О некоторых метрических проблемах теории диофантовых приближений

Изучение приближений действительных чисел рациональными позволяет многое сказать об арифметической природе чисел. На этом пути впервые было доказано существование трансцендентных чисел, иррациональность ?(3) и т. д. В то же время с точки зрения теории меры действительные числа поразительно похожи. Метрическая теория диофантовых приближений началась, по-видимому, со знаменитой теоремы о приближении действительных чисел рациональными, доказанной А. Я. Хинчиным [25] в начале прошлого века. Пусть ф (х) — монотонно убывающая неотрицательная функция, определенная на fi (A) — мера Лебега измеримого множества, А С М, I — [а, Ь] — некоторый интервал.

ТЕОРЕМА ХИНЧИНА. Пусть Li (ip) — множество действительных чисел же/, для которых неравенство р х-q.

Ш' (!) имеет бесконечно много решений в целых числах р и натуральных числах q. Тогда.

О, если Y1 ^{я) <

7=1.

KLiW) = {.

00 i (/), если Yl^iQ) — <7=1 оо.

В случае сходимости ряда ^ условие монотонности if)(q) можно опу.

7=1 стить (см. [18], гл. 1, § 1), а в случае расходимости без условия монотонности теорема неверна (см. [18], гл. 1, § 2, теорема 6). Перепишем неравенство (1) в виде qx-p.

Тогда можно говорить о разрешимости неравенства (2) в многочленах первой степени с целыми коэффициентами. Естественным обобщением этого является рассмотрение многочленов произвольной фиксированной степени п. Пусть п р (х) = азхflj 6 Z, О < j < и, Я (Р) — шах aj. (3) j=о.

Обозначим через Ьп (ф) множество х G М, для которых неравенство.

Р (х) < Я = Я (Р) (4) имеет бесконечное число решений в полиномах Р (х) € степени не выше п. Задача о мере множества Ln{ф) имеет давнюю историю. Так, в 1932 г. К. Малер [28] предположил, что при 'ф (Н) — ЯА, Л > 1, множество Ln (ip) имеет нулевую меру. Его гипотезу доказал В. Г. Спринджук [16] в начале 60-х годов прошлого века. Спустя несколько лет А. Бейкер [22] улучшил теорему Спринджука и предположил, что для множества Ln{ф) справедлива теорема Хинчина в случае сходимости. Это предположение было доказано в 1980;х годах В. И. Берником [1]. Спустя примерно десятилетие В. В. Бересневич [23] доказал и случай расходимости. Вскоре эти результаты были обобщены на поля комплексных и р-адических чисел в работах [2], [5]..

Другое направление для обобщений теоремы Спринджука было задано в работе [17], а именно, была высказана следующая гипотеза (см. [17], Заключение, § 3, Проблема В. 2):.

Гипотеза. Пусть т — натуральное, Р Е Щх,., хт] — многочлен совокупной степени не выше п, N = С™+п — 1 (число различных нетривиальных мономов от т переменных степени не выше п), е > 0 — вещественное число. Тогда для почти всех (в смысле т-мерной меры Лебега) точек? € Мт неравенство.

Р©-| <�Я~ЛГ-?, Н = Н (Р) имеет лишь конечное число решений в полиномах Р G Щх,., хт] степени не выше п..

Эту гипотезу можно назвать обобщением теоремы Спринджука на многомерный случай. Она была доказана в конце прошлого века Д. Клейнбоком и Г. Маргулисом [26], как следствие их общей метрической теоремы о дио-фантовых приближениях точек на аналитических многообразиях..

Описанные выше теоремы характеризуются общим свойством — полиномы, участвующие в их формулировках, имеют ограниченную степень, растет лишь их высота Н (Р). Далее мы перейдем к рассмотрению ситуации, когда меняются и высота полинома и его степень. Исторически сложилось при изучении этой ситуации использовать некий агрегат степени полинома и его высоты. Назовем типом многочлена Р величину t{P) = degP + lntf (P)..

Пусть? — вещественное число, трансцендентное над Q, т > 0 — также вещественное. Будем говорить, что? имеет тип трансцендентности ^ т, если для любого многочлена Р{х) € Z[ж], Р ф 0 выполнено неравенство.

Р (б > <гсЛР)", где Ci > 0 — константа, зависящая, вообще говоря, от, но не от многочлена Р. Это определение было дано С. Ленгом в 1966 г. (см. [27], гл. 5, § 1, с. 45),. только вместо t (P) использовалась величина size (P) = max (lni7(P), degP). Поскольку эти величины связаны соотношением size (P) ^ t (P) ^ 2size (P), то определение, данное здесь, эквивалентно оригинальному определению Лен га..

Будем говорить, что тип трансцендентности? равен т, если? имеет тип трансцендентности ^ т и существует бесконечная последовательность различных многочленов Р (х) 6 Z[x], для каждого из которых выполнено неравенство где с2 = с2(£) > 0..

Пусть вещественное трансцендентное число? имеет тип трансцендентности ^ т. Используя принцип Дирихле, можно доказать, что т ^ 2..

Задача определения типа трансцендентности для конкретного числа? очень сложна. Например, 7 Г имеет тип трансцендентности ^ 2 + е для любого положительного е (это следует из результатов, полученных Н. И. Фельдманом в 1951 г., см. [19], теорема 4, с.72). Можно ли утверждать, что тип трансцендентности тг равен 2, неизвестно до сих пор..

В 1971 г. К. Малер [29] предложил классификацию трансцендентных чисел, основанную на функции порядка числа ?.

ОН ?) ^suplny^yp где супремум берется по всем многочленам Р е Щх таким, что 2degPL (P) ^ и, а Ь{Р) — сумма модулей коэффициентов Р. Числа и ?2 назовем принадлежащими одному классу, «если их функции порядка эквивалентны в следующем смысле: а (и) ~ Ь (и), если одновременно а (и) «Ь (и) и Ь (и) «а (и), где запись а (и) «Ь (и) означает, что существуют константы Л > 0, 7 > 0, wo > 0 такие, что для всех и > щ выполняется неравенство а (их) ^^ф (и). Отметим связь между понятиями типа трансцендентности и функции порядка. Трансцендентное число? имеет тип трансцендентности ^ т тогда и только тогда, когда для его функции порядка справедливо 0(и I ?) << lnTit. Это утверждение легко следует из определений и того факта, что.

In (2despL (P)) <2i (P)..

В связи с предложенной классификацией Малер сформулировал несколько проблем. Одна из них — предположение о том, что для почти всех вещественных чисел? справедливо.

0(и | О «In2 и..

В терминах типа трансцендентности это эквивалентно утверждению о том, что почти все вещественные числа имеют тип трансцендентности ^ 2. Это предположение было доказано Ю. В. Нестеренко [8] в 1973 г, а именно, была установлена.

Теорема. Для почти всех точек? G R существует константа Сз = сз (£) > 0 такая, что для любого многочлена Р € Щх], Р ф 0 справедливо неравенство т) I > е-^1. (5).

Отметим, что из теоремы Спринджука следует, что при фиксированном п для почти всех точек? е М неравенство.

Р (0| < Н~п~е = е{-п~?)1пН, Н = Н (Р) имеет лишь конечное число решений в полиномах Р € Z[x], deg Р ^ п. Таким образом, для почти всех точек? € М можно указать константу С4 = c 0, такую, что для всех многочленов Р G Щх], deg Р ^ п справедливо неравенство.

Это показывает, что, с одной стороны, оценка Спринджука точнее, чем (5), но, как мы уже указывали, оценка (5) имеет место для любого ненулевого целочисленного полинома, без каких-либо ограничений на его степень..

Определения, связанные с понятием типа трансцендентности, дословно переносятся с одномерного на многомерный случайаналогом трансцендентного числа? е R является точка? € Rm, координаты которой алгебраически независимы. В работе [8] доказывается, что почти все точки? 6 Rm имеют тип трансцендентности ^ т + 2 и выдвигается предположение, что на самом деле почти все точки? 6 Мт имеют тип трансцендентности ровно га + 1. Опять же, используя принцип Дирихле, можно доказать, что точка? € Мт не может иметь тип трансцендентности ^ га +1 — е ни для какого положительного е..

Рассуждения работы [8] применимы и в р-адическом случае, то есть когда? — (£ь • • • > ?m)? а, вместо абсолютной величины и меры Лебега используется р-адическая норма и мера Хаара в Q™, инвариантная относительно сдвигов (см. [20], гл. 9, § 58) — и могут быть получены оценки, аналогичные вещественному случаю. В 1981 г. Ю. В. Нестеренко [И] доказал, что почти все точки? е Qp имеют тип трансцендентности ровно 3. Это была первая точная оценка в случае, когда размерность пространства больше 1. Доказательство было не только продолжением идей вещественного случая, но и использовало новую технику — переход от работы с многочленами кольца Z[x 1, ?2] к работе с однородными идеалами кольца Z[xо, жь жг]. Для идеалов были введены понятия степени, высоты и значения в точке в проективного пространства Qp. Эти величины оказались очень удачно определены, поскольку обладали свойствами, аналогичными соответствующим характеристикам многочленов. Подобная техника впервые появилась в работе Ю. В. Нестеренко [9] в связи с разработкой методов доказательства алгебраической независимости чисел, и уходит своими корнями в общую теорию исключения. В работах Ю. В. Нестеренко [10], [12], [13], [15] и П. Филиппона [31], [32], [30] эта теория получила дальнейшее развитие..

Проблема определения типа трансцендентности может быть поставлена не только для вещественных и р-адических, но и для комплексных чисел. В начале 80-х годов прошлого века Г. В. Чудновский предположил (см. [24], гипотеза 1.3), что для почти всех' (в смысле 2т-мерной меры Лебега) чисел? е Ст существует константа С5 = Cs (?) > 0 такая, что для любого многочлена Р «Е Щрс,., жт], Р ф 0 справедливо неравенство.

Р©-| > e-wr+1. (6).

Это предположение было доказано Ф. Аморозо [21] в 1990 г. То есть было установлено, что почти все точки? ? Ст имеют тип трансцендентности ^ mЬ 1. Отметим, что справедливость аналогичного утверждения в вещественном случае не является непосредственным следствием (6), поскольку множество в Ст, имеющее 2т-мерную лебегову меру ноль, может пересекать подмножество IRm С Сто по множеству положительной m-мерной меры. Доказательство, изложенное в [21], существенно использует «комплексность» ситуации, и его не удается адаптировать ни к вещественному, ни к р-адическому случаю. Если доказательство Аморозо условно разделить на метрическую и неметрическую составляющую, то неметрическая часть основана на переходе от работы с многочленами кольца Z[xi,., жт] к работе с однородными идеалами кольца Z[xq, xi,., хт], и использует результаты работ [9], [10], [12]..

Основным результатом настоящей диссертации является утверждение о том, что почти все точки? € Мто имеют тип трансцендентности ровно т -± 1, то есть доказывается гипотеза, выдвинутая в [8], и одновременно аналог теоремы Аморозо в вещественном случае:.

Теорема 1. Для почти всех (в смысле т-мерной меры Лебега) точек? G существует положительная константа с = с (£) такая, что для любого многочлена Р G Щх,., жт], Р ф 0 справедливо неравенство.

РШ>е-а{РГН.

Доказательству этой теоремы посвящена первая глава диссертации. Техника, используемая в доказательстве, может быть легко перенесена на комплексный и р-адический случаи. Во второй главе диссертации рассматривается комплексный случай, то есть дается новое доказательство теоремы Аморозо:.

Теорема 2. Для почти всех (в смысле 2т-мерной меры Лебега) точек? € Ст существует положительная константа с = с (£) такая, что для любого многочлена Р е Z[xi,., жт], Р ф 0 справедливо неравенство.

Р©-| >.

Доказательство этой теоремы имеет лишь небольшие отличия от доказательства теоремы 1, поэтому вторая глава существенно использует результаты первой..

В третьей (последней) главе диссертации доказывается р-адический аналог теорем 1 и 2:.

Теорема 3. Для почти всех (в смысле меры Хаара) точек? ? Q™ существует положительная константа с = с (£) такая, что для любого многочлена Р G Z[xi,., жт], Р ф 0 справедливо неравенство.

Тот факт, что р-адическая норма неархимедова, позволяет упростить некоторые доказательства с технической точки зрения. На самом деле, именно теорема 3 была получена автором первой. И уже потом были внесены изменения в некоторые доказательства, позволившие получить теоремы 1 и 2 и изложить все три теоремы единообразно..

Результаты диссертации опубликованы в работах [33], [34], [35]..

Доказательство основного результата диссертации — теоремы 1 — можно условно разбить на метрическую и алгебраическую части. Метрическая часть использует идеи работы [И] и является относительно элементарной, в отличие от метрической части доказательства теоремы Аморозо. Алгебраическая часть, как и у Аморозо, использует технику перехода от многочленов к идеалам, но требует привлечения новых результатов, появившихся позднее 1990 года. В 1996 г. Ю. В. Нестеренко [14] был получен ряд результатов о степени трансцендентности полей, порожденных значениями модулярных функцийв частности, была доказана алгебраическая независимость чисел 7 г и в71″. Хотелось бы особо отметить лемму 5.4 работы [14] — нетривиальная алгебраическая конструкция из доказательства этой леммы была положена в основу леммы 9, которая является важным звеном в доказательстве основной теоремы настоящей диссертации..

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — члену-корреспонденту РАН, профессору Ю. В. Нестеренко — за постановку задач, множество плодотворных консультаций и огромную моральную поддержку..

1. Берник В. И., О точном порядке приближения нуля значениями целочисленных многочленов, Acta Arith., 53:1, 1989, 17−28..

2. Берник В. И., Васильев Д. В., Тр. Ин-та математики НАН Беларуси, 1999, т. 3, 10−20..

3. Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, М., 1985..

4. Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, М., 1963..

5. Ковалевская Э. И., Преп. № 8 (547), Тр. Ин-та математики НАН Беларуси, 1998, 14с..

6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1976..

7. Ленг С., Основы диофантовой геометрии, М.: Мир, 1986..

8. Нестеренко Ю. В., Функция порядка для почти всех чисел, Матем. заметки, 15:3, 1974, 405−414..

9. Нестеренко Ю. В., Оценки порядков нулей функций одного класса и их приложение в теории трансцендентных чисел, Изв. АН СССР, Сер. мат., 41:2, 1977, 253−284..

10. Нестеренко Ю. В., Оценки характеристической функции простого идеала, Матем. сб., 123:1, 1984, 11−34..

11. Нестеренко Ю. В., О мере алгебраической независимости почти всех пар р-адических чисел, Матем. заметки, 36:3, 1984, 295−304..

12. Нестеренко Ю. В., Об алгебраической независимости алгебраических степеней алгебраических чисел, Матем. сб., 123:4, 1984, 435−469..

13. Нестеренко Ю. В., Оценки числа нулей функций некоторых классов, Acta Arith., 53:1, 1989, 29−46.15.