Движение двух вязких несмешивающихся жидкостей

Задача о неустановившемся движении двух вязких несмешивающихся жидкостей с неизвестной замкнутой поверхностью раздела принадлежит к классу задач со свободными границами. Теория этих задач для уравнений Навье-Стокса насчитывает в своем развитии лишь около трёх-четырёх десятилетий, хотя их постановка восходит к классическим работам 19-ого века. Большинство авторов, работающих в этом направлении, рассматривает стационарные задачи. Это относится и к задаче о движении конечного объема одной жидкости в другой.

Впервые задача, описывающая стационарное движение двух несжимаемых жидкостей, изучалась в работах Ж. Адамара [1] и В. Рыбчинского [2]. Ими было получено аналитическое решение системы Стокса, соответствующее осесимметричному падению сферической капли с постоянной скоростью. Стационарное движение двух жидкостей со свободной замкнутой поверхностью их раздела исследовали В. Я. Ривкинд [3]-[5] и И. Бемельманс [6]. В работах был сделан расчет движения и формы капли в жидкой среде [3, 4]. Однако доказательства существования единственного решения нелинейной задачи о капле, падающей с постоянной скоростью, у обоих авторов содержат пропуски и неточности. Чуть позже к этой задаче обратился В. А. Солонни-ков [7, 8]. В предположении, что плотности жидкостей близки друг другу, он дал корректное доказательство разрешимости задачи о стационарном падении (подъёме) капли в бесконечной жидкой среде. Решение получено как возмущение состояния покоя, при этом было отмечено, что дифференциал Фреше соответствующего оператора не является обратимым, и поэтому задача требует более тонкого рассмотрения.

Нестационарные задачи о движении жидкостей со свободными границами являются более трудными для исследования. Они изучены в меньшей степени. Общая формулировка этих задач следующая (см. [9]): найти область С К. п (п = 2,3), занимаемую жидкостью с вязкостью V > 0 и плотностью р > 0 в момент времени? > 0- найти векторное поле V — •, уп) и функцию давления р, удовлетворяющие начально-краевой задаче для уравнений Навье-Стокса:

Т>&- - иАу + (V • V) v + -Ур = f, V • V = 0 вПи t>0, (0.1.1) Р «оМ» х е «о, и1х€ 5 = 0, Тп|г4 = сгНп. (0.1.2).

Здесь Т>г — д/дЬ, V = {д/дх1,д!дх2,д/дхз), 5 — твердая поверхность, = ¿-ЮДй' — свободная поверхность, f — поле внешних сил, Уо — начальное поле скоростей в заданной области Оо5 Т — это тензор напряжений с элементами.

Тгк = -6*р + ц (ду{/дхк + дук/дхг), г, /г < пп — вектор внешней нормали к Г4 в точке х, а ^ 0 — коэффициент поверхностного натяжения, Я (а-,?)/(п — 1) — значение средней кривизны поверхности (Н < 0 в точках выпуклости Г4 наружу жидкости) — точкой обозначено скалярное произведение в К.п.

Кроме того, относительно свободной поверхности Г4 предполагается, что на ней находятся все время одни и те же частицы жидкости. С помощью этого предположения исключается возможность переноса массы через поверхность Г4. Аналитически это записывается так: при t>QTt состоит из таких точек ?), соответствующий радиус-вектор которых ж (£, ?) является решением задачи Коши.

4=о = ?, £еГо, *> 0, (0.1.3) где Го = сЮо£ — заданная в начальный момент поверхность.

Нестационарное движение тяжелой вязкой жидкости над твердым дном? изучалось в работах Т. Била [10, 11] и Ж. Ален [12]. В трехмерном случае для задачи (0.1.1)—(0.1.3) при, а = 0 была доказана локальная по времени однозначная разрешимость в пространствах Соболева [10], а при, а > 0 и малых начальных данных была получена и глобальная разрешимость в этих пространствах [11]. Без ограничения на размер начальных данных Ж. Ален установила локальную теорему существования этой задачи при, а > 0, п — 2 [12].

Наиболее продвинута задача о движении изолированного объема несжимаемой жидкости. В этом случае поверхность 5 отсутствует, а свободная граница Г замкнута. Так, В. О. Бытев [13] и О. М. Лаврентьева [14] рассмотрели задачу (0.1.1)—(0.1.3) в кольце с двумя свободными границами, при этом вектор у0 считался аксиально симметричным. В [13] было показано, что при, а = 0 в некоторых случаях может расширяться до бесконечности. Для, а > 0 в [14] было установлено, что может превратиться в круг при? = ?0 < ОО и сохранять эту форму для всех? >

Задачу (0.1.1)—(0.1.3) для односвязной области с замкнутой границей Г4, изучает в своих работах В. А. Солонников. В пространствах СоболеваСлободецкого х (0,Г)), С п < д < оо, при и — 0 он доказал локальную по времени разрешимость задачи в Жп, п = 2,3, и дал достаточные условия продолжимости решения на бесконечный интервал времени? > 0 [72]. Через 20 лет И. Шибата и С. Шимизу повторяют его результаты в анизотропных пространствах И7¹, п < д < оо, 2 < р < оо, операторными методами. Для, а > 0 В. А. Солонниковым было доказано существование глобального решения в ЦТ}1 {Ж3) при начальных данных, близких к равновесным [15]. В [16] он установил, что решение системы (0.1.1)—(0.1.3) с / = 0 при? —> оо стремится к некоторому не зависящему от? решению, описывающему вращение жидкости как твердого тела. В статьях [17, 18] им дано подробное доказательство разрешимости задачи (0.1.1)—(0.1.3) в общем случае на некотором конечном интервале времени, зависящем от данных задачи. Аналогичный результат в пространствах Гёльдера при и > 0 был получен этим автором совместно с И. Ш. Могилевским [19, 20].

Что касается задачи о движении двух жидкостей, то для случая несжимаемых жидкостей модельные нестационарные задачи с заданными неподвижными границами раздела изучали В. Я. Ривкинд и Н. Б. Фридман [21]. В полной постановке эта задача впервые изучалась в ранних работах автора [22]—[26]. В конце 80-х — самом начале 90-х для неё была получена локальная разрешимость в пространствах Соболева — Слободецкого при наличии поверхностного натяжения и без него. Там использовалась техника вышеупомянутых работ для одной жидкости. Чуть позже, также на основе работ В. А. Солонникова, Н. Танака [27] предпринял попытку исследовать глобальную разрешимость для малых данных вблизи положения равновесия в тех же пространствах. В гёльдеровских классах эта задача впервые рассматривается в данной диссертации.

Упомянем, кроме того, результаты И. Гиги и Ш. Такахаши [28, 29], а также А. Нури, Ф. Пупо и И. Дёмэ [30, 31] о существовании глобальных слабых решений для уравнений Стокса и Навье-Стокса, описывающих движение двух несжимаемых жидкостей с различными вязкостями и плотностями, но без учёта поверхностного натяжения. Отметим также, что в 1993 году вышла книга Д. Д. Джозефа и Ю. Ренарди [32], посвящённая одновременной динамике двух несмешивающихся жидкостей, где приведены постановки задач, фотографии экспериментов и их компьютерные имитации.

Последние годы снова возрос интерес к рассматриваемой задаче, видимо, потому что с одной жидкостью уже был достигнут некоторый прогресс. Так С. Шимизу в [34], [35] начинает с анализа в задачи дифракции для системы Стокса для двух жидкостей с одинаковыми плотностями без учёта сил поверхностного натяжения. Я. Прюсс и Ж. Симоне ищут условия аналитичности решений при? > 0 нелинейной задачи с учётом поверхностного натяжения, когда начальная поверхность раздела близка к полуплоскости [36], [37]. Г. Абельс, наоборот, исследует ситуацию, когда существуют только обобщённые решения, и оценивает хаусдорфову меру границы раздела [38].

Что касается сжимаемой жидкости, то задачу о движении конечной массы баротропной жидксти рассматривали В. А. Солонников и А. Тани [39]. Они получили существование единственного решения этой проблемы в соболевских пространствах на малом промежутке времени.

Пусть при? = 0 жидкость заполняет известную область П С I3. Через Г обозначим границу этой области сЮ. Для? > 0 нужно найти свободную границу Г4 = поле скоростей у (х, Ь) = (г>ь 1>2, ^з) и функцию плотности р (х,?) > 0 жидкости, удовлетворяющие начально — краевой задаче для системы Навье — Стокса: p (Dtv + (v • V) v) — V • Т = pf,.

T>tp + V • (pv) = 0 в t > 0, vt=o = V0(x), p|t=o = А) 0е), X Є ft,.

Tn|rt = uHn — pen на rt,.

0.1.4).

0.1.5) где тензор напряжений задаётся формулой.

Т = (-р (р) +^V • v) l + ii&{v), (S («)).

I — это единичная матрицаа // - коэффициенты динамических вязкостейр (р) — давление жидкости, заданное известной гладкой функцией плотности- / заданное поле внешних сил, ре = ре{х, t) — функция внешнего давления при ж el3, t > 0, ро и v0 начальные значения плотности и скорости жидкости, п вектор внешней нормали к Qt, <7⁰ коэффициент поверхностного натяженияН (х, t) — удвоенная средняя кривизна поверхности Tt. Запись V • Т обозначает вектор с компонентами (V • Т)^ = j — 1,2,3.

Чтобы исключить потерю массы через свободную границу, предположим, что Tt состоит из точек ?), удовлетворяющих задаче (0.1.3). Это условие позволяет нам избавиться от неизвестной границы путём перехода от эйлеровых координат {а-} к лагранжевым {?} точно так же, как это было делается для несжимаемой жидкости. Только теперь якобиан преобразования не равен единице. Для функций плотности р и скорости и в лагранжевых координатах мы получаем задачу, где можно проинтегрировать уравнение для плотности. В результате мы получаем систему относительно только скорости жидкости и, .

Проблему о движении двух сжимаемых жидкостей без поверхностного натяжения изучал А. Тани [40] в 80-х годах прошлого века. Задача с неизвестной границей двух сред и с учётом поверхностного натяжения впервые исследуется в данной работе как для случая сжимаемых [41], [42], так и для случая разнородных жидкостей [43].

Структура диссертации:

Диссертация помимо введения содержит 3 части, разделённые на параграфы и подпараграфы. Нумерация параграфов сплошная по всей работе. При нумерации формул первая цифра означает номер параграфа, втораяномер подпараграфа, а третья — номер формулы в подпараграфе. Результаты диссертации опубликованы в работах [26], [41]—[57].

В первой части мы изучаем задачу о движении двух несжимаемых жидкостей. Локальную по времени однозначную разрешимость этой задачи после перехода к лагранжевым координатам мы получаем в гёльдеровских пространствах со степенным весом на бесконечности (§ 5). Доказательство проводится в несколько этапов. Сначала в параграфе 2 мы анализируем модельную задачу с плоской поверхностью раздела и с коэффициентом, а ^ 0 в обычных гёльдеровских классах функций. В § 3 мы исследуем модельную задачу с плоской границей при, а = 0. Задача с замкнутой границей раздела рассматривается в § 4. Там доказывается её однозначная разрешимость для любого конечного промежутка времени. В § 5.2, 5.3 проводятся оценки для линейной и линеаризованной задач в весовых пространствах Гёльдера, откуда уже выводится разрешимость нелинейной задачи.

Далее, при условии малости начальных данных удаётся получить и глобальную разрешимость задачи в полной постановке (§-§-б, 7). В конце этой части мы рассматриваем задачи с учётом температуры (§§ 8, 9).

Вторая часть посвящена сжимаемым капиллярным баротропным жидкостям. В параграфе 10 мы доказываем существование в пространствах Соболева — Слободецкого единственного решения задачи об одновременной эволюции двух сжимаемых несмешивающихся жидкостей на конечном временном промежутке, величина которого зависит от данных задачи. Далее мы исследуем задачи о движении одной (§ 11) и двух (§ 12) сжимаемых жидкостей и тоже доказываем их локальную однозначную разрешимость, но уже в гёльдеровских классах функций. На этой основе в параграфе 13 мы изучаем задачу термо-капиллярной конвекции для двух сжимаемых жидкостей.

В третьей части исследуется задача о движении двух разнородных жидкостей в пространствах Соболева — Слободецкого. Основной результат — это локальная однозначная разрешимость этой задачи, причём сжимаемая жидкость может быть как внутри, так и снаружи несжимаемой. Как и в раньше, мы начинаем с анализа линейной модельной задачи с плоской границей раздела между жидкостями. В начале 15-ого параграфа мы получаем для неё явное решение в пространстве образов Фурье-Лапласа в случае однородных уравнений и выводим его оценки. Затем строим решение неоднородной задачи. В 16-ом параграфе мы схематично приводим доказательство разрешимости нелинейной задачи.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

Для двух несжимаемых жидкостей:

1) Существование глобального решения задачи в полной постановке при малых начальных данных как в случае отсутствия капиллярных сил, так и при их наличии.

2) Существование локального по времени единственного решения задачи в гёльдеровских пространствах со степенным весом на бесконечности, при этом интервал времени, на котором существует решение, зависит от данных задачи.

3) Однозначная разрешимость для линейной задачи с замкнутой границей раздела жидкостей на любом конечном интервале времени в обычных гёльдеровских классах функций.

4) Точные гёльдеровские оценки явного решения на бесконечном промежутке времени для линейной задачи с плоской границей раздела без учёта сил поверхностного натяжения.

5) Локальная однозначная разрешимость задачи термо-капиллярной конвекции для капли в жидкой среде.

6) Существование единственного решения двухфазной задачи в ограниченной области в приближении Обербека-Буссинеска на малом интервале времени.

Для одной сжимаемой жидкости:

7) Существование локального по времени единственного решения задачи об эволюции жидкости, ограниченной замкнутой свободной поверхностью, в гёльдеровских классах функций.

8) Существование единственного решения линеаризованной задачи на любом конечном промежутке времени.

Для двух сжимаемых жидкостей:

9) Локальная однозначная разрешимость задачи о движении пузырька в газообразной среде в пространствах Соболева — Слободецкого и в пространствах Гёльдера со степенным весом на бесконечности.

10) Построение и оценка явного решения модельной задачи с плоской границей раздела в обоих пространствах функций на бесконечном промежутке времени.

11) Локальная однозначная разрешимость задачи, моделирующей термокапиллярную конвекцию для пузырька в сжимаемой среде.

Для двух разнородных жидкостей:

12) Однозначная разрешимость задачи об эволюции капли в газообразной среде, или пузырька в жидкости, на малом промежутке времени в пространствах Соболева — Слободецкого.

13) Существование решения для линеаризованной задачи на любом конечном промежутке времени.

14) Построение и оценка в соболевских пространствах явного решения модельной задачи с плоской границей раздела жидкости и газа на бесконечном промежутке времени.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту профессору В. А. Солонникову за плодотворные дискуссии и полезные советы.

Часть I.

Движение двух несжимаемых жидкостей.

1 Введение.

В этой части мы будем изучать неустановившееся движение двух несжимаемых жидкостей разделённых замкнутой неизвестной поверхностью IV Жидкости занимают всё пространство Ж.3. На границе раздела Г4 мы будем учитывать силу поверхностного натяжения.

Техника, разработанная в работах [17]-[20] для изучения движения капли в пустоте, оказывается применимой и для исследования движения капли в жидкой среде. Это исследование для пространств Соболева — Слободецкого было проведено в [22]—[26]. Там была установлена локальная однозначная разрешимость задачи о движении двух жидкостей, разделенных замкнутой неизвестной поверхностью, с учетом поверхностного натяжения (<�т ^ 0). Ранее эта задача в упрощенных постановках рассматривалась в статье В. Я. Ривкин-да и Н. Б. Фридмана [21]. В частности, ими было доказано существование обобщенного решения нелинейной нестационарной задачи с заданной неподвижной границей раздела двух жидкостей.

В части I мы исследуем разрешимость различных задач, описывающих эволюцию двух несжимаемых жидкостей, в гёльдеровских классах функций.

Заключение

.

Подведём итог нашим исследованиям. Сформулируем результаты, полученные в диссертации для задач с неизвестными границами в полной постановке. Итак, мы доказали.

Для двух несжимаемых жидкостей:

1) Существование глобального решения задачи с неотрицательным коэффициентом поверхностного натяжения на границе раздела жидкостей в ограниченной области при малых начальных данных.

2) Существование локального по времени единственного решения задачи в гёльдеровских пространствах со степенным весом на бесконечности, при этом интервал времени, на котором существует решение, зависит от данных задачи.

3) Локальную однозначную разрешимость задачи термо-капиллярной конвекции для капли в жидкой среде.

4) Существование единственного решения двухфазной задачи в ограниченной области в приближении Обербека-Буссинеска на малом интервале времени.

Для одной сжимаемой жидкости:

5) Существование локального по времени единственного решения задачи об эволюции жидкости, ограниченной замкнутой свободной поверхностью, в гёльдеровских классах функций.

Для двух сжимаемых жидкостей:

6) Локальную однозначную разрешимость задачи о движении пузырька в газообразной среде в пространствах Соболева — Слободецкого и в пространствах Гёльдера со степенным весом на бесконечности.

7) Локальную однозначную разрешимость задачи, моделирующей термокапиллярную конвекцию для пузырька в сжимаемой среде.

Для двух разнородных жидкостей:

8) Однозначную разрешимость задачи об эволюции капли в газообразной среде, или пузырька в жидкости, на малом промежутке времени в пространствах Соболева — Слободецкого.

Анализируя доказательства данных результатов, можно сделать следующие выводы:

1) Полученная гладкость и оценки решений задач для двух жидкостей являются точными и совпадают с соответствующими показателями гладкости решений задач для одной жидкости в ограниченной области.

2) Неравенства, подобные оценкам решения задачи для одной некапиллярной жидкости в гёльдеровских пространствах с пониженным показателем гладкости по времени, невозможны в случае двух жидкостей. Для них верны только неравенства с предельными показателями.

3) В случае наличия поверхностного натяжения требование к гладкости начальной поверхности раздела повышается на единицу по сравнению с некапиллярным случаем. Это тоже совпадает с требованием к исходной гладкости для свободной поверхности.

4) Все результаты для двух несжимаемых жидкостей получены при произвольных значениях плотностей и вязкостей жидкостей. Ограничения на них возникают только тогда, когда хотя бы одна из жидкостей становится сжимаемой.

5) Показатель веса в весовом пространстве Гёльдера может быть любым положительным числом для двух сжимаемых баротропных жидкостей, в то время как для несжимаемого случая степенные показатели убывания на бесконечности разные для скорости и давления жидкостей, они не должны быть меньше определённых величин.