Почти многопериодические решения систем интегро-дифференциальных уравнений в частных производных

В теории колебаний исключительно большое теоретическое и практическое значение имеет изучение одномерных и многомерных периодических также почти периодических колебаний. Саше разнообразные задачи механики, физики и техники сводятся к изучению таких колебательных решений систем дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных.

Классическая теория линейных систем с периодическими коэффициентами и общая теория нелинейных периодических систем была создана в работах А. М. Ляпунова /34/ и А. Пуанкаре /50/.

Изучение реальных физических систем и создание общей теории почти периодических функций Г. Болем /8/, Е. Эсклангоном /21/, Г. Бором /9/, С. Бохнером /10/, Б. М. Левитаном /32/ и другими привело к исследованию современных актуальных задач теории почти периодических колебаний, основы которых были разработаны в фундаментальных трудах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, А. М. Самойленко /6, 7, 27, 55/ и их учеников.

Дальнейшему развитию и обобщению теории периодических и почти периодических решений систем дифференциальных уравнений и их методов (методов Ляпунова-Пуанкаре, метода усреднений, метода интегральных многообразий и др.) посвящены работы советских ученых В. И. Арнольда /I/, Е. А. Барбашина /5/, Н. Н. Боголюбова /6, 7/, М. И. Иманалиева /12, 24/, Я. В. Быкова /II/, К. Г. Валеева /13/, К. Г. Валеева и О. А. Жаутыкова /14/, Е. А. Гребеникова и Ю. А. Рябова /18/, Ю. Л. Далецкого и М. Г. Крейна /19/, Н. П. Еругина /20/, В. И. Зубова /23/, М. А. Красносельскаго /25, 26/, Б. М. Левитана и В. В. Жикова /31/, И. Г. Малкина /35/, В. И. Мшшюнщикова /37, 38/, Ю.А.Мит-ропольского /39, 40/, Ю. А. Митрополь ского и Д. И. Мартышка /41/, Ю. И. Наймарка /45/, В. И. Плисса /48/, А. М. Самойленко /55/, В. М. Старшинского и В. А. Якубовича /68/, В. Х. Харасахала /62/, С. Н. Шиманова /66/ и других, а также зарубежных ученых К. А. Зигеля /22/, Х. Мас-серы и Х. Шеффера /36/, Ю. Мозера /42/, М. Роз о /52/, А. Халаная и Д. Векслера /61/, Т. Хаяси /64/, Ф. Хартмана /63/, Дж. Хеила /65/ и других.

Многие математические модели, ошсывающие колебательные процессы, происходящие в сплошной среде, приводят к нелинейным гиперболическим уравнениям в частных производных или их системам, изучение общих свойств и методов решения которых представляет собой быстро развивающуюся область современной математики. Свидетельством тому служат появление крупных монографий и отдельных работ Л. Берса, Ф. Джона и М. Шехтера /4/, Р. Куранта /28/, П. Лакса /30/, Ю. А. Митропсльского и Б. И. Мосеенкова /40/, В. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко /51/ и других.

В начале 60-х годов В. Х. Харасахал /62/ и его ученики многие вопросы, связанные с системами обыкновенных дифференциальных уравнений с квазипериодическими по? правыми частями свели к изучению систем уравнений в частных производных где — периодическая вектор-функция, которая обращается по диагонали Ш±-= и2 =. = Цт = ^ пространства переменных а1, а2, Ыт в вектор-функцию На указанной диагонали периодическое решение системы (2), если оно существует, порождает квазипериодическое решение системы (I).

Путем перехода от систем обыкновенных дифференциальных уравнений к специальным системам уравнений в частных производных подучила ряд результатов В, И. Зубов /23/, М. Роз о /53/, Ф. Накаима /44/ и другие.

За последнее время значительно возрос интерес к проблеме периодических по времени и по пространственным переменным решений систем уравнений в частных производных. Изучению такой проблемы посвящены работы А. К. Азиза, М. С. Хорака, А. М. Мейерса /3, 3'/, Д. Детровану /47/, Ж. А. Сартабанова /56/, М. Б. Тулегеновой /59/, Д. У. Умбетжанова /60/, Дж. Хейла /65/, ЛЛезари /66/, И.И.Шмулева/68/.

В работах Д. У, Умбетжанова /60, 59/ рассматривались в основном многопериодические и почти многопериодические решения систем дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих различные малые параметры. Причем наличие малых параметров не только указывает на малость имеющихся возмущающих членов, но и позволяет компактно изложить основные результаты и положения. Сведения о почти многопериодической функции и ее свойствах можно найти в указанной работе /60/.

Основным объектом его исследований были системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных вида а.^ос^^р^^х-ь/С?^^^^, (3) где у> =), X = (ос±-, ., зсп), С) = (С^, .,<3П) вектрры-, У, ЭС, 6) — скалярные функцииР (-Ь — матрица размерности П * П — -? , ул — положительные параметры.

Для исследования почти многопериодических решений таких систем в настоящее время им создан специальный метод и получен ряд результатов.

Следует отметить, что почти многопериодическое решение (сокращенно — п.м.п.решение) системы с одинаковой главной частью (3) является интегральным многообразием в смысле Богсшюбова-Митроподь-ского для соответствующих эквивалентных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Н У = ак (1,У>, Х, б) (к = 77т],.

4) аналитическое представление которого обладает свойством почти периодичности не только по Ь, но и по координатам вектора? .

В данной работе, состоящей из трех глав, рассматриваются в основном вопросы существования и единственности почти многопериодических решений квазилинейных систем интегро-дифферендиальных уравнений в частных производных первого порядка. Выясняются условия голоморфности таких решений по малому параметру, устойчивости по временной переменной.

В первой главе рассматриваются вопросы существования и единственности п.м.п. решения систем с одинаковой главной частью вида.

А**5≠.

5).

— ®-о.

— ОО 9.

Х-,? — т — векторыX .¿-^" ИГп — векторыР ('Ь, ?, ?) — мат-рща размерности П*П -^>0, ?>0 — параметры- - положительные постоянные.

Выяснены условия существования почти многопериодической частной цроизводной по координатам вектора у> от п.м.п. решения системы вида Эх^ у «/4. ф к= I.

4 а^^^Ц^Рад^^^^^^)-/) • (6).

7).

8).

Также рассмотрены вопросы существования и единственности п.м.п. решений сингулярно-возмущенной системы системы уравнений гиперболического типа сс = р4 Ьрмхууг^ъхщя),}), и системы уравнений первого порядка вида где % =-[х-у]- - п +1 -мерный вектор.

При этом схема исследования следующая: а) рассматривается класс (А,^) функций | («Ь) из С^Ч^*» ^ «Д*м.п. оГ1 -векгор-почти периодом (Т,^) = оУ и удовлетворяющая условиям б) Предполагается существование матрицы типа ГринаХДЧ’Ь/Р).

9) для линеаризованной системы удовлетворяющий условиям не1фитичности. Здесь.

Ю*=Щ +1ак[г,*, 1 (1 и{(),£] |рк, и («=/аса^^-са^^е'0 ж СО в) Дня матрицы Х^ (Ь, V) и характеристической функции оператора при достаточно малых значениях 5 устанавливаются оценки, вытекающие из условий, налагаемые на вектор-функции.

0С, и,6) Д (^Д) и матрицуР^, 4>, Х). г) Вводится отображение, А ¦ (—* (т по формуле оо ев.

Показывается, что существует ^>0 такое, что цри0<^<^ выполняются условия известной теоремы Каччиополи-Банаха /39/ в классе)• Тем самым в этом классе существует п.м.п. решение системы (5) цри условии 0<? <? , <^ •.

Вторая глава посвящена вопросу существования голоморфного почти многопериодического решения по малому параметру ^ системы с одинаковой главной частью.

4 * = б. (Ю).

— оо? где 4Х = Я- + |К№)+еб"(1Лх, 8-+8а (х)]|Рк (и).

Получена оценка снизу радиуса сходимости ряда, представляющего собой голоморфное решение системы (10).

Такие же результаты получены для систем сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных уравнений и систем гиперболического типа с дифференциальными операторами вида (II).

Б третьей главе рассматриваются вопросы устойчивости п.м.п. решений по временной переменной системы с одинаковой главной частью вида.

Этот же результат распространен душ некоторых систем гиперболического типа.

Приведем определение п.м.п. функции из СбО]. Рассмотрим ш-мерное вещественное пространство: векторов =. -Дт)" в К0Т0Р0М норма определена следующим образом.

ИИ = зиР|ч>к|.

Пусть Фс — фиксированный вектор &. Множество всех векторов Г. удовлетворяющих условию назовем Ш. — мерным шаром в Я с центром в ^ и радиуса? и обозначим его через.

Вектор-функцию 1(ф), определенную в Я&trade-", назовем многопериодической или игпериодической, если она периодична по вектору у с вектор-периодом Ш= (иТ^и^,. ,.>итт). Для такой вектор-функции при любом Фе^имеет место равенство где<^иГ = - твектор- ^ = целочисленный вектор.

Множество^} -тмерных векторов называется относительно плотным в К, если существует число ?0 такое, что любой шар) содержит хотя бы один вектор этого множества. Вектор ., 173) назовем 71 —вектор—почти периодом или ^ -смещением функции % (43), если при любом^бР имеет место неравенство.

Вектор-функцию | (?) назовем почти многопериодической, если для каждого ^>0 существует относительно плотное в множество ее7 -вектор-почти периодов*1Л.

Очевидно, всякая непрерывная многопериодическая функция является почти многопериодической. Примерами многопериодической и почти многопериодической функций являются соответственно.

1. Арнольд В, И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической небесной механике, — УМН 18, № 6 (1963), с.92−192.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С. Э. Теория колебаний.М.: Физматгиз, 1959. ,.

3. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

4. Барбашин Е. А., Табуева В. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969.

5. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.

6. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А., Самоиленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1969.

7. Боль П. Избранные труды. Рига, 1961.

8. Бор Г. Почти периодические функции. М.: ГТТИ, 1934.10 foockwi Ibet-Ltcofl*. яиъ Т&ел.с'е оел. jtaetye.bCodUcAen.. I .пеъ у-оъсаМе.к,. M^L st C^zelc. W-W.

9. Быков Я. В. О некоторых задачах теории интегро-дифферен-циальных уравнений. Фрунзе, 1957.

10. Валеев К. Г. 0 решении и характеристических показателях решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, -г I3MM, i960, 24, J? 4, с. 585−602.

11. Валеев К. Г., Жаутыков O.A. Бесконечные системы дииферен-циальных уравнений. Алма-Ата, 1974.

12. Васильева А. Асимптотика решений некоторых задач обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром яря старших производных.-УМН, 1963, т. ХУШ, вып. З (Ш), с.15−86.

13. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод усреднения в теории нелинейных колебаний. М.: Изд. МГУ, 1971.

14. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

15. Гребеников Е. А., Рявов Ю. А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971.

16. Далецкий Ю. А., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

17. Еругин Н. П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск: Наука БССР, 1963.21 .^?лп^ок- ?. jfouvzlU* Sua. £иcicotbOb yuatye^Lodc^ ¦ ** J.

18. Зигель К. Л. Лекции по небесной механике. М.: Ш, 1959.

19. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973.

20. Иманалиев М. И. Колебания и устойчивость решений сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем. Фрунзе: Илим, 1974.

21. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М: Наука, 1966.

22. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.

23. Крылов Н. М., Боголюбов H.H.

Введение

в нелинейную механику. Киев: Наука УССР, 1937.

24. КурантР. Уравнения с частными производными. М., 1964.

25. Курцвейль Я. Инвариантные многообразия дифференциальных систем. ДУ, 1968, т.4, В 5, с.685−797.30. Ьсис Р.Я.Яцре*М* atlaw*. c^mnt. /W jfrt.малга.^009⁵³^66.

26. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения.-М.: Изд. МГУ, 1978.

27. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М.:ГИТТЛ, 1953.

28. Лика Д. К., Рябов Ю. А. Методы итерации и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний. Кишинев, 1974.

29. Ляпунов A.M.' Общая задача об устойчивости движения. -Л.-М.: ОНТИ, 1935.

30. Малкин И. Г. 0 почти периодических решениях нелинейных автономных систем. ДММ, 1964, т.18, вып.6.

31. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970.

32. Миллионщиков В. М. Доказательство существования неправильных систем линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами. ДУ, 1968, т.4, № 3, с.391−396.

33. Миллионщиков В. М. О типичности почти приводимых систем с почти периодическими коэффициентами. ДУ, 1978, т. 14, № 4,с.634−636.

34. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973.

35. Митропольский Ю. А., Мосеенков Б. И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. Киев: Вища школа, 1976.

36. Митропояьский Ю. А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа, 1976.

37. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения. УМН, 1968, т.23, $ 4.

38. Мышкис А. Д., Шиманов С. Н., Эльсгольц Л. Э. Устойчивость и колебания систем с запаздыванием: Тр. международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т.1. Киев, 1968.

39. ЛГлАа^/та. &-оыЫглсе. о£ фиабСРел^оЫ^Ги*А<�и-а?<�у йкгж*/- *I.

40. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

41. Персидский К. П. Об одной счетной системе уравнений с частными производными. ПММ, 1950, т.14, № II, с.23−44.47. ре-д^огПа./гсс. ?0. Реъсеои’с. ?о?еуО>оо/с.4 -Рс'ъб-Ь Жы ЯшеъЯо&с. Зуб-бет* <�и>л*а.ииу ^ втаг1.

42. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л., 1964.

43. Проскуряков А. Т. Сравнение периодических решений квазилинейных систем, построенных методом Пуанкаре и методом Крылова-Боголюбова. ЕММ, 1964, т.4, вып.28.

44. Пуанкаре А. 0 кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

45. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1968.

46. Розо М. Нелинейнве колебания и теория устойчивости. -М.: Наука, 1971. л.

47. Ыиш МЬ ^ pezc^'fuei. С. г. Лсас/. Sei.^ А? оз-$об.

48. Рябов Ю. А. Об оценке области применимости метода малого параметра в задачах теории нелинейных колебаний: Тр. международного симпозиума по нелинейным колебаниям. T.I. Киев, 1968.

49. Самойленко A.M., Кулик В. Л. К вопросу о существовании функции Грина задачи об инвариантном торе. УМЖ, 1975, т.27, ЖЗ.

50. Сартабанов Ж. А., Умбетжанов Д. У. 0 построении многопериодического решения одной счетной системы уравнений с частными цроизводными: Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат., 1972, $ 5, с.61−66.

51. Соболев С. А. 0 почти-периодичности решений волнового уравнения. ДАН СССР, 1948, т. XI, 15 8, 9.

52. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений, содержащих параметры: Математ. сб., I960, вып.27 (68), с.147−156.

53. Тулегенова М. Б., Умбетжанов Д. У. О многопериодических решениях одной системы уравнений в частных производных: Изв. АН КазССР, сер. физ.-мат., В 3, 1973, с.57−61.

54. Умбетжанов Д. У. Почти многопериодические решения дифференциальных уравнений в частных производных. Алма-Ата: Наука, 1979.

55. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсивных систем. М.: Мир, 1971.

56. Харасахал В. Х. Почти периодические решения обыкновенных дифференциальных уравнении. Алма-Ата: Наука, 1970.

57. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальных уравнения. -М.: Мир, 1970.

58. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. -М.: Мир, 1968.

59. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966.

60. Чезари Л. Асимптотические поведения и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1966.

61. Шиманов С. Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием. ЛММ, 1959, т.23, вып.5, с.836−844.

62. Шмулев И. И. Почти периодические и периодические решения задачи с косой производной для параболических уравнений. ДУ, 5, J* 12 (1963).

63. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. -М.: Наука, 1972.

64. Умбетжанов Д. У., Бержанов А. Б. 0 голоморфном почти многопериодическом решении одного интегро-дифференциального уравнения в частных производныхИзв. АН КазССР, сер. физ.-мат., 5, 1977, с.61−66.

65. Бержанов А. Б. 0 построении голоморфного почти многопериодического решения одной системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. В кн.: Дифференциальные уравнения и их приложения. — Алма-Ата: Изд. КазГУ, 1978, с. 14−19.

66. Бержанов А. Б. Об устойчивости почти многопериодического решения одной гиперболической системы дифференциальных уравнений в частных производных. В кн.: Дифференциальные уравнения. -Алма-Ата: Изд. КазШ, 1981, с. 58−65.

67. Бержанов А. Б. О почти многопериодическом решении одной сингулярно-возмущенной системы интегро-дифференциаяьных уравнений в частных производных. В кн.: Дифференциальные уравнения и задачи прикладного анализа. — Алма-Ата, Изд. КазГУ, 1982, с.27−34.

68. Бержанов А. Б., Умбетжанов Д. У. О существовании почти многопериодического решения одной системы интегро-дифференциаль-ных уравнений в частных производных: Изв. АН КазССР, сер. физ.-мат., № 5, 1983, с.11−15.