Топологические методы в алгебраической геометрии: жесткость и двойственность

Идея использования топологических методов в алгебраической геометрии восходит к работам Соломона Лефшеца (Solomon Lefschetz), который применял их для изучения комплексных алгебраических многообразий. В 1949 м году Андре Вейль (Andre Weil) [92] сформулировал свои знаменитые гипотезы, касающиеся числа решений полиномиальных уравнений над конечными полями. В этих гипотезах содержалось предвидение обнаруженной впоследствии глубокой связи между арифметикой алгебраических многообразий над конечными полями и топологией комплексных алгебраических многообразий. В частности, Вейль отметил, что его гипотезы являются следствием существования некоторой приемлемой теории когомологий для абстрактных многообразий, а точнее, следствием формальных свойств такой теории. Предвидение Вейля блестяще оправдалось, когда спустя годы необходимая теория когомологий была построена в работах Александра Гротендика (Alexander Grothendieck), Михаэля Артина (Michael Artin) и Пьера Делиня (Pier Deligne) (см., например [29, 19, 20, 21]).

В те же годы было построено много когомологических инвариантов алгебраических многообразий и схем (например, эталь-ные и кристаллические когомологии, алгебраическая if-теория).

Когомологические методы стали мощным инструментом изучения алгебро-геометрических объектов, позволившим решить многие классические алгебраические и геометрические проблемы. (См. фундаментальную книгу Ф. Хирцебруха [32] и библиографию к ней.) Однако, вплоть до начала 90х годов построение теорий ко-гомологий на категории алгебраических многообразий (или, более общо, схем), носило спорадический характер. На тот момент было чрезвычайно сложно изучать взаимосвязи между различными теориями. Более того, важнейшая теория мотивных когомологий, параллельная сингулярным когомологиям в классической топологии, вовсе не была построена. Причиной подобных проблем являлось, в частности, отсутствие в инструментарии алгебраической геометрии «машины», позволяющей создавать теории когомологий при помощи унифицированной процедуры. В классической топологии подобная трудность была преодолена много ранее, с появлением конструкции спектра [47, 11].

Позволим себе привести обширную цитату из введения к статье Бейлинсона, Мак Ферсона и Шехтмана «Заметки о мотивных ко-гомологиях», датированной 1987 м годом [15], которая дает верное представление о состоянии предмета на тот момент.

Imagine a world in which the if-theory K*(X) of a topological space X had been defined, but the ordinary cohomology groups H*(X) had not yet been discovered. Then the rational cohomology groups H*(X, Q) would be known at least as functors, since they could be defined as the associated graded of the Atiyah-Hirzebruch filtration of K*(X).

1) This world would not have our explicit cocycles representing cohomology classes. These are often interesting geometric objects like differential forms or Cech cocycles which relate cohomology to other mathematical ideas.

2) The integral cohomology groups would not be defined.

3) The powerful computational techniques of cohomology theory would not be available.

In such circumstances, one might well expect to find a quest going on for a geometrically defined cohomology theory which, when tensored with the rationale, would admit a Chem character isomorphism from K*{X) (8) Q. Present day algebraic geometry is such a world.1″ .

Приведенный выше фрагмент дает ясное понимание той ситуации, в которой оказалась алгебраическая геометрия к концу 80х годов прошлого века. Представьте себе мир, в котором определена /(«-теория К*(Х) топологического пространства X, но еще не открыты обычные группы когомологий Н*(Х). Тогда группы кого— мологий с рациональными коэффициентами Н*(Х, 0) были бы известны, по крайней мере как функторы, поскольку они могут быть определены как присоединенные группы фильтрации Атьи-Хирцебруха на К* (X) <8> <0>. Однако, в этой ситуации мы столкнулись бы по крайней мере с тремя трудностями:

1) Этот мир был бы лишен явного представления классов когомологий коциклами. Такие коциклы часто являются интересными геометрическими объектами, такими как, скажем, дифференциальные формы или коциклы Чеха, связывающие кого-мологии с другими математическими идеями;

2) Целочисленные когомологий не были бы определены;

3) Мощные вычислительные методы теории когомологий не были бы доступны.

В таких обстоятельствах, как всякий может ожидать, продолжаются поиски некоторой геометрически определенной теории когомологий которая, после тензорного умножения на <12, становится изоморфной К* (X) ® .

Примерно в это же время Бейлинсон [1] формулирует свои, ставшие впоследствии знаменитыми, гипотезы, которым должна удовлетворять гипотетическая теория когомологий. Необходимость подобной формализации была вызвана интересом автора к общей теории ¿—функций и регуляторов. В то же время, сформулированные гипотезы показывают теснейшую связь этой теории с понятием мотива, введенным в 1964 м году Гротендиком (см. изложение идей Гротендика в статье Ю. И. Манина [4]).

Начало 90х годов отмечено появлением диссертации Воеводского [84] (в значительной мере опубликованной в [81]), в которой сформулированы основы построения функтора мотивных когомологий. В дальнейшее десятилетие, в результате стратегического сотрудничества с А. А. Суслиным, появляются работы [75, 76, 56, 91] практически определяющие облик той части математики, которая называется сейчас К1 -гомотопической топологией. Наиболее впечатляющим достижением развитой техники явилось доказательство Воеводским гипотезы Милнора [85, 90].

Следует заметить, что к моменту появления вышеупомянутых работ Воеводского уже существовало несколько моделей, гипотетически вычисляющих мотивные когомологии в различных ситуациях (см. например [16, 39]). Впоследствии, одним из важных вопросов стало сравнение различных моделей (см., например [89]). Изучение некоторых таких конструкций представляет существенный самостоятельный интерес и поныне, поскольку они связывают А1-гомотопическую топологию с другими разделами математики. Так, например, изучение комплексов, построенных по рациональным точкам грассмановых многообразий играет важную роль в теории поли логарифмов, [26, 27], позволяет получить новые результаты в изучении гомологий линейных групп [53, 93] и классической алгебраической К-теории. В частности, становится понятной мотивная природа /Г-группы Милнора и группы Блоха — объектов, определенных исходно на языке «образующих и соотношений» [5, 9, 94].

В заключение исторического обзора отметим также, что многочисленные классические проблемы в теории квадратичных форм и алгебраических групп были решены в последнее время с использованием подходов А1 -гомотопической топологии. Здесь необходимо упомянуть работы Ижболдина [37], Вишика [80], Карпенко-Меркурьева [45], Панина-Реманна [6].

Как это обычно и происходит, создание новой области математики, помимо решения старых вопросов, открывает новые горизонты исследований. В частности, с появлением понятия Т-спектра и ассоциированной с ним теории когомологий, возникают следующие фундаментальные вопросы.

• Какие теоремы классической алгебраической топологии выполнены и в алгебро-геометрическом контексте?

• Какие результаты, полученные ранее для конкретных теорий когомологий (например, К-теории или этальных когомологий) являются, в сущности, частными случаями более общих утверждений о Т-спектрах и представимых ими теориях?

• Какие новые связи между «классическими» понятиями могут быть обнаружены, глядя с «мотивной точки зрения»?

Настоящая диссертация посвящена частичным ответам на вопросы из этих классов. Остановимся, вкратце, на ее структуре.

В главе I мы даем краткое (лишенное доказательств) введение в А^гомотопическую теорию и определяем некоторые фундаментальные понятия (такие, например, как пространство или Т-спектр), нужные нам в дальнейшем. В главе II вводится аксиоматика теории когомологий на категории алгебраических многообразий (аксиомы II. 1.4.1−11.1.4.4), рассматриваются классы ориентируемых и неориентируемых теорий (подраздел П. 1.п), для ориентируемых теорий строится класс Тома (раздел 11.2 и определение II.2.3), обсуждается мультипликативная структура в когомологиях.

Наконец, в этой лее главе (раздел II.6) приводятся примеры функторов, являющихся теориями когомологий в описанном смысле. Помимо перечисления классических примеров этальных когомологий и /^-функтора, мы уделяем внимание построению произведений и классов Черна для мотивных когомологий (диаграмма II.6.7 и далее). Также в подразделе Н. блу мы строим произведения (стр. 73) и классы Черна (стр. 76) для алгебраических кобордизмов, что ранее не встречалось в литературе.

Теоремы жесткости. Основной темой, рассматриваемой в главе III, является феномен жесткости. Допуская некоторую вольность в изложении, можно сказать, что свойство жесткости состоит в том, что гомоморфизм специализации группы когомологий в рациональную точку гладкого неприводимого алгебраического многообразия не зависит от выбора точки (см. стр. 82). Жесткость в алгебраической геометрии является естественным «утончением» понятия гомотопической инвариантности. Интуитивно, соотношение между этими двумя понятиями, соответствует соотношению между алгебраически эквивалентными и рационально эквивалентными циклами, но вместо циклов мы рассматриваем соответствующие группы когомологий слоев. Будучи переформулированными в контексте классической топологии эти два свойства, очевидно, становятся эквивалентными. Классификация алгебраически эквивалентных циклов на алгебраических многообразиях и взаимодействие алгебраической и рациональной эквивалентности, а следовательно, и вопросы жесткости в приложении к группам Чжоу, изучались в алгебраической геометрии более ЗОи лет назад (см., например [58, 8].).

Феномен жесткости в том виде, в котором мы его и рассматриваем, впервые был изучен для if-функтора в работе А. А. Суслина [73]. Необходимость исследования подобного свойства алгебраического if-функтора была вызвана подходом автора к гипотезе Лихтенбаума (Lichtenbaum conjecture), дающей описание К-групп полей. В цитируемой статье автор доказывает важное для приложений следствие из теоремы жесткости, а именно, что выполнение условия жесткости для функтора Ki влечет изоморфизм Ki (F) = Ki (G) для расширения алгебраически замкнутых полей F С G. Отсюда, в частности, следует, что условие жесткости не эквивалентно гомотопической инвариантности. (Рассматривая случай г = 1, мы получим абсурдное утверждение F* = G*.) Однако, с конечными коэффициентами жесткость выполнена для алгебраической if-теории.

Другим важным следствием жесткости является утверждение о поведении /С-функтора для гензелизации алгебраического многообразия в рациональной точке. Этот результат был получен Сус-линым (неопубликовано), а также независимо от него Офером Габ-бером (Ofer Gabber) [24]. Аналогичное утверждение при немного других условиях доказывается в работе Жилле-Томасона (Gillet-Thomason) [25]. Рассмотрим алгебраическое многообразие X над некоторым полем к и обозначим через Х^ гензелизацию этого многообразия в неособой к-точке М. Тогда для Х-групп с конечными коэффициентами Z/p, где р взаимно просто с экспоненциальной характеристикой основного поля, выполнено соотношение Ki (k) ^ Ki (X^). Интуитивно переход к гензелизации в точке следует воспринимать как бесконечно малую деформацию многообразия в этой точке, а утверждение говорит нам, что А'-функтор с конечными коэффициентами инвариантен относительно таких деформаций. Именно это следствие и дало название «жесткость» изучаемому явлению.

В дальнейшем, свойство жесткости для алгебраических многообразий возникает в более общем контексте в работе Суслина-Воеводского [75], где авторы доказывают это свойство для когомологических функторов, снабженных трансферами (т.е., в терминологии авторов, функторов на категории соответствий). Эта работа еще раз подчеркнула стратегическую связь доказательства свойства жесткости и наличия некоторых трансферов в рассматриваемой теории когомологий. Различные аспекты свойства жесткости для if-функтора исследовались и многими другими авторами (см. более подробные литературные сведения во введении к главе III).

В духе сформулированных выше общих принципов, естественно возникает вопрос, для каких еще теорий когомологий на алгебраических многообразиях можно доказать аналог теоремы жесткости. Для этого мы изучаем возможности построения трансферов для различных теорий, что является основным техническим инструментом, используемым в диссертации, и чему в значительной своей части посвящена глава III.

Трансфер (называемый также интегрированием или гомоморфизмом переноса) представляет собой гомоморфизм групп (ко)гомологий, действующий в «неправильную сторону"2, обладающий некоторыми естественными свойствами функториальности и определенный для фиксированного класса морфизмов. Естественным аналогом трансфера в аналитическом случае является интегрирование вдоль слоев отображения, что и дает одно из названий понятия. Условия функториальности в этом случае становятся аналогом теоремы Фубини.

В разделе III.2 мы определяем трансферы для ориентируемых теорий и класса всех проективных морфизмов. Неориентируемый случай, как мы увидим в дальнейшем, не допускает построения трансферов для столь большого класса морфизмов. Поэтому, мы вводим класс CtTw морфизмов, обладающих тривиализуемым нормальным расслоением и строим трансферы для этого класса. Построение таких трансферов следует философии Беккера-Готтлиба (Becker-Gottlieb) [14], но конечно, итоговые трансферы обладают более слабыми свойствами, чем в классическом случае. Искомый т. е. ковариаитно для когомологии и контравариантно для гомологии, соотв. класс морфизмов и трансферы Беккера-Готтлиба для него строятся нами в разделе III.3. Несмотря на некоторую искусственность данного построения, класс Ctriv все еще достаточно обширен, чтобы провести доказательства основного результата главы III.

В разделе III.4 мы приводим доказательство теорем жесткости для функторов снабженных трансфером (см. теоремы III.4.5 и III.4.6), а в III.5 приводится доказательство свойства жесткости для гензелевых локальных колец (см. теорему III.5.3 и следствие III.5.4). Следует отметить, что работа с общими теориями ко-гомологий и, как следствие, более слабое понятие трансфера на таких теориях необходимо влечет существенно более сложную технику доказательства конечного результата по сравнению с Х-теорией.

В заключение обсуждения понятия жесткости, следует отметить недавний результат Остваера-Рёндингса (Rondings-0stvaer) [70], которые произвели дальнейшее развитие понятия жесткости и перенесли его в контекст мотивов.

Двойственность Пуанкаре. Последняя глава диссертации посвящена исследованию двойственности для ориентируемых теорий (ко)гомологий на алгебраических многообразиях. Двойственность Пуанкаре относится к числу классических результатов и впервые появляется (при доказательстве утверждения о симметричности чисел Бетти) в первом топологическом мемуаре А. Пуанкаре «Analysis Situs» [66]. Доказательство общей теоремы двойственности для экстраординарных теорий когомологий принадлежит, по-видимому, Ф. Адамсу [11]. Теоремы двойственности в различных формах относятся к числу ключевых результатов алгебраической геометрии. Так, например, двойственность для когомологий с коэффициентами в пучках играет важную роль в доказательстве гипотез Вейля (см. [19]). Подобные теоремы двойственности и тесно связанное с ними понятие фундаментального класса многообразия, появляются в таких известных учебниках по алгебраической геометрии, как [31, 52]. Теоремам двойственности посвящена и значительная часть ставшей классической книги Хартсхорна (Hartshorn) [30].

В контексте, А^{гомотопической} категории аналог теоремы двойственности играет важную роль в работе [22], где это утверждение доказывается для полей нулевой характеристики.

В настоящей работе в Главе IV мы доказываем теорему двойственности Пуанкаре (см. теорему IV.1.3) для ориентируемых теорий (ко)гомологий на алгебраических многообразиях. Для нас важным является то, что такие теории допускают трансферы для всех проективных морфизмов. Построение таких отображений для когомологического функтора уже обсуждалось нами ранее, случай теории гомологий рассматривается в работе [65]. Мы начинаем с определения фундаментального класса гладкого проективного равноразмерностного многообразия Х/к размерности d как [X] := 7 г (1) € E2d, d (X), где 7г: X —" pt — структурный морфизм.^{-умножение} на фундаментальный класс дает искомое отображение двойственности (см. определение IV. 1.1). Доказательство изоморфизма двойственности базируется на двух формулах проекции (теоремы IV. 1.5 и IV. 1.7), связывающих трансферы и мультипликативные структуры рассматриваемой теории. Доказательства этих формул проекции (для случаев ^ и /-произведений, соответственно) приведены в разделах IV.2, IV.3.

Одним из важных приложений полученного результата является обобщение уже упоминавшейся выше теоремы двойственности Воеводского-Фридландера. Доказательство этого факта для случая основного поля произвольной характеристики, использующее доказанную нами теорему двойственности Пуанкаре было сообщено автору А. А. Суслиным. В последнем разделе (ГУ.4) мы формулируем и доказываем теорему двойственности для категории мотивов (см. теорему Г/.4.3). Этот результат обобщает (для мотивов) полученную ранее теорему двойственности и, в частности, дает новое, простое и независимое от предыдущего изложения, доказательство теоремы двойственности Воеводского-Фридландера (см. [22]). В заключение заметим, что будучи примененной к классической топологической ситуации наша техника дает доказательство классической теоремы двойственности в духе категорного подхода Дольда-Пуппе (БоЫ-Рирре) [3].

В заключение, мне хотелось бы выразить мою глубокую благодарность всем тем, без чьего участия и поддержки данная работа никогда не была бы написана. Я благодарю всех своих соавторов и всех тех, с кем я имел удовольствие обсуждать различные аспекты алгебраической геометрии, алгебраической и А1-гомотопической топологии. Среди них — Владимир Воеводский (Vladimir Voevodsky), Эрик Фридландер (Eric Friedlander), Чак.

Вайбель (Chuk Weibel), Рик Жардин (Rick Jardine), Йене Хорн-бостель (Jens Hornbostel), Пол Арне Остваер (Paul Arne 0stv? r) и многие другие.

Также мне хочется поблагодарить Институт Высших Исследований в Бюр-сюр-Иветте (IHES), Математический Институт Макса Планка в Бонне (MPIM) и Университет г. Билефельда за гостеприимство и замечательные условия работы во время моих многочисленных визитов.

Особенно мне хочется поблагодарить Андрея Александровича Суслина и Стьюарта Придди (Stewart Priddy) за их усилия по обучению меня алгебре и топологии, моего многолетнего соавтора Ивана Александровича Панина за многочисленные плодотворные беседы, ценные советы и постоянное внимание к моей работе, и, наконец, the last, but not the least — мою семью за ее любовь, понимание и терпение.

1. Бейлиисон A.A. Высшие регуляторы и значения L-функций. Современные проблемы математики, т. 24, Итоги Науки и Техники, стр. 181−238. АН ССССР, ВИНиТИ, Москва, 1984.

2. Гельфанд С.И.- Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Том 1. «Наука», Москва, 1988.

3. Дольд Д.- Пуппе А. Двойственность, след и трансфер. Труды Мат. Инст. им Стеклова., 154:81−97, 1983.

4. Манин Ю. И. Соответствия, мотивы и моноидальные преобразования. Матем. Сб., 1968, 77(119):4, 475−507. 1968.

5. Нестеренко Ю.П.- Суслин A.A. Гомологии общей линейной группы над локальным кольцом и /^-теория Милнора. Изв. АН СССР Сер. Мат., 53(1):121−146, 1989.

6. Панин И.А.- Реманн У. Вариант теоремы Спрингера. Алгебра и Анализ, 19(6):117−125, 2007.

7. Пименов К. И. Ориентации в теориях гомологий. Алгебра и Анализ, 19(5):179—213, 2007.

8. Ройтман A.A. Г-эквивалентность нульмерных циклов. Мат. Сб., 86 (128):557−570, 1971.

9. Суслин A.A. от поля и группа Блоха. Труды Мат. Инст. им Стеклова., 183:180−199, 229, 1990.

10. Фоменко А.Т.- Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. «Наука», Москва, 1989.

11. Adams J. F. Stable homotopy and generalised homology. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1995.

12. Arason J.Kr. Der Wittring projektiver Raume. Math. Ann., 253(3) :205−212, 1980.

13. Balmer P. Triangular Witt groups. II. From usual to derived. Math. Z., 236(2):351−382, 2001.

14. Becker J. C.- Gottlieb D. H. The transfer map and fiber bundles. Topology, 14:1−12, 1975.

15. Beilinson A.- MacPherson, R.- Schechtman V. Notes on motivic cohomology. Duke Math. J., 54(2):679−710, 1987.

16. Bloch S.- Lichtenbaum S. A spectral sequence for motivic cohomology. http: //www. math. uiuc. edu/K-theory/0062/ (препринт) 1995.

17. Colliot-Thelene J.-L.- Hoobler R.T.- Kahn В. The Bloch-Ogus-Gabber theorem. In Algebraic K-theory (Toronto, ON, 1996), volume 16 of Fields Inst. Commun., pages 31−94. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.

18. Conner P. E.- Floyd E. E. The relation of cobordism to К-theories. Lecture Notes in Mathematics, No. 28. Springer-Verlag, Berlin, 1966.

19. Deligne P. Cohomologie etale. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 569. Springer-Verlag, Berlin, 1977. Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois-Marie SGA 4|, Avec la collaboration de J. F. Boutot, A. Grothendieck, L. Illusie et J. L. Verdier.

20. Deligne P. La conjecture de Weil. I. Inst. Hautes Etudes Sei. Publ. Math., (43):273−307, 1974.

21. Deligne P. La conjecture de Weil. II. Inst. Hautes Etudes Sci. РиЫ Math., (52):137−252, 1980.

22. Friedlander E.- Voevodsky V. Bivariant cycle cohomology. В книге 91] стр. 138−187.

23. Fulton W. Intersection theory Springer-Verlag, Berlin, 2nd ed., 1998.

24. Gabber O. K-theory of Henselian local rings and Henselian pairs. In Algebraic K-theory, commutative algebra, and algebraic geometry (Santa Margherita Ligure, 1989), volume 126 of Contemp. Math., pages 59−70. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992.

25. Gillet H.A.- Thomason R.W. The if-theory of strict Hensel local rings and a theorem of Suslin. In Proceedings of the Luminy conference on algebraic K-theory (Luminy, 1983), volume 34, pages 241−254, 1984.

26. Goncharov A.B. Polylogarithms, regulators, and Arakelov motivic complexes. J. Amer. Math. Soc., 18(1):1—60 (electronic), 2005.

27. Goncharov A.B.- Zhao J. Grassmannian trilogarithms. Compositio Math., 127(1):83−108, 2001.

28. Grothendieck A. La theorie des classes de Chern. Bull. Soc. Math. France, 86:137−154, 1958.

29. Hartshorne R. Residues and duality. Lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck, given at Harvard 1963/64. LNM No. 20. Springer-Verlag, Berlin, 1966.

30. Hartshorne R. Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, 1977. GTM No. 52.

31. Hirzebruch F. Topological methods in algebraic geometry. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995.

32. Hornbostel J. A1-representability of Hermitian if-theory and Witt groups. Topology, 44(3):661−687, 2005.

33. Hornbostel J.- Yagunov S. Rigidity for Henselian local rings and A^representable theories. Math. Z., 255(2):437−449, 2007.

34. Hovey M.- Shipley В.- Smith J. Symmetric spectra. J. Amer. Math. Soc., 13(l):149−208, 2000.

35. Hu P. 5-modules in the category of schemes. Mem. Amer. Math. Soc., 161(767):viii+125, 2003.

36. Izhboldin O.T. Fields of u-invariant 9. Ann. of Math. (2), 154(3):529−587, 2001.

37. Jannsen U. Rigidity results on Zc-cohomology and other functors, http://www.mathematik.uni-regensburg.de/Jannsen (препринт).

38. Jannsen U.- Kleiman S.- Serre J.-P. ред. Motives, volume 55 of Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Providence, RI, 1994. American Mathematical Society.

39. Jardine J.F. Simplicial objects in a Grothendieck topos. In Applications of algebraic K-theory to algebraic geometry and number theory, Part I, II (Boulder, Colo., 1983% volume 55 ofContemp. Math., pages 193−239. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1986.

40. Jardine J.F. Motivic symmetric spectra. Doc. Math., 5:445−553 (electronic), 2000.

41. Jardine J.F. A rigidity theorem for /-theory. http://www.math.uwo.ca, (препринт), 1983.

42. Joyal А. Письмо к А. Гротендику (A. Grothendieck), 1984.

43. Karoubi M. Relations between algebraic^-theory and Hermitian i^-theory. In Proceedings of the Luminy conference on algebraic K-theory (Luminy, 1983), volume 34, pages 259−263, 1984.

44. Karpenko N.- Merkurjev A. Rost projectors and Steenrod operations. Doc. Math., 7:481−493 (electronic), 2002.

45. Knebusch M. Isometrien uber semilokalen Ringen. Math. Z., 108:255−268, 1969.

46. Lima E.L. Stable Postnikov invariants and their duals. Summa Brasil. Math., 4:193−251, 1960.

47. Liu Q. Algebraic geometry and arithmetic curves, volume 6 of Oxford Graduate Texts in Mathematics. Oxford University Press, Oxford, 2002.

48. May J.P. Simplicial objects in algebraic topology. Van Nostrand Mathematical Studies, No. 11. D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, N.J.-Toronto, Ont.-London, 1967.

49. Mazza C.- Voevodsky V.- Weibel C. Lecture notes on motivic cohomology, volume 2 of Clay Mathematics Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006.

50. Merkurjev A. Algebraic oriented cohomology theories. In Algebraic number theory and algebraic geometry, volume 300 of Contemp. Math., pages 171−193. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.

51. Milne J. Etale cohomology, volume 33 of Princeton Mathematical Series. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1980.

52. Mirzaii B. Third homology of general linear groups. J. Algebra, 320(5):1851—1877, 2008.

53. Morel F. Voevodsky’s proof of Milnor’s conjecture. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 35(2):123−143, 1998.

54. Morel F. Some basic properties of the stable homotopy category of schemes, (препринт).

55. Morel F.- Voevodsky V. A1-homotopy theory of schemes. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., (90):45−143 (2001), 1999.

56. Mumford D. Abelian varieties. Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, No. 5., Bombay, 1970.

57. Murre J.P. Algebraic equivalence modulo rational equivalence on a cubic threefold. Compositio Math., 25:161−206, 1972.

58. Panin I. Oriented cohomology theories of algebraic varieties. K-Theory, 30(3):265−314, 2003. Special issue in honor of Hyman Bass on his seventieth birthday. Part III.

59. Panin I. Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties, http: //www. math. uiuc. edu/K-theory/0619/ (препринт) 2003.

60. Panin I. Riemann-Roch theorems for oriented cohomology. в Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory, volume 131 of NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., pages 261−333. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004.

61. Panin I.- Pimenov K.I.- Rondings O. On the relation of Voevodsky’s algebraic cobordism to Quillen’s i^-theory. Inventiones Mathematicae, vol.175, 2, 435−451 (2009),.

62. Panin I.- Yagunov S. Rigidity for orientable functors. J. Pure Appl. Algebra, 172(1):49−77, 2002.

63. Pimenov K.I. Traces in oriented homology theories II. http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0724/ (препринт) 2005.

64. Poincare H. ?uvres. Tome VI. Les Grands Classiques Gauthier-Villars. Gauthier-Villars Great Classics], Editions Jacques Gabay, Sceaux, 1996. Geometrie. Analysis situs (topologie). [Geometry. Analysis situs (topology)], Reprint of the 1953 edition.

65. Quillen D. On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory Bull. Amer. Math. Soc. 75:1293−1298, 1969.

66. Quillen D. Higher algebraic if-theory. I. В Algebraic K-theory, I: Higher К-theories (Proc. Conf., В attelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972), pages 85−147. LNM Vol. 341. Springer, Berlin, 1973.

67. Quillen D. Homotopical algebra. LNM Vol. 43. Springer-Verlag, Berlin, 1967.

68. Rondigs O.- '0stvaer P.A. Rigidity in motivic homotopy theory. Math. Ann., 341(3):651−675, 2008.

69. Rudyak Yu.B. On Thom spectra, orientability, and cobordism. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1998.

70. Scharlau W. Quadratic and Hermitian forms, volume 270 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag, Berlin, 1985.

71. Suslin A. On the^-theory of algebraically closed fields. Invent. Math., 73(2):241−245, 1983.

72. Suslin A. Algebraic X-theory of fields. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986), pages 222−244, Providence, RI, 1987. Amer. Math. Soc.

73. Suslin A.- Voevodsky V. Singular homology of abstract algebraic varieties. Invent. Math., 123(1):61−94, 1996.

74. Suslin A. On the if-theory of local fields. In Proceedings of the Luminy conference on algebraic K-theory (Luminy, 1983), volume 34, pages 301−318, 1984.

75. Switzer R.M. Algebraic topology—homotopy and homology. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2002.

76. Thomason R.W.- TVobaugh T. Higher algebraic if-theory of schemes and of derived categories. In The Grothendieck Festschrift, Vol. Ill, volume 88 of Progr. Math., pages 247−435. Birkhauser Boston, Boston, MA, 1990.

77. Vishik A. Generic points of quadrics and Chow groups. Manuscripta Math., 122(3):365−374, 2007.

78. Voevodsky V. Homology of schemes. Selecta Math. (N.S.), 2(1):111—153, 1996.

79. Voevodsky V. Voevodsky’s Seattle lectures: K-theory and motivic cohomology. In Algebraic K-theory (Seattle, WA, 1997), volume 67 of Proc. Sympos. Pure Math., pages 283−303. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999. Записано С. Weibel.

80. Voevodsky V. Cohomological operations in motivic cohomology. (препринт).

81. Voevodsky V. Homology of schemes and covariant motives. Диссертация Ph.D., Harvard, 1992.

82. Voevodsky V. The milnor conjecture, (препринт) MPIM, Bonn, 1997;8.

83. Voevodsky V. A1-homotopy theory. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998), number Extra Vol. I, pages 579−604 (electronic), 1998.

84. Voevodsky V. Лекция, прочитанная в MSRI 13 мая 1998 г. http://msri.org/publications/ln/msri/1998/homotopy/voevodsky/3.

85. Voevodsky V. Cohomological theory of presheaves with transfers. В книге 91] стр. 87−137.

86. Voevodsky V. Motivic cohomology groups are isomorphic to higher Chow groups in any characteristic. Int. Math. Res. Not., (7):351−355, 2002.

87. Voevodsky V. Motivic cohomology with Z/2-coefficients. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., (98):59−104, 2003.

88. Voevodsky V.- Suslin A.- Priedlander E. Cycles, transfers, and motivic homology theories, volume 143 of Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2000.

89. Weil A. Numbers of solutions of equations in finite fields. Bull. Amer. Math. Soc., 55:497−508, 1949.

90. Yagunov S. Homology of bi-Grassmannian complexes. K-Theory, 12(3):277−292, 1997.

91. Yagunov S. On the homology of GL" and higher pre-Bloch groups. Canad. J. Math., 52(6): 1310−1338, 2000.

92. Yagunov S. Rigidity. II. Non-orientable case. Doc. Math., 9:29−40 (electronic), 2004.