Пространственные задачи статики сыпучих сред

Актуальность работы. В современных условиях развития науки и техники широкое применение находят сыпучие материалы. Это обуславливает возникновение задач, связанных с нахождением напряженно-деформированного состояния сыпучих материалов. Сложность решения пространственных задач заключается в формальной незамкнутости системы уравнений, описывающей трехмерное пластическое течение материала. В данной диссертации рассматривается построение замкнутой математической модели пластического деформирования связного сыпучего материала.

Первая математическая теория пластичности была создана Сен-Венаном [162] (В.Saint-Venant, 1870 г.) на основе гипотезы о пропорциональности девиатора тензора напряжений и тензора скоростей пластических деформаций при условии текучести Треска. Сен-Венаном на основании опытов Треска^по истечению металлов через отверстия было предложено условие пластичности, заключающееся в том, что пластическое состояние наступает, как только максимальное касательное напряжение достигает некоторого определенного предельного значения к. Впрочем, идея такого условия принадлежит Кулону и была высказана им в работе «О применении правил максимума и минимума к некоторым вопросам статики, имеющим отношение к архитектуре», представленной во Французскую Академию наук в 1773 г. В этой работе Кулон указывает на то, что разрушение сжатой призмы происходит в результате скольжения одной ее части относительно другой по некоторой плоскости, составляющей угол в сорок пять градусов с направлением сжатия. Скольжение возникает при достижении составляющей сжимающей силы в указанной плоскости предельной величины, достаточной для преодоления обусловленного сцеплением сопротивления скалыванию по этой плоскости.

Сен-Венан рассматривал задачу о пластическом плоском деформированном состоянии и шел по пути обобщения уравнений движения вязкой жидкости Навье-Стокса, опираясь на гидродинамическое представление о течении металлов. Сен-Венан ограничился исследованием плоского деформированного состояния и поэтому его теория нуждалась в дальнейшем обобщении на случай трехмерного состояния. Соответствующее обобщение было сразу же выполнено: уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности впервые были получены Леви (M.Levy, 1871 г.) [91]. Статьи Сен-Венана и Леви появились одна за другой в Mathematiques Pure et Appliquees за 1871 г. Леви принял в качестве условия текучести уравнение грани призмы Кулона-Треска и присоединил в качестве определяющего уравнение, выражающее пропорциональность девиатора тензора напряжений и тензора скоростей пластических деформаций. Теория Леви, поскольку она основана на «неассоциированном» законе пластического течения, не нашла применения и представляет ныне лишь исторический интерес, отчетливо указывая на то, что на ранних этапах развития математической теории пластичности условие пластичности и определяющий закон течения рассматривались совершенно независимо друг от друга.

Соотношения Сен-Венана для плоской пластической деформациистатически определимая система уравнений гиперболического типа, чо позволило позднее развить теорию полей скольжения, связываемую обычно с именем Генки (H.Hencky, 1923 г.) [33, 142] и Гейрингер (H. Geiringer, 1930*г.) [31, 32]. Математический аппарат, соответствующий соотношениям Сен-Венана для плоской задачи, оказался, таким образом, вполне адекватным экспериментальным и теоретическим представлениям о течении идеально пластического тела. Заметим, что уравнения теории плоского напряженного состояния (в отличии от случая плоской деформации) не могут быть получены как частный случай пространственных уравнений.

Уравнения пространственной задачи математической теории пластичности длительное время оставались неизученными. И в настоящее время теория трехмерной задачи математической теории пластичности далека от завершения [37]. Оценивая состояние пространственной задачи теории идеальной пластичности Л. Прандтль (L.Prandtl) в 1921 г. [155, 156] указывал, что для разработки пространственной задачи до сих пор еще не найдено надлежащего пути и пока, пожалуй, имеется мало перспектив ее решения. «Задачи трехмерного пластического течения трудны и мало изучены». Так было сформулировано отношение к, вопросам пространственной задачи математической теории Вакуленко A.A., Качановым JI.M.

Пространственная задача в общем случае при условии пластичности Мизеса и ассоциированным с ним законом течения Леви-Мизеса является статически неопределимой, и, кроме того, уравнения пространственной задачи не гиперболичны. Так, система уравнений пространственной и осесимметричной задачи теории идеальной пластичности при условии пластичности Мизеса, вообще говоря, не имеет вещественных характеристических направлений. Точнее говоря, уравнения пространственной задачи либо полностью эллиптичны (т.е. не существует действительных характеристических направлений), либо (если в рассматриваемой точке медианная главная скорость пластической деформации равна нулю) имеется только два поверхностных характеристических элемента, совпадающих с площадками максимального касательного напряжения. Все это свидетельствует о том, что в подавляющем большинстве пространственных состояний, описываемых согласно условию пластичности Мизеса и ассоциированному с ним закону течения Леви-Мизеса, действительные характеристики отсутствуют. Все это не оставляет шансов обобщить методы интегрирования, развитые ранее для плоской задачи, соотношения которой формально статически определимы и гиперболичны, что в конце концов и позволяет построить теорию полей скольжения, адекватно представляющую сдвиговой механизм пластического течения.

Принципиально иная ситуация наблюдается в пространственной задаче при использовании критерия текучести Кулона-Треска. Здесь уравнения пластического равновесия в ряде важных случаев становятся гиперболическими. Существование действительных характеристических поверхностей является большим математическим преимуществом. Если еще учесть, что характеристические поверхности суть поверхности скольжения, то с физической точки зрения трудно объяснить отсутствие действительных характеристических поверхностей в случае уравнений пространственной задачи при использовании критерия текучести Мизеса.

Поверхности и линии скольжения не являются только математическим понятием. Они существуют в действительности и их можно выявить травлением отполированной поверхности разреза деформированного металла.

Фигуры скольжения часто появляются в виде узоров с правильной лучистой симметрией на поверхностях или на разрезах твердых тел, испытавших деформации за пределом упругости. Линии скольжения (линии сдвигов) играют чрезвычайно важную роль как в теоретических, так и в прикладных исследованиях напряженного состояния пластически деформированного тела. Геометрия линий скольжения во многих случаях вполне определяет напряженное состояние, и такое напряженное состояние реализуется в условиях предельного равновесия тела. На этот факт впервые указал Д. К. Чернов. Фигуры скольжения, которые наблюдались Д. К. Черновым при различных схемах нагружения (например, при растяжении плоских образцов, при пробивке круглых отверстий), воспроизводятся в известной монографии: Фридман Я. Б. Механические свойства металлов. М: Оборонгиз, 1952. 556 с. (см. с. 103). Значительно позже линии скольжения стали исследоваться за рубежом. В начальный период развития теории пластичности при изучении пластического течения широко использовались представления о линиях и поверхностях скольжения, подчиняющихся поразительным законам, установленным математичками и инженерами в начале XX столетия. В предисловии уже говорилось о соответствии между изменениями в структуре сильно деформированных металлов и при деформации горных пород, отмечаемыми и описываемыми в петрографии. Поэтому теория линий скольжения в руках геологов может служить средством расшифровки процессов образования горных цепей и континентальных плато, восстановления истории движения земной коры (в том числе и ее континентальной части). Таким образом, теория скольжения находит свое подтверждение на двух существенно отличающихся масштабных уровнях.

К настоящему времени уже стало ясно, что предельные состояния твердых тел должны так же описываться статически определимыми уравнениями гиперболического типа. Теория предельного состояния первоначально развивалась в рамках механики сыпучих сред. Основоположник теории К. Кулон сформулировал (1773 г.) основные положения теории предельного состояния и ввел представление о поверхности сползания, которые были применены для решения ряда важных прикладных задач. Систематическое изложение теории предельного состояния сыпучих сред на основе представления о сетке скольжения было дано В. В. Соколовским в 1942 г. Теории предельного состояния и идеальной пластичности, таким образом, имеют общие основы, однако они далеко не тождественны. Теория идеальной пластичности основана на представлении об условии пластичности, которое, вообще говоря, может приводить либо к статически определимым, либо к статически неопределимым состояниям. Теория предельного состояния в качестве своего предмета исследования берет лишь статически определимые состояния, которые могут быть достигнуты, скажем, при пропорциональном возрастании внешних нагрузок. Для предельного состояния все «предыдущие» свойства материала не играю никакой роли, поскольку предельное состояние определяется из замкнутой системы формально статически определимых соотношений, не имеющих ничего общего с допредельным поведением тела.

Экспериментальные исследования показывают, что условие пластичности Мизеса значительно лучше согласуется с опытными данными, чем условие пластичности Кулона-Треска. Сомневаться в достоверности данных многочисленных экспериментов не приходится, тем более, что они указывают на систематическое отклонение поведения металлов в состоянии текучести от условия Кулона-Треска. Тем не менее, можно предположить, что лучшее соответствие условия Мизеса опытным данным объясняется влиянием различных посторонних факторов, таких как упрочнение, деформационная анизотропия, поврежденность, элиминировать которые при проведении экспериментов до конца не удается. Известно также, что чем ярче у материала на диаграмме одноосного растяжения выражена площадка текучести (т.е. чем ближе его поведение к идеально пластическому), тем лучше данные испытаний согласуются с критерием пластичности Кулона-Треска. Таким образом, критерий текучести Кулона-Треска, по-видимому, действительно лучше, чем остальные мыслимые критерии, выражает сущность идеальной пластичности. В пользу этого вывода, т. е. большего соответствия условия Кулона-Треска физике пластической деформации, высказывались многие авторы.

Итак, формально статически определимая задача о плоской пластической деформации вместе с ее гиперболическими соотношениями послужила отправной точкой развития всей математической теории идеальной пластичности. Распространение математического аппарата гиперболических уравнений, описывающего плоское течение идеально пластического материала на общий трехмерный случай, явилось предметом целого ряда исследований.

В 1909 г. Хаар и Карман (А. Haar, Th von Karman) [129, 130, 141] выдвинули условие «полной пластичности», которое, по существу, устанавливает соответствие напряженного состояния ребру призмы Кулона-Треска, и оказалось, что соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности являются статически определимыми.

В 1923 г. Генки предложил использовать условие полной пластичности Хаара-Кармана в случае осесимметричного напряженного состояния, что привело его к статически определимой системе уравнений равновесия, которая, как он установил, оказывается гиперболической. Позднее уравнения осесимметричной задачи с условием текучести Кулона-Треска исследовались Р. Шилдом (R.T. Shield) [137, 161] для ребер и граней призмы Кулона-Треска. Осесимметричные автомодельные решения, соответствующие течению на ребре призмы Кулона-Треска, были построены Р. Шилдом в той же самой работев частности, им было произведено вычисление автомодельного поля скольжения вблизи свободной прямолинейной границы.

В 1944 г. А. Ю. Ишлинский исследовал осесимметричную задачу теории пластичности [74], предполагая выполнение условия полной пластичности Хаара-Кармана, доказав статическую определимость и гиперболичность основных уравнений. С помощью численного метода в этой же работе было получено решение задачи о вдавливании твердого шарика в идеально пластическую среду. Решение А. Ю. Ишлинского вызвало критические замечания Р. Хилла [131, 143−145], полагавшего, что «такие вычисления^имеют небольшое или не имеют никакого значения, так как гипотеза Хаара-Кармана для металлов физически нереальна и она вводит ошибку неизвестной величины». Свои возражения Хилл основывал на невозможности в рамках теории течения Леви-Мизеса определить связанного с распределением напряжений, удовлетворяющим условию полной пластичности, поле скоростей из-за неправильно определенности (переопределенности) системы соотношений кинематики. Выход из сложившейся ситуации, как показало последующее развитие математической теории пластичности, состоял в последовательном использовании гипотезы Хаара-Кармана и замене закона течения Леви-Мизеса на обобщенный ассоциированный с условием пластичности Кулона-Треска закон течения.

Соотношения пространственной задачи теории пластичности, когда, аналогично условию полной пластичности Хаара-Кармана, имеется два соотношения между главными напряжениями, были предложены и проанализированы А. Ю. Ишлинским, который использовал определяющие зависимости в форме соотношений перестановочности тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, следующие из обобщенного ассоциированного закона пластического течения в случае течения на ребре призмы Кулона-Треска и не предполагающие столь жестких ограничений на скорости пластических деформаций, устанавливаемые традиционным для того времени требованием пропорциональности тензора скорости пластических деформаций и девиатора тензора напряжений. Впервые, в явной форме он указал на необходимость при построении теории пространственной задачи двух условий пластичности, уравнения несжимаемости и условий соосности тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, которые он принял в форме трех уравнений, следующих из перестановочности тензоров. В своей работе А. Ю. Ишлинский пишет: «Согласно предлагаемой теории идеальной пластичности два главных напряжения должны быть непременно равны друг другу, а третье отличаться от них на удвоенное критическое значение 2к. Таким образом, для пространственной задачи пластичности имеют место два соотношения между главными напряжениями, подобно гипотезе полной пластичности Хаара и Кармана. Этим предлагаемая теория отличается от теорий Леви и Мизеса, в которых принимается единственное соотношение». Таким образом, А. Ю. Ишлинский отказался от «неассоциированного» определяющего закона Леви и дал корректное обобщение теории течения Сен-Венана на трехмерный случай. Пространственные соотношения Ишлинского полностью сохраняют свое значение в современной математической теории пластичности и их можно использовать при постановке и решении задач теории идеальной пластичности, поскольку они являются следствиями обобщенного ассоциированного закона течения в случае течения на ребре призмы Кулона-Треска.

Результаты А. Ю. Ишлинского предвосхитили более поздние исследования Д. Д. Ивлева, в которых было показано фундаментальное значение условия полной пластичности Хаара-Кармана для всей теории пластичности и был развит соответствующий вариант теории пластичности: сингулярное условие текучести (в частности, ребро призмы Кулона-Треска) и обобщенный ассоциированный закон пластического течения.

Ассоциированный закон течения однозначно определяет направление вектора, представляющего приращения пластических деформаций в пространстве главных напряжений, только в регулярных точках поверхности текучести. Если напряженное состояние соответствует ребру (угловой точке) или конической особенности на поверхности текучести, то необходимы дальнейшие предположения для вывода корректного определяющего закона. Обобщение ассоциированного закона на случай поверхности текучести с угловой точкой предложено Койтером (V.TКокег) в 1953 г. [81]. Это обобщние основано на следующем принципе суперпозиции: особые точки поверхности текучести представляются как пересечение конечного числа гладких поверхностей текучести, каждая из гладких поверхностей текучести дает аддитивный вклад (с соответствующим неопределенным множеством) в величину приращения пластической деформации.

Обобщенный ассоциированный закон течения, сформулированный на основе условия пластичности Треска, устанавливает, что пластические деформации появляются в результате сдвига (скольжения) на тех площадках, где касательные напряжения по абсолютной величине достигают предельно возможного значения, причем скольжение происходит в направлении действия максимального касательного напряжения так, что оно совершает положительную работу. 1.

В работах Д. Д. Ивлева было установлено, что при условии полной пластичности (т.е. когда напряженное состояние соответствует ребру призмы Треска) уравнения пространственно задачи теории идеальной пластичности являются статически определимыми и принадлежат к гиперболическому типу. Нормали к характеристическим поверхностным элементам уравнений статитики при этом образуют конус, касающийся площадок максимальных касательных напряжений, построенных в вершине конуса. Характеристическими будут также поверхностные элементы, нормали к которым ортогональны главной оси тензора напряжений, соответствующей наибольшему (наименьшему) главному напряжению. Кинематические уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности в случае, когда напряженное состояние соответствует ребру призмы Кулона-Треска, также гиперболичны и имеют точно такие же директоры характеристических поверхностных элементов, как и статические уравнения.

Было таким образом доказано, что именно условие полной пластичности и только оно позволяет сформулировать общую теорию идеальной пластичности с единым математическим аппаратом статически определимых уравнений гиперболического типа, соответствующим сдвиговой природе идеально пластического деформирования. Эта точка зрения разделяется далеко не всеми. Так, A.A. Вакуленко и JI.M. Качанов полагают, что доводы физического характера в пользу схемы полной пластичности «продиктованы скорее заманчивой простотой математического анализа, нежели существом вопроса». Тем не менее, они замечают, что решения, полученные по схеме полной пластичности, могут иметь несомненный интерес, полемизируя при этом с Р. Хиллом, критически оценившем условие полной пластичности Хаара-Кармана как «искусственное и нереальное условие текучести». Не вызывает возражений высказываемая ими мысль о том, что ценность того или иного решения пространственной задачи устанавливается возможностью либо построить согласованное кинематически допустимое поле, либо продолжить поле напряжений в жесткие зоны, не нарушая условия текучести. В противном > случае вопрос о значимости решения остается открытым. Ясно, что исключительную ценность представляют полные решения, когда удается построить согласованное кинематически допустимое поле и продолжить поле напряжений в жесткие зоны, не нарушая условия текучести. Таким образом неполные решения обладают лишь относительной ценностью, а полныеабсолютной. На практике, однако, чаще всего удается построить неполное поле напряжений (поле напряжений в пластической зоне) и возникает проблема его продолжения в жесткую зону так, что по большому счету неполные решения с теоретической точки зрения вообще никакой ценности не представляют. Однако их практическая ценность часто может быть очень высокой. Так, или иначе, но большинство прикладных задач решены по идеально пластической схеме не полно.

В дальнейшем Д. Д. Ивлевым была исследована пространственная задача при произвольном кусочно-линейном условии текучести и в результате показано, что как в пространственном, так и в осесимметричном случае на ребре кусочно-линейного условия пластичности являются гиперболическими и имеют характеристические элементы, совпадающие с площадками максимальных касательных напряжений.

Любопытно отметить, что как статические, так и кинематические уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности для граней призмы Кулона-Треска, соответствующих кинематически определимым режимам течения, также являются гиперболическимихарактеристические направления ориентированы так же, как и главные направления тензора напряжений, т. е. характеристики касаются главных направлений тензора напряжений.

Подобным же образом дело обстоит и в пространственной задаче: в случае грани произвольного кусочно-линейного условия текучести характеристические поверхности касаются главных направлений тензора напряжений.

В 1971 г. Д. Д. Ивлев и Г. И. Быковцев предприняли исследование общих, соотношений теории пластичности как идеального, так и упрочняющегося тела, как с учетом упругих деформаций, так и без их учета, на предметих классификации, определения характеристических поверхностей и поверхностей разрыва скоростей, скоростей деформаций и напряжений. Полученные ими результаты устанавливают, что дифференциальные уравнения теории устойчивого упрочняющегося упругопластического тела не имеют действительных характеристик, т. е. эллиптичныесли в качестве критерия текучести взят критерий отличный от критерия текучести Треска, то для большинства пространственных состояний дифференциальные уравнения теории идеально упругопластического тела эллиптичны.

В 1966 г. выходит в свет монография Д. Д. Ивлева «Теория идеальной пластичности» [51]. В этом сочинении были изложены новые результаты и принципы математической теории идеальной пластичности и, прежде всего, теория пространственной и обобщенной плоской задачи.

В механике упрочняющихся пластических тел Д. Д. Ивлев (совместно с Г. И. Быковцевым) последовательно развивал представления, основанные на трансляционном механизме упрочнения, предложенные ранее в исследованиях А. Ю. Ишлинского и В. Прагера [106, 107, 150−154]. Результаты их совместных исследований легли в основу классической монографии, которая по сути представляет собой каноническое изложение математической теории пластичности упрочняющегося тела в случае малых деформаций. В этой монографии имеется исчерпывающий анализ общих уравнений теории течения и свойств их решений, включая анализ сильных и слабых разрывов с помощью аппарата геометрических и кинематических условий совместности Адамара-Томаса [126, 160].

Исследования Д. Д. Ивлева в области математической теории пластичности подытожены в фундаментальной двухтомной монографии «Механика пластических сред» [62, 63].

За последние два десятилетия удалось существенно продвинуться в создании общей теории трехмерных уравнений математической теории пластичности с условием пластичности Треска и ассоциированным законом течения для напряженных состояний, соответствующих ребру поверхности текучести, и предложить общую схему интегрирования пространственных статических уравнений [82−84, 87−89]. Основой теории выступает ряд геометрических результатов по исследованию поля главных направлений тензора напряжений, характеризуемых наибольшим (или наименьшим) главным нормальным напряжением. Исследования в области пространственной задачи теории идеальной пластичности были подытожены в монографиях: Радаев Ю. Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2006. 340с.- Ивлев Д. Д., Максимова Л. А., Непершин Р. И., Радаев Ю. Н., Сенашов С. И., Шемякин Е. И. Предельное состояние деформируемых твердых тел и горных пород. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 832 с.

В первой из указанных монографий сделана попытка дать полное и систематическое изложение методов и результатов, связанных с исследованием трехмерных уравнений математической теории пластичности в изостатической координатной сетке, делая акцент на новых общих методах, которые обеспечивают решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела. Исходной точкой построения общей теории пространственных уравнений выступает одна замечательная инвариантная векторная форма пространственных уравнений, анализ которой позволяет сделать заключение о расслоении поля направлений, соответствующих наибольшему (наименьшему) главному нормальному напряжению. Затем рассматриваются уравнения обобщенного ассоциированного закона течения, основные кинематические соотношения для приращений перемещений, следующие из него, а также исследуется кинематика течения на поверхностях максимальной скорости сдвига. Показано, что скольжения на указанной поверхности (сильные разрывы приращений перемещений) могут происходить только вдоль асимптотических направлений, если поверхность максимальной скорости сдвига имеет отрицательную Гауссову кривизну. Поэтому сдвиговое пластическое течение вблизи поверхности максимальной скорости сдвига (отрицательной Гауссовой кривизны) реализуется как результат микроскольжений в асимптотических направлениях. Получены интегрируемые соотношения для разрывов касательных составляющих приращений перемещений вдоль асимптотических линий поверхности максимальной скорости сдвига. Интегралы уравнений равновесия для расслоенного поля напряжений вдоль изостатических траекторий выводятся преобразованием векторного уравнения равновесия к изостатической координатной сетке. Устанавливается возможность отделения одной из изостатических координат, поверхности уровня которой как раз и являются слоями поля направлений, соответствующих наибольшему (наименьшему) главному нормальному напряжению.

Значительное внимание уделяется исследованию трехмерных уравнений математической теории пластичности в триортогональных изостатических координатах. Основной интерес здесь представляют уравнения совместности приращений деформаций и пространственные соотношения Коши. Уравнения. совместности для приращения малых деформаций в триортогональной изостатической системе координат исследуются вместе с дополнительными соотношениями, связывающими физические компоненты тензора несовместности. Существенных уравнений совместности шесть. Для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Кулона-Треска, имеется лишь три независимых уравнения совместности, сформулированные в изостатической координатной сетке. Определены условия, достаточные для того, чтобы при выполнении трех независимых уравнений совместности удовлетворялись три оставшихся уравнения совместности. Показано, что нарушения сплошности на поверхности идеально пластического тела распространяются вглубь тела вдоль асимптотических линий на слоях векторного поля, указывающего направления наибольшего главного нормального напряжения. Поскольку асимптотические линии наименее искривлены по сравнению с любыми другими линиями на поверхности (в том смысле, что нормальная кривизна асимптотических линий равна нулю), то нарушения сплошности проникают вглубь идеально пластического тела по наименее искривленным траекториям. Именно в этом смысле можно вести речь о минимальном искривлении траекторий распространения трещин в твердых телах.

В работах Д. Друкера [139], В. Т. Койтера [81], Л. Д. Ландау [90], Е. Ли [147], В. Лоде [92], О. Мора [148], А. Надаи [103, 104, 149], В. Прагера, С. И. Ратнера [113], О. Ричмонда [158], Тейлора [159], В. К. Трусделла [127], М. Л. Уилкинса [128] были также получены фундаментальные для теории пластичности результаты, имеющие большой практический интерес.

Большое влияние на исследования в области математической теории пластичности оказали работы Б. Д. Аннина [1, 2], A.A. Буренина [9, 10], Г. И. Быковцева [11−15], Н. Д. Вервейко [16−29], В. Г. Зубчанинова, A.A. Ильюшина [66−72], А. Ю. Ишлинского [73−76], Д. Д. Ивлева [3, 8, 38−65], Л. М. Качанова [7717.

80], В .А. Кукуджанова [85, 86], Л. А. Максимовой [93−95], В. П. Мясникова [97, 99], Ю. М. Мяснянкина [100−102], Л. В. Никитина, Ю. Н. Радаева [4, 5, 98, 108 112, 157], Т. Д. Семыкиной, В. В. Соколовского [121−124], Л. А. Толоконникова, Е. И. Шемякина, С. А. Христиановича [135, 136] и др.

Большой вклад в решение упругопластических задач устойчивости с неизвестной заранее границей раздела упругого и пластического поведения материала внесли А. Н. Спорыхин, А. И. Шашкин, A.B. Ковалев, Д. В. Гоцев.

Диссертация посвящена разработке и реализации метода аппроксимации «^выпуклого пространственного условия пластичности, а также построению математической модели трехмерного пластического течения связного сыпучего материала, в основе которой лежит замкнутая система уравнений.

Проведенная в диссертации линеаризация отличается от линеаризации предложенной Д. Д. Ивлевым, который использует классическую замену нелинейного условия пластичности его линейным приближением.

В диссертации предлагается аппроксимировать замкнутое условие пластичности [140], представляющее собой эллипсоид в пространстве главных напряжений, семейством касательных плоскостей. Для аппроксимации каждой точки эллипсоида выбираются несколько касательных плоскостей, пересекающихся в точке, отстоящей на расстоянии е по нормали к поверхности эллипсоида и образующих невырожденный угол при вершине пирамиды. После построения линейно независимых касательных плоскостей общее число уравнений системы, описывающей пространственное напряженное состояние, совпадает с числом неизвестных.

Цели и задачи исследования. Целью проведённой работы является: разработка замкнутой математической модели расчета напряженного статически определимого состояния пластического связного сыпучего материала. Поставленная цель достигается посредством:

— преобразования условия пластичности, представляющего собой эллипсоид, в сферу в пространстве главных напряжений;

— получения уравнений касательных плоскостей для пространственного условия пластичности;

— построения замкнутой системы уравнений для пространственного напряженного состояния механики связных сыпучих сред;

— решения конкретных задач теории связных сыпучих материалов с использованием полученных результатов путем применения конечно-разностных схем для решения задач Коши с неизвестной границей в статически определимых задачах пластического деформирования связных сыпучих материалов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы аналитические точные методы исследования, численные методы конечных разностей, а также методы программирования на языке РуШоп.

Положения, выносимые на защиту:

1. Преобразование условия пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского, представляющего собой эллипсоид в пространстве главных напряжений, в сферу;

2. Построение уравнений семейства касательных плоскостей для аппроксимации пространственного условия пластичности;

3. Замкнутая система уравнений в напряжениях, описывающая пространственное напряженное состояние связных сыпучих материалов;

4. Разработка и апробация программы решения задач расчета напряженного пластического и упругопластического состояния сыпучих материалов.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты: условие пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского представлено в виде сферыпредложена линейная аппроксимация семейством плоскостей пространственного замкнутого условия пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского для связных сыпучих материаловпостроена замкнутая система уравнений в напряжениях пространственной задачи статики связных сыпучих материалов путем параметризации нелинейных пространственных статически неопределимых уравнений;

— разработан численный алгоритм, а также программа на языке Python, позволяющие рассчитывать плоское и пространственное пластическое и упругопластическое напряженное состояние для конкретных задач.

Достоверность.

Основные научные результаты обоснованы правильно построенной математической моделью, корректным применением математического аппарата теории уравнений в частных производных, теории конечно-разностных схем и использованием современных языков программирования. Достоверность проведенных исследований подтверждается также тем, что полученные результаты совпадают с классическими в случае предельного перехода от условия пластичности для связных сыпучих материалов к классическому условию идеальной пластичности.

Практическая значимость исследования.

Предложенная аппроксимация пространственного замкнутого условия пластичности семейством плоскостей может применяться для решения научных и практических задач пластического течения связных сыпучих материалов, например, на предприятиях горнодобывающей промышленности, порошковой металлургии, а также нефтеи газодобычи.

Предложенный в диссертации метод решения пространственных статически определимых задач механики связных сыпучих материалов может использоваться в учебном процессе при чтении курсов: механика грунтов, механика сыпучих сред, теория пластичности.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

Международная научно-методическая конференция «Информатика: проблемы, методология, технология». Воронеж, 2007.

Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Воронеж, 2009.

Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XXI» — «Современные методы теории краевых задач», посвященная 70-летию профессора Ю. В. Покорного. Воронеж, 2009.

Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула, 2009.

Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии на базе свободного программного обеспечения». Елец, 2010.

Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», посвященная 80-летию профессора Д. Д. Ивлева. Воронеж, 2010.

Публикации. По теме диссертации в рамках исследуемой темы опубликовано 6 научных работ, перечень которых приведён в конце автореферата. В том числе одна опубликована в журнале из списка перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка. Работа содержит 78 страниц машинописного текста, а также содержит и 13 рисунков.

Выводы по третьей главе.

Согласно проведенным расчетам, радиальные напряжения убывают по расстоянию, отсчитываемому от границы, где приложена нормальная распределенная нагрузка. Для упругопластического напряженного состояния пластическая зона увеличивается с увеличением давления в полости. Увеличение коэффициента трения качения структурных элементов сыпучей среды также приводит к увеличению радиуса упругопластической границы, что объясняется взаимосвязностью элементов структуры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Проведена линейная аппроксимация плоского замкнутого условия пластичности семейством касательных линий в пространстве главных напряжений. Получены условия эллиптичности, параболичности, гиперболичности системы в зависимости от вида напряженного состояния и физических параметров материала.

2. Проведено преобразование замкнутого пространственного условия пластичности, представляющего собой эллипс в пространстве главных напряжений, к сфере с целью упрощения построения касательных плоскостей в связи с постоянством модуля градиента к поверхности сферы.

3. Проведена линейная аппроксимация пространственного замкнутого условия пластичности семейством касательных плоскостей в пространстве главных напряжений, позволяющая выбрать необходимое количество касательных плоскостей, заменяющих единственное условие пластичности.

4. Построена замкнутая система уравнений для пространственного напряженного состояния механики связных сыпучих материалов, включающая три уравнения равновесия в частных производных и три конечных нелинейных уравнения пластического состояния материала.

5. Разработаны численный алгоритм, а также программа на языке Python расчета пластического и упругопластического напряженного состояния плоских и пространственных задач механики связных сыпучих сред. а) Численные расчеты пластического напряженного состояния сыпучих сред для случая цилиндрической и сферической симметрии показали, что радиальные напряжения убывают по расстоянию, отсчитываемому от границы, где приложена нормальная распределенная нагрузка. б) Для упругопластического напряженного состояния численные расчеты показали увеличение пластической зоны с увеличением давления в полости. Увеличение коэффициента трения качения структурных элементов сыпучей среды также приводит к увеличению радиуса упругопластической границы, что объясняется взаимосвязностью элементов структуры.