О движении твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности

Актуальность темы

В 90 гг. группой, возглавляемой член-корр. РАН И. В. Мелиховым, было открыто явление, названное хемореактивным движением [42−44]. Оно заключалось в том, что твердые частицы, помещенные в газ, начинали активно двигаться, если между веществом этих частиц и газом происходила химическая реакция. Это движение отличалось от броуновского тем, что было не хаотическим и характеризовалось значительно большими скоростями. Было известно, что многие физико-химические процессы между газом и твердой фазой протекают неоднородно по поверхности: процесс часто оказывается сосредоточенным в так называемых активных зонах, вне которых поверхность ведет себя как инертная. И. В. Мелиховым было высказано предположение о том, что возникновение хемореактивного движение связано с неоднородностью протекания химического процесса на поверхности твердых частиц.

В 2000 году на основании идей И. В. Мелихова и его коллег в рамках одного из проектов ESA (European Space Agency) был поставлен эксперимент, в котором в условиях микрогравитации наблюдалось движение растущих кристаллов [63]. На рисунке 1 представлены траектории этих кристаллов. Большинство из них имеют изгибающийся синусообразный характер, который не поддавался интерпретации на момент получения результата.

Поэтому возникла задача о построении математической модели, которая описывала бы движение твердых частиц в газе, когда на их поверхности, причем неоднородно, происходит осаждение молекул газа. Требовалось исследовать, к каким динамическим эффектам может привести способность поверхности твердого тела поглощать молекулы газа.

Предлагаемая в этой работе модель состоит в том, чтобы рассматривать движущуюся в газе частицу, как твердое тело, на которое действуют силы, складывающиеся из соударений молекул газа с ее поверхностью.

Итак, кинетический подход для описания динамики твердого тела заключается в том, что сила, момент сил и скорости изменения других величин, характеризующих состояние тела, рассчитываются как потоки микроскопических изменений (этих величин) от соударений молекул газа с поверхностью тела.

X ^' «W * Ъ^^ч ifWr iv t*.

Я «ЧC» ц Рис. 1 Траектории растущих кристаллов в условиях микрогравитации.

Дж. Вилнеф и Х.-Г. Маас, 2000) [63].

При таком подходе, во-первых, используется функция распределения молекул газа, которая является решением кинетического уравнения с граничными условиями, согласованными с динамикой твердого тела. Поскольку получение аналитических решений в виде нестационарной функции распределения в окрестности движущегося тела не только для уравнения Больцмана, но и для его упрощенных моделей типа БГК, в обозримом будущем не представляется возможным1, для описания движения газа используется два основных приближения. Первое — это гидродинамическое обтекание, применяющееся в тех случаях, когда размеры тела велики по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа (малые числа Кнудсена). Второесвободномолекулярное обтекание, когда размеры тела невелики, так что.

1 Даже в задаче о тепловом скольжении для уравнения БГК нахождение аналитических решений потребовало модификации краевых условий Максвелла (А.В.Латышев, А. А. Юшканов [34]). возмущением, вносимым движением тела в динамику газа можно пренебречь (большие числа Кнудсена). Последнее приближение использовалось в работе В. В. Белецкого и А. М. Яншина [12], оно также будет использоваться в данной работе.

Во-вторых, кинетический подход подразумевает постановку граничных условий для функции распределения на поверхности твердого тела. Существует обширная литература посвященная этому вопросу [3, 4, 25, 27, 29, 32, 36, 47, 48, 52, 56] Наиболее известными условиями отражения, до сих пор не потерявшими свою популярность из-за простоты и эффективности (в аналитических расчетах), являются зеркально-диффузные условия Максвелла [56]. В настоящее время разработаны и другие способы определения граничных условий, они используются в тех задачах, в которых зеркально-диффузные условия неудовлетворительны по своей точности. Но все они, как правило, весьма громоздки, либо вообще не имеют конечной аналитической формы для ядер рассеяния, как, например, метод молекулярной динамики (см. например [53]), что делает их малопригодными для аналитических расчетов.

Применимость кинетического подхода для расчета сил моментов, действующих на тело, ограничивается тем условием, что частота столкновений t молекул газа с поверхностью тела должна быть столь достаточно велика, так чтобы интегрирование по отдельным столкновениям было оправданным. Это условие эквивалентно тому, что число столкновений за минимальное характерное время должно быть на несколько порядков больше единицы. К характерным временам относятся период вращения вокруг своей оси, время прохождения одного витка при движении по спирали, характерные времена релаксации, т. е. величины, обратные коэффициентам в первых членах разложения диссипативных сил и моментов, а также, возможно, времена, определяемые спецификой конкретной задачи.

В динамике твердого тела кинетический подход применялся ранее В. В. Белецким и А. М. Яншиным для исследования движения космических тел и искусственных спутников Земли [12]. В этой работе при расчете аэродинамической силы и момента сил использовалась функция распределения налетающих и отраженных от поверхности молекул газа, а граничные условия были выбраны зеркально-диффузными. Однако, расчет отраженного потока газа в этой работе происходил без учета конечности массы тела, т. е. молекулы отражались как бы от бесконечно тяжелой стенки, а потом из разницы приносимого и уносимого импульса рассчитывались силы и моменты сил, которыми определялось движение. Что касается нашей задачи, такой подход нельзя было непосредственно применять, поскольку монокристаллы микронных размеров — это не спутники, и a priori пренебрегать тем, что их масса конечна, нельзя. Более того, оказалось, что конечность массы тела весьма существенна для расчета момента сил при сорбции. Наконец, в работе В. В. Белецкого и А. М. Яншина использовалось приближение гипертеплового обтекания, что опять же неприменимо для описания движения частиц, скорости которых намного меньше тепловой.

Задача движения твердого тела под действием сил, имеющих природу, сходную с хемореактивной, рассматривалась в работе А. И. Нейштадта et ей, [57, 58], в ней речь шла о динамке кометных ядер. В этой работе для вычисления сил, возникающих при сублимации кометного вещества на ядре кометы, использовалась эмпирическая формула.

Можно указать и на некоторые другие работы, рассматривающие движение твердого тела в газе и жидкости [15, 34, 51, 54], однако в них использовались другие модели и подходы.

Одной из подзадач при определении силы и момента сил, действующих на тело, является расчет динамики столкновений каждого типа. Т. е. задача об определении приращений импульса, кинетического момента (а в случае сорбции еще и массы, тензора инерции и смещения центра масс) в единичном акте столкновения каждого типа. В случае диффузного отражения определяются средние по отраженному потоку приращения. Первой известной работой, в которой выполнен расчет динамики столкновений двух абсолютно упругих тел следует считать статью Максвелла [56]. Расчет динамики столкновений абсолютно упругих шаров и точечных молекул уже вошел в классические учебники [35], а вот неупругие столкновения, следует признать, до сих пор являются слабо разработанным вопросом.

Далее одной из особенностей поставленной задачи является то, что тело, поглощающее молекулы газа, имеет непостоянную геометрию масс. Главные центральные моменты инерции и главные оси инерции меняются при росте тела.

Рис. 2.

При этом, если изменения массы и главных центральных моментов инерции при присоединении единичной молекулы имеют тот же порядок малости, что и отношение массы молекулы к массе тела, то изменение ориентации собственных осей может быть значительным при сколь угодно малом отношении масс. Пример тому представлен на рисунке. Здесь собственные оси поворачиваются на 45° (Рис.2). Поэтому, если на его поверхность случайным образом, но в среднем равномерно, будут налипать молекулы, то базис собственных осей будет хаотически менять свою ориентацию во времени.

Здесь хотелось бы привести еще один любопытный пример, идея рассмотрения которого была подсказана Ю. Н. Орловым. Предположим, что дана матрица вида: о.

J = ei О 1 у где внедиагональные элементы — случайные величины, имеющие изотропную плотность распределения: ^(8,е2) = ^(л/ef + 82)• Найдем, как будут распределены оси собственного базиса для данной матрицы. Эта задача легко решается аналитически:

К = V о,.

8, + ?' V.

2 2 Ef.

Къ =.

Рис 3.

Соответствующие собственные значения: J, = 1, J2 3 = 1 + -Jff + ^). И в ответе оказывается, что угол поворота базиса составленного из собственных векторов, имеет равномерное распределение на отрезке [о, 2п] вокруг оси с направляющим вектором (0, 1, 0). И это верно для любого значения дисперсии величин 8 j, s 2.2.

Задача об изменении главных центральных моментов и осей инерции при присоединении к телу малой массы в линейном приближении по отношению масс рассматривается в книге В. И. Арнольда [1]. В частности делается вывод о.

2 Сходная задача — о влиянии малых изменении элементов матрицы на ее собственные значения рассматривалась С. К. Годуновым [23]. Им были найдены так называемые s-спектры для собственных значений. том, что «если эллипсоид инерции близок к эллипсоиду вращения, то добавление малой массы может сильно повернуть главные оси инерции».

Задача о динамике твердого тела с переменной геометрией масс рассматривалась К. Магнусом [39]. Но ориентация собственных осей инерции в работе К. Магнуса полагалась неизменной, что, по-видимому, связано с указанной выше трудностью.

Поэтому возникли вопросы о том, когда изменение геометрии масс действительно является несущественным, и как его учитывать в тех случаях, когда пренебречь им нельзя. Собственно ответ на первый вопрос есть в упоминавшейся выше книге В. И. Арнольда [1]. Достаточным условием того, что главные оси инерции не будут существенно менять свою ориентацию при присоединении малой массы, является отсутствие динамической симметрии. А ответ на второй вопрос, точнее один из вариантов решения был получен в рамках этой работы и будет представлен ниже.

После того, как найдены сила и момент сил, действующие на тело из-за взаимодействия молекул газа с его поверхностью и получена базовая система уравнений, необходимо исследовать полученные уравнения динамики. Конечно, получение аналитического ответа в максимально общей постановке задачи не представляется возможным. Поэтому было выбрано приближение (медленного по сравнению с тепловыми скоростями движения частиц, а также пренебрежимой малости изменений массы и геометрии масс), согласованное с имеющимися приложениями.

В рамках этого приближения оказалось возможным применить восходящий к Эйлеру переход во вращающуюся систему координат, при котором размерность системы существенно снижалась и получилась автономная система из шести обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномами второй степени в правой части. Эта система, тем не менее, оказывается достаточно сложна, например, при некотором значении констант она может быть сведена к известной системе Лоренца [см., например, 24,37]. Она также может рассматриваться, как обобщение уравнений динамики твердого тела в сопротивляющейся среде, среди которых встречаются случаи, допускающие явное интегрирование ([15] и соответствующие ссылки в этой книге). То обстоятельство, что фазовый поток для такого рода систем систем (при физически адекватных значениях параметров) оказывается сжимающим, не позволяет применять методы, развитые для гамильтоновых систем [1,2,15,30,39,40,50].

Для исследования полученной динамической системы, а именно выяснения вопроса существования, единственности и глобальной устойчивости стационарного решения, был использован метод функций, монотонных в силу решений. Этот метод восходит к идеям Л. Больцмана [14,16] (именно на основе монотонности функционала в силу решения строится доказательство знаменитой Н-теоремы Больцмана), А. М. Ляпунова [28,38] и А. Пуанкаре [46]. Этот метод плодотворно применялся и ранее для исследования локальной устойчивости уравнений динамики.

Цель работы. Построение модели движения твердого тела в газе с неоднородными поверхностными процессами, приводящими к осаждению на поверхности тела вещества из газа, вывод базовой системы уравнений и изучение важных частных случаев, а также объяснение экспериментально обнаруженного эффекта — движение частиц по спиралевидным траекториям.

Методы исследования. В работе используются методы кинетической теории, динамики твердого тела и теории обыкновенных дифференциальных уравнений, среди которых метод функций, убывающих в силу решения.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Построена модель движения выпуклого твердого тела, поверхность которого неоднородно поглощает молекулы газа. Выведены общие уравнения, учитывающие изменение геометрии масс и формы поверхности тела. Изучены приближения, допускающие нахождение асимптотических траекторий.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Выведенные уравнения будут интересны специалистам по динамике твердого тела. Найденные решения могут служить объяснением результата эксперимента. В дальнейшем полученные результаты могут быть использованы для разработки методов обнаружения и диагностики химических процессов между газом и твердыми частицами в технологических процессах, а также гетерогенных процессов в атмосфере. Также они могут оказаться полезными при изучении движения космических тел на стадии их зарождения.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на семинаре по математической физике 7-го отдела ИПМ им. М. В. Келдыша РАН (руководители проф. М. В. Масленников, проф. В. В. Веденяпин, проф. В.А. Дородницын) — на научном семинаре по нанотехнологическим процессам и наноструктурам, МИФИ, 2002; семинаре «Движение искусственных спутников Земли относительно центра масс и проблемы ориентации» ИПМ им. М. В. Келдыша РАН (Руководитель проф. М.Ю.Овчинников) — семинаре «Гамильтоновы системы и статистическая механика» Мехмата МГУ (руководители акад. РАН В. В. Козлов, чл.-корр. Д.В.Трещев), 2003; семинаре «Динамика относительного движения» Мехмата МГУ (Руководители чл.-корр. В. В. Белецкий, проф. Ю. Ф. Голубев, доц. К. Е. Якимова, доц. Е.В.Мелкумова), 2003; семинаре «Аналитическая механика и теория устойчивости» Мехмата МГУ (Руководители акад. РАН В. В. Румянцев, чл.-корр. В. В. Белецкий, проф. А.В.Карапетян), 2003.

Результаты были представлены в докладах на IV международной конференции NPNJ-2002 (Санкт-Петербург, 2002) — V international congress on mathematical modeling V ICMM (Дубна 2002) — XIV Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики» (Дюрсо, 2002 г.) — Международной школе-семинаре «Нелинейные процессы в дизайне материалов» (Воронеж, 2002) — 7-ом Всероссийском Совещании-семинаре «Инженерно-физические проблемы новой техники» (Москва 2003) — XII международной конференции ВМСППС, (Владимир, 2003) — The 5-th EuroMech Fluid Mechanics conference (EFMC 2003), 24−28 August 2003, Toulouse FranceThe 5-th International Conference Single Crystal Growth and Heat&Mass Transfer (ICSC-2003), (Обнинск 2003) — XLVI научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Москва.

Долгопрудный, 2003; на XXVIII академических чтениях по космонавтике (Москва, 2004).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в работах [5−11, 17−22,41,59−62, 65−66].

Структура и объем работы (Распределение материала по главам).

Простейшая модель хемореактивного движения, среди решений которой есть спиральные траектории, была предложена в [6, 17−21, 59−62]. Здесь этот материал3 излагается в главе 1, в которой с помощью кинетического подхода исследуется движение тела сферической формы с одной аксиально-симметричной активной зоной4. В § 1.1−1.2 описывается модель, и вводится в рассмотрение функция (3(гс), как вероятность поглощения частицы, зависящая от координаты поверхности сферы. Эта функция, с одной стороны, характеризует степень локализации и интенсивность химического процесса на поверхности частицы, а с другой стороны может определять граничные условия для функции распределения молекул газа. В § 1.3 приведены явные вычисления пятикратных интегралов для сил и моментов в случае газа с максвелловским распределением по скоростям в приближении, когда скорость частицы много меньше тепловой. Такое приближение оправдано тем, что в реально наблюдаемых условиях [42−44] скорости твердых частиц действительно малы по сравнению с тепловой. В § 1.4 исследуется полученная система, в частности используется метод убывающих функционалов, позволяющий качественно исследовать динамику системы, найти асимптотики решений приближенной системы.

Вторая глава посвящена выводу уравнений, описывающих движение твердого тела произвольной выпуклой формы в газе. При этом учитываются три типа взаимодействия молекул тела с газом: зеркальное и диффузное отражение, а также сорбция. В § 2.1 обсуждается переход от уравнений.

3 Результаты главы 1 получены совместно с В. В. Веденяпиным и сотрудниками Химфака МГУ И. В. Мелиховым и А. Я. Горбачевским.

4 Активной зоной называется область преимущественной локализации процесса.

13 динамики твердого тела с постоянной массой и геометрией масс к переменной, вводятся потоковые величины, описывающие изменение массы и геометрии тела. В § 2.2−2.3 подробно описывается метод расчета потоковых величин. В § 2.4 рассчитывается динамика столкновений для каждого типа взаимодействия. В § 2.5 обсуждаются особенности динамики тела с переменной геометрией масс. В связи с проблемой не непрерывного изменения главных осей инерции тела при непрерывном изменении геометрии масс [1,8,10], предлагается уравнения динамики записывать в терминах тензора инерции, который меняется непрерывно. Выводится уравнение, описывающее его эволюцию. В § 2.6 представлена полученная система уравнений для общего случая и одно из ее возможных упрощений. В § 2.7 обсуждаются границы применимости полученной системы. А также представлена связь динамики тела с кинетикой газа: выписано соответствующее кинетическое уравнение с граничными условиями, согласованными с уравнениями движения тела. Представлены ядра рассеяния для зеркального и диффузного отражения молекул газа в случае подвижной стенки.

В приложении 1 к главе 2 получено уравнение, описывающее изменение геометрии поверхности тела.

В приложении 2 к главе 2 излагается материал о граничных условиях для функции распределения молекул газа на поверхности твердого тела.

В главе 3 в условиях малости модифицированного числа Маха и числа Струхаля, получена динамическая система, описывающая движение твердого тела в газе с произвольной гладкой выпуклой границей в приближении постоянной массы и геометрии масс. Учитываются зеркально-диффузное взаимодействие молекул газа с поверхностью и сорбция. Получено условие финитности системы и показано существование стационарного решения. Найдено условие единственности и глобальной устойчивости стационарного решения. Показано, что при этом условии асимтотикой координатной траектории является цилиндрическая спираль. В § 3.1 содержится описание приближения, в § 3.2 получены основные уравнения. В § 3.3 обсуждается необходимое условие применимости модели — финитность решения, которое обеспечивается диссипативностью линейной части системы, а также устанавливается существование стационарного решения. В § 3.4 найдено условие единственности и глобальной устойчивости стационарного решения. В § 3.5 устанавливается вид асимптотики координатных траекторий при условии глобальной устойчивости стационара.

В главе 4 полученная динамическая система рассматривается в случае, когда уравнение на момент оказывается не зависящим от импульса. Как показано в § 3.2 главы 3 к уравнениям этого типа принадлежит система Лоренца, что показывает сложность динамики системы в общем случае. В § 4.1 рассматривается случай диагональной диссипации, для которого оказывается возможным усилить неравенства, обеспечивающие существование и глобальную устойчивость стационара. В § 4.2 представлен пример системы типа (8), в котором постоянная составляющая вектора момента направлена вдоль одной из собственных осей инерции. На этом примере показано, что при нарушении указанных неравенств стационарное решение может терять устойчивость и становиться неединственным.

В заключении кратко суммируются основные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.

Считаю приятным долгом выразить глубокую благодарность моему научному руководителю В. В. Веденяпину, поставившему передо мной эту задачу, и совместно с которым были получены результаты первой главы. Также хочу поблагодарить И. В. Мелихова, на основании его работ и при участии которого возникла эта задача, и А. Я. Горбачевского за полезные обсуждения. Наконец, я рада возможности выразить признательность М. В. Масленникову и Ю. Н. Орлову за внимание к работе и полезные замечания.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ.

В данной работе построена модель движения твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности. Выведены общие уравнения движения тела с учетом переменной геометрии масс и формы поверхности. В частности:

• Предложено для описания вращения твердого тела вместо направляющих косинусов главных осей (или других связанных с ними переменных) использовать тензор инерции, заданный в неподвижных осях. Выведено уравнение, описывающее его эволюцию. Это позволяет избежать трудностей, связанных с отсутсвием непрерывности изменения главных осей инерции при непрерывном изменении массы и геометрии тела.

• Для тел с гладкой поверхностью предложен способ аналитически описать изменение формы поверхности тела при осаждении на нем вещества из газа.

Для тела произвольной выпуклой формы в приближении малости модифицированного числа Маха и числа Струхаля и постоянства массы и геометрии масс общая система сведена к динамической системе (автономной системе обыкновенных дифференциальных уравнений) размерности шесть. Для этой системы:

• При условии диссипативности линейной части полученной динамической системы доказана финитность решений и существование стационарного решения.

• Найдено условие типа неравенства, обеспечивающее единственность и глобальную асимптотическую устойчивость стационарного решения. Также показано, что в случае общего положения координатная траектория, соответствующая этой асимптотике, имеет вид цилиндрической спирали, что можно рассматривать как качественное объяснение результата эксперимента [61], упоминавшегося в начале введения.

• Представлены примеры, иллюстрирующие поведение динамической системы. В частности при некоторых значения параметров она сводится к системе Лоренца.

Последний факт показывает, что в общем случае система может обладать довольно сложным поведением, что представляет интерес для дальнейших исследований.

Также интересным представляется переход от описания движения единичного тела к ансамблю твердых частиц движущихся в газе с распределением по динамическим переменным, геометрическим свойствам и активности.

Укажем на еще одно естественное направление развития полученных результатов. Все рассматривавшиеся уравнения получены для таких типов взаимодействия, для которых молекула, попав на поверхность тела, либо покидает его, либо сорбируется. Таким образом, вне рассмотрения оказался случай, при котором сама поверхность испаряет молекулы в газ. В этом случае появится своя специфика, связанная с выбором физической модели процесса. Будет ли поток испаренных молекул зависеть от функции распределения налетающих частиц, если да, то каким образом. Но это уже предмет будущих исследований.