Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием

Одной из главных проблем современного этапа развития науки, техники и технологии являются фундаментальные исследования в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Необходимо разрабатывать новые качественные и количественные методы исследования поведения решений динамических систем, построения программных управлений, поиск условий устойчивого, надежного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В настоящее время создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.

Анализ направлений развития науки, существующие научные публикации и тематика международных научных форумов, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед человечеством в XXI веке будут, например, следующие:

— создание новых космических технологий и ракетно-космических систем;

— создание нетрадиционных энергетических технологий, в т. ч. переработки газа и нефти;

— создание общемировой динамической системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем;

— глобальное решение транспортной проблемы;

— создание новых биотехнологий для решения продовольственной проблемы;

— создание многофункциональных гибких автоматизированных систем.

Решение указанных проблем не может быть осуществлено без серьезной научной проработки и создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учетом надежности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью и т. д., с различного рода особенностями и условиями.

Сделаем небольшой исторический экскурс к постановке и развитию тематики, рассмотренной автором в диссертационном исследовании.

Первые серьезные математические результаты, полученные при исследовании функционирования динамических систем, видимо, следует отнести к И. Ньютону. Им впервые были четко сформулированы и поставлены перед математикой прямая и обратная задачи: требуется определить движение, если известны силы, его вызывающие, и наоборот, требуется определить силы, если известно движение, ими порожденное. Последнюю задачу в широком плане можно считать задачей поиска управления порождающего искомое движение. С решением второй задачи, как известно, И. Ньютон успешно справился, используя наблюдения Т. Браге с поправками на рефракцию И.

Кеплера, а, также опираясь на гипотезу центральной силы, предложенную X. Гюйгенсом, т. е. получил закон всемирного тяготения. Он также сумел решить ряд дифференциальных уравнений описывающих прямолинейное движение материальной точки под действием различных сил. И. Ньютон сумел путем синтетике — геометрических построений описать динамику движения твердого тела, находящегося в центральном поле сил. Однако у И. Ньютона отсутствовала запись дифференциальных уравнений и их интегралов в аналитической форме, а его метод последовательных приближений давал решение рассматриваемых задач в виде степенного ряда.

Вторым крупным результатом, послужившим большим толчком к созданию математических методов исследования динамических систем следует считать разработку метода квадратур для решения дифференциальных уравнений Лейбницем и его последователями — братьями Бернулли. Им впервые был предложен термин «дифференциальные уравнения», методы подстановки и интегрирующего множителя для решения некоторых классов дифференциальных уравнений.

В дальнейшей разработке теории дифференциальных уравнений особенно велик вклад Л. Эйлера давшего полное решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и развившего метод интегрирующего множителя. Также большой вклад в развитие методов решения дифференциальных уравнений внесли его современники: А. Клеро, Ж. Даламбер, Ж. Л. Лагранж, Б. Тейлор.

Переломным моментом в исследовании нелинейных динамических систем явилась теорема существования и единственности доказанная О. Ко-ши методом ломаных Эйлера и предложенный им метод последовательных приближений. Здесь также необходимо отметить работы Штурма и Лиувиля, положившие начало исследованиям по теории краевых задач.

Существенным шагом вперед при исследовании динамических систем являлась разработка качественной теории дифференциальных уравнений, одновременно созданной А. Пуанкаре и A.M. Ляпуновым. Методы, созданные в рамках этой теории, позволяли по свойствам правых частей дифференциальных уравнений судить о поведении решений этих уравнений и их особенностях. Существенные результаты в данной области были получены также Дж. Биркгофом.

Дальнейшее создание методов исследования поведения решений динамических систем проводилось в рамках теории колебаний, сильно развитой такими учеными, как А. Н. Крылов, A.A. Андронов, A.A. Марков, Н. П. Еругин, В. И. Зубов, Ю. А. Митропольский и др.

Бурное развитие техники в середине XX века, а особенно систем автоматического управления, породило целый класс новых задач в рамках теории динамических систем: построение решений динамических систем, удовлетворяющих различным краевым условиям, исследование устойчивости решений динамических систем с последействиемпостроение программных управлений и движений, удовлетворяющих краевым и начальным условиямсинтез этих управленийрешение проблем стабилизации программного движения в случае прямого и непрямого регулирования.

Основоположниками в решении этих задач выступили H.H. Красовский, А. Н. Тихонов, JI.C. Понтрягин, К. П. Персидский, В. В. Степанов, H.H. Боголюбов, Н. Г. Четаев, В. В. Немыцкий, Н. М. Крылов, Б. С. Разумихин, А. Д. Мышкис, Л. Э. Эльсгольц, С. Н. Шиманов, В. И. Зубов, М. Г. Крейн, A.A. Воронов, Б. Г. Болтянский и многие другие отечественные и зарубежные ученые.

В настоящее время, в промышленно развитых странах, развитие современных средств производства и транспорта, в первую очередь, характеризуется созданием всё более сложных технических систем и технологических процессов. При эксплуатации этих технических систем и технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязей между ними, естественным образом, на практике, увеличивается интенсивность отказов, что приводит к увеличению числа крупных технических и техногенных катастроф. В последнее время это практически подтверждается увеличением числа различных аварий и катастроф в развитых странах (отказы на АЭС, массовое отключение электричества, аварии на транспорте и т. д.). В связи с этим возникает задача обеспечения безопасности динамики функционирования технических систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.

Если обратиться к опыту истории развития систем управления паровыми машинами, то можно привести парадоксальный факт, заключающийся в том, что регуляторы Уатта для паровых машин перестали устойчиво работать при повышении точности обработки составляющих их деталей. Выдающийся английский физик Максвелл поставил задачу объяснения этого феномена и даже в 1868 г. выпустил книгу о регуляторах. Однако только спустя 20 лет русский инженер путей сообщения Вышнеградский сумел решить эту проблему с помощью фундаментальных исследований в этой области. Он построил точную математическую модель всех регуляторов подобного вида и создал новые математические методы их исследования. Таким образом, он нашел те параметры конструкции регулятора, которые существенным образом влияют на устойчивость его работы. Более того, Вышнеградскому удалось найти допустимые границы изменения этих параметров, в рамках которых, работа регулятора будет носить устойчивый характер. Эти фундаментальные исследования легли в основу нового направления в теории устойчивости, а именно — робастной устойчивости.

В связи с вышесказанным, одной из важнейших проблем современного производства, является развитие фундаментальных научных исследований в области обеспечения динамической безопасности функционирования сложных технических систем и технологических процессов. В первую очередь, это касается использования, в качестве объекта исследования, адекватных динамических моделей и создания математических методов исследования их динамической безопасности.

Большинство математических моделей, используемых при описании сложных технических систем и технологических процессов и претендующих на некоторую целостность, представляют собой динамические системы, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений с последействием, то есть системами имеющими предысторию, и, учитывающими как задержки в каналах измерительных и управляющих органов, так и процессы старения, инерции и деградации. Если проводить исследование упрощенных математических моделей, не учитывая влияние существующего в них последействия, то можно прийти к неверным техническим и технологическим решениям, которые будут, не только экономически невыгодны, но и будут увеличивать вероятность аварий и катастроф.

В связи с этим перед фундаментальной наукой встает задача создания и разработки методов исследования динамической безопасности объектов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений с последействием.

Динамическая безопасность рассматриваемой системы обычно включает такие её свойства как:

• существование для этой системы программных управлений и движений, отвечающих заданному уровню безопасности;

• устойчивость этих движений в фазовом пространстве;

• существование стабилизирующих управлений и систем стабилизации;

• устойчивое поведение системы в пространстве её параметров, т. е. её робастная устойчивость.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы

В настоящее время развитие методов системного анализа динамики управляемых систем с последействием обусловлено как широким кругом прикладных задач, среди которых основными являются задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, так и бурным развитием компьютерной техники. Появляющиеся все новые возможности использования компьютеров, развитие их аппаратной части и программного обеспечения, систем сбора данных на базе микропроцессорных систем в задачах управления позволяют математикам пересматривать существующие и создавать новые, имеющие большую практическую направленность аналитические, качественные и численные методы исследования систем с последействием. Эти методы, позволяют осуществлять более точное прогнозирование функционирования этих систем и определять границы динамической безопасности этого функционирования на всех этапах жизненного цикла (от этапа проектирования — до этапа эксплуатации).

Необходимым математическим аппаратом описания процессов динамики и управления системами являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности с последействием. Поэтому задачи современной компьютеризованной автоматики, т. е. задачи создания новых эффективных систем управления различными технологическими комплексами и техническими объектами, обусловливают развитие методов исследования линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений с последействием, описывающих динамику функционирования управляемых систем.

Работа посвящена развитию математического аппарата, позволяющего осуществлять общий и прикладной системный анализ устойчивости систем управления с последействием, включающий новые аналитические методы и численные алгоритмы решения задач исследования устойчивости по первому нелинейному приближению и задач робастной устойчивости для этих систем. Качественные аналитические методы исследования систем дифференциальных уравнений с последействием были развиты в трудах зарубежных и российских математиков, таких как В. Вольтерра, H.H. Красовский, Б.С. Разу-михин, Л. Э. Эльсгольц, А. Д. Мышкис, В. И. Зубов, А. А Шестаков, Ю.Н. Ме-ренков, Н. В. Азбелев, С. Н. Шиманов, Р. Беллман, Т. Иошидзава, В. Хан, Ж.П. Ла-Салль, Дж. Хейл, Д. Като, Р. Драйвер, Т. Бартон и многих других, а также научных школ, созданных ими.

Решение задач робастной устойчивости вначале было направлено на определение границ устойчивости в пространстве параметров рассматриваемой системы (И.А. Вышнеградский) и на получение оценок области асимптотической устойчивости расчетного режима. В дальнейшем в этом направлении были разработаны методы исследования робастной устойчивости при неопределенных передаточных функциях и вероятностный подход, а также методы исследования робастной стабилизации и управления.

Разработке и созданию методов исследования различных задач робастной устойчивости в последнее время посвящено достаточно много научных работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И. А. Вышнеградский, Я. З. Цыпкин, Б. Т. Поляк, В. Л. Харитонов, П. С. Щербаков, Н. П. Петров, A.C. Немировский, М. Г. Сафонов, Б. Р. Бармиш, Дж. Аккерман, В Блондел, Дж. Коган, Р. Темпо, Д. Д. Сильжак и многим другим.

Целью диссертационного исследования является решение проблемы разработки и развития аналитических, качественных и вычислительных методов общего и прикладного системного анализа динамики управляемых систем с последействием для обеспечения динамической безопасности этих систем и более точного прогнозирования их функционирования.

Областью исследования являются теоретические основы, прикладные методы и постановки задач системного анализа динамики управляемых систем, описываемыми нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с последействием.

Методы исследований. В работе, на основе классических результатов и методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, функционального анализа, математического программирования, линейной и высшей алгебры детально разработан метод системного анализа исследования динамики функционирования управляемых и неуправляемых квазилинейных систем с последействием, опирающийся на исследовании этих систем по первому линейному и нелинейному приближению. Таким образом, суть этого метода заключается в анализе влияния динамических свойств системы первого приближения на качественный характер поведения всей системы в целом.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании методов функционального и выпуклого анализа, алгебры, теории устойчивости и качественной теории дифференциальных уравнений. Все полученные результаты имеют строгие доказательства.

Научная новизна. В диссертации впервые детально разработан метод системного анализа динамики управляемых систем, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений с последействием, опирающийся на исследование существования решений этих систем и исследование их устойчивости по первому нелинейному приближению. Исследование устойчивости этих решений включает наряду с уже известными и новые, модифицированные критерии робастной устойчивости систем первого приближения, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы, позволяющие уточнить границы динамической безопасности для исходных нелинейных систем. Этот подход является существенным вкладом в развитие фундаментальных и прикладных методов системного анализа динамики управляемых систем, т.к. на практике позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исследуемой системы от расчетных, при которых динамика системы будет носить устойчивый характер.

Практическая полезность. Результаты диссертации применены в задачах: системного анализа управляемых космических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в том числе и с последействиемсинтеза законов управления и построения эффективных численных алгоритмов теории управления. На основе результатов диссертации созданы как эффективные алгоритмы исследования устойчивости систем первого приближения, так и конструктивные критерии изучения границ этой устойчивости в пространстве параметров исследуемых систем. Полученные автором новые прикладные методы системного анализа позволяют решить проблему динамической безопасности изучаемого объекта, т. е. определить допустимые границы изменения параметров самой системы так, чтобы сохранялась устойчивость изучаемой системы. При этом возникает возможность строить более эффективные системы управления, так как разработанные методы позволяют рассматривать сразу целое семейство математических моделей динамики функционирования управляемых систем, определяемое множеством их допустимых параметров. Это дает возможность значительно снизить затраты материальных ресурсов, денежных средств и времени на отработку вновь создаваемых, актуальных систем. Кроме этого, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в общую теорию таких направлений в науке как нелинейная динамика и моделирование электромеханических систем. Результаты работы использованы при разработке новых курсов учебного процесса при чтении таких дисциплин как дифференциальные уравнения, теория управления и методы численного анализа.

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в НПО им. Лавочкина при разработке систем управления и стабилизации космических аппаратов нового поколения, а также в научно — исследовательских работах, проводящихся в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения. По результатам диссертации планируется издание нескольких учебных пособий и научно — методических работ, одно из которых уже вышло из печати.

Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором. Все результаты других авторов, упомянутые в диссертации, носят справочный характер и имеют соответствующие ссылки. В работах, совместно опубликованных с научным консультантом A.A. Шестаковым, ему принадлежат постановки задач исследования. Другим соавторам работ принадлежит рассмотрение ряда технических вопросов.

Апробация работы. По основным результатам работы автором были сделаны доклады на 11 международных и всероссийских научных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Саранске, Смоленске, Самаре, Тамбове, Бресте, Минске. Результаты диссертации обсуждались также на научных семинарах ИПК РАН под руководством акад. В. А. Мельникова, ВЦ РАН под руководством проф. H.A. Северцева, РГОТУПС под руководством проф. A.A. Шестакова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 научных работ, включая 2 монографии.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Главы состоят из разделов. В каждом главе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации — 251 страница.

Список литературы

содержит 167 наименования.

Основные результаты диссертационной работы.

Результаты, полученные в данной работе, носят системный характер, т.к. с одной стороны они направлены на изучение условий существования и методов построения решений в управляемых и неуправляемых системах с последействием, удовлетворяющих краевым условиям неудерживающего типа, а с другой на исследование устойчивости этих решений. С этой точки зрения все представленные в работе результаты можно условно разделить на две группы.

1. Результаты, касающиеся вопросов существования и методов построения решений в управляемых и неуправляемых квазилинейных системах с последействием:

— предложен ряд представлений для систем прямого регулирования осуществляющих непрерывную стабилизацию исходной динамической системы, так, что стабилизирующие управления, заданные на бесконечном интервале времени, представлены в виде разложения по произвольной системе базовых функций и доказан ряд свойств этого разложения;

— получены условия существования и предложены методы построения решений в линейных и квазилинейных системах с последействием, удовлетворяющих краевым условиям неудерживающего типа;

— проведен анализ существующих методов построения программных управлений и движений в квазилинейных системах с последействием и на его основе получены критерии существования и предложены методы построения этих управлений и движений в системах, где на управления также наложены ограничения типа двусторонних неравенств;

— для линейных и квазилинейных управляемых систем с последействием получены условия, при выполнении которых предложенная система прямого регулирования осуществляет непрерывную стабилизацию исходной системы, т. е. стабилизирующие управления найдены в явном виде.

2. Результаты, касающиеся исследования устойчивости полученных решений в квазилинейных системах с последействием:

— получены критерии экспоненциальной устойчивости тривиальных решений в квазилинейных системах с последействием по первому линейному и нелинейному приближению;

— разработаны рекуррентные методы исследования устойчивости стационарных систем первого приближения, позволяющие полностью решить проблему отделения корней характеристического многочлена;

— предложены допустимые линейные преобразования коэффициентов характеристических многочленов, сохраняющие их устойчивость и позволяющие исследовать устойчивые выпуклые множества таких коэффициентовдля системы первого приближения получены аналитические критерии существования и методы построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы.

Заключение

.