Исследование газового демпфирования в микромеханических приборах

Перспективы современного приборостроения связаны с разработкой приборов, обладающих малыми массой, габаритами, низкими себестоимостью и энергопотреблением и достаточно высокой надежностью. Указанные характеристики обеспечиваются технологиями, развитыми в последние десятилетия 20-го столетия в твердотельной микроэлектронике.

В последнее десятилетие широкое распространение получили микромеханические гироскопы и акселерометры, электромеханические узлы которых формируются из неметаллических материалов (монокристаллический кремний, плавленый кварц, карбид кремния и др.) методами фотолитографии и изотропного или анизотропного травления. В этих приборах используются плоские газовые демпферы с плоскопараллельным перемещением чувствительного элемента. Различный варианты конструкций таких акселерометров и гироскопов описаны в литературе [29, 53, 79].

При проектировании приборов данного класса, одним из наиболее важных является вопрос расчета газодинамических сил.

Расчет газодинамических параметров традиционно проводился с использованием формул линейной теории [29, 40, 47], полученных на основании решения приближенного дифференциального уравнения Рейнольдса для смазочного слоя в случае сдавливания вязкой несжимаемой среды двумя плоскими параллельными плоскостями, имеющего следующий вид [60, С. 201]: д2р д2р 12-ju-V дх2+ду2~ дг (ВЛ).

Эксперименты, проводимые с приборами, использующими плоские газовые демпферы, показывают на наличие ряда проблем, объяснение которых не укладывается в рамки линейной теории, в частности, снижение коэффициента демпфирования на высоких частотах, а также появление постоянной составляющей в демпфирующей силе при колебательных движениях чувствительного элемента плоского газового демпфера.

В ряде работ отмечается [29, 101, 102], что постоянная составляющая в демпфирующей силе возникает вследствие сжатия пленки газа между двумя параллельными поверхностями, при их движении.

Впервые оценка влияния сжимаемости газа при расчетах цилиндрических воздушных демпферов, применявшихся в авиационной промышленности на начальной стадии разработки авиационных приборов, была сделана в работе [78, С. 349 — 356].

В работе [78] рассматривается одномерное течение газа в рабочей полости цилиндрического демпфера. При этом правая часть уравнения (В.1), представляющая собой расход газа, преобразована таким образом, что коэффициент динамической вязкости заменяется произведением плотности на коэффициент кинематической вязкости. Плотность определяется из условия изотермического или адиабатического истечения газа.

Полученные аналитические соотношения позволяют с высокой степенью точности определять газодинамические параметры для цилиндрических воздушных демпферов.

Однако в случае плоского газового демпфера необходимо рассматривать двумерные течения. Кроме того, используемая в расчетах модель течения газа является линейной, и не дает объяснения эффектов, возникающих при больших скоростях перемещения чувствительного элемента плоского демпфера.

В работе [29] получены аналитические соотношения, объясняющие возникающие на высоких частотах работы микромеханических приборов, нелинейные эффекты. Ввиду того, что рассмотрены изотермические процессы в сжимаемом газе в линейной постановке задачи и анализируются упрощенные модели газовых демпферов, получаемая оценка носит скорее качественный, а не количественный характер.

Кроме того, в той же работе получены результаты вибрационных испытаний акселерометров, демонстрируются погрешности, возникающие при работе прибора на высокой частоте и, по результатам проведенных экспериментов, отмечается, что вышеуказанные погрешности возникают вследствие сжимаемости газа.

В работе [87], в предположении, что перемещение чувствительного элемента плоского газового демпфера, а также изменение давления малы, получены аналитические решения линеаризированного сжимаемого изотермического уравнения Рейнольдса, имеющего следующий вид: р. вКК±)Мр.8ККМУ-П.М±(Р-6) (В.2) дх дх J ду у ду J dt v где:

К = 1 + 9.638 -(Кп)1159- поправочный коэффициент для больших чисел Кнудсена.

В работе [10] рассматривается вопрос определения аэродинамической силы сопротивления движению подвижного узла интегрального микродатчика с использованием системы уравнений Навье — Стокса, для которой сделаны следующие допущения:

• На неподвижных стенках отсутствует проскальзывание (скорость молекул газа равна нулю);

• Давление по толщине зазора не изменяется;

• Нормальные составляющие скорости малы;

• Газ несжимаемый;

• Газ вязкий.

Для решения системы уравнений Навье — Стокса с учетом уравнения неразрывности и вышеописанных допущений используется вихревая теория расчета.

На основании полученных решений определяются коэффициенты демпфирования для различных форм поверхностей подвижного узла.

Для получения соотношений учитывающих сжимаемость газа и нелинейные эффекты на высоких частотах работы приборов с плоским газовым демпфером, при расчетах газодинамических параметров таких приборов, необходимо уточнить имеющиеся математические модели течений газа в рабочем зазоре и получить аналитические решения предложенных математических моделей.

В основе изучения течений жидкости и газа лежит система уравнений Навье — Стокса для вязкого, сжимаемого, нестационарного случая.

В работе [36] рассмотрена задача существования решения и показано, что общего аналитического решения полных уравнений Навье — Стокса для вязкой сжимаемой нестационарной среды не существует, решение существует лишь для частных случаев.

Следует отметить, что аналитические решения системы уравнений Навье — Стокса получены для вязких несжимаемых течений, или для вязких сжимаемых течений в линейной постановке задачи[16, 17, 20, 38, С. 491 — 498, 49, 57, 65, 75, С. 86 — 108, 86].

В работе [16] исследованы автомодельные решения уравнений Навье — Стокса при осесимметричном течении вязкой несжимаемой жидкости. Исходные уравнения преобразованы по методу Слезкина. На основании анализа физических свойств течения и общего уравнения Слезкина показано, что кроме известных ранее решений этого уравнения, существует ряд других решений, имеющих физический смысл. Рассмотрен простейший случай безвихревых течений, для которых линиями тока могут служить окружности, параболы, и гиперболы. Эти течения трактуются как неструйные (в отличие от решений Ландау и Сквайра) при втекании или вытекании в однородное пористое осесимметричное тело.

В работе [57] представлено новое семейство точных решений уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости. В его рамках могут быть рассмотрены задачи о течении жидкости над одной или между двумя бесконечными твердыми плоскостями, которые произвольно движутся и вращаются, оставаясь ортогональными по отношению к одному фиксированному направлению. В качестве частных случаев найденное семейство решений включает в себя два хорошо известных семейства точных решений уравнений Навье — Стокса: закрученные течения Кармана и плоские течения типа Хименца. Рассматриваются принципиально новые точные решения, принадлежащие найденному классу, которые описывают течение, возникающее при столкновении двух противопоставленных потоков между двумя неподвижными твердыми плоскостями. Показано, что при определенных условиях могут сосуществовать три различных типа течений. Устойчивость найденных решений исследуется в рамках задачи Коши, когда возмущения, вносимые в поток, принадлежат тому же классу, что и исследуемое течение. Установлено, что из трех сосуществующих типов течений только одно является устойчивым в указанном смысле.

Ряд современных авторов анализировали математические модели вязких сжимаемых течений [3, 4, 12, 23, 25, 33, 42, 69, 70, 83, 84, 88, 89, 99, 101, 103, 105, 107]. Однако, ввиду существенной нелинейности входящих в указанные математические модели уравнений, и наличия в них ряда особенностей, предпочтение отдается численным методам.

Среди работ, посвященных численному интегрированию системы уравнений Навье — Стокса для вязкой сжимаемой нестационарной среды необходимо отметить работы [ 7, 8, 27, 71].

В работе [83] предлагается метод, в котором конечные объемы применяются для конвективной, а конечные элементы — для диффузионной составляющей. Для случая вязкого потока используется аппроксимация центрированными конечными элементами.

В работе [84] представлен конечно-элементный алгоритм для моделирования течений сжимаемой жидкости. Алгоритм имеет два важных свойства: адаптивности для увеличения точности вычислений при помощи выборочного улучшения конечно-элементной сетки и эффективной реализация на параллельных компьютерах. Алгоритм для аппроксимации уравнений Навье — Стокса для сжимаемой жидкости является версией устойчивого метода конечных элементов. Реализованы три метода интеграции по времени: явный, линейно неявный и нелинейно — неявный. Для параллельной реализации алгоритма используется специальный прием разбиения сетки. Эффективность алгоритма продемонстрирована на решении двух задач сверхзвуковых течений: невязких и вязких. Приведено много пространственных графиков.

В работе [34] предложен новый надежный метод решения уравнений Навье — Стокса в естественных переменных. Он основан на совместном, на каждом временном слое решении уравнений движения и уравнения неразрывности. В линейном приближении доказана безусловная устойчивость алгоритма.

В работе [88] рассматривается применение асимптотического численного метода, представляющего собой комбинацию метода возмущений и метода конечных элементов, для решения нелинейных задач теории упругости и гидромеханики, описываемых стационарными уравнениями Навье — Стокса при формулировке по Петрову — Галеркину. Показано, что данный метод позволяет трансформировать нелинейную задачу в последовательность линеаризированных задач, которые' допускают применение тех же самых тангенциальных матриц. В качестве примеров приводятся результаты расчетов при обтекании уступов, полостей и цилиндров при различных числах Рейнольдса.

Основными общими недостатками численного моделирования является невозможность получения аналитической зависимости для аэродинамических параметров у различных приборова также то, что численные методы хорошо работают на гладких решениях, то есть, в области исследования нет особых точек.

Таким образом, в настоящее время рядом авторов предпринимаются попытки уточнить известные зависимости для определения газодинамических сил в рабочем зазоре приборов с плоским газовым демпфером с учетом сжимаемости газа. Однако, в силу того, что используются математические модели течения вязкой сжимаемой среды в трубе и между неподвижными пластинами, а также то, что процесс полагается изотермическим, получаемые формулы количественно не отображают возникающие нелинейные эффекты при работе приборов на высоких частотах, а также не учитывают влияние на них температурных процессов. Использование численных методов не позволяет получать соотношения для инженерных расчетов.

Для уточнения соотношений определяющих газодинамические силы в рабочем зазоре приборов с плоским газовым демпфером с учетом сжимаемости газа и температурных процессов, необходимо построить адекватную математическую модель течения вязкого сжимаемого газа, исследовать поведение вязкой сжимаемой среды в рабочем зазоре прибора, и построить, и проанализировать аналитическое решение предложенной математической модели.

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию теории плоских газовых демпферов, ее уточнению с точки зрения полученных количественных оценок, а также созданию инженерных методик, позволяющих в дальнейшем проводить расчеты параметров плоских газовых демпферов.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Проанализирована структура течения газа в плоском газовом демпфере и предложена математическая модель несжимаемого течения газа.

2. Аналитическое решение предложенной математической модели адаптировано к течению в рабочем зазоре плоского газового демпфера.

3. Получена математическая модель течения вязкого сжимаемого газа в рабочем зазоре плоского газового демпфера.

4. Получено аналитическое решение системы уравнений, описывающих течение газа в рабочем зазоре плоского газового демпфера, учитывающее сжимаемость т температурные процессы в газе.

5. Разработаны инженерные методики расчета аэродинамических сил и коэффициента демпфирования в рабочем зазоре плоского газового демпфера с учетом сжимаемости газа, уточняющие существующие зависимости.

6. Показано, что при больших скоростях движения подвижной пластины газового демпфера, происходит уменьшение демпфирующей силы, из-за появления позиционной составляющей, что приводит к заметным погрешностям в случае несимметричного положения чувствительного элемента демпфера относительно неподвижных частей.

7. Экспериментально подтверждено влияние сжимаемости газа на динамические характеристики акселерометра с плоским газовым демпфером. Определены уровни вибрационных погрешностей акселерометров с кварцевым и кремниевым маятником, вызванных сжимаемостью газа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.