Инвариантные многообразия в сингулярно возмущенных системах

1.1. Быстро-медленные системы Возмущение — это общее название для такой ситуации, когда речь идет о каком-то изменении 'невозмущенной' системы дифференциальных уравнений, свойства решений которой подразумеваются известными, причем изменения все-таки не нарушают некоторой связи между решениями невозмущенной системы и решениями 'возмущенной' (т.е. измененной) системы. Такая неопределенная общая формулировка по-разному конкретизируется в различных задачах. Когда система изменяется незначительно (в классе гладкости Ст с подходящим г), говорят о регулярных возмущениях. Для сингулярных возмущений характерны значительные изменения системы в том или ином смысле (но все же остается какая-то связь между возмущенной и невозмущенной системами).Формально переход от быстрой системы (1.2) к быстро-медленной системе (1.1) выглядит как регулярное возмущение. Но если рассмотреть быстрое время Т = et, то система (1−1) превращается в систему (LI'), г Д е малый параметр е стоит при одной из производных: dor ?-^ = Мх, у, е), хеШуеШ1, (1.Г) K = f2{x, y,8), 5 еж. Решению новой системы (1.10 н, а отрезке [0, г] отвечает решение старой системы (1.1) на большем отрезке [0,т/е]. При е — О система (1.10 принимает вид /1(ж, 2/, о) = о, хежк, уем!, (1−20 Понятно, что системы (1.10 и (-" —^О и м е ю т фазовые пространства разных размерностей. Поэтому это как раз пример сингулярного возмущения. На фиксированном отрезке времени решения быстро-медленной системы (1−1) близки к решениям быстрой системы (1.2), однако мы будем рассматривать большие отрезки времени (порядка 1/е), где близость решений утрачивается. 'Сингулярность' тогда проявляется не во внешнем виде системы, а в выходе за пределы обычных результатов о регулярных возмущениях, что обусловлено слишком большим отрезком времени.

1. Алымкулов К. О задаче сингулярного возмущения с предельным циклом в подсистеме с быстрым временем. Математические заметки. 1989. Т. 46, № 5. С. 89−91.

2. Аносов Д. В. О предельных циклах ситем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. Математический сборник. 1960. Т. 50(92), № 3. С. 299−334.

3. Anosova О. On invariant manifolds in singularly perturbed systems. J. Dynamical and Control Systems. 1999. Vol. 5, № 4. P. 501 507.

4. Аносова О. Д. Инвариантные многообразия в сингулярно возмущенных системах. Труды математического института им. В. А. Стеклова. 2002. Т. 236, С. 27−32.

5. Аносова О. Д, Инвариантные многообразия и динамические бифуркации, Успехи математических наук. 2005. Т. 60 (2005), Вып. 1. С. 157−158.

6. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильни-ков JI. П. Теория бифуркаций. Динамические системы-5. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 5−218. (Итоги науки и техн. Совр. пробл. мат. Фунд. направл.).

7. Борисюк А. Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Унимодальный случай. Математические заметки. 2002. Т. 71, Вып. 3, С. 348−363.

8. Fenichel N. Persistence and smoothness of invariant manifolds for flows. Indiana University Math. J. 1971. Vol. 21, № 3. P. 193−226.

9. Fenichel N. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations. J. Differential Equations. 1979. Vol. 31, № 1. P. 53−98.

10. Flatto L., Levinson N. Periodic Solutions of Singularly Perturbed Systems. J. Rational. Mech. Anal. 1955. Vol. 4. P. 943−950.

11. Guckenheimer J. Towards a global theory of singularly perturbed systems. Nonlinear Differential Equat. and Chaos (Groningen 1995) (H. W. Broer et al., eds.), Birkhauser, Basel, 1996. P. 213 225.

12. Hale J. K. Ordinary differential equations. John Wiley, New York, 1969.

13. Hirsh M. W., Pugh С. C., Shub M. Invariant Manifolds. Springer Lecture Notes in Mathematics. 1977. Vol. 583- New YorkHeidelbergBerlin: Springer-Verlag.

14. Ilyashenko Yu., Saprykina M. Embedding theorems for local families and oscilatory slow-fast systems. Progress in nonlinear science, Vol. 1 (Nizhny Novgorod, 2001). RAS, Inst. Appl. Phys., Nizhny Novgorod, 2002. P. 389−410.

15. Ильяшенко Ю. С., Вейгу JI. Нелокальные бифуркации. М.: МЦНМО: ЧеРо, 1999. (Новые мат. дисциплины.).

16. Мшценко Е. Ф., Розов Н. X. Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

17. Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. С., Колесов А. Ю., Розов Н. X. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.

18. Понтрягин Л. С., Родыгин JI. В. Периодическое решение одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром. Доклады Академии Наук СССР. 1960. Т. 132, № 3. С. 537−540.

19. Pugh С., Shub М. Linearisation of normally hyperbolic diffeomor-phisms and flows. Invent. Math. 1970. Vol. 10, № 3. P. 187−198.

20. Sacker R. A perturbation theorem for invariant manifolds and Holder continuity. J. Math Mech. Vol. 18 (1969). P. 705−762.

21. Соболев В. А., Стрыгин В. В. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988.

22. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. Математический сборник. 1952. Т. 31(73). С. 575−586.