Применение пространств Орлича в задачах динамики идеальной несжимаемой жидкости

0.1. Актуальность математической корректности уравнений механики жидкости.

Дифференциальные уравнения механики жидкостей занимают важнейшее место в механике, физике и математике благодаря многочисленным приложениям в метеорологии, аэродинамике, океанографии, термодинамике, физике плазмы, биологической механике и в других областях. Современное состояние науки и техники неразрывно связывает применение моделей с их математическим исследованием. Исследование корректности уравнений гидродинамики способствует разработке новых численных методов их решения и помогает познать природу физических явлений, объектов и взаимодействий.

Свои знаменитые уравнения идеальной жидкости J1. Эйлер вывел в 1750 г. Позднее К.-Л. Навье (1822) и Дж.Г. Стоке (1845) обобщили эти уравнения с учетом эффекта вязкости. С тех пор большие успехи были достигнуты в понимании классических моделей жидкости. Однако в настоящее время остается без ответа ряд принципиальных математических вопросов, касающихся разрешимости этих уравнений, единственности и устойчивости их решений. Модель идеальной несжимаемой жидкости является классической моделью механики сплошных сред и имеет богатую историю. Данная модель является сильно упрощенной с точки зрения механики, но тем не менее достаточно содержательна в прикладном отношении и интересна математически, так что именно с нее начинается математическое исследование, которое может быть далее распространено на более сложные модели. Стоит отметить, что задачи протекания имеют практические применения в различных приложениях: течения в проливах, реках, трубопроводах, в химических реакторах и т. д.

0.2. Обзор результатов по разрешимости уравнений идеальной несжимаемой жидкости.

Как известно [40], [31], движение идеальной несжимаемой жидкости описывается системой уравнений Эйлера: ди + (v • V) u + Vp = /- div v = 0, (0.1) в которой v = (г>1,., vn) обозначает вектор скорости, р — давление, f — заданный вектор внешних массовых сил, все указанные величины являются функциями от времени t и пространственных переменных х =., жп), где п — размерность движения.

В диссертации рассматривается вопрос математической корректности модели (0.1). Данная проблема имеет долгую и богатую историю, мы лишь упомянем основные результаты по близким к теме диссертации. Более детальный обзор можно найти в статьях [73], [101], [8], [15], [64] и в монографиях [87], [81]. Локальное существование и единственность классических решений для трехмерных уравнений впервые были установлены в работах Н. М. Гюнтора [14] и JI. Лихтенштейна [80] в конце двадцатых годов прошлого столетия. В этих работах рассматривалась задача Коши в (0, Т) х Г с начальными данными «0, (0.2) или задача непротекания в Qt — (0, Т) х описывающая течения в ограниченной области Г2 С Жп с достаточно гладкой границей Г с начальными данными и граничным условием v|t=o = vo, г?-та|(0>г)хг = 0, (0.3) где Т > 0 — достаточно малое число, п — внешняя нормаль к Г, — начальная скорость.

Для двумерного случая существование глобальных классических решений задач (0.1), (0.2) и (0.1), (0.3) без внешних сил с несколько завышенной гладкостью данных впервые доказано В. Волибнером в 1933 г. (см. [100]) в предположении, что вихрь скорости должен быть нулевым для всех внутренних контуров границы. В рамках этих же задач окончательное изложение и обобщение вышеуказанного результата было получено в классических работах Е. Гельдера [74] и Т. Като [75]. В 1963 г. В. И. Юдович опубликовал в известной работе [48] результат о глобальной корректности. Предположения для начальных данных были более слабыми, чем в статье В. Волибнера, а именно, было доказано существование двумерного обобщенного решения с вихрем из Lr (Cl) почти для всех t из (0, Т), единственность решения1 была показана в классе votv е Loo (Qr) — l|Vp|UM (0,r, LP (n)) ^ Cr, Vr «1, причем единственность верна при любом* п. В [48] также рассмотрена внешняя задача с условием убывания скорости*на оо, причем данное ограничение' в работах Ж. Шмена [58] и Р. Даншена [15] было позже снято. Далее методом исчезающей вязкости К. К. Головкиным [13] было доказано существование и единственность обобщенного решения для двумерной задачи Коши, а для>за-дачи непротекания — К. Бардосом в работе [52]. В работе М. Р. Уховского и В. И-. Юдовича [44] показана глобальная разрешимость в «целом» для задачи Коши для аксиально-симметричных трехмерных течений, а для задачи непротекания А. Дютрифуа [70] для геликоидальных течений и Р. Даншеном [15] для аксиально-симметрических течений без закручивания.

Для размерности п = 3 вопрос о глобальной разрешимости систем (0.1), (0.2) и (0.1), (0.3) остается нерешенным даже для малых начальных данных и в «плохих» классах. В частности, это связано с отличием от размерности два в уравнении переноса вихря а> = rot v. В работе Д. Серр [94]', доказано-, что Loo-норма вихря не должна сохраняться с течением времени, и, следовательно, двумерный подход к решению не подходит. Более того, известный результат [53] (критерий Била-Като-Майды), [92] показал, что именно от неограниченного роста в Loo-нормы вихря происходит потеря начальной гладкости решений за конечное время, наблюдаемых в численных экспериментах или специальных классах решений (о таких примерах см. например в [59], [60], [88], [12]). Гладкость решений сохраняется, если вихрь остается ограниченным при начальной скорости из пространства Соболева Hs с показателем s > 5/2 или из пространства Ся при s > 1. Возникает проблема подходящего определения нерегулярных решений и исследования их существования. При п = 2 определенное продвижение в этом направлении достигнуто в [68], [69], где было показано существование и единственность слабого решения задачи Коши с локально конечной кинетической энергией, с вихрем — меры Радона с компактным носителем и из Lp с некоторым р > 1, также решение стремящийся к нулю при |ж| -> оо. В работе [76] доказано существование локального решения в случае, когда О, = М3, обобщением [76] на случай ограниченной области является работа [97]. Также в работах [71], [55] методами Римано-вой геометрии были получены локальные теоремы существования решения на конечномерных многообразиях.

В статье А. Б. Моргулиса [37] было доказано существование решения задачи (0.1), (0.3) при п = 2 с достаточно «плохой» начальной скоростью, а, именно: где Lm (P>) — пространство Орлича, порожденное любой N-функцией М, удовлетворяющей Д2 — условию и такой, что ее дополнительная N-функция М удовлетворяет условию с некоторой постоянной 7, зависящей от области Условие (0.4), (0.5) означает, что rot^o, хотя и принадлежит 1а (Г2), по не принадлежит никакому Lr (Q) с г > 1. rot-uo G.

0.4).

0.5).

В работах Ж. Делора [65], [66], [67] были построены глобальные решения с вихрем — мерой Радона, но знакоопределенной (см. также [8], [82], [83], [72]), с локально конечной кинетической энергией. Таким образом, частично решена задача о вихревой пелене, т. е. решении с особенностями вихря на некоторой поверхности (остается только снять условие на знак меры). Проблема гладкости границы вихревого пятна исследовалась в [57], [54].

В задаче о движении точечного вихря (особенности вихря имеют вид 6-функции, энергия локально бесконечна) локальные результаты получены Н. Д. Введенской и J1.P. Волевичем [9], [10], а глобальные — сначала в частных случаях в [86], [98], а затем в общем случае В. Н. Старовойтовым в [41], [42], [43] (при п = 2).

В отличие от проблемы глобального существования’решений, в проблеме единственности размерность течения несущественна. Как показано в [95], [93], при отсутствии ограничений на вихрь существуют нетривиальные решения (0.1), (0.2) с компактным носителем во времени и пространстве, что в частности делает естественным формулировку классов единственности в терминах вихря.

В 1995 г. В. И. Юдович в статье [101] усилил свой прежний результат, доказав единственность решения (0.1), (0.3) при более слабых ограничениях на решение, а именно, при при достаточно медленно (логарифмически) растущих в. Этот результат был основан на том факте, что доказательство единственности решения базируется на анализе неравенства типа Гронуолла: с неотрицательными функциями ф и д (при заданной д требуется доказать ф = 0), причем для ограниченных д анализ (0.7) тривиален (он сводится к llrotvIUoo (0,T-Lr (fi)) < Св{г), Г «1.

0.6).

0.7) классической лемме Гронуолла) — при д, удовлетворяющих оценке вида (0.6) с в (г) = г это было сделано в [48], а в [101] этот результат был еще усилен. Аналогичный результат был получен в работе М. М. Вишика [99] в терминах пространств Бесова. Недостатком работы [101] является недостаточная конструктивность (0.6), которое есть целое семейство условий, в котором к тому же требования на в очень громоздкие и с трудом поддаются проверке.

Более интересной с физической точки зрения является задача о протекании жидкости сквозь заданную область, где на всей границе области течения задается нормальная составляющая скорости. Таким образом, для ограниченной области Г2 С Rn рассматривается задача с начально-краевыми условиями вида: vt=0 = v0, v-n|(0jr)xr = 7- (°-8).

Граница Г области течения П разбивается на три части: Го — непроницаемая твердая стенка, Гi — участок втекания и Г2 — участок вытекания, на которых:

V ¦ п|(о, г) хГ0 = °> (°-9) v •™|(0,Г)ХГ1 = 71 < 0, (0.10).

V • П|(0,г)хг2 > 0 (0.11)1 задается только знак или v • п (0,Т)хГ2 = 72 > о (0.11)2 задается точное значение. Задания одного граничного условия для vп недостаточно для однозначного описания течения жидкости в области Q: через участок Гх в области Q «входят» вещественные характеристики системы (0.1) и необходимость дополнительных краевых условий приводит к различным вариантам постановки задачи.

Первым исследованием задачи протекания в трехмерной постановке стала работа Н. Е. Кочина [26], где в качестве дополнительного граничного условия на Гх предложено задавать значения вихря скорости си = rot v и была впервые показана локальная теорема существования и единственности решений. Однако в таком виде при п = 3 данная идея является неточной, поскольку величина diva-, обязанная быть равной нулю в Qt, переносится вдоль тех же характеристик, а значит возникает условие совместности на вихрь на входе: divw^o^jxr! — 0 (поставленная задача является переопределенной, и не может быть решена без дополнительных ограничений на заданные в задаче функции). Впрочем, после необходимых поправок идея [26] была реализована в последующих работах, посвященных корректным постановкам трехмерной задачи протекания с заданным вихрем на входе. А именно, в частном случае, когда граничные значения вихря на участке втекания равны нулю, было дано P.M. Уховским [45]. Также в работе В. Заячковского [16] предложено задавать на входе нулевую нормальную компоненту вихря и произвольные касательные компоненты (с соответствующими условиями совместности) и получены локальные теоремы существования и единственности сильного решения при любых п (при этом использованы предшествующие результаты [29], [13]). В работах А. В. Кажихова [24], [18] было предложено в трехмерной задаче в качестве дополнительного условия на входе задавать две касательт ные компоненты вихря: o. Dxr! = h (0.12) h— касательное к границе векторное поле, индекс <т означает касательную составляющую) и получена локальная теорема существования и единственности классического решения получившейся «задачи протекания 1 рода» (используемые обозначения заимствованы с работы [85]):

ЗП.1) = {(0.1), (0.8), (0.9), (0.10), (0.11)2, (0.12)}.

Также А. В. Кажиховым (см. [24], [18], [6]) рассмотрены другие варианты краевых условий на вихрь вместо (0.12), случай неоднородной жидкости, и сформулированы условия совместности в случае, если на входе задается весь вихрь, как в [26].

В двумерном случае задача (ЗП.1) хорошо исследована в плане глобальных результатов. Как и в случае задачи непротекания при п = 2, задачу можно рассматривать как трехмерную, когда Q есть цилиндр бесконечной высоты, а вектор вихря имеет вид ш = (0, 0, и>). Таким образом, условие (0.12) означает задание на входе скалярного вихря ш. В классической работе В. И. Юдовича [49] именно в такой постановке (ЗП.1) была получена глобальная теорема существования и единственности достаточно гладких решений (вплоть до классических). Этот результат был распространен на трехмерный осесимметрический случай в работе [46]. Некоторые дополнительные ограничения, наложенные в [49] на структуру Tk и входные данные, были сняты в работе Г. В. Алексеева [4], где на основе идей [52] было показано глобальное существование решения двумерной задачи (без единственности) в классе с ограниченным вихрем, повышение его гладкости вплоть до классического (а* значит, и единственность) при более гладких данных, т. е. работа [75] была распространена на задачу (ЗП.1). Избранный в работе [4] метод исчезающей вязкости однако не допускает дальнейшего снижения требований на входные данные (т.к. не удается получить оценку вихря в Lp, р < оо, равномерно по" исчезающей вязкости).

Стационарный вариант задачи (ЗП.1) также хорошо исследован. В двумерном (и трехмерном осесимметричном) случае глобальная теорема существования получена Г. В. Алексеевым в [2], а локальная единственность и гладкость решений показана в [3], где также проведено исследование застойных зон. В работе А. Б. Моргулиса [38] доказано локальное существование обобщенного решения трехмерной задачи. Интересно также отметить работу [5], в которой получены условия «вымывания» вихря из области за конечное время. Дополнительные сведения о результатах в задаче (ЗП.1) можно найти в [38].

Таким образом, задача протекания в варианте (ЗП.1) имеет достаточно долгую и богатую историю, хотя для приложений она не столь удобна, физически более естественно задавать на входе скорость, а не вихрь. Такого рода задачи изучались в работах А. В. Кажихова (см. [6], [22], [24], [25]). Первый вариант таких задач («задачи протекания 2 рода») состоит в том, что на входе задается вся скорость, т. е. в дополнение к (0.10) задаются касательные компоненты скорости: г|(0,Г)хГ1 = г, (0.13) а на выходе (вместо (0.11)2) давление:

Р|(0,г)хг2 =Р*- (0−14).

В итоге получается задача.

ЗП.П) = {(0.1), (0.8), (0.9), (0.10), (0.11)i, (0.13), (0.14)}.

В работах А. В. Кажихова и В. В. Рагулина [24], [25] доказана локальная однозначная разрешимость классических решений двумерной (и трехмерной осесимметричной) задачи (ЗП.Н) при условии vq • п|г2 ^ С > 0, включая неоднородную жидкость.

Наконец, еще один вариант задачи протекания с условием (0.13) на входе («задача протекания 3 рода») отличается от предыдущего тем, что на выходе вместо (0.14) задается (0.11)2, что дает задачу.

ЗП.Ш) = {(0.1), (0.8), (0.9), (0.10), (0.11)2, (0.13)}.

Эта задача в стационарном двумерном варианте рассматривалась в [1], а в нестационарном случае в [25], [17] на основе идей [97] показано существование и единственность локального классического решения (по существу, только в двумерном или трехмерном осесимметричном случаях) задачи (ЗП.Ш) при условии 7i ^ —С < 0 (в том числе для неоднородной жидкости). Далее в работах А. В. Кажихова [19], [20] для двумерной задачи (ЗП.Ш) в прямоугольнике был получен глобальный результат (в классе с ограниченным вихрем) при условии, что начальные данные достаточно близки к равномерному течению. Также в [47], [21] были показаны глобальная разрешимость задач (ЗП.П), (ЗП.Ш) для линеаризованной системы (0.1). Отметим, что большая часть упомянутых результатов А. В. Кажихова имеется в книге его избранных трудов [22]. Для задач протекания (ЗП.П), (ЗП.Ш) в работе [85] доказана единственность решения для любых размерностей в классе.

V 0 V е K*(QT), Ф е /С}, СО где /Сесть множество N-функцийМтаких, что f ln^^ds = +оо, K*(QT) означает класс Орлича.

В океанографии используются приближения уравнений идеальной несжимаемой жидкости в бассейне со свободной верхней поверхностью и пространственно меняющейся формой дна, называемые уравнениями мелкой воды. Данные уравнения получаются из трехмерных уравнений несжимаемой жидкости при помощи асимптотического анализа в предположении, что в области течения глубина намного меньше ширины. При этом, число Фруда. и амплитуда волны являются достаточно малыми. В работе Д. Д. Хольма и С. Д. Левермора [56] были представлены модели мелкого бассейна: уравнения большого озера и уравнения озера. Данные модели отличаются друг от друга порядком асимптотического приближения горизонтальной скорости по параметру S, где S — отношение глубины на ширину бассейна. Подробный анализ можно прочитать, например, в [56], [78]. В частности, в [78] показано, что вышеуказанные модели приводятся к обобщенным двумерным уравнениям Эйлера: dv + (v V) v + Vp = f, (0.15) div (hv) = 0, (0.16) с начально-краевыми условиями вида: v|t=o = «о, hv • п|(0)т)хг = О,.

0.17) (0.18) где п — внешняя нормаль к границе, а Т > 0 — произвольный интервал времени, функция h = h{x) — невырожденная функция рельефа дна, т. е. существуют постоянные h, /2.2 такие, что 0 < hi ^ h (x) ^ hi для любых ж из Q.

В работе [90] установлена глобальная корректность задачи (0.15)—(0.18) для гладких входных данных, а в [79] — для аналитических входных данных при невырожденном рельефе дна. На основе идей В. И. Юдовича [48], К. Бар-доса [52] в работе [78] было доказано глобальное существование обобщенного решения в классе {^rot v G L2}. Кроме того, имеет место единственность, если обобщенное решение строится в классе с ограниченным весовым вихрем.

0.3. Краткий обзор по теории пространств Орлича.

Математические проблемы механики сплошных сред всегда сопряжены с задачами математического анализа, общей теорией дифференциальных уравнений и другими разделами математики. Теория пространств Орлича также имеет применение в задачах механики (см. [22], [36], [11]).

Пространства Орлича — это нормированные пространства, частным случаем которых являются пространства Лебега Lp. Впервые были введены В. Ор-личем в [91]. В настоящее время они применяются в различных разделах математики. Наиболее подробно и систематически пространства Орлича были впервые описаны в монографии [27] М. А. Красносельским и Я. Б. Рутицким. Ими же были доказаны многие основные положения общей теории данных пространств. В этой же монографии авторы показали преимущество использования этих пространств при изучении некоторых нелинейных уравнений. Более современное изложение теории пространств Орлича и пространств.

Соболева-Орлича приведено в монографии [77]. Выявилось, что пространства Орлича частично похожи на пространства Лебега. Однако в случаях, когда пространства Лебега не позволяют достаточно полно и точно описать изучаемый объект, то, в частности, возникает необходимость в применении пространств Орлича. После долгого развития теории вложений в пространствах Соболева-Орлича, начатого в пионерской работе С. И. Похожаева [39], в итоге в работах А. Чьянки в [61]—[63]' были получены неулучшаемые теоремы вложения пространств Орлича и Соболева-Орлича. А. Е. Мамонтовым в [84]* вводятся негативные пространства Соболева-Орлича. Также в работах А. Е. Мамонтова [32]- [35] рассматривается, подход об экстраполяции линейных операторов из пространств Лебега в пространства Орлича, основанный на применении интегральных преобразований и представленийN-функций. В частности, с помощью указанного подхода из известных оценок в шкале пространств Лебега можно получать оценки, в пространствах Орлича, что1 позволяет строить решения в более широких и точных классах решений, т. е. решения рассматриваются в специальных пространствах Орлича, в которых показывается неулучшаемость условий корректности задачи (см. [23], [36]).

0:4. Краткий обзор содержания диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, каждая из которых разбита на пункты, заключения и списка цитируемой литературы. Нумерация формул и утверждений (а также определений, замечаний и т. п.) сквозная по всему тексту и тройная (за исключением Введения): вида п.т.к, где п — номер главы, т — номер пункта, а к — номер формулы (утверждения и пр.) в пункте. При этом утверждения, определения и т. п. объекты находятся под единой нумерацией. Во Введении нумерация формул двойная.

Основные результаты, которые выносятся на защиту:

Глобальные теоремы существования обобщенных решений для двумерных задач идеальной несжимаемой жидкости: а) для задачи непротеканияб) для задачи протеканияв) для задачи мелкого бассейна с неровным дном.

Эти теоремы получены в пространствах более широких, чем в аналогичных известных результатах (в основном это пространства Орлича близкие к Ь или пространства Лебега Ьр с достаточно малыми р).

Теорема существования (в двумерном случае) и единственности (при любой размерности течения) решения с неограниченным вихрем. По сравнению с известными результатами достигнуто простое легко проверяемое условие на вихрь в пространствах Орлича.

Построены примеры допустимых типов особенностей, при которых полученные результаты для задачи непротекания сохраняют силу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Диссертация посвящена разрешимости и математической корректности задач движения идеальной несжимаемой жидкости (системы Эйлера). При этом рассматривается проблема доказательства глобальной теоремы существования и единственности обобщенных решений при как можно более слабых ограничениях на гладкость решения и входных данных, особенно вихря. Для существования рассмотрены плоские течения, а для единственности и трехмерные.