Устойчивость движения и нелинейные колебания в задачах классической и небесной механики

Изучение общих закономерностей движения механических систем требует проведения качественного исследования решений систем дифференциальных уравнений, которые, как правило, являются нелинейными и в общем случае не могут быть проинтегрированы в квадратурах. Современные аналитические и качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений берут свое начало в работах А. Пуанкаре [169, 170], заложившего основы качественной теории дифференциальных уравнений и А. М. Ляпунова [100], создавшего общую теорию устойчивости движения. Дальнейшее развитие методы теории устойчивости и качественного анализа дифференциальных уравнений получили в работах Д. Биркгофа [27], A.A. Андронова [3, 8], Н. Г. Четаева [224] и других ученых [49, 69, 76, 103, 163]. На базе идей Ляпунова и Пуанкаре были также разработаны эффективные аналитические методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений, к которым относятся метод нормальных форм [42, 128, 256], метод малого параметра [102, 159], асимптотические методы [29, 60, 159, 161].

Для классической и небесной механики особый интерес представляют га-ми л ьтоновы системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Существенный прогресс в качественном анализе поведения гамильтоновых систем был достигнут во второй половине двадцатого века после опубликования фундаментальных результатов А. Н. Колмогорова [90], В. И. Арнольда [6, 7], Ю. Мозера [293], в последствии получивших название KAM теории. На основании KAM теории были получены важные выводы об устойчивости и общем характере движения близких к интегрируемым гамильтоновых систем. В настоящее время методы KAM теории совместно с методами локального анализа являются основным инструментом исследования устойчивости и нелинейных колебаний гамильтоновых систем в критических случаях. Среди критических случаев наиболее трудными для исследования являются случаи резонансов. При приближении к резонансу поведение системы качественно изменяется, а исследование значительно усложняется. Каждый резонансный случай, как правило, требует отдельного детального изучения, разработки новых подходов и методов. Поэтому несмотря на то, что анализу различных аспектов движения гамильтоновых систем при резонансах было посвящено много работ, эта область нелинейной динамики остается актуальной и привлекает немалый интерес.

Содержанием данной диссертационной работы является исследование нелинейных колебаний гамильтоновых систем в случаях резонансов, а также изучение свойств и разработка методов аналитического построения семейств частных (периодических и асимптотических) решений при резонансах. В работе также выполняется строгое нелинейное исследование устойчивости движения для ряда задач классической и небесной механики.

Диссертационная работа состоит из шести глав и разделена на три части. В первой части, объединяющей первую и вторую главы, исследуются семейства асимптотических и периодических решений гамильтоновых систем в случае резонансов, а также решается задача существования, построения и бифуркации периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова, при резонансе в вынужденных колебаниях. Проводится исследование орбитальной устойчивости семейств периодических решений в случае резонанса четвертого порядка.

Поскольку уравнения движения механической системы в общем случае не интегрируемы, то особую важность имеет задача нахождения точного или приближенного аналитического представления семейств частных решений. При этом наибольший интерес представляют те частные решения, само существование которых и их свойства во многом определяют характер поведения системы. К этим решениям относятся решения, асимптотически приближающиеся к стационарным или периодическим решениям.

Асимптотические решения интересны тем, что соответствующие им траектории разделяют фазовое пространство на области с различным характером поведения системы (подобно сепаратрисам на фазовой плоскости математического маятника) и тем, что они тесно связаны с неустойчивостью предельного движения и явлениями стохастичности в детерминированной динамике. В приложениях к задачам ориентации спутников асимптотические движения важны также и потому, что по их траекториям спутник может перейти в заданный номинальный режим только под действием гравитационных моментов без управления.

Постановка задачи и первые результаты о существовании и аналитическом представлении асимптотических решений в системах обыкновенных дифференциальных уравнений относятся к концу девятнадцатого и началу двадцатого века (A.M. Ляпунов [100], А. Пуанкаре [170], А. Кнезер [272, 273], П. Боль [32], Ж. Адамар [262]). A.M. Ляпуновым и А. Пуанкаре разработана классическая теория асимптотических решений. Эта теория дает достаточные условия существования и конструктивный способ построения асимптотических решений в виде рядов. Одним из основных условий ее применимости является наличие у линеаризованной системы уравнений хотя бы одного ненулевого характеристичного числа.

В последние десятилетия были предложены новые подходы [81, 84−87, 119, 120, 132, 164], позволяющие проводить исследование асимптотических решений в случаях, когда теория A.M. Ляпунова и А. Пуанкаре неприменима.

В.В. Козловым и В. П. Паламодовым в связи с проблемой обращения теоремы Лагранжа рассматривалась задача о движениях консервативных систем, стремящихся к положениям равновесия при неограниченном возрастании времени. Наиболее полные результаты получены ими для систем с двумя степенями свободы и в случае полуквазиоднородной потенциальной энергии [84, 86, 164]. Рассмотрены также многие случаи вырождения, когда несколько частот малых колебаний обращаются в нуль [81, 87]. В. В. Козлов и С. В. Болотин исследовали движения, асимптотические к положению равновесия некоторых неконсервативных механических систем [31, 85].

Методами работ [81, 85] С. Д. Фуртой изучены асимптотические движения ненатуральных механических систем определенного вида [195, 196]. С. Д. Фурта также исследовал асимптотические траектории натуральных механических систем, находящихся под действием сил вязкого трения [198] и асимптотические траектории автономных систем дифференциальных уравнений в критическом случае нескольких нулевых собственных значений [199].

Асимптотические решения в периодической по времени гамильтоновой системе с одной степенью свободы в случае нулевого характеристического показателя исследовал Г. А. Мерман [158].

А.П. Маркеевым и Г. А. Щербиной [119, 120] проведено полное качественное исследование траекторий, асимптотических к положению равновесия автономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 27г-периодической по времени функцией Гамильтона. Ими рассмотрены случаи резонансов третьего и четвертого порядков, а также нерезонансный случай. В работе [129] А. П. Маркеевым изучены движения асимптотические к 27г-периодическим по времени траекториям автономной системы с двумя степенями свободы. Для многомерных гамильтоновых систем с 27г-периодической или независящей от времени функцией Гамильтона при однократных резонансах 3-го и 4-го порядков в [132] получены достаточные условия существования и приближенное аналитическое представление решений, асимптотических к положению равновесия.

Задача о существовании решений, асимптотических к положению равновесия гамильтоновых систем, при резонансах исследовалась также М.А. Балити-новым [10].

Проблеме построения и анализа решений, асимптотически стремящихся к особой точке системы существенно нелинейных дифференциальных уравнений, посвящена монография В. В Козлова и С. Д. Фурты [82]. В статье [83] тех же авторов дается обзор методов, разработанных ими для исследования неэкспоненциальных асимптотик решений систем дифференциальных уравнений.

Исследованию асимптотических движений конкретных механических систем в задачах классической и небесной механики также посвящено немало работ. Асимптотические движения в задачах динамики твердого тела с неподвижной точкой исследовались Е. Меттлером [288], Г. В. Горром [54−56], Г. В. Горром и Ю. П. Вархалевым [45−47], Ю. П. Вархалевым [48], А. П. Маркеевым [131]. В работе Г. А. Щербины [229] рассмотрена задача о движениях, асимптотических к регулярным прецессиям динамически симметричного спутника — твердого тела. Задача о движениях симметричного спутника, асимптотических к его поступательному в абсолютной системе координат движению была решена А. П. Маркеевым [130]. Асимптотические движения несимметричного спутника на круговой орбите при наличии резонанса третьего порядка рассматривались С. Д. Фуртой [197].

В диссертационной работе рассмотрена задача о существовании и аналитическом построении решений, асимптотически приближающихся к положению равновесия гамильтоновой системы при? —" +оо или при? —"• — оо, где tнезависимая переменная (время). Решению данной задачи посвящена первая глава. Исследованы все возможные случаи однократных резонансов первого и второго порядков. Рассматриваются как автономные, так и неавтономные, 27г-периодически зависящие от? гамильтоновы системы. Для неавтономной системы с одной степенью свободы и автономной системы с двумя степенями свободы выполнено полное качественное исследование окрестности положения равновесия и получены необходимые и достаточные условия существования семейств асимптотических решений. В случае системы с произвольным числом степеней свободы найдены достаточные условия существования семейств асимптотических решений. Для каждого рассмотренного резонанса указано точное число семейств асимптотических решений, исследована их аналитическая структура и указан способ построения в виде сходящихся рядов по отрицательным степеням |?|.

В качестве приложения рассматривается задача о движениях жесткого динамически симметричного спутника, асимптотических к его регулярным прецессиям на круговой орбите. Исследование выполняется на границе областей устойчивости регулярных прецессий, где имеют место резонансы первого и второго порядков. На основании полученных общетеоретических результатов найдено приближенное аналитическое представление движений спутника, асимптотических к его цилиндрической, конической и гиперболоидальной прецессиям.

Другим классом частных решений, определяющим характер движения системы, являются периодические решения. Эти решения играют важную роль при исследовании движения системы в локальных областях ее фазового пространства, при анализе резонансных явлений и при изучении регулярного и хаотического поведения траекторий. А. М. Ляпуновым [100] и А. Пуанкаре [170] была создана классическая теория периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений, правые части которых аналитически зависят от своих переменных. Для автономных систем дифференциальных уравнений, обладающих аналитическим первым интегралом, А. М. Ляпуновым были получены достаточные условия существования семейств периодических решений (теорема о голоморфном интеграле), рождающихся из некоторого известного стационарного решения и предложен метод их построения в виде сходящихся рядов по степеням малых начальных отклонений. Системы, рассмотренные A.M. Ляпуновым, часто встречаются в приложениях при описании движения консервативных механических систем. А. Пуанкаре был разработан метод исследования и построения периодических решений систем дифференциальных уравнений, правые части которых аналитически зависят от малого параметра. Этот метод позволяет строить периодические решения в виде сходящихся рядов по степеням малого параметра. Широкое применение и дальнейшее развитие методы.

Ляпунова и Пуанкаре получили в теории нелинейных колебаний благодаря работам A.A. Андронова, A.A. Витта, С. Э. Хайкина [3], Л. И. Мандельштама [104], И. Г. Малкина [102].

Г. В. Каменковым [76] был разработан метод исследования нелинейных колебаний, с использованием функций Ляпунова. Данный метод не только дает эффективный алгоритм построения периодических решений в виде сходящихся рядов, но и позволяет оценить область значений малого параметра, в которой построенные периодические решения существуют.

Наиболее общие выводы о существовании и построении периодических решений систем дифференциальных уравнений, обобщающие классические результаты A.M. Ляпунова и А. Пуанкаре, были получены А. Д. Брюно. В [41] им был предложен метод построения множества периодических решений по нормальной форме системы дифференциальных уравнений. Более того, было показано, что на данном множестве нормализующее преобразование сходится.

Задача построения периодических решений становится наиболее трудной при наличии резонансов. Изучению свойств и разработке методов аналитического построения периодических решений в резонансных случаях посвящено много работ. Ю. А. Рябовым [171] было дано обобщение теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. В связи с исследованием периодических движений вблизи точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел Я. Анраром [263, 264], К. Альфрендом [231], К. Маером, Ю. Пальморе, Д. Шмидтом [290, 291] были исследованы общетеоретические вопросы существования, бифуркаций и построения семейств периодических решений гамильтоновых систем при резонансах. Изучению периодических решений при рациональном отношении частот линейных колебаний посвящена работа А. Д. Брюно [35]. Д. Шмидтом было выполнено полное исследование периодических решений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в резонансных случаях [300, 301].

И.Г. Малкин применил метод малого параметра для исследования задачи о периодических решениях системы, близкой к системе Ляпунова [102]. При отсутствии резонанса было доказано существование у данной системы единственного периодического решения, рождающегося из положения равновесия невозмущенной системы и представимого в виде сходящегося ряда по целым степеням малого параметра. И. Г. Малкиным [102] также был рассмотрен и случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда между одной из частот со собственных линейных колебаний невозмущенной системы и частотой возмущения О, выполняется соотношение соЫ «О, (ЛГ? Ж). Причем предполагалось, что порядок малости величины сиЛТ — ^ не меньше, чем порядок малости возмущения. Оказалось, что в этом случае периодическое решение тоже существует и представимо в виде сходящегося ряда по дробным степеням малого параметра. Результаты И. Г. Малкина, нашли приложение в ряде задач классической и небесной механики. В частности, было выполнено аналитическое исследование периодических движений спутника относительно центра масс при малых значениях эксцентриситета орбиты [176].

Для системы, близкой к системе Ляпунова второго порядка, в работе [117] был рассмотрен общий случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда на порядок малости величины шЫ — О не накладывается никаких ограничений. Это позволило исследовать полную окрестность резонанса и показать, что в указанном случае может иметь место бифуркация периодических решений: в зависимости от значений параметров система может иметь либо одно, либо три периодических решения, рождающихся из положения равновесия невозмущенной системы. Аналогичные результаты были получены в [116] при исследовании периодических решений многомерных гамильтоновых систем в присутствии резонанса в вынужденных колебаниях.

Задача о существовании, бифуркации и устойчивости периодических решений произвольной нелинейной системы второго порядка, находящейся под действием малого периодического возмущения, исследовалась С. Бернфельдом, Л.

Сальвадори и Ф. Весентином [239, 240].

Вторая глава диссертации посвящена изучению периодических решений систем, близких к системам Ляпунова, и гамильтоновых систем. В ней, в частности, исследуется вопрос о бифуркации и построении периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова при резонансе в вынужденных колебаниях. Для системы произвольного конечного порядка разработан алгоритм построения периодических решений в виде сходящихся рядов по дробным степеням малого параметра. Строго показано, что при изменении значений параметров число периодических решений изменяется в следствие их бифуркации. Установлено, что бифуркационной кривой соответствует ровно два периодических решения, рождающихся из положения равновесия невозмущенной системы. Предложен метод аналитического построения как самой бифуркационной кривой, так и соответствующих ей периодических решений. Данный метод применяется в задаче о плоских движениях спутника на эллиптической орбите и в задаче о колебаниях маятника с вибрирующей по горизонтали точкой подвеса. В указанных задачах получено уравнение бифуркационной кривой и выполнено аналитическое построение отвечающих ей периодических движений.

Как с теоретической точки зрения, так и для приложений к задачам классической и небесной механики большой интерес представляет изучение поведения системы вблизи периодического или стационарного решения. Важные качественные выводы в этом направлении можно сделать на основании анализа устойчивости. Периодическое или стационарное решение гамильтоновой системы может быть устойчивым по Ляпунову лишь в критических случаях, когда характеристические показатели линеаризованной в окрестности этого решения системы имеют нулевые действительные части. Поэтому для строгого решения задачи об устойчивости необходим нелинейный анализ.

Современная методика нелинейного исследования устойчивости гамильтоновых систем состоит в проведении локального анализа в окрестности невозмущенного движения и применении результатов KAM теории или второго метода Ляпунова. При отсутствии резонансов В. И. Арнольдом [7] и Ю. Мозером [293] были получены строгие выводы об устойчивости по Ляпунову неавтономной, периодической по времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы и автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Для многомерных гамильтоновых систем Ю. Мозером [292], Дж. Глиммом [257], А. Д. Брюно [38] были найдены достаточные условия формальной устойчивости. В. И. Арнольд [7] ввел понятие устойчивости для большинства начальных условий и указал достаточные условия такой устойчивости.

Наиболее сложными для исследования являются резонансные случаи. Д. Кортевегом [274] и Бетом [241−243] впервые было показано, что в случае резонанса устойчивое в линейном приближении решение может стать неустойчивым при учете нелинейных членов. Для некоторых частных случаев в [69, 76, 157, 158, 160, 281−283] была установлена неустойчивость периодических решений при наличии резонанса. К настоящему времени общие выводы об устойчивости по Ляпунову при резонансах получены только для неавтономной, периодической по времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы и автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. В случаях резонансов третьего и четвертого порядков критерии устойчивости по Ляпунову сформулированы и доказаны А. П. Маркеевым [123, 125, 137, 143]. При резонансах первого и второго порядков аналогичное исследование выполнено А. Г. Сокольским [179,181,186] (см. также работу A.M. Ковалева и А. Н. Чудненко [80]). При резонансах в многомерных гамильтоновых системах получены условия формальной устойчивости, условия устойчивости при учете нелинейных членов конечного порядка, а также условия неустойчивости [72, 73, 94, 124, 200]. Обзор результатов исследования задачи об устойчивости гамильтоновых систем и подробную библиографию можно найти в [93, 128, 147].

При изучении семейств периодических решений наиболее актуальной становится задача об орбитальной устойчивости. В работах А. Д. Брюно [39, 40] на основании методов локального анализа был предложен способ нелинейного исследования орбитальной устойчивости. В работах [107, 111] была подробно разработана методика нелинейного анализа устойчивости семейств периодических решений гамильтоновых систем, существование которых следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. Эта методика была применена в задаче трех тел для исследования орбитальной устойчивости периодических движений вблизи треугольных точек либрации. На основании данной методики также была решена задача об орбитальной устойчивости периодических движений симметричного спутника вблизи его регулярных прецессий [225] (существование самих периодических решений было установлено ранее в работах [115, 178]).

В недавних работах [138,139,141] исследовался вопрос о существовании, аналитическом построении и устойчивости периодических решений гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансах. В случаях резонанса первого порядка [138, 139], когда теорема Ляпунова о голоморфном интеграле неприменима, было установлено существование семейств периодических решений и исследована их орбитальная устойчивость в строгой нелинейной постановке задачи. На основании результатов данного исследования был проведен анализ орбитальной устойчивости периодических движений симметричного спутника для значений параметров, отвечающих границе областей устойчивости регулярных прецессий. В работе [141] для случая резонанса третьего порядка при положительно определенной функции Гамильтона был проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости семейств долгопериодических решений.

Во второй главе диссертации также решается задача об орбитальной устойчивости периодических движений, рождающихся из положения равновесия автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Функция Гамильтона предполагается аналитической и знакопеременной в некоторой окрестности положения равновесия, собственные значения матрицы линеаризованной системы чисто мнимы, а частоты линейных колебаний удовлетворяют отношению 3:1. Задача об орбитальной устойчивости периодических движений решается в строгой нелинейной постановке. Показано, что короткопериодические движения орбитально устойчивы за исключением лишь случая, отвечающего бифуркации короткопериодических и долгопериодических движений. В этом особенном случае имеется неустойчивая короткопериодическая орбита. Установлено, что если положение равновесия устойчиво, то в зависимости от значений параметров система имеет либо одно семейство орбитально устойчивых долго-периодических движений, либо два семейства орбитально устойчивых и одно семейство неустойчивых долгопериодических движений. Если же положение равновесия неустойчиво, то имеется либо одно семейство неустойчивых долгопериодических движений, либо одно семейство орбитально устойчивых и два семейства неустойчивых долгопериодических движений. Исключение могут составить только особые случаи, отвечающие бифуркации долгопериодических движений или вырождению в задаче об устойчивости, когда нужно проводить дополнительный анализ. В качестве приложения рассмотрена задача об орбитальной устойчивости периодических движений динамически симметричного спутника вблизи его стационарного вращения.

На основании анализа устойчивости частных решений можно сделать общие качественные выводы о поведении системы в их бесконечно малой окрестности. Для более полного изучения структуры фазового пространства системы вблизи ее частных решений требуется рассматривать не бесконечно малую, а некоторую конечную окрестность этих решений. Большой интерес представляет задача о поведении системы в некоторой конечной окрестности ее стационарных и периодических решений. Эффективным методом исследования этой задачи является метод нормальных форм. Идея данного метода принадлежит А. Пуанкаре [295] и состоит в выполнении замены переменных, приводящей исходную систему уравнений вблизи исследуемого решения к наиболее простому виду нормальной форме. В случае гамильтоновых систем к нормальной форме приводят функцию Гамильтона, при этом нормализующее преобразование должно быть каноническим. Изучению структуры и свойств нормальных форм, а также разработке эффективных алгоритмов приведения гамильтониана системы к нормальной форме посвящено много работ. Основные результаты подробно изложены в монографиях [36, 128, 256], которые также содержат достаточно полную библиографию.

Применение метода нормальных форм состоит в введении локальных координат в окрестности изучаемого решения, разложении гамильтониана в ряд по степеням локальных координат и выполнении нормализующего преобразования. Нормальная форма гамильтониана будет различной в резонансном и нерезонансном случаях. Более того, вид нормальной формы зависит от типа резонанса, поэтому каждый резонансный случай необходимо рассматривать отдельно.

Нормализующее преобразование строится в виде формальных рядов, которые зачастую расходятся. Поэтому при решении конкретных задач классической и небесной механики, как правило, ограничиваются нормализацией членов конечной степени, которую можно выполнить при помощи сходящегося преобразования. Затем рассматривают укороченную систему, в которой ненормализованные члены отброшены. Укороченная система обладает многими свойствами исходной системы и часто позволяет сделать строгие выводы об устойчивости, существовании периодических и условно-периодических решений, а также проводить приближенное интегрирование исходной системы. Укороченная система может допускать один или более первых интегралов, независимых с интегралом энергии. Это позволяет выполнить редукцию укороченной системы к автономной гамильтоновой системе меньшего порядка. В случае однократного резонанса можно выполнить редукцию укороченной системы к некоторой автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы, которая является модельной для данного типа резонанса.

Модельную систему нередко можно проинтегрировать в квадратурах, либо исследовать методами качественной теории дифференциальных уравнений. Модельные системы с одной степенью свободы, отвечающие различным типам резонансов, неоднократно изучались в связи с исследованием движения в конкретных задачах классической и небесной механики. В работах [36, 52, 53, 244, 254, 265−267, 280, 287, 296, 302], на основе анализа модельной системы, был проведен качественный анализ движения в задаче трех тел при различных типах орбитальной соизмеримости. Аналогичный подход применялся в [165, 190, 268, 269, 304] для исследования задачи о движении маятника с вибрирующей точкой подвеса при резонансах.

Вопрос о поведении траекторий гамильтоновых систем вблизи периодических и стационарных решений исследовался в различных аспектах. Приближенный анализ нелинейных колебаний в окрестности стационарного решения выполнялся в [25, 50, 122, 216, 243, 246, 263, 274]. Фазовые портреты в окрестности равновесия автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы для наиболее важных резонансных случаев приведены в [4, 245, 251, 299]. В [35, 138, 139, 141, 212, 215, 263, 264, 290, 298, 300, 301] исследовалась задача о существовании семейств периодических решений, рождающихся из положения равновесия гамильтоновой системы при резонансах. Немало работ посвящено анализу бифуркации периодических решений гамильтоновых систем, многие результаты этих исследований изложены в монографиях [248, 289]. В работах [247, 252, 253] использовался геометрический подход для описания фазового потока канонической системы с двумя степенями свободы, гамильтонианом которой является резонансная нормальная форма.

Выводы о характере движения в окрестности положения равновесия, полученные на основании анализа укороченной системы, справедливы на достаточно больших, но все же конечных интервалах времени. Однако, если укороченная система описывает условно-периодическое движение и на ее траекториях выполнены определенные условия (условия невырождености), то на основании КАМ теории можно утверждать о сохранении условно-периодического характера движения в некоторой окрестности положения равновесия полной (исходной) системы на бесконечных интервалах времени. При этом наиболее строгие выводы могут быть получены для периодически зависящей от времени гамильтоно-вой системы с одной степенью свободы и автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы.

А.П. Маркеевым был предложен подход, позволяющий провести строгое нелинейное исследование поведения гамильтоновой системы в некоторой конечной окрестности положения равновесия при наличии резонансов. Данный подход оказался весьма эффективным для изучения нелинейных колебаний в окрестности положения равновесия неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы. В частности, были рассмотрены случаи параметрического резонанса [134, 135], резонанса в вынужденных колебаниях [203, 204], резонансов третьего и четвертого порядков [133, 207−209]. Аналогичная методика применялась также для исследования нелинейных колебаний в окрестности положения равновесия автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансах первого и третьего порядков [138,139, 141] и для анализа движения в автономной гамильтоновой системе, близкой к системе с циклической координатой в случае внутреннего резонанса [211]. В работах [145, 148] были проанализированы свойства решений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы вблизи ее неустойчивых периодических траекторий и получены оценки окрестности, в которой эти решения ограничены.

Во второй части диссертации, объединяющей третью и четвертую главы, проводится полный нелинейный анализ поведения гамильтоновой системы в окрестности положения равновесия в неисследованных ранее резонансных случаях.

В третьей главе рассматриваются 27г-периодические по времени гамильто-новы системы с одной степенью свободы. Предполагается, что гамильтониан системы содержит один или нескольких параметров. Среди параметров имеется малый параметр е, при нулевом значении которого система становится автономной. Исследуется случай резонанса первого порядка, когда элементарные делители матрицы линеаризованной системы непростые. Проведено полное аналитическое исследование укороченной системы и получено ее общее решение. В нелинейной постановке решена задача об устойчивости 27г-периодических решений рождающихся из положения равновесия невозмущенной системы. На основании методов KAM теории установлено, что для большинства начальных условий траектории в окрестности положения равновесия полной системы являются условно-периодическими. Показано, что неустойчивость положения равновесия носит локальный характер, т. е. траектории, начинающиеся вблизи положения равновесия, вечно остаются в его малой, но конечной окрестности порядка е. Получена верхняя оценка ширины стохастического слоя вблизи сепаратрис. В третьей главе также рассмотрен особый случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда параметры задачи соответствуют бифуркации 27г-периодических решений, рождающихся из положения равновесия. Получено общее решение укороченной системы, проведен анализ устойчивости по Ляпунову периодических решений полной системы. Установлено, что неустойчивость одного из 2−7г-периодических решений является локальной и получена оценка окрестности, в которой траектории системы являются ограниченными. Теоретические результаты третьей главы применяются в задаче о движениях спутника в окрестности его эксцентриситетных колебаний.

Четвертая глава посвящена анализу нелинейных колебаний в окрестности положения равновесия автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Рассмотрены два резонансных случая: резонанс второго порядка и резонанс четвертого порядка. В первом случае предполагается, что гамильтониан системы зависит от малого параметра е, при нулевом значении которого собственные значения матрицы линейной системы чисто мнимы и попарно равны, а элементарные делители непростые. Проведена редукция укороченной системы к системе с одной степенью свободы, построены фазовые портреты редуцированной системы и получено ее общее решение. Исследована задача о существовании, построении и орбитальной устойчивости семейств периодических решений, рождающихся из положения равновесия полной системы. Методами KAM теории показано, что для большинства начальных условий движение в окрестности положения равновесия является условно-периодическим. Показано, что несмотря на неустойчивость положения равновесия, траектории в некоторой его окрестности ограничены. Получена верхняя оценка данной окрестности. В качестве приложения полученных результатов исследовано движение в окрестности треугольной точки либрации круговой ограниченной задачи трех тел. В частности, сделаны выводы об орбитальной устойчивости периодических движений вблизи точки либрации и получена оценка области, в которой движение носит ограниченный характер.

При резонансе четвертого порядка, когда частоты линейных колебаний удовлетворяют отношению 3:1, предполагается, что функция Гамильтона знакопе-ременна, а положение равновесия устойчиво. Проведен подробный анализ укороченной системы, отвечающей нормализованному гамильтониану, в котором отброшены члены выше четвертой степени. Показано, что укороченная система может быть проинтегрирована в эллиптических функциях Якоби, а ее решения описывают либо периодические движения, либо движения асимптотические к периодическим, либо условно-периодические движения. На основании методов теории KAM установлено, что большинство условно-периодических движений сохраняются и в полной системе. Более того, в достаточно малой окрестности положения равновесия траектории полной системы, не являющиеся условно-периодическими, образуют множество экспоненциально малой меры. Результаты исследования применены в задаче о движении динамически симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии.

Третья часть диссертации посвящена исследованию устойчивости движения в ряде задач небесной и классической механики, она объединяет пятую и шестую главы. Все рассмотренные задачи об устойчивости решаются в нелинейной постановке.

Современные методы теории устойчивости гамильтоновых систем позволили получить строгие выводы об устойчивости движения для целого ряда задач классической и небесной механики. Подробно исследована устойчивость треугольных точек либрации в ограниченной задаче трех тел [128, 184]. Много работ посвящено изучению устойчивости точек либрации в фотогравитационной задаче трех тел [95, 97, 98, 166−168, 261, 276, 277, 279, 294]. С. Г. Журавлевым была исследована устойчивость точек либрации вращающегося трехосного эллипсоида [64, 306]. Устойчивость стационарных треугольных лагранжевых движений системы тел, состоящей из сферически симметричного тела и осе-симметричного тела грушевидной формы, изучалась C.B. Чермных [221], A.A. Кокоревым и С. Н. Кирпичниковым [89], а также в работах А. Мациевского и К. Годжиевского [258−260]. Задача об устойчивости лапласовых решений неограниченной задачи трех тел рассматривалась A.JI. Кунициным [278], А. П. Ивановым [74], В. Н. Тхаем [193,194], A.JI. Кунициным и В. Н. Тхаем [96]. Был проведен анализ орбитальной устойчивости периодических движений ряда механических систем с соударениями (полная библиография по этому вопросу приводится в работе [136]).

Интенсивное развитие космической техники вызвало большой интерес к задаче об устойчивости движений спутников относительно центра масс. Исследованию данной задачи уделялось много внимания, подробную библиографию можно найти в обзорах [93, 175]. Важным частным случаем движения спут-ника-твердого тела относительно центра масс является его плоское движение, при котором одна из осей инерции спутника перпендикулярна плоскости орбиты центра масс. Плоские движения спутника на эллиптической орбите описываются нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, полученным В. В. Белецким [22]. Данное уравнение содержит два параметра: эксцентриситет орбиты е и инерционный параметр, а — 3(А — С)/В, где А, В, С — главные центральные моменты инерции спутника. При е ф 0 и, а ф 0 уравнение В. В. Белецкого не интегрируется в квадратурах [43]. На круговой орбите (е = 0) это уравнение описывает маятниковые движения, а его общее решение может быть получено явно в эллиптических функциях Якоби.

Исследованию устойчивости плоских движений спутника на круговой орбите посвящено немало работ. В. В. Белецким [24], а также А. П. Маркеевым и А. Г. Сокольским [108] был проведен подробный анализ устойчивости положений относительного равновесия спутника. В работах [214, 270, 271, 286] исследовалась линейная задача об устойчивости маятниковых периодических движений спутника по отношению к пространственным возмущениям. Предельный случай этой задачи, когда период плоских движений много больше периода обращения центра масс по орбите, был рассмотрен В. В. Сидоренко и А. И. Нейштадтом [177]. В работе [126] в строгой нелинейной постановке было проведено исследование орбитальной устойчивости плоских периодических движений сплюснутого динамически симметричного спутника на круговой орбите. Орбитальная устойчивость плоских периодических движений спутника с неравными моментами инерции исследовалась в [110]. В недавней работе [153] был выполнен строгий нелинейный анализ орбитальной устойчивости вращений спутника-пластинки. При этом предполагалось, что в невозмущенном движении плоскость пластинки совпадает с плоскостью орбиты центра масс спутника.

Многими авторами рассматривалась задача о существовании, построении и устойчивости плоских периодических движений спутника на эллиптической орбите. Особое внимание уделялось 2тг—периодическим нечетным колебаниям, переходящим в положение равновесия спутника на круговой орбите [22]. В. В. Белецким [23] для малых е была получена область параметрического резонанса, где указанные колебания неустойчивы. В работе В. А. Златоустова, Д.Е. Охо-цимского, В. А. Сарычева и А. П. Торжевского [70] линейный анализ устойчивости нечетных 27Г-периодических колебаний был выполнен для всех допустимых значений е и анелинейное исследование устойчивости проведено в [307]. A.A. Зевин [68] на основании качественного анализа линейной задачи получил в аналитическом виде достаточные условия устойчивости 27г-периодических колебаний спутника. Линейный анализ устойчивости 27Г-периодических колебаний, не обладающих свойством нечетности, выполнялся в [174]. Ф. Л. Черноусько [222] при малых е и, а в линейном приближении исследовал устойчивость плоских периодических движений спутника, период которых кратен периоду орбитального движения. Устойчивость 4тги б7г-периодических движений при произвольных е и, а в линейном приближении исследовалась В. А. Сарычевым, В. В. Сазоновым, В. А. Златоустовым [172,173]. Для случая слабоэллиптической орбиты в [228] исследована устойчивость по Ляпунову плоских 27гп-периодических движений (n G Z). В работах [114, 121−123, 127, 143, 185, 223] полностью исследована устойчивость стационарного вращения (цилиндрической прецессии) динамически симметричного спутника на круговой и эллиптической орбитах.

В пятой главе диссертации исследуется устойчивость плоских периодических движений спутника на круговой и эллиптической орбитах. Проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости колебаний и вращений динамически симметричного спутника, движущегося по круговой орбите. Исследование выполнено для всех значений параметров задачи, за исключением двух особых случаев: колебания спутника близкого к сферически симметричному и колебания или вращения, период которых значительно превосходит период орбитального движения. В случаях, когда удается ввести малый параметр (колебания с малыми амплитудами, вращение спутника, близкого к сферически симметричному) исследование выполняется полностью аналитически. Для произвольных значений параметров критерии устойчивости проверены численно. Результаты исследования представлены в виде диаграмм устойчивости.

В пятой главе также исследована задача об орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника, обладающего геометрией масс пластинки. Невозмущенное движение представляет собой колебания и вращения спутника, при которых его наименьшая ось инерции, лежит в плоскости орбиты центра масс (плоскость пластинки перпендикулярна плоскости орбиты). В плоскости параметров задачи построены области параметрического резонанса, в которых имеет место орбитальная неустойчивость. Для всех значений параметров вне указанных областей проведен нелинейный анализ и установлена либо орбитальная устойчивость для большинства начальных условий, либо формальная орбитальная устойчивость, либо орбитальная устойчивость, обнаруживаемая по членам конечного порядка функции Гамильтона возмущенного движения, либо орбитальная неустойчивость. В случае малых амплитуд колебаний и больших угловых скоростей вращения удается ввести малый параметр и провести аналитическое исследование. При произвольных значениях параметров потребовалось проведение численных расчетов.

Кроме анализа орбитальной устойчивости плоских движений спутника на круговой орбите в пятой главе также рассматривается задача об устойчивости одного частного случая плоского периодического движения спутника на эллиптической орбите. Если эксцентриситет орбиты е и инерционный параметр, а связаны равенством е = —2а, то уравнение В. В. Белецкого допускает частное решение, описывающее равномерное вращение спутника в плоскости орбиты, при котором он совершает один оборот в абсолютном пространстве за два оборота центра масс по орбите. В линейном приближении задача об устойчивости этого движения рассматривалась в [201]. В диссертации выполнено строгое исследование устойчивости по Ляпунову данного движения. При значениях эксцентриситета, для которых имеет место неустойчивость, установлено существование и указана аналитическая структура семейств движений, асимптотически приближающихся к невозмущенному периодическому движению.

К настоящему времени получено строгое решение ряда задач об устойчивости движений маятников различного типа [118,134,140, 202, 204, 206, 213]. Большое число исследований было посвящено изучению устойчивости положения относительного равновесия математического маятника с вибрирующей точкой подвеса. Особый интерес к этой задаче возник в связи с установлением А. Сте-фенсоном [303] факта устойчивости верхнего положения относительного равновесия маятника при высокочастотных вертикальных вибрациях точки подвеса. В работах Л. П. Капицы [77, 78] были получены условия устойчивости верхнего положения относительного равновесия маятника и дано физическое объяснение этого феномена. В рамках линейной теории задача об устойчивости положений относительного равновесия была исследована для произвольных значений параметров (см. например [101, 188, 189]). H.H. Боголюбов [29, 30] провел анализ устойчивости положений относительного равновесия с учетом диссипации и получил условия устойчивости по Ляпунову. При малых амплитудах колебаний строгий анализ устойчивости нижнего положения относительного равновесия был выполнен в [134]. В работе [31] было получено строгое достаточное условие неустойчивости верхнего положения относительного равновесия. В [210] подробно исследована задача об устойчивости «спящего» волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса.

Отметим, что явление динамической устойчивости, установленное для верхнего положения относительного равновесия маятника, было затем обнаружено у целого ряда механических систем [156, 218−220].

В шестой главе диссертации в строгой нелинейной постановке исследована задача об устойчивости положений относительного равновесия маятника, точка подвеса которого совершает гармонические колебания вдоль вертикали.

Дано полное решение задачи при всех возможных значениях параметров включая и границы областей параметрического резонанса. Показано, что в областях устойчивости в линейном приближении имеет место также и устойчивость по Ляпунову. Исследование выполнено полностью аналитически, без проведения численных расчетов.

В диссертации также исследуется орбитальная устойчивость маятниковых движений твердого тела с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжести. Задача об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой рассматривалась в ряде работ, однако ее полное решение еще далеко от своего завершения. В настоящее время строгие выводы об устойчивости получены для ряда частных случаев. В. Д. Иртегов [75] указал достаточные условия орбитальной устойчивости маятниковых колебаний тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случае С. В. Ковалевской, тот же результат другим способом был получен позже А.З. Брю-мом [34]. В работе [148] была установлена нелокальная устойчивость быстрых плоских вращений твердого тела в указанном случае. Полное исследование орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений в случае С. В. Ковалевской было выполнено в [106, 144]. В работах А. П. Маркеева [151] и A.B. Карапепяна [79] в случае Горячева-Чаплыгина был проведен анализ орбитальной устойчивости колебаний и вращений твердого тела относительно оси его динамической симметрии. Показано, что колебания орбитально устойчивы, а вращения орбитально неустойчивы. Для произвольного динамически симметричного твердого тела аналогичное исследование выполнено в [2].

В шестой главе диссертации исследована задача об орбитальной устойчивости плоских периодических движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в двух частных случаях: в случае Бобылева-Стеклова и в случае Горячева-Чаплыгина. В случае Бобылева-Стеклова исследована орбитальная устойчивость колебаний и вращений твердого тела вокруг одной из его осей инерции, сохраняющей неизменное положение в абсолютном пространстве. Получено полное решение нелинейной задачи об орбитальной устойчивости. Результаты исследования представлены в виде диаграмм устойчивости в плоскости параметров задачи: амплитуды колебаний и инерционного параметра, представляющего собой отношение двух главных моментов инерции тела. При этом уравнения границ областей устойчивости колебаний и вращений удалось получить в явном аналитическом виде.

В случае Горячева-Чаплыгина исследована устойчивость колебаний и вращений твердого тела вокруг экваториальной оси эллипсоида инерции. В работе [149] была доказана орбитальная неустойчивость данных периодических движений в линейном приближении и установлено, что для решения задачи об устойчивости в нелинейной постановке недостаточно анализа членов до четвертой степени в разложении функции Гамильтона в ряд по каноническим переменным. В диссертации показано, что в данной задаче имеет место особенный (трансцендентный) случай, когда стандартная методика анализа устойчивости по коэффициентам нормальной формы гамильтониана уравнений возмущенного движения неприменима. На основании теоремы Четаева в нелинейной постановке задачи доказана орбитальная неустойчивость указанных периодических движений.

Часть I.

СЕМЕЙСТВА ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ В РЕЗОНАНСНЫХ.

СЛУЧАЯХ.

Заключение

.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработана теория асимптотических решений гамильтоновых систем в случаях резонансов первого и второго порядков. Получены достаточные условия существования новых классов решений, асимптотически стремящихся к положению равновесия гамильтоновой системы, изучена их аналитическая структура и предложен метод построения в виде сходящихся рядов по отрицательным степеням независимой переменной. Для периодически зависящей от времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы и автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы проведен качественный анализ окрестности положения равновесия и получены необходимые и достаточные условия существования указанных решений, а также показано, что других решений, асимптотических к положению равновесия, не существует.

2. Разработана теория бифуркации периодических решений системы близкой к системе Ляпунова в случае главного резонанса. Предложен метод построения уравнения разветвления периодических решений, рождающихся из положения равновесия системы Ляпунова. Установлено, что в точке бифуркации система имеет ровно два периодических решения. Предложен конструктивный алгоритм получения периодических решений в виде сходящихся рядов по дробным степеням малого параметра.

3. Разработана теория нелинейных колебаний периодически зависящей от времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы в случае резонанса первого порядка и в особом случае резонанса в вынужденных колебаниях, когда имеет место бифуркация 27г-периодических решений, рождающихся из положения равновесия невозмущенной системы. Дано приближенное аналитическое описание движения системы в окрестности положения равновесия. Установлено существование 27Г-периодических решений, близких к положению равновесия, и исследована их устойчивость. Показано, что для большинства начальных условий движения системы являются условно-периодическими. В окрестности траекторий, асимптотических к положению равновесия, могут возникнуть области хаотического движения. Получена оценка ширины указанных областей. Доказана ограниченность движения в некоторой конечной окрестности неустойчивого положения равновесия.

4. Разработана теория нелинейных колебаний автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе второго и четвертого порядков. Дано приближенное аналитическое представление условно-периодических движений системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Получено полное решение нелинейной задачи об орбитальной устойчивости периодических решений, рождающихся из положения равновесия. Показано, что в некоторой конечной окрестности положения равновесия движение носит ограниченный характер, а неустойчивость периодических движений может быть лишь локальной.

5. На основании указанных выше теоретических результатов решены следующие задачи классической и небесной механики: а) Исследованы движения динамически симметричного спутника, асимптотически приближающиеся к его регулярным прецессиям на круговой орбите, в случае резонансов первого и второго порядков. б) Исследованы нелинейные колебания динамически симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии на круговой орбите при резонансе четвертого порядка. в) Исследован качественный характер движения в окрестности треугольной точки либрации при критическом соотношении масс. г) Исследованы плоские нелинейные колебания спутника при значениях параметров, отвечающих точке бифуркации его периодических движений. Установлена локальная неустойчивость последних. д) Изучена бифуркация периодических движений маятника с вибрирующей по горизонтали точкой подвеса.

6. Решен ряд задач об устойчивости периодических движений спутников: а) Выполнено исследование орбитальной устойчивости плоских периодических движений динамически симметричного спутника на круговой орбите. Задача решена в нелинейной постановке. б) Проведен полный нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника-пластинки, центр масс которого движется по круговой орбите. в) Получено строгое решение задачи об устойчивости плоского периодического движения спутника на эллиптической орбите, при котором он совершает один оборот в абсолютном пространстве за два оборота центра масс по орбите.

7. Исследована устойчивость движения в ряде задач классической механики: а) Получено полное и строгое решение задачи об устойчивости положений относительного равновесия маятника с вибрирующей по вертикали точкой подвеса. б) В случае Бобылева-Стеклова проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. в) В случае Горячева-Чаплыгина получено строгое решение задачи об устойчивости колебаний и вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой относительно его экваториальной оси инерции.