Точные оценки погрешности локально-одномерных и векторных методов решения уравнений теплопроводности

Экономичные методы успешно применяются для решения нестационарных многомерных задач математической физики. Им посвящена обширная литература [18,38,44−46,53,62]. Эти методы являются неявными, характеризуются безусловной устойчивостью и требуют при переходе с одного временного слоя на другой числа арифметических действий, пропорционального числу узлов сетки. В экономичных методах процесс отыскания приближенного решения многомерной задачи разбивается на несколько этапов, которые представляют собой процесс отыскания решения более простых задач (как правило, одномерных).

Для параболических задач среди экономичных методов порядка аппроксимации 0(т + Ь?) можно выделить семейство локально-одномерных методов, обладающих аппроксимацией исходного уравнения только в суммарном (обобщенном) смысле, и семейство векторных методов расщепления, обладающих аппроксимацией в обычном смысле. Среди экономичных методов порядка аппроксимации 0{т2 + к2) можно выделить двуцикличес-кие методы покомпонентного расщепления и симметризованные локально-одномерные методы, обладающие аппроксимацией исходного уравнения в суммарном смысле (как и локально-одномерные методы порядка аппроксимации 0(т + /г2)), а также векторный попеременно-треугольный метод расщепления, обладающий аппроксимацией в обычном смысле. К экономичным методам относятся также метод переменных направлений, методы с расщепляющимся оператором и др. (см., в частности, [18,19,64,65,77]). Отметим, что в [43,76] рассмотрены явные методы, в которых существенно ослаблено стандартное условие устойчивости.

Построение и изучение локально-одномерных методов порядка аппроксимации 0(т—к2) проводятся в работах [46,53,62], а также в работах [10,15,16, 39,40,61,63]. Симметризованные локально-одномерные методы изучаются в работах [46,47,52,59,60,72,79], см. также [14,66,78]. Изучение двуцикличес-ких методов покомпонентного расщепления, а также их применение к разнообразным задачам можно найти в [44−47,48].

Векторные методы порядка аппроксимации 0(т + к2) предложены сравнительно недавно. Их построению, изучению и применению к различным нестационарным задачам математической физики посвящены работы [14,12,13,55,68]. Отметим, что они применяются и в качестве итерационных методов решения эллиптических задач [54,69,71]. Векторный попеременно-треугольный метод расщепления сформулирован в работе [12] (он основан на идее из [51], см. также [37,56]).

Существуют варианты локально-одномерных и векторных методов порядка аппроксимации 0(г + к2), а также симметризованных локально-одномерных методов порядка аппроксимации О (г2 + /г2), вычисление вспомогательных функций в которых при переходе с одного временного слоя на другой может выполняться независимо друг от друга, что дает дополнительную гибкость с точки зрения реализации на ЭВМ с параллельной архитектурой. Обсуждение распараллеливания экономичных методов проводится, в частности, в работах [11,57,67].

Вопросы устойчивости и аппроксимации экономичных методов подробно изучены в литературеоценки погрешности этих методов даны, в основном, в предположении достаточной гладкости решения, см. например, [18,46,53] и [13,72−75]. Вопрос же получения оценок погрешности (и обоснования их точности) в случае негладких данных, а также тесно с ним связанный важный вопрос оптимальности этих методов недостаточно исследован даже для параболических задач. Отметим следующие результаты. Для случая обобщенных решений сходимость локально-одномерных методов доказана в работе [80]- в работах [39,40] выводятся некоторые оценки погрешности одного локально-одномерного метода. В работах [68−71] получены оценки погрешности векторных методов расщепления для уравнения теплопроводности в предположении, что точное решение задачи и Е И^'^(ф) и при условии г = о (Н2).

Впервые оптимальность одного из методов с расщепляющимся оператором для уравнения теплопроводности с правой частью /? СА ((5), А? (0,1) доказана в [7,8]. Оптимальные оценки погрешности чисто неявной проекционно-разностной схемы при условии т = 0(Щ2) содержатся в [5,6,50]. В работах [29,30,32] доказана оптимальность некоторых экономичных методов (в основном, схем с расщепляющимся оператором) и чисто неявной проекционно-разностной схемы на классе данных / 6 -¿-^(Ф) (а также на некоторых классах обобщенных функций /). В частности, в случае начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности получены оценки погрешности вида (1) <�с (лД+|/г|)||(/, и0)||0, (2) где у — решение соответствующей разностной схемы, у — его кусочно-постоянное на [О, Г] и полилинейное на П восполнение, а, щ — начальная функция, НС^оЖ — \1\ь2(Я) + ||(/,"о)Но = 11/(1)11ь2,1(д) +.

Е?=1 11-^11×2(д) + |К||Ьз (П) при / = + Там же выведены оценки погрешности порядка 0((т + |/1|2)(А+1)/2), Л 6 (0,1). Показана оптимальность приведенных оценок по порядку на широком классе методов решения указанной дифференциальной задачи [30]. В [31,34] для метода с расщепляющимся оператором и чисто неявной проекционно-разностной схемы установлена оценка погрешности.

IIй — = 1111″ - Н^о, т) + - < с^+щт^щ)^ (з) которая также является оптимальной по порядку [32,34]. Все перечисленные результаты относятся к методам порядка аппроксимации 0(т + /г2).

В [35,36] (см. также [34]) выведены оценка погрешности метода переменных направлений для двумерного уравнения теплопроводности и оценка погрешности его обобщений порядка аппроксимации О (г2 + /г2) на трехмерный случай (к = 1,2,3):

Нп ~ ^ С (1^|21К/' ио)||1 + т" 2||(/5^о)||2) при п = 2, (4) д2 f.

11^-^11ь2(д)<�с (^1211(/'ио)111 + т2(1К/'^)112+ 7²)) при * = 3, охк Ь2(Я) (5) где у — полилинейное восполнение на ф решения у разностной схемы, а дf.

НС/>о)||2 = + + Доказана оптимальность по порядку оценки (4), а также точность по порядку оценки (5), с помощью соответствующих оценок снизу. Там же установлена оптимальная по порядку оценка погрешности для решения симметричной разностной схемы (метода Кранка-Никольсон), по виду совпадающая с оценкой (4) при всех n ^ 1. Кроме того, для указанных методов в [35,36] выведена оценка погрешности напомним, также являющаяся оптимальной по порядку). Отметим также работу [33].

В настоящей диссертации изучается ряд экономичных методов решения первой начально-краевой задачи для n-мерного уравнения теплопроводности.

СУП — а20Аи = f (x, t) в Q = il х (О, Т), и1эпх (о, т) = uUo = Мх) на П = (0,Xi) х. х (О, Хп), где 80, — граница Q. Выводятся оценки погрешности, во-первых, нескольких экономичных методов порядка аппроксимации 0(тf h2) (глава 1), во-вторых, нескольких экономичных методов порядка аппроксимации О (г2 + h2) (глава 2). Более подробно, в главе 1 рассмотрены локально-одномерные методы (метод с распараллеливанием и последовательный метод Н.Н.Янен-ко) и векторные методы расщепления (параллельный и последовательный варианты). В главе 2 рассмотрены 2п-этапные симметризованные локально-одномерные методы (двуциклический метод покомпонентного расщепления Г. И. Марчука, симметризованный локально-одномерный метод А. А. Самарского и некоторые его модификации), а также 3-этапный симметризованный локально-одномерный и векторный попеременно-треугольный методы.

Изучается случай негладких / и щ. Основные рассматриваемые классы данных следующие:

I. / = + divF, /С1) G ?2ii (Q), Fi G L2(Q), i = l^i и щ G L2(0);

II. / € L2(Q) и n0 € W{U).

8f ° °.

III. /, € L2(Q), ft=0 G Wl (U) и G.

Классы И, I являются основными при исследовании погрешности методов порядка аппроксимации 0(т + /г2), а классы III, II — при исследовании погрешности методов порядка аппроксимации О (г2 + /г2).

Из результатов диссертации вытекает, что на классе данных II оценки погрешности в норме ½ (<5) для всех методов из главы 1 оптимальны по порядку. На классе данных I оценки погрешности в норме)) не являются оптимальными, если только не требовать выполнения жесткого условия на шаги г и к. Кроме того, для локально-одномерных методов такие оценки оптимальны при специальном разбиении правой части /. Оценки в норме ^(ф) на классе II также не оптимальны по порядку, если не выполнено условие на шаги г и Д. Точность оценок погрешности обоснована с помощью соответствующих оценок снизув частности из оценок снизу следует, что при т ^ ек отсутствует сходимость к 0 градиента погрешности методов на классе И.

Для всех методов из главы 2 при п = 3 и большинства методов при п — 2 оказалось, что на классе данных III оценки погрешности в норме ?2 (С}) в общем случае не оптимальны по порядкуустановлена их точность по порядку. На классе данных II только 3-этапный симметризованный локально-одномерный метод и модификации 2п-этапного симметризованного метода при п = 2 обладают оптимальной оценкой погрешности.

Опишем подробнее содержание и основные результаты диссертации.

В § 1 главы 1 записана первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности, введены используемые функциональные пространства. Также введены равномерная сетка ин в О, с шагами к{ = Х^/Л^, г = 1, п, равномерная сетка шт на [0,Т] с шагом г = Т/М (Л^ ^ 2, М ^ 2) и равномерная сетка и>к = ш11 П О. Кроме того, введено пространство ¿-^т функций, заданных на сетке х ит и доопределенных нулем на дшн х шт, где ди к = шн П дП и К = (/&!,., кп)' Приведены усреднения гик и дт функций тиЕЬг^идеЬ^О^Т).

Пусть ниже ао = 1 (что не ограничивает общности). В главе 1 всюду п > 2.

В § 2 введены сеточные операторы, используемые в главе 1. Выведен ряд связывающих их неравенств. Выписаны оценки решений двухслойных разностных схем в сеточных нормах, а также оценки усреднений функцийчасть этих результатов взята из- [30,36]. Здесь же доказана лемма об оценках разности решений чисто неявных проекционно-разностной и конечно-разностной схем. Результаты § 2 существенно используются при доказательстве основных результатов диссертации.

В § 3 изучены локально-одномерный метод с распараллеливанием (см., например, [15,16] и [10,39,40]).

У (г)т ~ Ут—1. -Д т, .

7-+ ^уц)т = (7) п.

Ут = У0 = ^ (8) г= 1 и стандартный последовательный локально-одномерный метод Н. Н. Яненко [62,53,46].

—- + Лiy (i)m ~ }{i)m, (9).

2/(0) m = 2/m-l, У m = У (п)т] У0 = Uq- (Ю).

Здесь функции у^, г = 1, п — вспомогательные, a m = 1, M. Через Лобозначена стандартная (простейшая) конечно-разностная аппроксимация #2 дх1 ' ab7]rn = 171 = Считаем> что /(г) = /• В методе (7),.

8) постоянные > 0 удовлетворяют равенству ai ~ 1- Решения у обоих методов принадлежат пространству Sh) T• Здесь и ниже все уравнения методов записаны на сетке uh.

Для метода (7), (8) доказаны оценки вида (1), (2) с у в роли v^с заменой ll/llz, 3(Q) На ЕГ=1 II f (i)llL2(Q) в °"eHKe (!) И II/(1)IIl2i1(Q) HaELJI/^IL (0. в оценке (2) — при этом в оценке (2) полагаем, что /(?) = /Я9 -f- • Также.

J JL" i ' для него доказаны оценки дробного порядка 0((т+|^|2)^Л+1²), Л? (0,1) на классах, промежуточных между I и II. Для метода (9), (10) оценки вида (1), (2) (и оценки дробного порядка) были доказаны в [30]. Таким образом, оценки погрешности обоих локально-одномерных методов в норме L2(Q) на классах данных II и I оптимальны по порядку при £Г=1 II/(*)IIl2(q) ^ ^II/IIl2(Q) и ЕГ=1 Н/^П^ 1(д) < ^Н/(1)Нь, л (Я) соответственно. (Через К (и К{) обозначаем положительные постоянные, не зависящие от т и /г.) Обратим также внимание на то, что здесь и ниже постоянные с > 0 могут зависеть только от п и от параметров метода (в частности, они не зависят от ., ХП и Т).

Оценки же погрешности в норме ^(ф) на классе данных II (в предположении, что ЕГ=1 11/(011^(3) ^ ^11/11.1,2(<Э)) отличаются °т оптимальной по порядку оценки погрешности (3), если только не выполнено жесткое условие т < гДе^пип = Именно, для метода (7), (8) верна оценка погрешности п г=1 п Г.

— ii/wHl,"" • («) imin, w/j.

Для метода (9), (10) верны оценки погрешности п.

W — v\vM) < |Л|)(£ ll/(i)llil (g) + г=1 п.

W^X>-i (t,/0I|/(OII Li (g)], (12) г=2 п г=1 п Т г=2 Дшп здесь (Зк (т, Н) = (Е?=1Ш=1Т/Ч^)½' Где ^ - ^ ^ = 1'П1 ~ упорядоченная по неубыванию перестановка шагов /¿-д., а /гтт,<�г> =.

При п ^ 3 оценка (13) является, вообще говоря, существенно лучшей оценкой градиента погрешности, чем та, которая следует из (12). Для метода (9), (10) с = /, = 0, ^ = 2, п оценка (12) переходит в оценку (3), а сам метод эквивалентен в этом случае одному из методов с расщепляющимся оператором [18]..

Для обоих методов доказаны оценки погрешности порядка 0(л/т + при некоторых дополнительных условиях на гладкость /. Выведен также набор оценок, дополняющих оценки (2) и (11), (13)..

В § 4 сформулированы векторные [1,2,12,13,55,68,71] параллельный метод.

У{г)тЩг>т-1 + ^^ + (1 ^+? Л =^г ^.

Е + сгт Лг)?/(г-)0 = ид, г = 17п (15) и последовательный метод у^-у^-г ^.¿-А +? ^?Уа)т~1 = /т'т>? = М-(16) т.

7 = 1.

2/(1)0 = + тЛ,-)г/(00 = 4, г = 2^. (17).

Здесь — единичный оператор, т = 1, М, а через ^ обозначаем ^.

В методе (14), (15) <т > п/2 — вес (параметр), не зависящий от /г и т. В отличие от локально-одномерных методов из § 3, где уф, г = 1, п — вспомогательные функции, в векторных методах уф € г = 1, п — приближенные решения..

Начальные условия (15) и (17) являются новыми для сформулированных методов и позволяют улучшить их свойства. Так, показано, что приближенные решения уф в обоих методах при простейших начальных условиях уф о = г = 1, п и при /Л'т = 0, как правило, не стремятся к 0 при т —> оо. Использование же начальных условий (15) и (17) позволяет избежать указанного недостатка. В обоих векторных методах (с учетом начальных условий (15) и (17)) для каждой из функций у^, г = 1, п выведены индивидуальные уравнения (т.е. в уравнение для уф не входят функции 2/0')' 3 Ф которые существенно используются при доказательстве оценок погрешности в § 5..

В § 5 для решений г = 1, п обоих векторных методов из § 4 доказана на классе II оптимальная по порядку оценка погрешности вида (1) с у^ в роли V. На классе I оптимальной оказалась только оценка для решения метода (16), (17). Для решений же у^ г = 1, п- 1 метода (16), (17) на классе I верна оценка погрешности.

Для метода (14), (15) на классе I верна оценка погрешности {г = 1, п) 3.

Также для обоих методов выведены оценки погрешности порядка 0((т + (0,1) на соответствующих классах данных..

Получены оценки погрешности обоих векторных методов в норме У2(<5) на классе И. Оптимальной по порядку оказалась только оценка для у^ в методе (16), (17). Оценки же для у^, г — 1, п — 1 в методе (16), (17) и для у ({)•> г = 1, п в методе (14), (15) (как и в случае оценок для локально-одномерных методов из § 3) совпадают с оптимальными только в случае жесткого условия, связывающего шаги т и к. Кроме того, для метода (14), (15) выведены уточненные оценки для частных производных погрешности (г = 1, п, з = 1, п) д (и~У (г)) Г, Г-. г дх] с[(>Л:+|Л|)||(/,"о)||1 + Г11/||ьз (д)], ЗФ^ (181).

Ь2(Я) с (^+|Д|)||(/, п0)||1,? = 1, (182).

Ьг{Я) из которых следует, что при вычислении Уи в методе (14), (15) удобно дуду<�п\ полагать Уи «(,., ——-1. Для решений у^, г = 1, п—1 метода С/ 2 и '.

16), (17) выведены оценки вида (18), причем оценка (18х) справедлива при 3 > г, а оценка (182) — при з ^ г..

В качестве приближенного решения метода (14), (15) можно рассматривать также функцию-усреднение у такую, что ЕГ=1^У = ЕГ=1^У (г) [13,55,68] (в этом случае вместо начальных условий (15) берутся условия.

У {г) о = и^ I 1, п). Для нее получены оптимальные оценки вида (1)-(3) с у в роли V. Отметим однако, что вычисление у на каждом временном слое требует решения сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона..

Из результатов § 5 видно, что функции у^, г = 1, п в векторных методах не являются равноценными приближениями к и..

Показано также, что между изучаемыми векторными методами и некоторыми модификациями локально-одномерных методов из § 3 существует тесная связь. В частности, решение у^, г = 1, п векторного последовательного метода является решением последовательного локально-одномерного метода (со специальным зависящим от г выбором правых частей), уравнения которого отличаются от уравнений (9) только порядком перебора направлений..

В § 6 показана точность по порядку оценок погрешности, выведенных в § 3 и § 5. Приведем типичный результат данного параграфа, относящийся к локально-одномерному методу (7), (8). Рассмотрим случай, когда /(?) = 7г/ при г = 1, п, ]Т)Г=1 7 г — причем 7i — постоянные (не зависящие от г и h). Пусть щ = 0 и £о > 0 — достаточно малая величина. Тогда при выполнении условия на шаги е^" 1 h2 ^ т ^ So min{X2,., X2, Т} для метода (7), (8) выведена оценка погрешности снизу sup \u-y\V{Q)> ll/llb2(Q)=l.

Здесь Teh — пространство функций / вида l^k 1 где — бесконечно дифференцируемая функция на IR, нечетная относительно точек? = 0, X*, — индекс j? /С такой, что hj = min^^/г^, а /С = { 1 < г ^ п | 7i ф 1}..

Из оценки (11) при и0 = 0 и ehjh % т с е? (0,1) и hj ^ K2hrari следует оценка n-y\V2iQ) < дам/? F*. (20).

Из оценки (19) вытекает точность по порядку оценки (20), а следовательно, и оценки (11) (при указанных соотношениях на г и к). Обратим также внимание на то, что в случае ек^ ^ т правая часть оценки (19) не меньше константы Кое, т. е. нет сходимости градиента погрешности к 0 на классе I.

В § 1 главы 2 введены используемые функциональные пространства и операторыдоказан ряд операторных неравенствтакже приведены некоторые оценки усреднений. В главе 2 рассмотрен случай п = 2,3..

В § 2 изучен 2п-этапный симметризованный локально-одномерный метод.

У (1), т — У (1), т-1 1д У (1), т + У (1), т-1.

—-+ -o-= АО," ««.

21).

У (1), т-1 = 2/(l-l), m" 1 = 1″ 2п5 У (0), т = 2/m-l, 2/т = У (2п), т, (22) тг ио (23) г=1.

Здесь у? £/1)Т — приближенное решение, у^? (/ = 1,2п) — вспомогательные функции, а т = 1, М. Кроме того, ¡-л{1) ~ I при 1 ^ I ^ п, /?(/) = 2п + 1 — / при п + 1 ^ / ^ 2п..

Рассмотрены два варианта выбора правых частей /(¿-))ГП в уравнениях (21): ^.

I), га = /(2"+1−1), т = «!/то'Г>? = 1,», (24^ п где а| — параметры (не зависящие от /г и г) такие, что 2 ^ а- = 1, и 1.

0,т = f (2n+i-i), m = 0, Z = 1, гг 1- п), т = 2 + /(n+l), m = 2 «4Л»)/тТ.

Метод (21)—(23), (24i) соответствует симметризованному локально-одномерному методу A.A.Самарского [16,52], а метод (21)—(23), (242) является одной из форм записи двуциклического метода покомпонентного расщепления Г. И. Марчука [46,47]..

Для обоих методов на классе III выведена оценка погрешности т.

К2. mm.

M").

Оценка (25) становится оценкой типа оптимальной оценки (4) только при выполнении условия на шаги г ^ Установлена также оценка порядка 0(т2 + |/г|2), которая требует большей гладкости / (ср. с (4) и (5)): п.

II" — У\ьМ) С с |fc|2ll (/,"e)lli + т2(||(/,"о)||2 +? i=1 дх2 • (26).

Выведены оценки погрешности дробного порядка О (г2 + Ъ, 2 + т2),.

Л 6 (0,1) на соответствующих классах данных..

Для метода (21)-(23), (24х) выявлены также значения вектора параметров, а = (а,., ««), при которых оценки (25), (26) можно немного улучшить. Пусть к = 1,., п и { а = (½)е*. для п = 2 и, а = (½)е*. + аЬ*., а — любое, для п = 3}, где е!,., еп — координатный базис в 1п и Ьх = (0,1,-1), Ь2 = (1, —2,1), Ь3 = (1,-1,0). Тогда для метода (21)-(23), (24х) с а. 6 С*, доказаны оценки погрешности г — ylLa (Q) < 4ml (/, VHL + r2||(/, U0)||2 + р.

4 min, ll/ll.

MQ).

27) w- 2/11 l2{Q) с.

Л|2||(/, 1ю)||1 + Г3(||(/,"О)||2 + ^ i^k dx2.

L2(Q) • (28).

В § 3 доказана точность по порядку оценок погрешности, выведенных в § 2. Приведем типичный результат данного параграфа в случае, а? С*- (случай a Е С*, также рассмотрен). Пусть щ = 0. Тогда при выполнении условий на шаги if ?/i|^min ^ r ^ cy/Thmin, Khmin ^ 1 и Кт ^ 1 (с достаточно большим К) для методов (21)—(23), (24i) и (21)-(23), (242) выведена оценка погрешности снизу т2 max sup \u-y\L,(0)> К0ТГ~ • (29) fc=l,., n fc)||c[o, xfc] = l mm.

Из оценки (25) при и0 = 0 и ehminh < г с е G (0,1) следует оценка.

Из оценки (29) вытекает точность по порядку этой оценки, а следовательно, и оценки (25) (при указанных соотношениях на г и К). Заметим, что как и в § 6 главы 1, в случае ehmin ^ т отсутствует сходимость погрешности к О на классе /? Тек, к = 1, п. Из оценок погрешности снизу, полученных в § 3, следует также, что для изучаемых методов не может выполняться оптимальная по порядку оценка (6) на классе данных II.

В § 4 рассматриваются три модификации метода (21)—(23), (24i) порядка аппроксимации 0(т2 + /i2), см., например, [16,47]. Один из методов получается заменой в уравнениях (21) равенства У (п+i), mi = У{п), т на 2/(n+i), m-i = 2/(0), т, а в формулах (22) — равенства ут = у (2п), т на ут = (У{п), т + У{2п), т)/2 (и при специальном выборе /(?)). Два другие метода следующие. В первом из них в уравнениях (21) симметричные аппроксимации (2/(0,m + 2/(0,m-i)/2 заменяются на явные 2/(i), mi при i = 1, п и неявные У (2), т ПРИ I — п + 1,2п. В втором из них в уравнениях (21) симметричные аппроксимации заменяются на явные ?/(o, m-i ПРИ / = 2/г — 1 и неявные y (i)iTTl при / = 2/г, где к = 1, п.

При п = 2 все три метода оказались эквивалентны методу переменных направлений, поэтому для них справедливы оптимальные оценки погрешности вида (4), (6) с у в роли v на классах III, II соответственно. При п = 3 ситуация другая. Для первого метода верны оценки погрешности вида (27), (28) с любым к = 1,2,3. Для двух других методов верна оценка погрешности вида (5) с у в роли v при к = 2,3.

Показано, что точность по порядку оценок погрешности для трех указанных методов при п = 3 следует из результатов § 3.

В § 5 изучен при п = 2 еще один симметриз о ванный локально-о дно мерный метод (см., например, [16,46,66]), в котором всего 3 этапа (а не 4, как в методах из § 2 при п = 2): mm.

2/(1), m 2/(1), m — 1 1А 2/(1), m + У (1), т-1 /(l), mi 2/(1), m-1 — 2/т-Ъ = /(2), т> 2/(2), т-1 = 2/(1), т> (30).

2/(2), т — 2/(2), т-1. 2/(2), т + 2/(2), т-1, —1- Л2—- — /(2), т>

W — y\b9(Q) < ^ИШ^оЖ + r1+O||(/, n0)|Ufl +.

У (3), т ~ 2/(3), m-1, 1. 2/(3), m У (3), т—1, 2 1−2- — /(3), т> 2/(3), т-1 = 2/(2), т".

Ут=У (3), т-> (31).

IA!)2(JS?+ ^А2)у0 = «5 — (32).

Здесь 2/ G 5л, Т — приближенное решение, ущ Е 5ь) Т (i = 1,2,3) — вспомогательные функции, a m = 1, М. Пусть /(1))ГП = /(3)jTO = a/^'r,/(2)im = (1 — 2 a) f^T, где, а — параметр, не зависящий от шагов /гигпри этом 1 f{l), m — Im •.

Для метода (30)-(32) доказаны оценки погрешности на классе II (случай в = 0) и на классе III (случай в — 1).

— 2 N ll+fl «Г» ^2″ II/IIl2(Q)J' которые оптимальны по порядку только в случае т ^ Kh.

Для метода (30)-(32) с о: = ½ последнюю оценку (случай 6 = 0) можно улучшить: на классе II верна оптимальная оценка погрешности вида (6) с у в роли V. На классе же III оптимальной оценки порядка 0(т2 + h2) нет и в этом случае выбора а. Оценка такого порядка получается только при требовании дополнительной гладкости /.

Для метода (30)-(32) выведены также оценки погрешности дробного порядка 0(т2 + h2 + Л G (0,1] на соответствующих классах данных.

Доказана точность по порядку перечисленных оценок с помощью оценок погрешности снизу.

В § 6 изучен векторный попеременно-треугольный метод расщепления [12,70] г — 1 ^ п г) т * т-1 + ^ Afc= + Ai (f (i)m + 2/(i)m-l) + Y1 АкУ (к)т-1 = ' к=1 к=г+1 I* = l,.,^, г —1 -, п.

•/2 Z m + Е АкУ (к)т + 2 Аi (y (i)m + У (*)т) + ' fc=l fc=i+l.

V{i)m ~ 2/(«)m. А = 1 » ?~ г=г+]^т -, ^ = ., 1,.

33) гДе У {i)? Sh, T, г = 1, п — приближенные решения, уф 6 Sh, T — вспомогательные функции, Ф — некоторая аппроксимация /, а т = 1, М. Функции У (i) о 5 г = п предполагаются заданными.

Для функций уф, i = 1, п выведены индивидуальные уравнения. В частности, показано, что при уф0 = 0, г = 1, п решение метода (33) является решением симметризованного метода (21)—(23), (24i) с, а 6 С&- (причем, а = (l/2)efc, если п = 3) при к = i. Поэтому для (при Ф = /Л'т) верны оценки погрешности вида (27), (28) при к — i.

Как и для векторного метода (14), (15), в качестве решения метода (33) можно рассматривать функцию-усреднение у (в этом случае функции Уфо, i = 1, п удовлетворяют уравнению (23), а Ф = fh’T). Для нее на классах III и II доказаны оптимальные оценки погрешности вида (4) и (6) с у в роли v.

В приложении 1 приведены результаты численных расчетов, иллюстрирующих преимущество начальных условий (15), (17) над простейшими.

В приложении 2 представлены результаты ряда численных экспериментов, иллюстрирующих полученные в главах 1 и 2 оценки погрешности.

Доказательство оценок погрешности сверху проводится на основе методики из [30,34], см. также [18]. Именно, уравнения каждого исследуемого метода сводятся к уравнению некоторого метода с расщепляющимся оператором. Далее оценивается разность решения этого метода и решения подходящего метода, для которого уже получены точные оценки погрешности. При этом используются результаты об оценках решения двухслойных разностных схем из § 2 главы 1, а также операторные неравенства и оценки норм усреднений. Отметим, что для методов из § 3 главы 1 и из § 2,4,5 главы 2 сведение к методу с расщепляющимся оператором осуществляется путем исключения вспомогательных функций. Для методов же из § 4 главы 1 и из § 6 главы 2 такое сведение возможно после получения некоторых соотношений, связывающих функции уф, i = 1, п. Доказательство оценок погрешности снизу сводится к исследованию на функциях / вида / т—гп ¦ f^^z % • 7T? i ~——-~ # -f (x, t) = ] 1?=1 sm———sin—, где = 1, iv? — 1, г = 1, n, разности решений.

Xi 1 изучаемого метода и метода, для которого известны точные оценки погрешности.

В главах 1,2 диссертации принята независимая двойная нумерация утверждений и формул: первым указывается номер параграфа в главе, вторым — номер утверждения или формулы в параграфе. В главе 2 (и в приложениях) при ссылке на утверждения и формулы главы 1 (глав 1,2) первым дополнительно указывается номер главы. Каждый параграф разбит на несколько пунктов.

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Современные проблемы математики и механики», посвященной 175-летию П. Л. Чебышева (г. Москва, 1996 г.), на 11-ой Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (г. Пущино, 1996 г.), на 2-ой Международной конференции «Finite Difference Methods: Theory and Applications» (г. Минск, 1998 г.), а также на семинарах в МГУ под руководством акад. Н. С. Бахвалова, под руководством проф. Ф. П. Васильева и под руководством акад. А. А. Самарского, проф. П. Н. Вабищевича, на семинаре в ИВМ РАН под руководством акад. Н. С. Бахвалова, проф. В. И. Лебедева и на семинарах в МЭИ под руководством проф. Ю. А. Дубинского и под руководством проф. А. А. Амосова, проф. А. А. Злотника. Основные результаты диссертации содержатся в работах [21−28,82], см. также [20,81,83].

Автор благодарна проф. А. А. Злотнику за научное руководство и помощь в работе.

Заключение

.

В диссертации рассмотрен ряд экономичных методов решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в п-мерном параллелепипеде. Для них выведены оценки погрешности при негладких правых частях / и начальных функциях гго.

При п ^ 2 рассмотрены методы порядка аппроксимации 0(т + /г2): локально-одномерный метод с распараллеливанием, последовательный локально-одномерный метод Н. Н. Яненко, параллельный и последовательный векторные методы расщепления.

Для локально-одномерного метода с распараллеливанием выведена оцено ка погрешности в порядка 0(т + |^|2) при / Е -£/2(ф) (и щ Е И^^)), а также оценки погрешности порядка 0((т+ |/г|2)^Л+1²), Л Е [0,1) на соответствующих классах / (и гго) — эти оценки оптимальны по порядку.

Для обоих локально-одномерных методов выведены оценки погрешности о в У2(С}) и производных погрешности в Ь2(С2) при / Е Ь2(С,?) (и и0 Е И^^)) — оценки в У2(С}) оказываются оптимальными только в случае т ^ К к2.

Для п-ой компоненты решения последовательного векторного метода и функции-усреднения компонент решения параллельного векторного метода выведены оценки погрешности в ?2(<5) порядка 0((т+ |Л.|2)(1+А)/2), Л Е [0,1] и оценки погрешности в У2(0) порядка О (у/т + к) на соответствующих классах / (и щ)', они оптимальны по порядку. Для остальных компонент решения последовательного метода и всех компонент параллельного метода получены оценки погрешности в Ь2(0) порядка 0(т + к2) и порядка 0(у/т + к + г//г1А), Л Е [0,1) на соответствующих классах / (и и0). Также получены оценки погрешности перечисленных компонент в У2(С}) (они оптимальны только в случае т ^ К к2) и производных погрешности этих о компонент в Ь2(С}) порядка0(у/т+к + т/к) при / Е Ь2(С$) (и щ Е И²(^)). Кроме того, для обоих векторных методов предложены начальные условия, улучшающие свойства этих методов. Показана тесная связь между локально-одномерными и векторными методами.

Точность оценок погрешности методов порядка аппроксимации 0(т—к2) подтверждена соответствующими оценками погрешности снизу, из которых следует существенность слагаемых с отрицательными степенями к. Также из оценок снизу вытекает, что при т ^ ек отсутствует сходимость к нулю градиента погрешности на соответствующем классе /.

При п = 2,3 рассмотрены методы порядка аппроксимации o{r2+h2): 2п-этапные симметризованные локально-одномерные методы (двуциклический метод покомпонентного расщепления Г. И. Марчука, симметризованный локально-одномерный метод A.A.Самарского и некоторые его модификации), 3-этапный симметризованный локально-одномерный метод и векторный попеременно-треугольный метод.

Для двуциклического метода покомпонентного расщепления и симмет-ризованного локально-одномерного метода выведена оценка погрешности в L2(Q) порядка О (г2 + h2 + т2//г^1п) на классе данных /, —? L2(Q), о о i=o? Wl (Q) и щ, Ащ G Wl (u) она оптимальна по порядку только при т ^ Kh2. Также выведены оценки порядка 0(r2 + h2+г2А Е (0,1] при более гладких /. При специальных значениях параметров в симметри-зованном методе выведены уточненные оценки погрешности.

Рассмотрены три модификации симметризованного метода. В частности, при п = 3 показано, что для них верны оценки типа полученных для симметризованного локально-одномерного метода.

Для 3-этапного симметризованного метода (при п = 2) выведены оценки погрешности в L2(Q) порядка 0(т1+в + h2 + г2//г2(1Л)) при в = 0, А = 0 и 9 = 1, А G [0,1] на соответствующих классах / (и щ). При специальном значении параметра выведена оценка погрешности порядка 0(т + h2) при / € L2(Q), являющаяся оптимальной по порядку.

Для векторного попеременно-треугольного метода показано, что при нулевой начальной функции он эквивалентен симметризованному локально-одномерному методу А. А. Самарского со специальным выбором параметров. Для функции-усреднения компонент решения этого метода выведены оценки погрешности в L2(Q) порядка 0(г1+Л + |/i|2), А G [0,1] на соответствующих классах / (и п0) — эти оценки оптимальны по порядку.

Точность оценок погрешности методов порядка аппроксимации 0(т2 + h2) подтверждена соответствующими оценками снизу.

Из результатов диссертации следует, что оценки погрешности рассмотренных методов уступают (за исключением нескольких случаев) известным оптимальным по порядку оценкам погрешности.

Приведены результаты ряда численных экспериментов, иллюстрирующих полученные оценки погрешности.