Q-аналоги специальных функций и представления конечных групп

Содержание

Связь теории специальных функций и теории представлений групп была отмечена еще в работах С. Ли. В последствии в работах Гельфан-да И.М., Граева М. И., Виленкина Н. Я. и других наряду с описанием неприводимых представлений существенное внимание уделялось матричным элементам этих представлений, их характеров, сферических функций которые являлись специальными функциями. Групповые методы позволяли получить ряд новых свойств этих функций. В настоящей работе рассматриваются q-аналоги специальных функций, связанные с комплекснознач-ными представлениями классических групп над конечным полем. Основное внимание уделяется полной линейной группы GL (n, Fq). Полученные результаты переносятся на другие классические группы над конечным полем и на группы Вейля этих классических групп. Для того, чтобы получить q-аналоги специальных функций, требуется описать и построить неприводимые представления конечных групп.

Проблеме описания и классификации комплексных представлений классических групп над конечным полем посвящено много работ. Основополагающей работой в этом направлении является работа Грина [40]. Исследование как в самой работе [40], так и в последующих посвящено в основном вычислению характеров неприводимых представлений. На основе операции «умножение кружочком» введенной в [29], Д. К. Фадеев описал структурные свойства представлений группы GL (n, q) на языке модулей и матриц с минимальным использованием теории характеров. Аналогичные результаты были в дальнейшем получены C.B. Нагорным в [21], [22] для других классических групп. Для этого были введены понятия простого и примарного представления. Простое представление — это то же самое, что и представление дискретной серии, аналитическое представление. Если 6 -простое, то ok =oooo.og будет всегда приводимо при к>1. Не приводимые компоненты этого представления названы примарными. Оказывается, что число различных примарных представлений, соответствующих простому 5 и содержащихся в 5к, равно числу разбиений числа к на натуральные слагаемые. При этом любое неприводимое представление однозначно определяется произведением некоторых примарных соответствующих некоторым различным простым. В терминах статьи Спрингера [46] речь идет о структуре представлений, индуцированных представлениями дискретной серии группы М, продолженными естественным образом на Р=М-и, где Р -параболическая подгруппа, и — ее унипотентный радикал. Ряд работ посвящен изучению коммутаторных алгебр представлений такого типа. Так в работах [27], [37], [38] получили, что для минимальной параболической подгруппы РсО и ее единичного представления е коммутаторная алгебра представления тёр е изоморфна групповой алгебре С[У] группы Вейля группы С. В этой же ситуации, при одномерном представлении группы Р, Стейнберг в [27] и Ивахори в [27] доказали, что коммутаторная алгебра представлений тёр© изоморфна С[?(со)], где — нормализатор представления со. Во всех вышеперечисленных работах не рассматривалась конкретная реализация представлений (здесь следует в первую очередь отметить работу Танаки [49], где было проведено непосредственное построение и классификация всех неприводимых представлений группы БЦ2, д)). Очевидно, что вначале необходимо было рассмотреть реализацию примарных представлений (представлений дискретной серии).

Первые результаты в этом направлении появились в 70-х годах в работах Зелевинского [10], Данкла [36], [37], Стентона. В этих работах рассматривалась реализация представления тёр^п'ч)(е) в пространстве функций на Грассмановом многообразии, здесь А- - разбиение числа п на два слагаемых. Так как алгебра сплетающих операторов в этом случае коммутативна, то данное представление раскладывается в прямую сумму неприводимых представлений с однократным спектром. Полученное разложение позволило вычислить сферические функции этих представлений. Эти сферические функции выражались через полиномы Кравчука и в конечном счете приводили к некоторым д-аналогам гипергеометрических функций. Методы теории представлений групп позволили найти ряд свойств полиномов Кравчука (см. [37], [39]). В своей диссертации Стентон перенес результаты и на другие классические группы. Естественно ставится вопрос о вычислении всех сферических функций классических групп, о построении теории q-aнaлoгoв гипергеометрических функций и о конкретной реализации комплексных неприводимых представлений классических групп над конечным полем.

В настоящей работе рассматриваются представления Т-, = тс1^(]), где О — полная линейная группа либо симплектическая. Данное представление реализуется в пространстве функций на флаговом многообразии. Строится алгебра сплетающих операторов Нот (Т/, Тц), и с помощью сплетающих операторов описываются все неприводимые компоненты представления Т. Затем вычисляются сферические функции групп вЦп, д) и 8р (2п, д). Проведенное исследование позволяет ввести новый класс q-аналогов гипергеометрических функций, зависящих от целочисленных матриц, и изучить некоторые их свойства. Знание размерности неприводимых представлений и размерности представления Т позволяет написать уравнения, связывающие кратности неприводимых представлений представления Т (этот вопрос был давно поставлен и до сих пор не имеет удовлетворительного решения).

В процессе работы над вопросами теории представлений классических групп над конечным полем стала очевидным связь теории представлений и комбинаторики. С помощью теории представлений возможно находить различные комбинаторные тождества (равенство двух q-пoлинoмов). Равенство коэффициентов при соответствующих степенях q позволяет получить новые сведения о комбинаторных числах. А рассмотрение этого равенства при позволяет получить обычные комбинаторные тождества. Так как основной задачей ставилось вычисление сферических функций групп ОЦп, q) и 8р (2п, q), то основное внимание уделялось представлению Т, индуцированному единичным представлением параболической подгруппы Р^.

Работа состоит из трех глав. В первой главе выясняются некоторые комбинаторные вопросы полной линейной группы, связанные с ее представлениями. Вводятся функции на флаговых многообразиях и изучаются их свойства. Наибольший интерес представляют функции определенные на целочисленных матрицах, определяющих Р^-орбиты на флаговых многообразиях: функция м ((а-/))=((а-/)), равная числу флагов, имеющих с заданным флагом матрицу пересечения, а = (а-/) (она является некоторым аналогом мультипликативного характера) и функция (а1а2а3), через которую выражаются структурные константы алгебры Ли сплетающих операторов. Затем, в размере, необходимом для данной работы, исследуются структурные свойства представлений полной линейной группы. Основным результатом является предложение о связи представлений индуцированных ат и ст и теорема

2.13. Далее рассматривается алгебра сплетающих операторов представления Т, и алгебра Ли данной алгебры. Выделяются операторы ац, являющиеся мультипликативными образующими данной алгебры. Доказывается необходимое и достаточное условие принадлежности оператора центру алгебры Ли. На этой основе доказывается основная теорема данной главы.

Теорема

3.29. Пространство неприводимого представления с1х состоит из функций, удовлетворяющих следующей системе равенств

Я-1

При этом вычисляются все собственные значения операторов Агг. Используя теорему 3.29., находим новое описание пространства представления.

Теорема

3.30. Пересечение ядер операторов является пространством представления

Описание пространства представления с1х. позволяет нам вычислить сферическую функцию данного представления. Этому посвящена следующая глава. В ней комбинаторными методами вычисляется сферическая функция представления с^ и рассматриваются некоторые ее свойства. Наиболее простой вид имеют сферические функции представлений ёп и с1ц. л, которые образуют две серии примарных представлений. Представление ё] 1.1 играет ту же роль, что и знакопеременное представление симметрической группы. Следовательно, возникает возможность описания представлений с!?, с иных позиций. Этому посвящен последний параграф данной главы. Заметим, что сферические функции ёп представлений с1п и ёц .л определяются проекционными операторами на данное подпространство.

Используя разработанный подход, в третьей главе описываются неприводимые представления и сферические функции представлений группы 8р (2п, д). Следует заметить, что аналогичным образом можно вычислить сферические функции и других классических групп над конечным полем. При этом они будут являться q-aнaлoгaми гипергеометрических функций. Применение теории представлений позволит не только ввести такие ц-аналоги, но и исследовать их свойства.