Применение пакетов аналитических вычислений для исследования свойств инвариантных тензорных полей на группах Ли

Системы аналитических вычислений применяются в различных областях науки и техники. Наиболее широкое применение получили универсальные математические системы, такие как Maple, Mathematica, MathCad, MatLab, Derive и другие. Они предоставляют дополнительные возможности для специалистов разных областей, с их помощью быстрее и проще решать трудоемкие научные задачи.

Как правило, компьютерные математические системы содержат процедуры для численных и аналитических расчетов, средства программирования, визуализации и представления результатов. Соответственно они совмещают в себе обширный набор инструментов, освобождая пользователя от монотонных вычислений и фокусируя его внимание на теоретической стороне исследования.

Современная геометрия, также как и другие области математики, привлекает новейшие компьютерные технологии для решения своих задач. Существуют подтверждения эффективности использования программного обеспечения не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Например, с помощью пакетов аналитических вычислений О. Г. Вагина и М. И. Кабенюк в [1] дали короткое доказательство теоремы о покрытии плоскости равносторонними пятиугольниками. К. Аппель (К. Appel) и В. Хакен (W. Haken) доказали знаменитую проблему топологии о четырех красках [18, 19]. Стоит отметить работы JI.H. Чибриковой [16] и О.П. Гладу-новой [3] в области (псевдо)римановой геометрии и работы Ю.В. Никоноро-вой [11] и В. В. Джебко [4] в области дифференциальной геометрии, теории многообразий Эйнштейна.

Известны результаты А. Г. Крем лева и Ю. Г. Никонорова [6, 7] по классификации сигнатур кривизны Риччи на четырехмерных группах Ли с левоин-вариантными римановыми метриками, являющиеся своеобразным продолжением классической работы Дж. Милнора [21] по классификации сигнатур кривизны Риччи на трехмерных группах Ли.

Пакеты прикладных программ использовались для исследования однородных римановых пространств. В этом направлении известны результаты Ю. Г. Никонорова по классификации однородных эйнштейновых многообразий [9, 10] и Е. Д. Родионова и В. В. Славского по оценкам кривизн левоин-вариантных римановых метрик на группах Ли [14, 22, 23].

Данная работа посвящена исследованию инвариантных тензорных полей на группах Ли с помощью пакетов аналитических вычислений, в частности: изучению сигнатур оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой, исследованию свойств гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли.

Целями диссертационной работы являются:

1. Создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Maple и Mathe-matica для нахождения и исследования инвариантных тензорных полей на группах Ли.

2. Исследование вопроса о возможных сигнатурах оператора одномерной кривизны левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли.

3. Классификация четырехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим тензором Вейля.

Основные задачи работы:

1. Разработка алгоритмов для вычисления компонент тензоров одномерной кривизны и кривизны Риччи, Римана, а также компонент тензора Вейля и его дивергенции для левоинвариантных римановых метрик на группах Ли.

2. Исследование возможных сигнатур оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

3. Классификация четырехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим тензором Вейля.

Исследование каждой из задач, представленных в диссертации, проводилось по следующему плану. Первоначально строилась удобная для вычислительной работы модель исследуемого объекта. Далее создавались программы для реализации в системах аналитических расчетов Maple и Mathematical Следующий этап был посвящен анализу и истолкованию полученных результатов. После чего делался вывод о структуре изучаемого объекта и о возможности уточнения модели.

Объект исследования — трехмерные и четырехмерные группы Ли с левоинвариантными римановыми метриками и инвариантные тензорные поля на них.

Предмет исследования — компьютерные модели, алгоритмы, программы для изучения групп Ли размерностей 3 и 4 с левоинвариантными римановыми метриками и инвариантными тензорными полями заданного типа: тензором одномерной кривизны, тензором Вейля, дивергенцией тензора Вейля.

Методика исследования ориентирована на использование методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, римановой геометрии, тензорного анализа.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Пакет программ, написанных в среде Maple и Mathematical для вычисления основных характеристик групп Ли, исследуемых в диссертации.

2. Определение возможных сигнатур оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

3. Классификация четырехмерных групп Ли с левоинвариантными рима-новыми метриками и гармоническим тензором Вейля.

Научная новизна работы. В данной диссертационной работе разработаны алгоритмы и программы в системах аналитических вычислений Maple и Mathematica для нахождения инвариантных тензорных полей на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

С помощью разработанных программ получены новые результаты в теории инвариантных тензорных полей на группах Ли малых размерностей. Впервые.

1) определены сигнатуры оператора одномерной кривизны, реализуемые на трехмерных алгебрах Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантными римановыми метриками;

2) получена классификация четырехмерных алгебр Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим (с нулевой дивергенцией) тензором Вейля;

3) разработан комплекс программ для определения и исследования спектра оператора одномерной кривизны.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях инвариантных тензорных полей на конечномерных группах Ли, при изучении свойств (псев-до)римановых пространств Эйнштейна, связанных с общей теорией относительности А.Эйнштейна. Кроме того, результаты диссертации могут найти применение в теории однородных пространств, теории дифференциальных операторов на многообразиях. С помощью пакетов символьных вычислений Maple и Mathematica решены задачи определения возможных сигнатур оператора одномерной кривизны на трехмерных алгебрах Ли групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками, классификации четырехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим тензором Вейля. Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут применяться для решения аналогичных задач однородной римановой геометрии. Построенные компьютерные модели позволяют вычислять компоненты связности, тензоров кривизны Римана, Риччи, одномерной кривизны, скалярной кривизны, тензора Вейля и дивергенции тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на группах Ли.

Результаты диссертации могут использоваться в учебном процессе высших учебных заведений: при чтении спецкурсов, проведении спецсеминаров по современной дифференциальной геометрии, тензорному исчислению, теории дифференциальных операторов, общей теории относительности А.Эйнштейна.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Двенадцатой региональной конференции по математике «МАК-2009» (Барнаул, июнь, 2009 г.) — Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (Новосибирск, 14—20 сентября 2009 г.) — XLVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 10—14 апреля 2010 г.) — Тринадцатой региональной конференции по математике «МАК-2010» (Барнаул, июнь, 2010 г.) — Международной школе-семинаре «Ломоносовские чтения на алтае» (Барнаул, 2010 г.) — Международной научно-практической конференции «Математическое образование в регионах России» (Барнаул, 22 октября 2010 г.) — XLIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 16—20 апреля 2011 г.) — Международной научной конференции (Волгодонск, 4−8 июля 2011 г.). Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на краевом семенаре по геометрии и математическому моделированию (Барнаул, АлтГПА, АлтГУ).

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (К2 10−01−90 000-Бела), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009;2013 гг. (гос. контракт № 02.740.11.0457).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Некоторые результаты получены в соавторстве с О. П. Гладуновой, Е. Д. Родионовым и В. В. Славским. Две работы опубликованы в научных журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 114 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения, 3 приложений и списка литературы.

Заключение

.

С помощью методов компьютерной математики, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, тензорного анализа, римановой геометрии в диссертации получены следующие результаты:

1. Разработаны алгоритмы для вычисления компонент тензоров одномерной кривизны и кривизны Риччи, Римана, а также компонент тензора Вейля и его дивергенции левоинвариантных римановых метрик на конечномерных группах Ли.

2. Получены все возможные наборы сигнатур оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

3. Получена классификация четырехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим тензором Вейля. Применение математических пакетов облегчает и ускоряет выполнение вычислительных задач, возникающих на пути к решению основной проблемы, позволяя обратить более пристальное внимание на теоретическую сторону вопроса, наталкивает на путь к математически строгому доказательству.

Положительный результат применения систем компьютерной алгебры при решении вышеприведенных геометричиских задач позволяет сделать вывод о целесообразности применения подобных систем в реализации и изучении моделей в областях римановой геометрии и смежных дисциплин, для получения новых результатов.

В заключение автор выражает благодарность О. П. Гладуновой и Е. Д. Родионову за постановку задач, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.