематика предлагаемой работы, посвященная построению и обоснованию методов МП, основанных на использовании различных модификаций штрафных функций и функций Лагранжа применительно, в первую очередь, к несобственным и некорректным задачам, лежит в русле современных исследований в области математической оптимизации.

Настоящая работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1. Построены новые общие конструкции штрафных функционалов и сформулированы условия точности и асимптотической сходимости метода штрафных функций как для разрешимой задачи выпуклого программирования, так и обеспечивающие оптимальную коррекцию задачи в случае ее несобственности- ¦ введены новые перспективные расширения штрафных функций, обладающие характерными свойствами модифицированных функций Лагранжапостроен на основе предложенных вариантов штрафных функций ряд итерационных алгоритмов, сходящихся к решению задачи, аппроксимирующей исходную несобственную постановку.

2. Получены оценки уклонений компонент седловой точки регуляризо-ванной по прямым и двойственным переменным функции Лагранжа Ьа (х, А) от решений исходной и двойственной задач ВП, в том числе, и для несобственных постановокисследованы различные по степени общности виды стабилизирующих добавокпредложены и обоснованы два универсальных по отношению к типам несобственности подхода к оптимальной коррекции задач ВП, основанных на применении функции Ьа (х, А) .

3. Найдены условия управления параметрами регуляризации, а = [а, ?3] функции Ьа (х, А) в случае симметрической аппроксимации несобственных задач линейного и квадратичного программирования для нахождения минимальных по норме решений соответствующей пары двойственных задач.

4. Исследованы регуляризирующие свойства ряда модификаций штрафных функций и функции La (x, А) в условиях неточно заданной информации об исходной задаче ВП как для разрешимого, так и для несобственного случаевпредложены новые варианты конструктивно реализуемого метода регуляризации для задач линейного и выпуклого программирования, использующие расширенные штрафные функции и функцию La (x, А) и основанные, в частности, на идее итеративной регуляризации.

5. При доказательстве аппроксимационных и регуляризирующих свойств различных модификаций штрафных функций и функции Лагранжа получил систематическое развитие оценочный подход, опирающийся, в первую очередь, на теорию двойственности для соответствующих классов задач оптимизации.

Результаты, составляющие основное содержание диссертации, опубликованы в следующих работах автора:

§ 1.1 — [151, 153], § 1.2 — [140, 141, 153, 154], § 1.3 — [140, 141, 234],.

§ 1.4 — [156, 157], § 1.5 — [139, 155], § 1.6 — [139, 155], § 1.7- [150, 155],.

§ 2.1 — [135, 235], § 2.2 — [142, 148, 149, 235], § 2.3 — [144],.

§ 2.4 — [235], § 2.5 — [147], § 2.6 — [158],.

§ 3.1 — [153], § 3.2 — [155], § 3.3 — [152],.

§ 3.4 — [157], § 3.5 — [136, 137, 157], § 3.6 — [138, 143, 145].

Обозначения и сокращения.

Мп — вещественное пмерное евклидово пространство- (•, ¦) — скалярное произведение в М71- х = [жі,., жп] — вектор х Є Мп с координатами Xj (при матричной записи х — матрица размера (n х 1)) — х > 0 — Xj > 0 для всех j = 1,., п — х > 0 — Xj > 0 для всех j — 1,., п — {х <�е W1: х > 0} - ж: ?} — множество всех точек х, удовлетворяющих условию С — — равно по определению;

V х Є М — для всех точек х из множества М ;

3 х Є М — существует точка х множества М — п.

Wx\i = хз ~~ октаэдрическая норма вектора х — г=1.

Оп^ ½.

Г xf J — евклидова норма вектора х Є Мп — / п і/Р.

МІр = (xjP) ~ норма Гельдера вектора х (1 < р < оо) ;

ЦхЦоо = max xj — чебышевская норма вектора х — 1.

Ат — матрица, транспонированная к матрице, А ;

Е — единичная матрицаА\ — норма матрицы, А — intX — внутренность множества X — diamX = sup ||ж — у\ — диаметр множества X ;

Х, уех sup — точная верхняя граньinf — точная нижняя грань- /+(*) = max {0,/(я)}- а [аь ., ап]+ = [а+,., а+] ег- = ef = [0,., 1,., 0] — гй единичный вектор пространства Rn — i df (x) — субдифференциал выпуклой функции f (x) в точке х — V/M =, • • •, dj^ — градиент функции f (x) в точке ж — df (x) f (x + al)—f (x) l ' = lim -^-J v ' — производная функции / в точке х по направлению I? Жп — Ргм (х) — проекция точки х на множество М С Rn — р (х, М) = inf IIж — у\ — расстояние от точки х до множества М — уеМ.

Arg min f{x) — множество точек глобального минимума функции f{x) на хеХ множестве Xarg min f (x) — точка из множества Arg min/(ж) — х? Х ХЕХ.

1) найти /* = inf f (x),.

2) если inf достигается, найти х* = arg min/(ж) — xGX.

Arg (Р) — множество решений задачи Р — arg (P) — элемент множества Arg (P) — opt (P) — оптимальное значение задачи Р — N — множество натуральных чиселк, р= {к, к +1,., р}, к, р? N- 7 ] — целая часть числа 7 ;

ЛП — линейное программированиеКП — квадратичное программирование;

ВП — выпуклое программированиеМП — математическое программированиеНЗ — несобственная задача.

Заключение

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Абанъкин А.Е.О точных штрафных функциях // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 1995. 3(13). -С. 3−8.
  2. А.П. Несобственные задачи оптимального выбора плановых пропорций. -В кн. «Исследование операций (модели, системы, решения)». -М.: ВЦ РАН, 1994. -С. 3−14.
  3. A.C. Метод регуляризации в задачах выпуклого программирования // Экономика и матем. методы, 1975. -Т. 11, № 2. -С. 336−342.
  4. A.C. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа. -М.: Изд-во ВНИИСИ, 1979. -74 с.
  5. A.C. О сходимости и оценках скорости сходимости проксимальных методов к неподвижным точкам экстремальных отображений // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1995. -Т. 35, № 5. -С. 688−704.
  6. A.C. Методы множителей в билинейном равновесном программировании с приложением к играм с ненулевой суммой // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2002. -Т. 8, № 1. -С. 3−30.
  7. H.H. Устойчивость и маргинальные значения задачи выпуклого программирования // Сиб. мат. ж., 1978. -Т. 19, № 3. -С. 491−503.
  8. H.H. Бесконечномерные задачи линейного программирования с разрывом в двойственности // ДАН СССР, 1984. -Т. 275, № 5. -С. 1033−1036.
  9. H.H. Бесконечные системы линейных неравенств в математическом программировании. -М.: Наука, 1991. -136 с.229
  10. С.А. Линейное программирование. -М.: Наука, 1981. -340 с.
  11. Л.Т., Белов Б. И., Булатов В. П. Численные методы в математическом программировании и оптимальном управлении. -Новосибирск: Наука, 1984. -233 с.
  12. М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. -М.: Мир, 1982. -583 с.
  13. А.Б. Методы решения монотонных вариационных неравенств, основанные на принципе итеративной регуляризации // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1977. -Т. 17, № 6. -С. 1350−1362.
  14. А.Б. К принципу итеративной регуляризации // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1979. -Т. 19, № 4. -С. 1040−1043.
  15. А.Б., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1989. -128 с.
  16. Е.Г. Разрешимость и устойчивость задач математического программирования. -В кн. «Методы оптимизации и их приложения» (Тр. ХШ-й Байкальской междунар. шк.-сем.). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. -Т. 1. -С. 203−208.
  17. В.А. Обобщенные решения и регуляризация систем неравенств // Вычисл. методы линейной алгебры. -Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1985. -Т. 6. -С. 161−174.
  18. Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988. -552 с.
  19. Ф.П., Иваницкий А. Ю. Линейное программирование. -М.: Факториал, 1998. -176 с.
  20. Ф.П., Ковач М. О регуляризации некорректных экстремальных задач с использованием штрафных и барьерных функций / / Вестник Моск. ун-та. Сер. вычисл. матем. и киберн., 1980. 2. -С. 29−35.
  21. Ф.П., Ячимович М. Д. Об итеративной регуляризации метода условного градиента и метода Ньютона при неточно заданных исходных данных // ДАН СССР, 1980. -Т. 250, № 2. -С. 265−269.
  22. В.В., Агеев A.J1. Некорректные задачи с априорной информацией. -Екатеринбург: УИФ Наука, 1993. -262 с.
  23. В.В., Еремин И. И. Операторы и итерационные процессы фейе-ровского типа. Теория и приложения. -Екатеринбург: УрО РАН, 2005. -212 с.
  24. A.A. Об аппроксимации несобственных задач выпуклого программирования // Мат. заметки, 1983. -Т. 33, вып. 4. -С. 627−636.
  25. A.A. Аппроксимация несобственных задач линейного программирования по критерию евклидовой нормы // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1984. -Т. 24, № 2. -С. 1907−1908.
  26. А.И., Гольштейн Е. Г. О задаче линейного программирования в размытой постановке // Экономика и матем. методы, 1986. -Т. 22, № 6. -С. 1078−1093.
  27. А.И., Третьяков И. В. Об использовании модифицированных функций Лагранжа для корректировки несовместных задач выпуклого программирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1988. 1. -С. 70−81.
  28. В. Б. Некоторые свойства функции Лагранжа в задачах математического программирования // Кибернетика, 1986. -№ 1. -С. 65−69.
  29. A.A., Нестеров Ю. Е., Чеканов Ю. Н. О равномерно выпуклых функционалах // Вестник Моск. ун-та. Сер. вычисл. матем. и киберн., 1978. 1. -С. 12−23.
  30. By Г., Намм Р. В., Сачков С. А. Итерационный метод поиска седло-вой точки для полукоэрцитивной задачи Синьорини, основанный на модифицированном функционале Лагранжа // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 2006. -Т. 46, № 1. -С. 25−36.
  31. Ю.Б. К задаче отыскания максимина с ограничениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1970. -Т. 10, № 1. -С. 39−54.
  32. Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. -М.: Мир, 1985. -509 с.
  33. А.И. Модифицированные функции Лагранжа в нелинейном программировании. -М.: ВЦ АН СССР, 1988. -56 с.
  34. А.И., Евтушенко Ю. Г. Отыскание нормальных решений в задачах линейного программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 2000. -Т. 40, № 12. -С. 1766−1786.
  35. А.И., Евтушенко Ю. Г. Новый метод решения систем линейных равенств и неравенств // Докл. РАН, 2001. -Т. 381, № 4. -С. 444−447.
  36. А.И., Евтушенко Ю. Г. Нахождение проекции заданной точки на множество решений задач линейного программирования //Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2008. -Т. 14, № 2. -С. 33−47.
  37. Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. -М.: Наука, 1971. -352 с.
  38. Е.Г. Обобщенный градиентный метод отыскания седло-вых точек // Экономика и матем. методы, 1972. -Т. 8, № 4. -С. 569−579.
  39. Е.Г., Третьяков Н. В. Модифицированные функции Лаг-ранжа // Экономика и матем. методы, 1974. -Т. 10, № 3. -С. 568−591.
  40. Е.Г., Третьяков Н. В. Модифицированные функции Лаг-ранжа. Теория и методы оптимизации. -М.: Наука, 1989. -400 с.
  41. В.К. О регуляризации экстремальных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1991. -Т. 31, № 2. -С. 235−248.
  42. В.А. Матричная коррекция задачи линейного программирования с несовместной системой ограничений // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 2001. -Т. 41, № 11. -С. 1697−1705.
  43. В.А., Ерохин В. И. Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений по минимуму евклидовой нормы. -М.: ВЦ РАН, 2004. -192 с.
  44. В.А., Кондратьева В. А. Параметрическое программирование и несобственные задачи линейной оптимизации. В кн. «Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов». -М.: ВЦ РАН, 1999. -С. 56−82.
  45. К., Каплан A.A. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. -Новосибирск: Наука, 1981. -184 с.
  46. Ю.М., Ковнир В. Н. Об одной точной штрафной функции для задачи нелинейного программирования // Кибернетика, 1986.5. -С. 43−46.
  47. М.В., Колоколов A.A. Анализ устойчивости некоторых алгоритмов дискретной оптимизации / / Автоматика и телемеханика, 2004. 3. -С. 48−54.
  48. М.В., Колоколов А. А., Колосов А. П. К решению дискретной задачи планирования производства с интервальными данными // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2008. -Т. 14, № 2. -С. 48−57.
  49. В.Ф. Точные штрафные функции в задачах негладкой оптимизации // Вестник СПб ун-та. Сер. 1, 1994. 4(12). -С. 21−27.
  50. В. Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. -М.: Высш. шк., 2005. -335 с.• 53. Денисов Д. В. Метод итеративной регуляризации в задачах условной минимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1978. -Т. 18, № 6. -С. 1405−1415.
  51. И.И., Зоркальцев В. И. Итеративное решение задач математического программирования (алгоритмы метода внутренних точек). -Новосибирск: Наука, 1980. -144 с.
  52. Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. -М.: Наука, 1982. -432 с.
  53. Ю.Г. Оценки точности в методах штрафных функций. -В кн. «Проблемы прикладной математики и информатики». -М.: Наука, 1987. -С. 199−208.
  54. Ю.Г., Жадан В. Г. Точные вспомогательные функции в задачах оптимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1990. -Т. 30, № 1. -С. 43−57.
  55. Ю.Г., Жадан В. Г. Барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские методы решения задач нелинейного программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1994. -Т. 34, № 5. -С. 669−684.
  56. В.А., Подкопаев Д. П. Устойчивость и регуляризация векторных задач целочисленного линейного программирования // Дискретный анализ и исслед. операций. Сер. 2, 2001. Т. 8. -С. 47−69.
  57. И. И. О несовместных системах линейных неравенств // ДАН СССР, 1961. -Т. 138, № 6. -С. 1280−1283.
  58. И. И. О методе штрафов в выпуклом программировании // Тез. междунар. матем. конгр. Секц. 14. -М., 1966.
  59. И. И. Метод «штрафов» в выпуклом программировании // ДАН СССР, 1967. -Т. 173, № 4. -С. 748−751.
  60. И. И. О задачах выпуклого программирования с противоречивыми ограничениями // Кибернетика, 1971. 4. -С. 124−129.
  61. И. И. О задачах последовательного программирования // Сиб. мат. ж., 1973. Т. 14, №. 1. -С. 53−63.
  62. И. И. Двойственность для несобственных задач линейного и выпуклого программирования // ДАН СССР, 1981. -Т. 256, № 2. -С. 272−276.
  63. И. И. Двойственность и аппроксимация для несобственных задач математического программирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1987. 1. -С. 70−81.
  64. И.И. Противоречивые модели оптимального планирования. -М.: Наука, 1988. -160 с.
  65. И. И. К методу штрафов в математическом программировании // Докл. РАН, 1996. -Т. 346, № 4. -С. 459−461.
  66. И.И. Теория линейной оптимизации. -Екатеринбург: УрО РАН, 1999. -312 с.
  67. И. И. Общая теория устойчивости в линейном программировании // Изв. ВУЗов. Математика, 1999. -№ 12. -С. 43−52.
  68. И. И. Двойственность в линейной оптимизации. -Екатеринбург: УрО РАН, 2001. -180 с.
  69. И. И. Теория двойственности в линейной оптимизации. -Челябинск: «Библиотека А. Миллера», 2005. -196 с.
  70. И.И., Астафьев H.H. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. -М.: Наука, 1976. -192 с.
  71. И.И., Мазуров В. Д., Астафьев H.H. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования. -М.: Наука, 1983. -336 с.
  72. И.И., Мазуров В. Д., Опарин В. Д., Хачай М. Ю. Математические методы в экономике. -Екатеринбург: Изд-во «Y-Фактория», 2000. -280 с.
  73. В. И. Матричная коррекция двойственной пары несобственных задач линейного программирования // Ж. вычисл. матем. и матом. физики, 2007. -Т. 47, № 4. -С. 587−601.
  74. В. Г. Модифицированные функции Лагранжа в нелинейном программировании // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1982. -Т. 22, № 2. -С. 296−308.
  75. В. Г. Об одном классе итеративных методов решения задач выпуклого программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1984. -Т. 24, № 5. -С. 665−676.
  76. В. Г. О некоторых оценках коэффициента штрафа в методах штрафных функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1984. -Т. 24, № 8. -С. 1164−1171.
  77. В. Г. Точные штрафные функции в невыпуклой многокритериальной оптимизации. -В кн. «Методы оптимизации и их приложения» (Тр. XII-й Байкальской междунар. конф.). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2001. -Т. 1. -С. 317−323.
  78. В. Г. Численные методы линейного и нелинейного программирования. Вспомогательные функции в условной оптимизации. -М.: ВЦ РАН, 2002. -160 с.
  79. Я.И., Фукин И. А. Об одной модификации метода сдвига штрафов для задач нелинейного программирования // Изв. ВУЗов. Математика, 2000. 12. -С. 49−54.
  80. У.И. Нелинейное программирование. -М.: Сов. радио, 1973. -312 с.
  81. В.И. Обоснование алгоритма внутренних точек // Ж. вы-числ. матем. и матем. физики, 1999. -Т. 39, № 2. -С. 208−221.
  82. A.B. Параметризация в несобственных задачах линейного программирования. -В кн. «Дискретная оптимизация и анализ сложных систем». -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989. -С. 56−61.
  83. A.B. Параметрическое обобщенное решение в линейной векторной оптимизации // Кибернетика и сист. анализ, 2001. 1. -С. 177−181.
  84. A.B. Обобщенное решение для интерактивной процедуры // Кибернетика и сист. анализ, 2004. -JY® 2. -С. 10−16.
  85. B.K. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР, 1962. -Т. 145, № 2. -С. 270−272.
  86. В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сборник, 1963. -Т. 61, № 2. -С. 211−223.
  87. В.К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. -М.: Наука, 1978. -208 с.
  88. B.C., Петропавловский М. В. Методы приведенных направлений на основе модифицированной функции Лагранжа для задачи нелинейного программирования // Изв. ВУЗов. Математика, 1995. 12. -С. 33−42.
  89. B.C., Петропавловский М. В., Блинов A.B. Методы центров и барьерных функций с использованием приведенных направлений для задачи нелинейного программирования // Изв. ВУЗов. Математика, 1996. 12. -С. 30−41.
  90. А.З. Двойственный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 2000. -Т. 40, № 7. -С. 1045−1060.
  91. А.З. Регуляризованные приближенные методы проекции и условного градиента с конечношаговыми внутренними алгоритмами // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 2003. -Т. 43, № 12. -С. 1896−1909.
  92. И.Н., Стерлин A.M. Об одном варианте модифицированной функции Лагранжа // ДАН СССР, 1982. -Т. 267, № 4. -С. 787−789.
  93. A.A. Алгоритмы выпуклого программирования, использующие сглаживание точных функций штрафа // Сиб. матем. ж., 1982. -Т. 23, № 4. -С. 53−64.
  94. В.Г. Математическое программирование. -М.: Наука, 1980. -256 с.
  95. М.М., Топчишвили А. Л. Несобственные задачи выпуклой дискретной оптимизации // Вестник БГУ. Сер. 1, 1991. 1. -С. 39−41.
  96. А.Д., Михайленко Ю. М. К анализу несовместных систем ограничений в задачах оптимизации. -В кн. «Применение ЭВМ в оптимальном планировании и управлении». -Новосибирск: ИМ СО РАН, 1980. 4. -С. 3−25.
  97. A.B., Швецов К. И. Математическое программирование и моделирование в экономике. -Киев: Вища школа, 1979. -456 с.
  98. М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. -Новосибирск: СО АН СССР, 1962. -92 с.
  99. М.М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. -М.: Наука, 1980. -286 с.
  100. Е. С. О корректности ограничений и устойчивости в экстремальных задачах // Вестник Моск. ун-та. Сер. матем., мех., 1968.1. -С. 24−34.
  101. Е.С. Теория возмущений в математическом программиро- «вании и ее приложения. -М.: Наука, 1992. -360 с.
  102. Ю.И., Майстровский Г. Д. Общая теория релаксационных процессов для выпуклых функционалов // Усп. матем. наук, 1970. -Т.25, № 1(151). -С. 57−112.
  103. Вл.Д. О построении комитета системы выпуклых неравенств // Кибернетика, 1967. -№ 2. -С. 56−59.
  104. Вл.Д. Метод комитетов в задачах оптимизации и классификации. -М.: Наука, 1990. -248 с.
  105. М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. -М.: Наука, 1990. -488 с.
  106. Ф., Мошеев Л. И. Двойственность для одного класса несобственных задач линейного программирования и их приложения // Кибернетика, 1990. 6. -С. 30−34.
  107. Р.Л., Шварцман П. А. О корректировке свободных членов несовместной системы линейных неравенств // Экономика и ма-тем. методы, 1988. -Т. 24, № 1. -С. 147−154.
  108. H.H., Яковлев М. Ф. Итерационные процессы решения одного класса несовместных систем алгебраических уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1975. -Т. 15, № 3. -С. 547−558.
  109. В.А. О псевдорешениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1969. -Т. 9, № 6. -С. 1387−1391.
  110. В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. -М.: Наука, 1987. -239 с.
  111. Ю.Е. Эффективные методы выпуклой оптимизации. -М.: Радио и связь, 1989. -301 с.
  112. Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. -М.: Наука, 1991. -167 с.
  113. В.М. Методы конечных штрафов с линейной аппроксимацией ограничений // Кибернетика, 1984. -Ч. 1, № 2. -С. 44−50. -Ч. 2, № 4. -С. 73−81.
  114. В.В., Гаврилов В. М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. -М.: Сов. радио, 1987. -192 с.
  115. Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. -М.: Мир, 1974. -376 с.
  116. . Т. Введение в оптимизацию. -М.: Наука, 1983. -384 с.
  117. . Т., Третьяков Н. В. Метод штрафных оценок для задач на условный экстремум // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1973. -Т. 13, № 1. -С. 34−46.
  118. Л.Д. Линейная коррекция несобственных выпукло-вогнутых минимаксных задач по максиминному критерию //Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физики, 1986. -Т. 26, № 9. -С. 1325−1338.
  119. Л.Д. Применение модифицированного ргох-метода для оптимальной коррекции несобственных задач выпуклого программирования // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1995. -Т. 3. -С. 261−266.
  120. Л. Д. Об одной модификации метода логарифмических барьерных функций в линейном и выпуклом программировании // Тр. Инта матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2008. -Т. 14, № 2. -С. 103−114.
  121. Л.Д. Схемы включения двойственных переменных в обратные барьерные функции задач линейного и выпуклого программирования // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2009. -Т. 15, № 1. -С. 195−207.
  122. .Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. -М.: Наука, 1980. -320 с.
  123. .Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. -М.: Наука, 1975. -320 с.
  124. Р. Выпуклый анализ. -М.: Мир, 1973. -472 с.
  125. И.В., Козерацкая Л. Н., Лебедева Т. Т. Исследование устойчивости и параметрический анализ дискретных оптимизационных задач. -Киев: Наукова думка, 1995. -168 с.
  126. В.Д. О методе штрафных функций для задач нелинейного программирования // ДАН СССР, 1973. -Т. 209, № 6. -С. 1292−1295.
  127. В.Д. Об одной модификации метода штрафных функций в выпуклом программировании // Нелинейная оптимизация и приложения в планировании. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1973. -С. 51−62.
  128. В.Д. К регуляризации минимаксных задач, возникающих в выпуклом программировании //Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1977. -Т. 17, № 6. -С. 1408−1420.
  129. Скарин В Д. Об алгоритмах линейного программирования, использующих модификации функции Лагранжа. -В кн. „Методы для нестационарных задач математического программирования“. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1979. -С. 74−83.
  130. Скарин В Д. Об одном итерационном методе нахождения нормального решения задачи линейного программирования. -В кн. „Методы математического программирования и приложения“. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1979. -С. 20−25.
  131. В.Д. О некоторых методах анализа несобственных задач выпуклого и линейного программирования. -В кн. „Несобственные модели математического программирования“. -ВИНИТИ, 1980. -№ 2823−80 Деп. -С. 187−234.
  132. В.Д. О скорости сходимости метода барьерных функций. -В кн. „Методы оптимизации и распознавания образов в задачах планирования“. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980. -С. 27−36.
  133. В.Д. К анализу несобственных задач выпуклого программирования с позиций последовательной оптимизации. -В кн. „Несобственные задачи оптимизации“. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. -С. 30−36.
  134. В.Д. О применении метода регуляризации для коррекции несобственных задач линейного программирования 1-го рода. -В кн. „Методы аппроксимации несобственных задач математического программирования“. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. -С. 55−66.
  135. В.Д. Об одном подходе к анализу несобственных задач линейного программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1986. -Т. 26, № 3. -С. 439−448.
  136. В.Д. Об одном методе численного анализа противоречивых задач выпуклого программирования. -В кн. „Противоречивые модели оптимизации“. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987. -С. 56−63.
  137. В.Д. Об одном регуляризирующем алгоритме коррекции противоречивых задач выпуклого программирования с линейными ограничениями. -В кн. „Исследования по несобственным задачам оптимизации“. -Свердловск: УрО АН СССР, 1988. -С. 48−56.
  138. В.Д. Регуляризирующий алгоритм для несобственных полноквадратичных задач выпуклого программирования. -В кн. „Нерегулярная двойственность в математическом программировании“. -Свердловск: УрО АН СССР, 1990. -С. 58−67.
  139. В.Д. О методе регуляризации для противоречивых задач выпуклого программирования // Изв. ВУЗов. Математика, 1995. 12. -С. 81−88.
  140. В.Д. Об одном универсальном подходе к оптимальной коррекции несобственных задач выпуклого программирования. -В кн.
  141. Методы оптимизации и их приложения» (Тр. XI-й междунар. Байкальской шк.-сем.) — -Иркутск: СЭИ СО РАН, 1998. -Т. 1. -С. 56−59.
  142. В.Д. О применении барьерных функций для коррекции несобственных задач выпуклого программирования. -В кн. «Методы оптимизации и их приложения» (Тр. XII-й Байкальской междунар. конф.). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2001. -Т. 1. -С. 50−54.
  143. В.Д. Оценочный подход в методах линейного и выпуклого программирования // Информ. бюллетень АМП (Приоритетные результаты в области математического программирования. Ч. 1). -Екатеринбург: УрО РАН, 2001. 9. -С. 123−127.
  144. В.Д. О применении функции Лагранжа для регуляризации задач выпуклого программирования. -В кн. «Современные методы оптимизации и их приложения к моделям энергетики». -Новосибирск: Наука, 2003. -С. 189−209.
  145. В.Д. О некоторых регуляризирующих и аппроксимирующих свойствах метода штрафных функций в выпуклом программировании // Оптимизация, управление, интеллект, 2005. 1(9). -С. 107−128.
  146. В.Д. О применении штрафных функций для коррекции несобственных задач выпуклого программирования. -В кн. «Методы оптимизации и их приложения» (Тр. ХШ-й Байкальской междунар. шк.-сем.). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. -Т. 1. -С. 175−180.
  147. В.Д. О методе барьерных функций и алгоритмах коррекции несобственных задач выпуклого программирования // Тр. Ин-та ма-тем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2008. -Т. 14, № 2. -С. 115−128.
  148. В.Д. Расширенная штрафная функция и оптимальная коррекция несобственных задач выпуклого программирования. -В кн.
  149. Методы оптимизации и их приложения" (Тр. XIY-й Байкальской междунар. шк.-сем.). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2008. -Т. 1. -С. 203−209.
  150. В.Д. Аппроксимационные и регуляризирующие свойства расширенной штрафной функции в выпуклом программировании // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2009. -Т. 15, № 4. -С. 234−250.
  151. В.Д. Об одном общем подходе к оптимальной коррекции несобственных задач выпуклого программирования // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2010. -Т. 16, № 3. -С. 265−275.
  152. A.C. Элементы невыпуклой оптимизации. -Новосибирск: Наука, 2003. -356 с.
  153. А.Г., Тимохов A.B., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. -М.: Наука, 1986. -328 с.
  154. А.Н. О решении некорректно поставленных задач // ДАН СССР, 1963. -Т. 151, № 3. -С. 501−504.
  155. А.Н. О некорректных задачах оптимального планирования и устойчивых методах их решения // ДАН СССР, 1965. -Т. 164, № 3. -С. 507−510.
  156. А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979. -288 с.
  157. А.Н., Леонов A.C., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. -М.: Наука, 1995. -312 с.
  158. Н.В. Метод штрафных оценок для задач выпуклого программирования // Экономика и матем. методы, 1973. -Т. 9, № 3. -С. 526−540.
  159. В.В. Численные методы максимина. -М.: Наука, 1979. -280 с.
  160. А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. -М.: Мир, 1972. -240 с.
  161. Численные методы условной оптимизации (ред. Гилл Ф., Мюррей У.). -М.: Мир, 1977. -292 с.
  162. Н.Б. Вариационный подход к решению несобственных задач линейного программирования. -В кн. «Методы оптимизации и их приложения» (Тр. ХШ-й Байкальской междунар. шк.-сем.). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. -Т. 1. -С. 155−160.
  163. Элъстер К.-Х., Рейнгардт Р., Шойбле М., Донат Г. Введение в нелинейное программирование. -М.: Наука, 1985. -264 с.
  164. К.Дж., Гурвиц Л., Удзава X. Исследования по линейному и нелинейному программированию. -М.: ИЛ, 1962. -336 с.
  165. Amaral РBarahona P. Connections between the total least squares and the correction of an infeasible system of linear inequalities // Linear Algebra and its Appl., 2005. 395. -P. 191−210.
  166. Auslender A. Penalty methods for computing points that satisfy second-order necessary conditions // Math. Progr., 1979. -V. 17, № 2. -P. 229−238.
  167. Auslender A. Stability in mathematical programming with nondifferen-tiable data // SIAM J. Control Optim., 1984. -V. 22, № 2. -P. 239−254.
  168. Auslender A. Numerical methods for nondifferentiable convex optimization // Math. Progr. Study, 1987. -V. 30. -P. 102−126.
  169. Auslender A., Cominetti R., Haddou M. Asymptotic analysis of penalty and barrier methods in convex and linear programming // Math. Oper. Res., 1997. -V. 22, № 1. -P. 1−18.
  170. Bank В., Guddat J., Klatte В., Rummer В., Tammer K. Non-linear parametric optimization // Berlin: Akademic-Verlag, 1982.
  171. Bazaraa M.S., Goode J.J. Sufficient conditions for a globally exact penalty function without convexity // Math. Progr. Study, 1982. -V. 19. -P. 1−15.
  172. Benchakroun A., Dussault J.P., Mansouri A. A two parameter mixed interior-exterior penalty algorithm // Math. Methods of Oper. Res., 1995. -V. 41. -P. 25−55.
  173. Ben-Tal A., Roth G. A trancated log barrier algorithm for large-scale convex programming and minimax problems: implementation and computational results // Optim. Methods and Software, 1996. -V. 6, № 4. -P. 283−312.
  174. Ben-Tal A., Zibulevsky M. Penalty / barrier multiplier methods for convex programming problems // SIAM J. Optim., 1997. -V. 7, № 2. -P. 347−366.
  175. Bertsekas D. Combined primal-dual and penalty methods for constrained minimization // SIAM J. Control, 1975. -V. 13, № 3. -P. 521−544.
  176. Bertsekas D.P. Multiplier methods: a survey // Automatica, 1976. -Vol. 12, № 2. -P. 133−145.
  177. Bourkary D., Fiacco A. V. Survey of penalty, exact-penalty and multiplier methods from 1968 to 1993 // Optimization, 1995. -V. 32, № 4. -P. 301−334.
  178. Burke J. V. An exact penalization viewpoint of constrained optimization // SIAM J. Contr. Optim., 1991. -V. 29, № 4. -P. 968−998.
  179. Charalambous C. On conditions for optimality of the nonlinear l -problem // Math. Progr., 1979. -V. 17, № 2. -P. 123−135.
  180. Conn A.R., Gould N.I.M., Toint P.L. A globally convergent augmented Lagrangian algorithm for optimization with general constraints and simple bounds // SIAM J. Numer. Anal., 1991. -V. 28, № 2. -P. 545−572.
  181. Dax A. The smallest correction of an inconsistent system of linear inequalities // Optimization and Engineering, 2001. 2. -P. 349−359.
  182. Demyanov V.F., Di Pillo G., Facchinei F. Exact penalization via Dini and Hadamars conditional derivatives // Optim. Methods and Software, 1998. -V. 9. -P. 19−36.
  183. Demyanov V.F., Giannessi F., Karelin V. V. Optimal control problems via exact penalty functions // J. of Global Optim., 1998. -V. 12, № 3. -P. 215−223.
  184. Di Pillo G., Grippo L. Exact penalty functions in constrained optimization // SIAM J. Contr. Optim., 1989. -V. 27. -P. 1333−1360.
  185. Dolecky S., Rolewich S. Exact penalties for local minima // SIAM J. Contr. Optim., 1979. -V. 17, № 5. -P. 596−606.
  186. Doljansky M., Teboulle M. An interior proximal algorithm and the exponential multiplier method for semidefinite programming // SIAM J. Optim., 1998. -V. 9, № 1. -P. 1−13.
  187. Dussault J.-P. Numerical stability and efficiency of penalty algorithms // SIAM J. Numer. Anal., 1995. -V. 32, № 1. -P. 296−317.
  188. Dussault J.-P. Augmented non-quadratic penalty algorithms // Math. Progr., Ser. A, 2004. -V. 99. -P. 467−486.
  189. Evans J.P., Gould F.J., Tolle J. W. Exact penalty functions in nonlinear programming // Math. Progr., 1973. -V. 4, № 1. -P. 72−97.
  190. Evtushenko Y.G., Rubinov A.M., Zhadan V.G. General Lagrange-type functions in constrained global optimization // Optim. Methods and Software, 2001. -V. 16. -P. 193−256.
  191. Fiacco A. V. Introduction to sensitivity and stability analysis in nonlinear programming. -New York: Academic Press, 1983.
  192. Frank M., Wolfe P. An algorithm for quadratic programming // Naval Res. Logist. Quart., 1956. -V. 3. -P. 95−110.
  193. Gill P.E., Murray W., Saunders M.A., Tomlin J.A., Wright M.H. On projected Newton barrier methods for linear programming and an equivalence to Karmarkar’s projected methods // Math. Progr., 1986. -V. 36. -P. 183−209.
  194. Gould N.I.M., Tomt Ph.L. A note on the corvergence of barrier algorithms to second-order necessary points // Math. Progr., 1999. -V. 85, № 2. -P. 433−438.
  195. Grodzevich 0., Wolkowicz H. Reqularization using a parametrized trust region subproblem // Math. Progr., Ser. B, 2009. -V. 116, № 1−2. -P. 193−220.
  196. Guddat J. Stability in convex quadratic parametric programming // Math. Operationsforsch, 1976. -V. 7. -P. 223−245.
  197. Haarhoff P., Buyes J. A new method for the optimization of a nonlinear function subject to nonlinear constraints // Comp. J., 1970. -V. 13, № 2. -P. 171−177.
  198. Han S.-P., Mangasarian O.L. Exact penalty functions in nonlinear programming // Math. Progr., 1979. -V. 17, № 3. -P. 251−269.
  199. Hartung J. A stable interior penalty method for convex extremal problems // Numer. Math., 1978. -V. 29, № 2. -P. 149−158.
  200. Hestenes M. Multiplier and gradient methods //J. Opt. Theory and Appl., 1969. -V. 4, № 5. -P. 303−320.
  201. Hu X.M., Ralph D. Convergence of a penalty method for mathematical programming with complementarity constraints //J. Opt. Theory and Appl., 2004. -V. 123, № 2. -P. 365−390.
  202. Huang X.X., Yang X.Q. Convergence analysis of a class of nonlinear penalization methods for constrained optimization via first-order necessary optimality conditions // J. Opt. Theory and Appl., 2003. -V. 116, № 2. -P. 311−332.
  203. Huang X.X., Yang X.Q. A unified augmented Lagrangian approach to duality and exact penalization // Math. Oper. Res., 2003. -V. 28. -P. 533−552.
  204. Huang X.X., Yang X.Q., Teo K.L. Lower-order penalization approach to nonlinear semidefinite programming //J. Opt. Theory and Appl., 2007. -V. 132, № 1. -P. 1−20.
  205. Jongmans F. Enquete socio-geometrique sur les vertus de l’ignorance // Bull. Soc. roy. sci. Ligraveege, 1983. -V. 52, no. 4. -P. 5−10.
  206. Kanzow C., Qi N., Qi L. On the minimum norm solution of linear programs 11 J. Opt. Theory and Appl., 2003. -V. 116, № 2. -P. 333−345.
  207. Karmarkar N. A new polynomial-time algorithm for linear programming // Combinatorica, 1984. -V. 4. -P. 373−395.
  208. Khachay M.Yu. On approximate algorithm of a minimal committee of a linear inequalities system // Pattern Recogn. and Image Anal., 2003. -V. 13, № 3. -P 459−464.
  209. Lootsma F.A. Boundary properties of penalty functions for constrained minimization // Philips Res. Repts. Suppl, 1970. -V. 25, №. 3. -P. 201−308.
  210. Mangasarian O.L. Least-norm linear programming solution as an unconstrained minimization problem //J. Math. Anal, and Appl., 1983. -V. 92, № 1. -P. 240−251.
  211. Mangasarian O.L. Normal solution of linear programs // Math. Progr. Study, 1984. -V. 22. -P. 206−216.
  212. Mangasarian O.L., De Leone R. Error bounds for strongly convex programs and (super) linearly convergent iterative schemes for the least2. norm solution of linear programs // Appl. Math, and Optim., 1988.17. -P. 1−14.
  213. Mangasarian O.L., Meyer R.R. Nonlinear perturbation of linear programs // SIAM J. Contr. Optim., 1979. -V. 17, № 6. -P. 745−752.
  214. Miele A., Cragg E.E., Iver R.R., Levy A. V. Use of the augmented penalty function in mathematical programming problems //J- Opt. Theory and Appl., 1971. -V. 8, № 2. -P. 115−153.
  215. Miele A., Moseley P.E., Levy A.V., Cog gins G.M. On the method of multipliers for mathematical programming problems // J. Opt. Theory and Appl., 1972. -V. 10, № 1. -P. 1−33.
  216. Mifflin R. On the convergence of the logarithmic barrier function method. In «Numerical methods for unconstrained optimization» (F.A. Lootsma, ed.) -London & New York: Acad. Press, 1972. -P. 367−369.
  217. Mosheyev L., Zibulevsky M. Penalty / barrier multiplier algorithm for semidefinite programming // Optim. Methods and Software, 2000. -V. 13, № 4. -P. 235−261.
  218. Polyak R. Modified barrier functions (theory and methods) // Math. Progr., 1992. -V. 54, № 2. -P. 177−222.
  219. Powell M.J.D. A method for nonlinear constraints in minimization problems. In «Optimization» (R. Fletcher, ed.) -London: Acad. Press, 1969. -P. 283−298.
  220. Rockafellar R.T. A dual approach to solving nonlinear programming problems by unconstrained optimization // Math. Progr., 1973. -V. 5, № 3. -P. 354−373.
  221. Rockafellar R.T. Augmented Lagrange multiplier functions and duality in nonconvex programming // SIAM J. Contr., 1974. -V. 12, № 2. -P. 268−285.
  222. Rockafellar R.T. Lagrange multipliers and optimality // SIAM Rev., 1993. -V. 35, № 2. -P. 183−238.
  223. Rosen J.B., Park H., Glick J. Total least norm formulation and solution for structured problems // SIAM J. on Matrix Anal. Appl., 1996. -V. 17, № 1. -P. 110−128.
  224. Rubinov A.M., Glover B.M., Yang X.Q. Modified Lagrange and penalty functions in continuous optimization // Optimization, 1999. -V. 46. -P. 327−351.
  225. Rubinov A.M., Glover B.M., Yang X.Q. Decreasing functions with application to penalization // SIAM J. Optim., 2000. -V. 10. -P. 289−313.
  226. Skarin V.D. Methods for the correction of ill-posed problems of linear and convex programming by using a sequential programming approach // Seminarberichte. -Berlin: Humboldt-Univ., Sekt. Math., 1986. 81. -P. 130−144.
  227. Skarin V.D. Regularized Lagrange function and correction methods for improper convex programming problems // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 1, 2002. -P. S116-S144.
  228. Tripathi S.S., Narendra K.S. Constrained optimization problems using multiplier methods //J. Opt. Theory and Appl., 1972. -V. 9, № 1. -P. 59−70.
  229. Vanderberge L., Boyd S. Semi-definite programming // SIAM Rev., 1996. -V. 38. -P. 49−95.
  230. Ward D.E. Exact penalties and sufficient conditions for optimality in nonsmooth optimization //J. Opt. Theory and Appl., 1988. -V. 57, № 3. -P. 485−499.
  231. Watson G.A. Data fitting problems with bounded uncertainties in the data 11 SIAM J. Matrix Anal. Appl., 2001. -V. 22, № 4. -P. 1274−1293.
  232. Wierzbicki A. P. A penalty function shifting method in constrained static optimization and its convergence properties // Arch. Automat. Telemech., 1971. -V. 16, № 4. -P. 395−416.
  233. Ye J.J., Zhu D.L., Zhu Q.J. Exact penalization and necessary optimality conditions for generalized bileved programming problems / / SI AM J. Optim., 1997. -V. 7. -P. 481−507.
  234. Zangwill W.I. Nonlinear programming via penalty functions // Manag. Sci., 1967. -V. 13, № 5. -P. 344−358.
  235. Zhou Y.Y., Yang X.Q. Some results about duality and exact penalization // J. Glob. Optim., 2004. -V. 29. -P. 497−509.
  236. Zhou Y.Y., Yang X.Q. Duality and penalization in optimization via an augmented Lagrangian functions with applications //J. Optim. Theory and Appl., 2009. -V. 140, № 1. -P. 171−188.
  237. Zlobec S. Stable parametric programming. -Dordrecht ets.: Kluwer Academic Publishers, 2001.
Заполнить форму текущей работой

Заказал и сдал!