Вопросы качественной теории уравнений одномерного движения вязкого газа при наличии свободных границ

— Квазилинейные уравнения механики сплошной среды представляют собой важный и интересный объект современной теории дифференциальных уравнений. Это обусловлено их широким применением в физике, механике и технике. В число таких уравнений входят различные системы уравнений движения вязкого газа (иначе говоря, сжимаемой жидкости) [7]. Разнообразные вопросы теории этих систем активно изучаются в последние десятилетия как в России, так и во Франции, Италии, Германии, США, Японии, Китае и других странах. Это вопросы существования, единственности, регулярности решений, а также вопросы об оценках решений и их асимптотическом поведении, в частности, при неограниченном возрастании времени (т.е. при i->+<�"). Соответствующие результаты представляет наибольший интерес тогда, когда они получены «в большом» по данным.

К настоящему времени такие результаты «в большом» доказаны в основном для случая уравнений с одной пространственной переменной (т.е. уравнений одномерного движения). Первые результаты о равномерных по t оценках решений и их глобальной стабилизации при t -> +00 установили для модели баротропного газа Я. И. Канель [24] (задача Коши), A.B. Кажихов [23], В. В. Шелухин [28,29] (начально-краевые задачи). В дальнейшем для моделей баротропного и теплопроводного газа подобные вопросы изучали A.B. Кажихов [7], P. Secchi и A. Valli [42], A. Valli [45,46], T. Nishida [40], T. Nagasawa [38,39], I. Straskraba и A. Valli [44], H. Beirao da Veiga [31,32], В. А. Вайгант [9,10], А. А. Злотник [12—16],.

A.Matsumura [34], M. Okada, T. Makino и S. Matusu-Necasova [41,36,37], I. StraSkraba [43], A. Matsumura и S. Yanagi [35], S Jiang [33], S. Yanagi [47] и др. В перечисленных работах рассмотрены уже не только уравнения движения с плоской, но и с цилиндрической или сферической симметрией. В уравнениях стала учитываться массовая сила. Кроме задач о движении газа в замкнутом фиксированном объеме, исследовались задачи со свободными границами, когда газ находится в замкнутом, но не фиксированном объеме, граница которого (или ее часть) движется по, а priori неизвестному закону.

Одновременно выявились многие трудные вопросы, которые пока.

ПР остались открытыми. Так, не удавалось в полной мере изучить задачи со свободными границами — с «большими» начальными данными и при наличии «большой» массовой силы (даже в случае плоской симметрии). Попытка восполнить этот пробел для модели баротропного газа, причем как в случае плоской, так и более сложной симметрии, составляет основное содержание (гл. 1 и 2) данной диссертации. При этом развивается на случай свободных границ техника работы А. А. Злотника [12].

Разработка и исследование «в большом» численных методов решения уравнений движения вязкого газа также является важной проблемой. Для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа такое исследование разностных методов было дано А. А. Амосовым и А. А. Злотником [1—3] (см. также Б. Р. Рысбаев, Ш. Смагулов [27]). На случай. уравнений осесимметричного движения часть их результатов перенес А. Штиконас [30]. Перечисленные работы связаны с изучением разностных решений на произвольном, но конечном отрезке времени. Исследование решений при всех t> 0 было дано А. А. Злотником и.

А.А.Амосовым [17] и А. А. Злотником [11,48] для задач о движении в фиксированном объеме. Возможность перенесения техники исследования с дифференциального случая на разностный играет принципиальную роль для теории разностных методов и отнюдь не всегда реализуема. В гл. 3 диссертации это сделано для задачи симметрического движения со свободной границей (изученной в гл.2) и (обобщенного) разностного метода ее решения из [30]. При этом существенную роль сыграли построения работы [48], где дана разностная версия техники работы [12].

Изложим основные результаты диссертации.

В главе 1 исследуются свойства и асимптотическое поведение решений задач одномерного движения вязкого баротропного газа со свободной границей.

§ 1 посвящен постановке начально-краевой задачи и свойствам решения при немонотонной функции состояния. Рассматривается квазилинейная система уравнений.

Дт7 = £>и, 77 = 1//?, (1).

Дм = Б{урОи — р (т])) + ё (хе, 0, * = [т](х', 0<�±с' (2) в области (х, е = х = (о, М) х (0,+со), при краевых и начальных условиях.

Со = °> - РМ) и = - Рг > Со = >7° > 4=0 = М° • (3).

Задача записана в лагранжевых массовых координатах х,?, так что Д = д1Ы, И = д/дх, а М — полная масса газа. Функции 7]>0,и, р, хе — это удельный объем, скорость, плотность, эйлерова координата (соответственно) — функция р — давление (р = р{?]) — уравнение состояния). Постоянная V > 0— коэффициент вязкости. Поставленная R+ нормы в задача описывает движение фиксированной массы газа в цилиндрическом канале (вообще говоря, изогнутом) под действием массовой силы g. С одного конца газ замкнут, с другого — находится под действием внешнего давления рг.

Для q, ге[1,оо] обозначим через ||| пространствах Лебега lq (Q), lr (R+), lqr (q) — пусть для краткости.

IHhlli’lli = 1|-|12,2- Обозначим через Ц^ норму в ^(R^ + LJR*) (сумма банаховых пространств понимается стандартно). Нетрудно проверить, что Щ г]R+ < 2||w|rR+ при 1 < Tj < г <г2 < со. Пусть (w) =М'Х awdx.

Будем предполагать, что g (z, 0 = gs (z) + Ag (Z, 0> Pr (t) = Pr, s+^Pr (t) ПРИ и выполнены условия: 0- Аg измерима на R+xR+ и kg{%, t) < Ag (f) при j, ieR+. Пусть также в § 1 функция непрерывна при (>0 и такова, что.

— оо < lim р (£) < +оо, р (+оо) = lim р{£) = 0. (4).

Функция р определена с точностью до аддитивной постоянной, поэтому условие (46) не ограничивает общности по сравнению с условием конечности />(+со) — кроме того, в диссертации рассмотрен и случай £>(+оо) = -оо. Пусть т]°(х) >0 на Q.

Введем регулярное обобщенное решение задачи (1)—(3) такое, что г/еРГ21(дг), DD, 7]€L2(QT), ueW?'l (QT) и r/(x, t)>0 в QTuри всех Т> 0- здесь QT =Qx (0,T). Существование и единственность такого решения в литературе изучены. Будем интересоваться его равномерными по t свойствами и поведением при t -" +оо.

Определим функции Е (£) =? [-р (?')]с1?' и = (объем газа). Пусть ниже N > 1 — параметр, К (Щ > 0 и К,(Ы) > 0 (/ = 0, 1, 2, .) — неубывающие по N функции (они могут зависеть от М, V, р, Со и т. д.). Предложение 1.1. Пусть выполнены условия еЛх)^?, на 1**, И-' +Щ,<�рГ1<�Ы, (6) с постоянной > 0. Тогда верна энергетическая оценка.

И.,.+И (7)|"+Ы,.+ 1КН1 5 к" (ло.

Справедливо важное уравнение.

1п ц = 1п 7/° + V4/, [р (г]) — а] + V" 1 А и (1)(х) = ?му (х')сЬс', (.I, у)(0 = •.

С помощью анализа этого уравнения выводятся равномерные оценки снизу и сверху для г].

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия (5), (6).

1. Если Ы~х < Т]°(х) на О., а также (вместо (4а)).

М0+) = НтЖ) = +<�", (7) то верна оценка снизу К{1V)" 1 < ?](х^) при (л,?)? Q.

2. Если г}°(х)<�М на О., то верна оценка сверху г]{х,{)<�К{Ы) при х, 0е<2.

Справедлив следующий результат о стабилизации и к 0 при ^ —> +оо. Предложение 1.2. Пусть выполнены условия (5), (6) и условия теоремы 1.1, п. 1. Пусть также |м° + ||4Рг||[900]К+ ^ N при некотором де[2,со), а р (£) = 0(1) при -> +со. Тогда верна оценка зависит от ц) и ||м (-,*)|| 0 при.

->+00.

В следующих двух утверждениях выясняется существенность условия (66) в предложении 1.1 и теореме 1.1.

Предложение 1.3. Пусть выполнено условие (5), а вместо условий (6) выполнены условия gs (z)^:gs на, Mgs >рг>8. Пусть еще р (£)>0 на.

R+. Тогда верно свойство lim V{t) = +оо. f->+00.

Теорема 1.2. (Случай предельного равновесия: gs (%) = const на R+, О < Mgs= pr s < N). Пусть p© > О на R+ и p{C)dC < +оо (вместо (4). Пусть выполнены условия ,.

D, pr s Lx (О, Г) V Т > 0, Dtpr (0 < 0 на R+.

Тогда:

1) верна оценка ^Цд^ОЦ^ + И7?)!," + Н2,=о +||Ртс>ид.

2) сохраняет силу теорема 1.1, п. 1;

3) если р (+оо) = 0 и gs> N~ то для любого 0 < е < М при условии 77°(х)<7У при хе[е, М] верна оценка г}{х^)<�КЕ{Ы) при.

4) если р (£) > 0 на и Ишр (£) >0, а Т]°(х) непрерывна справа при.

С-+0+ х = 0, то верно свойство.

Нт 77(0,0 = +°°- (8).

-«+00.

5) если р (£)> 0 на р{ 0+) = +оо и для некоторого у > имеем < р (£) < N при достаточно больших ^ > ??0, а Т]°(х) непрерывна справа при х = 0 и < ?]й (0), то свойство (8) можно уточнить:

К{ыу1 [р (т/° (О))-1 + кх (лт1 ^<�р (т ог1.

О^-'+^даг] при t>0. В § 2 изучена стационарная задача. Пусть Ag = О, АрГ = 0. Стационарными (не зависящими от г) решениями задачи (1) — (3) служат функции и = и5(х) = 0 и ?] = г/5(х) такие, что:

Е>РЮ = ё,(хеЛ хе,*=177* на ОрШх=м =Рг, — (9) Предположим, что функция р непрерывна и убывает на^. Обозначим через р (~х) обратную к р функцию. Будем рассматривать решения 7]3 задачи (9), непрерывные и положительные на О, и такие, что р (т]х (х)) е Установлены следующие результаты о единственности и существовании решения задачи (9).

Предложение 2.1. Если gs — невозрастающая на К.* функция, то задача (9) не может иметь более одного решения.

Теорема 2.1. Пусть р (^+) = и выполнены условия (6). Тогда задача (9) имеет решение, удовлетворяющее двусторонним оценкам К (М)-1 <(х)<�К{Щ при хеО.

В § 3 доказана стабилизация решения при убывающей функции состояния. Сначала установлена стабилизация решения в норме Ь2{0).

Положим = + = и.

Теорема 3.1. Предположим, что: 1) выполнены условия (6) и условия ?

Ч + Иипг на а, С, (у) при Уу > 0,? (Х) < 0 на — и.

2) функция р убывает на К* и = кроме того, р р^удовлетворяют локальному (то есть в некоторой окрестности любой точки из области определения) условию Липшица. Тогда при? > 0 верна оценка.

2(0.0 з2 (о < к (юе-" [з2°+1*" +1 Iе" арг (4 с, а -1 / Кх {Щ. Как следствие, д2 (?) 0 при >+оо.

Если же |еАгЛ^(т)||]К++|еАгАрг (т)|2К+<�ЛГ при некотором Ье (0,а], то 32 (0 < (Л/>~4' прм Г > 0.

Далее установлена стабилизация г} и и в норме (О), причем предварительно доказаны равномерные по 7 оценки ?>77 и Би в норме Ьг (О).

Предложение 3.1. Пусть выполнены все условия теоремы 3.1.

1. Если.

V <�М, тор4^<�К (Ю.

2. Если ^ФМ+М" — +|Ыи ** «тои\1Ц2х<�К{И). х=0.

0,.

1) и о.

Положим = +1К>о|Г, = для / = 0,1 (где 1НГЧНИНГ НМи) и АР? =РгФ)-Рг".

Теорема 3.2. Пусть выполнены все условия теоремы 3.1 и р' удовлетворяет локальному условию Липшица.

1. Если ¡—От?0)) ^ N, то при / > 0 верна оценка (с, а = !КХ{Щ).

0) (0 < К2 (N)e-" + У №тт Как следствие, 8{й) (?) -> О при t -> +00.

2. Если ||D77°|| + |Dm0 то при t> О верна оценка (с а-1 / KX{N)).

Sm (t) < K2(N)e~at +1 Ар? I + ||e-Ag®||Mo> ИАё1ад+ +\Pr+||ДРг||Ы-К^ЛГ и и0^ =0, e" (D, PrmI.

Как следствие, например, при В, рг\чН+ либо при ||A/v|Lr+^Nu (Dtpr)(t) 0 при t -" +00 имеем: <5(1)(?) -" 0 при t->+00..

В § 4 и § 5 изучается задача с двумя свободными границами:.

Dji = Du, 77 = l/р в Q, D, u = D (vpDu — p (T})) + g (t) в Q, vpDu-p (77)|x=a =-Pa (t) {cc^OMUL = WL =M°' Она описывает движение слоя вязкого баротропного газа, находящегося под действием массовой силы g{t) (зависящей лишь от t), а также внешних давлений p0(t) и pM (t) на свободных границах слоя. Предположим, что.

77°(лг)>0 на Q, еLx (Q) и pa{t) = patl+JSpa (t) на R+(a = 0, M). Оказывается, что для (и) верна явная формула u)=(u°)+l[g-M-l{pM-p0)]dT, а функции г] и, А и = и-(и) удовлетворяют замкнутой системе уравнений (не содержащей #)..

По аналогии с § 1—3 изучены свойства и поведение при /~>+оо функций 7] и, А и. Первые два результаты относятся к случаю немонотонной функции р..

Предложение 4.1. Пусть функция непрерывна при ^ >0 и удовлетворяет условиям (4). Пусть также Ц^" ! +) Ц, и.

ММ|4Р"1и Ы’Х ipa^N{a = 0, M), (10) где Аи° =и° - (и°) • Тогда верна энергетическая оценка.

1С+14,+ 1КН•.

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия предложения 4.1. 1. Пусть /?(о+)= +оо. Если < г}°(х) на ?1, то верна оценка снизу.

К^У <7!{х,{) в <5..

2. Если 77°(х)< N на О, то верна оценка сверху г/(х^) < К (ы) в ?2. Следующие три результата относятся к случае убывающей функции Р.

Пусть величины в2,5получаются из заменой и на Аи, а из 81, д^" заменой м° на, А и0. Теорема 5.1. Пусть функция рубывает на и, а также р и р^ удовлетворяют локальному условию Липшица. Пусть выполнены условия И~х < на О, т/° < N и условия (10). Тогда с.

II II оо.

Ч,(х) = Р (~П (р* (х))> гдеР* (х) = (1 — м~'х)р^ + м~1хРм," верна оценка.

8 г (0 < К (ну (+ 2 Л ^ АР. М Ц О а=0,А/ с л =1/Х, (ТУ). /Сяк следствие, ё2 (?) -" 0 при / +оо ..

Предложение 5.1. Пусть справедливы все условия теоремы 5.1..

1. Если ||£>77°||<ЛГ, то ||^||2 В < К (Ы)..

2.Если МММЧМ.*- <�М (а = 0, М), тои.

Теорема 5.2. Пусть справедливы все условия теоремы 5.1 и дополнительно р' удовлетворяет локальному условию Липшица. При выполнении условий п. 1,2 предложения 5.1 верны соответственно оценки.

8Щ<�К{ы)г" {8™ + I (>0, а=0М а=0М е-АРа (т.

2(0,0 са^/КХм)..

В главе 2 получены равномерные оценки и доказана стабилизация решений задачи симметрического движения вязкого баротропного газа со свободной границей, причем в случае коэффициента вязкости, зависящего от Г]..

В § 1 дается постановка начально-краевой задачи и содержатся вспомогательные утверждения. Рассмотрим квазилинейную систему уравнений.

Дт7 = ДгиМ), п = 1/р, (И).

Ди = г" ?)[К17)рО (г-«) — 8[г], (12).

Д г=и (13) в области <2, при краевых и начальных условиях и = Шрп{гти)~р{1т)]х^ =-рг, (14).

77|(=0 = (*), г/|(=0 = их г|г=0 = г°(х) на О (15) с т/°(х) > О и г°(л-)>0на О, где гх) У*Х ={т +)171х')с1х' + ат* на О. (16).

Искомыми являются функции Т]{х^и{х^ г (х,{). Использованы обозначения gИ (.м)=: ё (г (х>0>0 > о > О, кроме того, тп = 0,1,2..

Поставленная задача описывает симметрическое движение вязкого баротропного газа в замкнутом объеме с фиксйрованной левой и со свободной правой границами. Задача записана в лагранжевых массовых координатах х, *. Значения т = 0,1,2 отвечают плоской, цилиндрической, сферической симметрии соответственно. Предположим, что функции^и рТ удовлетворяют тем же условиям, что и в гл. 1, § 1 (только теперь X € (я,+оо)), а функции р и V непрерывны на причем выполнены условия (4) и > 0 на IV..

Лемма 1.1. Пусть выполнены условия.

И,+14|')1+И+Ммг +М*..

0<�у, йу{()наЛ (18).

1+1.

Ж^о" —— + со «4°,+°о), ЛГ! +Щ0<�Рг$<�Ы, т +1 где g0 > 0 и с0 > О. Тогда верна энергетическая оценка.

ГЦ. + +К,+II ШрТ"{г-и) ||е < ф)..

Лемма 1.2. Справедливо уравнение.

ЦА (*1)=рМ-с1-Ц1'{г-ти)+а1,где А (С)= $ГКЙ^,.

В § 1 сформулированы также леммы 1.3 и 1.4 о глобальных оценках решений обыкновенных дифференциального неравенства и задачи Коши..

В § 2 выведены свойства решения при немонотонной функции состояния. При помощи лемм 1.2 и 1.3 доказаны равномерные оценки 1] снизу и сверху.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (17) — (19) и условие < г]й{х) на О, а также условие (7) (вместо условия (4а)). Тогда верна оценка К (м)~1 < ?](х,() в (2. Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (17), (18) и условия (X) * не + Щ0 < рГ8 <И с-?й> 0 (20) более жесткие, чем (19)), а также условие < N на.

О..

Тогда верна оценка г/(х^) < К (ы) в <2..

В отличие от гл. 1 теорема 2.2 ниже непосредственно не используется..

Изучена стабилизация и к нулю в норме ¿-9(С2) при *->+оо..

Предварительно рассмотрена вспомогательная линейная неравномерно параболическая задача.

-?) + *"* + / в <2,.

И,=0 = °> - =, Н,^ = М на а. Предположим, что е 4о (бг)> 6 > 0, ^ > 0и а0, Дбе!,^), = /0+А/ и |Л/| ^ |/1| + |/2|, причем е I, (?>7,)Д = О, 1, 2, ^ е 12 (О, Г) при всех 7>0, а также и0 е X, (О). Ограничимся обобщенными решениями со свойствами: геЬ^^т), IV е ?2 (0Г), Ди е Ьх (£>г) при всех 7>0. Пусть д' = д /(д -1). Лемма 2.1. Яусть 6 е 4,(0), || 1 / ^ Ц < ..

Л Я^сть [2,оо). Ясли +.

00' ^ = /о =0 и Р'11″ '(а0 + Я~1ЦЬ)г | то верна оценка и свойство.

Цб’М'"*)!, 0 при * -> +оо. (21).

2 Ясли +||/о||1−00 + МЦ- <с0' А/ = 0 и.

½<я0 +1)|||^|||2 <ЛГ2, то при любом де[2,оо) верна оценка ^ <�с2^х)д (с12 +И2) и свойство (21)..

Величины сх (Л^), с2 (л^) зависят только от Nх ..

Теорема 2.3. Пусть выполнены все условия теоремы 2.1 и, более того, ||Арг|9оо]К+при некотором #е[2,оо), а р (^) = 0(1) при ^ —> +оо. Тогда верна оценка | м|| и + ||м ||в <�К{ы)д (гдеК (и) не зависит от д) и свойство —> 0 при? —" +оо..

В § 3 рассматривается стационарная задача. Стационарными решениями задачи (11) — (16) служат функции и = ив{х)=0и г} = т]5(х)>0, г — г1!(х)> 0 такие, что.

Мъ) = гГ8,(гЛ гГ^х^т + Щф'^' + а-1 на О, (22) р (лХ.м=Ргу (23).

Справедливы следующие результаты о единственности и существовании решения этой задачи, в случае функции р, убывающей на.

Предложение 3.1. Если ^ — невозрастающая на [я,+со) функция, то задача (22), (23) не может иметь более одного решения..

Теорема 3.1. Пусть /?(К+) = К+ и выполнены условия (20)..

Тогда задача (22), (23) имеет решение, удовлетворяющее оценкам к№х<�ф)<�кХк)прихеа..

В § 4 изучаются свойства решения при убывающей функции состояния. Доказано две теоремы о стабилизации. Пусть К3 > 1 — параметр..

Теорема 4.1. Предположим, что:.

1) выполнены условие (17) и условия <�Т]°(х) на О, функция не возрастает на [а,+оо) и.

ЛГ1 + тах{£(+ со), 0} < рГ! < Ы- (24).

2) .выполнено условие (18) и условие = 1) при.

3) функция р убывает на IV и = кроме того, удовлетворяет локальному условию Липшица-.

4) существует решение стационарной задачи (22), (23), причем к-х <*Т1а (х)*К, на а..

Тогда = ||т/(-, 0-(ОЦ, +1|"(-, 0|| -" 0 при t -> +оо и, более того верна оценка на Яс, а (Л^). Кроме того, верна вспомогательная оценка.

Теорема 4.2. Предположим, что выполнены условия Ч и пры ^>0> £'(*)*<>на (а>+со).

25) и условие (24). Пусть также выполнены условия 2) — 4) теоремы 4.1 и дополнительно функция р удовлетворяет локальному условию Липшица. Тогда верны оценки к{иу<-п{х^)<�к{и)в<2, с, а =1/А", (тУ). Как следствие, 32{{)О при / -> +оо..

В § 5 выведены равномерные оценки и стабилизация производной решения (при убывающей функции состояния)..

Теорема 5.1. Пусть выполнены все условия теоремы 4.2..

1. Если Ц-От/01-М, то <�К (ы)..

2. Если + \рГ\^ +\ЦрГ1^ <М, 4=о =0, * функция V удовлетворяет локальному условию Липшица, то \Ви1т<�К (Ю..

Теорема 5.2. Пусть выполнены все условия теоремы 4.2 и р', у' удовлетворяют локальному условию Липшица..

1. Если |£>77°|<И, то при ?> 0 верна оценка бт (!)<�К (ыУа'.

2(0.0 где, а =/К Как следствие, ?(0)(/)-«0 при t—>¦+ со..

2. Если |?V.

Ии.

1 кЦ- ^ и° | = 0, то при t> 0 верна оценка аргХГ!.

4(0,0 где, а = 1! К,{ы)..

В главе 3 изучена специальная разностная схема для задачи симметрического движения вязкого баротропного газа со свободной границей, рассмотренной в главе 2. Для этой схемы удалось установить сеточные аналоги основных результатов главы 2..

В § 1 вводятся обозначения и приводятся вспомогательные результаты. Пусть Шн = (х, 10 = х0 < • • • < хп =м) и.

У|д = {х,½ х (½ = (хм + х ()/2, 1 < / < и} — пара сеток на О с шагами.

К =Х1 -^М И КУ2=ХМ/2 ~Х1-У2> а йГ ={/у|0=/0 <^^¦.

Определяются разностные операторы к.

ISfeSi ¡-йкйпZ.

З, Уу = (г — г-')Д., гу =гч, /гг =. sitij.

Задаются сеточные нормы (с # е [1,оо)).

Т 7 УЧ ми= .иц.

V 1<!<£п-1 2 У 41/2 г,©q, r, ioxa>, в 1/9.

V^I.

1/г при г е[l, оо), ||у|| = sup Yj при г = <х>. Кроме того, q, Ci> для со = й) н, соу2- ниже индексы со и сох со' опускаются..

Для дифференцируемой функции /(?) вводится разделенная разность при.

Формулируются леммы 1.1 и 2.2 о глобальных оценках решений обыкновенных разностных неравенства и задачи Коши..

В § 2 выписана специальная двухслойная нелинейная разностная схема для задачи (11) — (16). Она включает уравнения д, Н = 5(хти) на со!/2 хсо1, (26) д1и = Хт311 + В[Х, Х ] тсо" хсоТ, Ъ = мА${хти)-р{н), (27) д, Х = (Хт/Х{т])и на сонхо) Т, (28) а также краевые и начальные условияРГ,.

29).

НМ=Н и. й=и°, ХМ=Х (30) где функции Н° > 0 и Х° > 0 связаны уравнением.

Х*УХ ={т +)1ьНй +ат* с а>0. (31).

Искомые функция Я > 0 (определенная на а>у2хШТ) и функции II, Х> 0 определенные на Шн х Шт) являются сеточными аналогами Т] и и, г. Предполагается, что т = 0,1,2, функции р и V удовлетворяют условиям из гл. 2, § 1, а непрерывна на [а,+оо)..

В уравнениях (27) и (28) используются специальные коэффициенты.

Это дает возможность переписать функцию Е и уравнение (28) в виде.

2 = д, А (н)-р (н), (т + 1У~д ((хт+1)=Хти, что в сочетании с другими уравнениями позволяет вывести важные аналог леммы 1.2 из гл. 2 (см. ниже лемму 2.2) и связь между X и Я вида Х^'Цтя + О/.Я + а" «1..

Предполагается также, что В[Х, Х)+ДЯ/(Х/, Х/),.

Р/ = рг,. + АР/, причем В3=(хт/х{а))8° с =) либо просто.

В3 = (X), а АВ-(х, х' * Д7 + Щ при 1 < / < п, ] > 0 и х, х' ф,+со) с.

Д>0Д>0..

Изучены свойства разностной схемы (26) — (31) при немонотонной р. Пусть Ж0 е (0, ТУ] ,?0 > > 0,?2 > 0—параметры, причем и ?0+€ 1+?2<1. Лемма 2.1. Пусть выполнены условия.

Я'||,+||?(Я")||1+||(7"||2+||В,.

1,01'.

В2 2тг.

1,0}'.

32) а также условия (18), (19) с А^р1 в роли N 1 и условие где, а > 0. Кроме того, пусть шах|е^а, (4у0)-1 {Ма~тВ1 / + (АРГ)2 ] | г < 1 на сог. шах.

34).

Тогда при верна энергетическая оценка.

• К.+1Мк"+УУ!з (х'и1.

Лемма 2.2. Справедливо уравнение а, а {н)=р (н)-<1к-д, гЛ (х-и)+^.

1/1.

С помощью лемм 1.2 и 2.2 выведены равномерные оценки Н снизу и сверху..

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия леммы 2.1, условие И'1 < Н°на С0у2, а также условие (7) (вместо (4а))..

Тогда при В8 = (Хт/Х{т)^ верна оценка К (ыУ <Н на со х ШТ..

Следствие. Если функции р, V и gs удовлетворяют условиям (7), (46), (18), (19) и (33), а также функция непрерывна по Х-а> то при условии (34) и при В5 ={хт/разностная схема (26) —- (31) имеет решение..

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия леммы 2.1 и, более того, уСЛОвие (20) С ЛГ1 «пл*» ЛГ1 л мп. ппачо М° < N иа.

Тогда при В8 = (Хт/Х (т)^ верна оценка Н < К (ы) на соп х с5х..

½.

Замечание. Если функция — невозрастающая на а,+оо), то все результаты § 2 верны и при В5 = gs (х). Кроме того, еслир не возрастает на (вместоусловия (33)), то условие (34) принимает вид.

4г0)ч[б" ,-1 (Ма~тВг)2 + (АРГ У] г < 1 на й) г. (35).

§ 3 посвящен сеточной стационарной задаче = I.(Р.) на ХГ1 =(т +1)/"#, + я" «1 на Ш14, (36).

Р (Н^У2))+^ХХ,") = РГ, (37) где Н3 > 0 на соп и Х5>0на<�й Подобно гл. 2, § 3, справедливы следующие результаты об этой задаче при функции р, убывающей на ..

Предложение 3.1. Если ^ — невозрастающая на [<�з,+оо), то задача (36), (37) не может иметь более одного решения..

Теорема 3,1. Пусть и выполнены условия (20)..

Тогда задача (36), (37) имеет решение, удовлетворяющее оценкам КХМУ<�Н-<�КХМ) на.

В § 4 рассмотрен случай убывающей функции р. Пусть 6'а = 1^(1 + 0^) с а> 0— сеточный аналог функции е*, а.

9 = 1,2), ^=||Я"-Я,||2+||и"|2. Теорема 4.1. Предположим, что:.

1) выполнено условие (32) и < Н° на соп, а также функция ^ не возрастает на [а,+со) и удовлетворяет условию (24) с в роли ТУ" 1-.

2) выполнено условие (18) и условие = 0(1) при С, -> +оо —.

3) функция р убывает на и /?(|Ч+)= кроме того, удовлетворяет локальному условию Липшица-.

4) существует решение стационарной задачи (36), (37), причем.

К-1<�Н,<�К, наа>!/2-.

5) выполнено условие (35) и вир т} < ТУ..

Тогда при В5 = верна оценка (с, а = /Кх{Ы)).

Г. аШ л и, как следствие, 5(ь —> 0 при ] -" +оо. Кроме того, ||Н — Н5 2 < К (ы)..

Если дополнительно gs удовлетворяет левому условию (25), то указанные результаты верны и при В8 =.

Теорема 4.2. Предположим, что выполнены условия.

АГХ<�Н°<�Ы наа)" V.

1/21.

В1.

1,й)г.

В2 т + ЛРГI г <лг,.

2 2, й> II ГП2, Й)Г ' условия (25), (24) с И0Х в роли N на ^ и условия 2—5 теоремы 4.1 и дополнительно функция р удовлетворяет локальному условию Липшица. Тогда при верны оценки.

К{ИУ <�Н<�К{И) на со*, хШг ,.

7*0.

V, ч — (*, ч N1 ½' еЦв^в,) + н > с а- !Кх{Ы)и, как следствие, 0 при ] +со..

Автор признателен профессору А. А. Злотнику за постановку задачи и помощь в работе..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

г.

В диссертации исследованы три начально-краевых задачи одномерного движения вязкого баротропного газа:.

1) задача с фиксированной левой и свободной правой границами-.

2) задача с двумя свободными границами (при массовой силе, зависящей только от г) —.

3) обобщенная задача 1 о симметрическом движении (не только с чу о 1 о «» плоской, но и с цилиндрическои или сферической симметриеи), причем в случае коэффициента вязкости, зависящего от удельного объема Г]..

Для каждой из этих задач доказаны: а) при общей немонотонной функции состояния — равномерная по г энергетическая оценка, равномерные оценки ц снизу и сверху, а также (в задачах 1 и 3) стабилизация скорости «к 0 в норме Ьч (О) с любым 1<#<ооб) при монотонной функции состояния — стабилизация решения в норме Ь2 (О), равномерные по? оценки производных решений и их стабилизация в норме Ь2 (о) с оценкой скорости стабилизации..

Изучена также специальная разностная аппроксимация задачи 3 и для нее получены аналоги основных из перечисленных результатов об оценках решения и их стабилизации..