Метод двудольных множеств событий в эвентологическом анализе сложных систем

Актуальность темы

диссертации определяется потребностью современной науки и техники в изучении сложных систем, которые характеризуются сложной структурой зависимостей между элементами. Интерес к этой важной задаче обусловлен стремлением выявить закономерности функционирования и развития объектов и процессов, представимых как системы, и выработать мероприятия по совершенствованию управления ими и принятию решений.

Основная трудность при проведении анализа сложных систем состоит в том, что из — за большого числа событий в них число всех возможных состояний, в которых может оказаться система, очень велико. Особенно остро стоит эта проблема в тех прикладных областях, которые связаны с анализом технических, экономических, биологических, медицинских и социальных систем. К числу таких областей науки относятся здравоохранение, экология, биология, экономика, финансы, страхование, социология, история, психология, политология, этнология, филология, лингвистика, педагогика и др.

Большинство известных методов системного анализа направлено на изучение систем, поведение которых описывается количественными или качественными показателями. К числу методов, занимающихся количественными показателями, относятся методы общеалгебраические (В.И. Городецкий и О. В. Карсаев [36], Б. Уимен [90]), теории игр (Дж. фон Нейман и О. Моргенштейн [68], Н. Н. Воробьев [27], Э. Й. Вилкас [25], Г. Оуэн [74]), исследования операций (Н.Н. Моисеев [65], JI.A. Раскин [80], Т. Саати [82]), многомерного статистического анализа (М. Кендалл и А. Стыоарт [49 — 51], Т. Андерсон [2], Р.Дж. Литтл и Д. Б. Рубин [58], B.C. Муха [66]), теории вероятностей и математической статистики, в т. ч. выдвижения и проверки статистических гипотез (А.Н. Колмогоров [52, 53], В. Феллер [91], Г. Крамер [55], А. А. Боровков [20, 21]), теории массового обслуживания (Б.В. Гнеденко и И. Н. Коваленко [35], А. А. Боровков [22]), марковских процессов (В.В. Калашников [46], Е. Б. Дынкин [41], Т. Саати [83]), теории информации (А.Дж. Вильсон [26], P.B.JI. Хартли [95]) и другие. Также существуют методы, позволяющие работать с разнотипными данными: количественными и качественными. К ним относятся методы теории графов (Ф. Харари [93, 94], Ф. С. Роберте [104], А. А. Зыков [44]), имитационного моделирования (Р. Шэннон [97], Н. П. Бусленко [23]), непараметрических методов статистического анализа (Г. Дэйвид [42], А. В. Лапко и С. В. Чепцов [56], Б. Г. Миркин [64], В. Т. Перекрест [76]), экспертных оценок (Дж. Элти [98], Л. А. Панкова [75]), теории нечисловых статистик (А.И. Орлов [70−72], Г. В. Раушенбах [81], А. Ю. Терехина [89] и др.) и нечетких множеств (Л.А. Заде [43, 108, 109], Р. Беллман [17], А. Кофман [54], Д. А. Поспелов [78], С. А. Орловский [73], А. Е. Алтунип [1], М. Земанкова-Лич [110], Б. Коско [101] и др.). Е. В. Смирновой [86, 87] был предложен метод повышения корреляций между данными при изучении адаптации и организации сложных систем, характеризующихся разнотипными данными.

Чаще всего на практике встречается ситуация, когда поведение сложных систем характеризуется разнотипными данными, из которых одни — числовые, а другие — множественные. Изучением подобных систем занимались преимущественно представители двух направлений: теории нечисловых статистик (А.И. Орлов) и нечетких множеств (М. Земанкова-Лич, Б. Коско, А. Е. Алтунин, М.В. Семухин). Число работ, посвященных данной тематике, очень мало. Кроме того, математические модели сложных систем, предложенные в рамках данных направлений, имеют ряд ограничений. Поэтому можно констатировать, что на данный момент сложные системы, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, недостаточно хорошо изучены.

О.Ю. Воробьевым был предложен общий эвентологический метод анализа различных систем как систем событий, которые лежат в основе их поведения [34]. С помощью данного метода были исследованы системы, поведение которых характеризуется только одним из типов данных (количественными, качественными, множественными).

Таким образом, на сегодняшний день существует проблема развития системного анализа в направлении исследования сложных систем, поведение которых характеризуется статистикой, состоящей из числовых и множественных данных. Решение данной проблемы позволит обеспечить дальнейшее развитие системного анализа и будет способствовать повышению эффективности управления и принятия решений в технических, экономических, биологических, медицинских и социальных системах.

Научная проблема диссертационного исследования заключается в создании математической модели сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, и разработке нового метода системного анализа, рассматривающего системы как множества событий, характеризующих их поведение.

Изучением распределений случайных событий и случайных множеств событий, зависимостей и взаимодействий случайных событий, которые лежат в основе поведения различных систем, занимается эвентология. Основоположником эвентологии является О. Ю. Воробьев. Понятие случайного множества событий — центральное в эвентологии — позволяет выявить общие статистические закономерности распределения случайных событий в различных системах. Одной из положительных сторон эвентологии является возможность учета полной структуры зависимостей и взаимодействий систем случайных событий.

Для исследования объектов и субъектов, представимых как системы событий, О. Ю. Воробьевым был предложен общий метод эвентологическо-го системного анализа [34], в основе которого лежит рассмотрение объектов и субъектов как систем событий в целостности многообразных типов взаимосвязей событий. Данный метод применялся для анализа систем из различных прикладных областей: здравоохранения, финансов и страхования, товарных рынков и др. События, описывающие поведение исследованных систем, определялись данными одного типа.

Изучение систем, поведение которых характеризуется разнотипными данными, представляет собой новое, никем не исследованное направление в эвентологической теории.

Объект исследований. Сложная система, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными.

Предмет исследований. Математическая модель сложной системы, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными, и разработка нового метода системного анализа, рассматривающего системы как множества событий, характеризующих их поведение.

Цель работы. Целью работы является разработка метода анализа сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными, рассматривающего систему как двудольное множество событий, первая доля которого определяется случайными величинами, а вторая — случайными множествами.

Задачи исследований.

Цель работы достигается решением следующих задач:

• построение двудольной эвентологической модели сложной системы, основанной на понятиях двудольного множества случайных элементов и двудольного множества случайных событий;

• нахождение эвентологического распределения двудольного множества случайных событий для двух ситуаций: бернуллиевских случайных величин (индикаторных функций на множестве случайных событий) и произвольных случайных величин;

• изучение связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также — эвентологического распределения множества событий и эвентологического распределения множества их индикаторов;

• разработка метода двудольных множеств событий в эвентологичес-ком системном анализе сложных систем и применение предложенного метода к решению задачи нахождения экстремального элемента системы.

Основная идея диссертации заключается в представлении любой сложной системы с помощью двудольной эвентологической модели, в которой поведение каждого элемента системы характеризуется двудольным множеством событий: его первая доля определяется случайными величинами, а вторая — случайными множествами событий. Затем анализ поведения элементов системы сводится к анализу эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий. Для измерения расстояния между двудольными множествами событий предложено использовать вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому.

Методы исследования основаны на использовании теории вероятностей, эвентологии и эвентологического анализа систем случайных событий.

Основные новые научные результаты.

1. Предложена двудольная эвентологическая модель сложной системы, основанная на новых понятиях двудольного множества случайных событий и двудольного множества случайных элементов.

2. Получены эвентологическис распределения двудольных множеств случайных событий для двух ситуаций: бернуллиевских случайных величин и произвольных случайных величин.

3. Впервые введены эвентологические распределения множества индикаторов событий. Сформулированы и доказаны теоремы о связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также эвентологического распределения множества событий и эвентологического распределения множества их индикаторов. Выведены формулы обращения Мебиуса, связывающие между собой все эвентологические распределения множества индикаторов событий.

4. Разработан метод двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе сложных систем. Введены понятия сет-операций по Минковскому для двудольных множеств событий. Для измерения расстояния между двудольными множествами событий предложено использовать вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому. Предложен метод двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе сложных систем. Метод двудольных множеств событий был применен к решению задачи нахождения экстремального элемента системы.

Значение для теории. Полученные в диссертации результаты создают строгую математическую основу для исследования сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

Значение для практики состоит в том, что предложенный в диссертации метод двудольных множеств событий существенно упрощает и работу с разнотипными данными, описывающими поведение системы, и сравнение элементов системы как эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий.

Достоверность полученных результатов работы подтверждается строгими математическими доказательствами, опирающимися на аппарат эвентологии, теории вероятностей и математической статистики. Все результаты теоретически доказаны и оформлены в виде теорем.

Использование результатов диссертации. Работа предложенного в диссертации метода двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе проиллюстрирована на практическом примере задачи нахождения экстремального элемента системы — задаче определения неблагополучных районов Красноярского края по состоянию здоровья их населения. Результаты диссертационного исследования включены в учебную программу дисциплин «Введение в эвентологию», «Прикладная эвен-тология» и «Экономическая эвентология» кафедры «Прикладная математика» факультета математики и информатики Красноярского государственного университета для преподавания студентам специальностей 10 101 «Математика», 10 501 «Прикладная математика и информатика».

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены лично автором.

Рекомендации по использованию результатов диссертации.

Результаты работы рекомендуется использовать для решения задач управления в здравоохранении, обязательном медицинском страховании и банковском кредитованиизадач классификации и ранжирования на фондовом и товарном рынках и в обработке результатов социологических опросов.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационных исследований докладывались на конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2001, 2002), конференциях молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1999, 2002), всероссийских конференциях по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (ИВМ СО РАН, Красноярск, 2002 — 2005), малых ФАМ-конференциях (Красноярский государственный торгово-экономический институт, 2004 — 2005), III, IV, V ежегодных городских конференциях по финансово-актуарной математике (ИВМ СО РАН, Красноярск, 1998 — 2000), I и II всесибирских конгрессах женщин-математиков (Красноярский государственный университет, 2000, 2002), межрегиональных конференциях «Математические модели природы и общества» (Красноярский государственный торгово-экономический институт, 2002, 2004), всероссийской конференции «Информационно-аналитические системы и технологии в здравоохранении и обязательном медицинском страховании» (КМИАЦ, Красноярск, 2004), научно-практической конференции «Вопросы сохранения и развития здоровья населения Севера и Сибири» (ГУ НИИ медицинских проблем Севера СО РАН, Красноярск, 2002), международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирский государственный университет, 1999 — 2001), а также на постоянно действующем семинаре кафедры «Прикладная математика» Красноярского государственного университета (1998 — 2006гг.) и на постоянно действующем семинаре по финансово-актуарной математике Института вычислительного моделирования СО РАН (1998 — 2006гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 статей, из которых 1 статья в периодическом издании по списку ВАК, 1 статья в периодическом издании, 11 статей в сборниках трудов всероссийских конференций, 1 депонированная статья.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из 3 разделов, введения, заключения, содержит основной текст на 139 е., 10 иллюстраций, 12 таблиц, список использованных источников из 110 наименований.

1 Постановка задачи.

В данном разделе рассматривается проблема развития системного анализа и научная проблема диссертационного исследования, формулируется и обосновывается цель и задачи работы. Проводится обзор работ ряда авторов по тематике диссертационного исследования.

Во многих областях современной научной и практической деятельности при проведении различных исследований возникает необходимость изучения сложных систем, поведение которых характеризуется разнотипными данными, из которых одни — числовые, а другие — множественные. К числу таких систем относятся технические, экономические, биологические, медицинские и социальные системы.

Трудность изучения подобных систем обусловлена большой размерностью (большим числом составляющих элементов) и сложной структурой зависимостей между элементами, а также разнотипностью данных, описывающих их поведение.

Диссертационное исследование посвящено решению актуальной на сегодняшний день проблемы развития системного анализа в направлении исследования сложных систем, поведение которых характеризуется статистикой, состоящей из числовых и множественных данных. Решение данной проблемы позволит обеспечить дальнейшее развитие системного анализа и будет способствовать повышению эффективности управления и принятия решений в технических, экономических, биологических, медицинских и социальных системах.

Многие известные методы системного анализа направлены на изучение систем, поведение которых описывается разнотипными данными: количественными и качественными. Подробный перечень данных методов был приведен во введении.

Изучением сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными, занимались преимущественно представители двух направлений: теории нечисловых статистик (А.И. Орлов [71, 72], В. Н. Жихарев [71]) и нечетких множеств (А.Е. Алтунин и М. В. Семухин [1], М. Земанкова-Лич [110], Б. Коско [101]).

Хотя А. И. Орловым предложена обобщенная модель данных, лежащая в пространстве общей природы, большинство работ теории нечисловых статистик посвящено изучению объектов нечисловой природы определенного вида (результатам измерений в различных шкалах, интервалам, результатам парных и множественных сравнений). Кроме того, сравнение элементов систем затруднено ввиду громоздкости предлагаемых вероятностных метрик.

Методы теории нечетких множеств и нечеткой логики, разработанные профессором Л. Заде [43, 108, 109] и развитые его последователями Р. Беллманом [17], А. Кофманом [54], Д. А. Поспеловым [78], С. А. Орловским [73], А. Е. Алтуниным [1], М. Земанковой-Лич [110], Б. Коско [101] и другими, позволяют успешно моделировать сложные системы управления и экспертные системы нового поколения, способные хранить и обрабатывать неточную информацию, в том числе качественную и множественную. Но математические модели данной теории имеют серьезный недостаток: из-за отсутствия строгого обоснования правил задания функции принадлежности элементов к нечеткому множеству, изучение конкретной системы требует подбора функций принадлежности и операций над ними. Следовательно, успешность решения задач системного анализа методами теории нечетких множеств и нечеткой логики зависит от правильности выбора функции принадлежности.

Таким образом, можно говорить об ограниченности результатов, полученных вышеупомянутыми авторами, в области исследования сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными, и решении поставленной проблемы развития системного анализа.

Для устранения трудностей анализа сложных систем, связанных с большой размерностью, сложной структурой зависимостей между элементами и разнотипностью данных, описывающих их поведение, предлагается применить эвентологический подход к изучению систем и рассматривать системы как множества событий, характеризующих их поведение.

В ы в о д ы. В третьей главе рассмотрено применение предложенного в диссертации метода двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе сложных систем к решению практического примера задачи нахождения экстремального элемента системы — задачи определения неблагополучных районов по состоянию здоровья их населения. Решение задачи основано на статистике показателей здоровья населения районов Красноярского края. Приведено описание этой статистики и дана классификация показателей здоровья населения по группам. Дана формулировка задачи определения неблагополучных районов по состоянию здоровья их населения и показана ее актуальность. Предложено рассматривать Красноярский край как систему, состоящую из районов края и пред-ставимую в виде двудольной эвентологической модели, в которой состояние здоровья населения каждого района края характеризуется двудольным множеством случайных событий. Найдено решение задачи определения неблагополучных районов по состоянию здоровья населения для двух практических примеров. В первом примере состояние здоровья оценено по 26 показателям, во втором — по всем 74 показателям, представленным в статистике. Было проведено сравнение предложенного метода с двумя известными методами оценки здоровья населения: интегральной оценки социально — гигиенического риска потерь здоровья населения и методом главных компонент в кластерном анализе показателей здоровья населения. Проведено обсуждение полученных результатов диссертационного исследования и показана их научная новизна. Предложены рекомендации по использованию результатов диссертации.

Заключение

.

Предложенные в диссертации новые понятия двудольного множества случайных элементов и двудольного множества случайных событий позволили построить двудольную эвентологическую модель сложных систем и преодолеть трудности их анализа, связанные с большой размерностью, сложной структурой зависимостей между элементами и разнотипностью данных, описывающих их поведение.

Находятся эвентологические распределения двудольных множеств случайных событий для двух ситуаций: бернуллневских случайных величин и произвольных случайных величин. Эвентологические распределения двудольных множеств случайных событий для бернуллиевских случайных величин были получены в результате изучения связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также — эвентологического распределения множества событий и впервые введенного эвентологического распределения множества их индикаторов. Эвентологические распределения для ситуации произвольных случайных величин были найдены с помощью выражения совместного распределения случайных величин через события-терраски.

Метод двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе, разработанный в диссертации, заключается в представлении сложной системы с помощью двудольной эвентологической модели и сведению анализа поведения элементов системы к анализу эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий. Введены понятия сет-операций по Минковскому для двудольных множеств событий. Для измерения расстояния между двудольными множествами событий была использована вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому, которая является примером произвольной сет-операции по Минковскому. Метод двудольных множеств событий был применен к решению задачи определения экстремального элемента системы. В диссертации работа предложенного метода проиллюстрирована на практическом примере задачи нахождения экстремального элемента — задаче определения неблагополучных районов Красноярского края по состоянию здоровья их населения. Ее решение основано на реальной статистике показателей здоровья населения районов Красноярского края. Было проведено сравнение предложенного метода с двумя известными методами комплексной оценки здоровья населения, которое показало близость к результатам других методов, а также выявило преимущества метода двудольного множества событий: возможность учета полной структуры зависимостей и взаимодействий случайных событий, описывающих состояние элементов системы, и учета множественных показателей здоровья населения.

Таким образом, были решены все намеченные задачи диссертационного исследования и достигнута его цель. Разработка метода двудольных множеств событий позволила в полной мере решить поставленную научную проблему и проблему развития системного анализа в направлении исследования сложных систем, поведение которых характеризуется статистикой, состоящей из числовых и множественных данных.

Все научные результаты, полученные в диссертационном исследовании, являются новыми в эвентологической теории и в анализе сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными.

Значение для теории. Полученные в диссертации результаты создают строгую математическую основу для исследования сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

Значение для практики состоит в том, что предложенный в диссертации метод двудольных множеств событий существенно упрощает и работу с разнотипными данными, описывающими поведение системы, и сравнение элементов системы как эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий.