О формулах малышевского типа для метрических матричных задач

Метрические задачи — это раздел теории матриц, одновременно классический и продолжающий развиваться и приносить новые результаты, принадлежащий сразу и теоретической, и прикладной линейной алгебре. Вот несколько приметров, иллюстрирующих этот тезис.

Как известно, всякая квадратная комплексная матрица, А может быть представлена суммой.

А = В + Ю, (0.1) где В и С — эрмитовы матрицы, и произведением.

А = БЦ, (0.2) где 5 положительно (полу)определенная, а С/ —унитарная матрицы. Представление (0.1), называемое теплицевым (или эрмитовым) разложением матрицы А, всегда единственно, причем.

В = (А + А*), С = ±{А-А*).

Представление (0.2), называемое полярным разложением, единственно, если, А — невырожденная матрица, что для простоты и будет предполагаться ниже.

Теплицево и полярное разложения являются матричными аналогами соответственно алгебраической и показательной формы комплексного числа г, т. е представлений г = х + %у, г = ре{ф, (0.3) где х, у, р7ф? К и р > 0. Более того, ряд свойств матриц В, С, Б и С/ аналогичен свойствам вещественных параметров представлений (0.3). Так, непосредственно очевидному факту — х есть точка вещественной оси, ближайшая к г, — соответствует матричное соотношение.

А-В\Р=ппп\А-Н\Р. (0.4).

Другому геометрическому обстоятельству — число е1^ есть точка единичной окружности, ближайшая к z, — отвечает соотношение.

A-U\f= шшЦА-УЦ*. (0.5).

Равнства (0.4) и (0.5) относятся к матричной геометрии — красивому, но, возможно, не слишком прикладному разделу теории матриц. Примером гораздо более практичного метрического соотношения может служить знаменитая теорема Экарта—Янга:

Теорема 0.1. Пусть, А — комплексная га X п—матрица с сингулярными числами.

01 (А) > сг2(А) >. > as (A), s = min (m, n). (0.6).

Обозначим через M. r многообразие m x n—матриц ранга г. Тогда спектральное расстояние от, А до Мг, определяемое как.

P2(A, Mr)=Bu?JA-Bll2, (0.7) равно числу.

Пусть.

А = VEU* (0.8) есть сингулярное разложение п х п—матрицы А. В этом разложении U и V— унитарные матрицы, а.

Е = diag (<7i,., ап). (0.9).

Сингулярные числа сггв (0.9), как правило, предполагаются упорядоченными по убыванию (см. (0.6)). В таком случае матрица В, реализующая расстояние от, А до множества Adn-i, может быть вычислена по формуле.

В = A — crnvnu*n, (0.10) где г>&bdquoи ип— последние столбцы соответственно матриц V и IIиначе говоря, уп и ип суть левый и правый сингулярные векторы, ассоциированные с младшим сингулярным числом <тп.

Рассмотренные примеры относятся к классике теории матриц. В частности, теорема Экарта—Янга известна еще с 1930—х годов. Приведем теперь примеры (сравнительно) недавно найденных метрических матричных соотношений.

Пусть Сь~ непустое открытое подмножество комплексной плоскости, а Сд— его дополнение:

С = СдиСь. (0.11).

Матрица, А € Мп© называется устойчивой (по отношению к Сд), если ее спектр содержится в Сд. Радиусом устойчивости этой матрицы (по отношению к Сд) называется число г (А, Сд) — т?{||А||: А+А имеет хотя бы одно собственное значение в Сд}.

0.12).

Классическими примерами разбиения (0.11) являются случаи, когда Сд есть полуплоскость.

Р = {г е С: Кег < 0} (0.13) или единичный круг.

Сд = {ге С: г< 1}. (0.14).

Формулы для вычисления радиуса устойчивости известны с 1980;х годов[1−3]. Наиболее удобная из них имеет вид (норма в (0.12) предполагается спектральной) г (А, Сд)= пип ап{г1 -А). (0.15).

В частности, для случая Сд = Р (см. (0.13)) получаем г (А, Сд) = тп ап{ш1 — А). (0.16).

Если минимум в (0.16) достигается в точке и>* и.

7* = an (iu*I — А), то минимальное возмущение А, выводящее, А из зоны устойчивости, можно выбрать как матрицу ранга 1.

Д = -(T*vu*, где и и V— соответственно правый и левый сингулярные векторы матрицы гш*1 — А для сингулярного числа а*.

Пусть теперь, А — вещественная п X п—матрица, а Сд — множество, симметричное относительно вещественной оси. Тогда, наряду с (0.12), можно определить величину га (Л, Сд) = inf{||Д||: А е Мп® и, А + А имеет хотя бы одно собственное значение в Сд}, называемую вещественным радиусом устойчивости. В этом случае о числе (0.12) говорят как о комплексном радиусе устойчивости той же матрицы.

Формулы для вычисления вещественного радиуса устойчивости найдены в [4]. Приведем ту из них, которая по структуре ближе всего к формуле (0.15) (снова считаем, что в (0.17) взята спектральная норма): гп{А, Сд) = min шах <�т2п1(Р (7)), (0.18) zedCg 76(0,1] где z = х + гу, а Р (7) — следующая матрица порядка 2п:

Р (7) = Аxlnчу 1п ^.

7 1у1п, А — х1п.

Пусть минимакс в формуле (0.18) достигается при значениях параметров г = г* = х* + 1у*, 7 = 7*. Для этих значений положим <72п-1(Р (7*)). (0.19) 8.

Тогда минимальное вещественное возмущение А, выводящее, А из зоны устойчивости, можно построить как матрицу ранга 2.

А = -(т*(у1У2){и1и2)+. (0.20).

Здесь /.

Чл ЧН.

0.21) и и2 и.

V =.

И2/ суть специальным образом выбранные сингулярные векторы, соответственно правый и левый, для сингулярного числа а* матрицы Р (у*), а иъ их подвекторы размерности п.

Можно было бы привести немало новых метрических соотношений из текущей журнальной литературы (см., например, [5−7]). Однако мы ограничимся лишь одним результатом, послужившим стимулом для выполнения данной работы.

В [8] А. Н. Малышевым получена следующая формула для спектрального расстояния ГБер (-Л) от комплексной п X п—матрицы, А до ближайшей матрицы, имеющей кратное собственное значение: гзер (А) = тттах<72тг-1(^л (7)) — (О-22).

Здесь.

А — Х1п 71п 0 А — Х1п.

Пусть С — множество п х п—матриц с кратным собственным значением нуль. Основной элемент в выводе формулы (0.22) — это доказательство формулы для спектрального расстояния р2(А, С) от матрицы, А до множества ?:

РхЬ).

0.23) где р2(А, С) = шах/(7),.

7) = *2"-1(Л)(7)). 9.

0.24).

0.25).

Вкратце схема доказательства такова. Сравнительно просто доказывается неравенство т<�Р2(л, с) у7.

В точке 7*, где функция (0.25) достигает своего максимума <т*, исследуются свойства правых и левых сингулярных векторов матрицы Ро (т*)" отвечающих числу а*. Опираясь на свойства этих векторов, А. Н. Малышев строит матрицу, А со спектральной нормой <7*, для которой, А + А имеет кратное собственное значение нуль. Это построение различно для случаеву* = 0 и 7* > 0. Во всех случаях возмущение, А может быть выбрано как матрица ранга 1 или 2 и выражается формулами типа (0.10) или (0.20).

Содержание диссертации можно коротко охарактеризовать как развитие идей А. Н. Малышева в различных направлениях.

Первая глава диссертации посвящена важным деталям задачи Малышева, не покрываемым анализом, проведенным в [8], не рассмотренным в этом анализе или слишком сложно им объясняемым. В разделе 1.1 мы показываем, что матрица Л + А из [8] (т.е. матрица из С, ближайшая к А), как правило, недиагонализуема. Так заведомо будет, если 7* > 0, а также если 7* = 0 и стп (А) < сгп1 (А).

Ситуация.

7* = 0, ап (А) < ап-(А) возможна лишь при выполнении условия у*пип = 0, (0.26) где ип и уп суть правый и левый сингулярные векторы матрицы А, ассоциированные с <�тп (А) (см. [8, раздел 5.2]). В разделе 1.2 мы упрощаем вывод соотношения (0.26), пользуясь лишь стандартными фактами о производных сингулярных чиселв частности, в отличие от доказательства в [8], мы не опираемся на аналитичность этих чисел и соответствующих сингулярных векторов.

В разделе 1.3 мы проводим подробный анализ задачи Малышева для случая, когда, А — нормальная матрица. Главный результат этого раздела — формула, выражающая расстояние Р2(А, С) через модули двух младших собственных значений матрицы А:

Построение минимального возмущения Д в случае 7* > 0 требует предварительного вычисления специальной пары сингулярных векторов матрицы Рд (у*). Связанные с этим вычислительные проблемы обсуждаются в разделе 1.4.

Отметим, что изложение в первой главе диссертации основано на работах [9−11].

Вторая глава содержит основные результаты диссертации. Здесь мы доказываем формулу типа Малышева для спектрального расстояния от комплексной п х п—матрицы, А (п > 3) до множества М. матриц, имеющих собственное значение нуль кратности > 3.

Введем векторный параметр

0.27).

7 = (71″ 72″ 7з), 7ь 72,7з € С.

0.28) и положим д (7) — 0 А л1п.

0.29).

Определим функцию.

7) = *Зп-2(0(7)).

0.30).

Главный результат диссертации — формула р2{А, М) = т ах/(7). (0.31).

В обосновании формулы (0.31) мы следуем схеме доказательства формулы Малышева в [8]. При этом приходится преодолевать значительные технические сложности, связанные с переходом от одномерного вещественного параметра к трехмерному комплексному. В разделе 2.1 устанавливается неравенство.

Ш<�Рг (А, М) У76С3. (0.32).

В разделе 2.2 мы исследуем свойства сингулярных векторов матрицы Я{у). Некоторые из них имеют место для всех у, но наиболее важные для нас выполняются лишь в точке у* локального экстремума функции /(7). В разделе 2.3 мы конструируем возмущение Д, такое, что.

ЦА||2 = ^ = /(7#) = тах/(7) (0.33) и.

А + АеМ. (0.34) Это построение предполагает, что для точки максимума.

7* = М, 72.7З*) справедливо.

7172 > 0. (0.35).

Наличие точки экстремума, удовлетворяющей условию (0.35), мы называем основным вариантом. Таким образом, результатом раздела 2.3 является обоснование формулы типа Малышева в основном варианте.

В разделе 2.4 проведен подробный анализ случая нормальной матрицы А. Этот анализ показывает, что, за исключением ситуации сгп-2(А) = <7&bdquo-1(Л) = сгп (А)у 12 когда равенство (0.31) выполняется очевидным образом, точка экстремума функции /(7) обязана подчиняться соотношению (0.35). Это доказывает формулу типа Малышева для нормальной матрицы А.

В разделе 2.5 мы возвращаемся к исследованию общего случая и доказываем формулу (0.31) для &bdquo-плохих" матриц А, т. е. матриц, не подчиняющихся соотношению (0.35). В доказательстве используется непрерывность обеих частей формулы как функций от Л и плотность в Мп© множества &bdquo-хороших" матриц. Это завершает обоснование формулы типа Малышева.

В разделе 2.6 обсуждаются вычислительные аспекты, связанные с использованием формулы (0.31).

Отметим, что эта глава диссертации основана на работах [12−14].

В третьей главе диссертации мы исследуем вопрос о том, в какой мере идеи статьи [8] могут быть распространены на еще одну метрическую матричную задачу. Пусть Кй— множество комплексных п х п—матриц, имеющих пару собственных значений (Ло, —Ао), симметричную относительно нуля. Как найти спектральное расстояние от заданной п х п—матрицы, А до множества /Сд0?

Положим о, А + Ло/&bdquo— и.

7) = *2п-1"Ао (7)). (0.37).

В разделе 3.1 устанавливается неравенство.

1Ь)<�Р2{А, КХ0) У7>0. (0.38).

Свойства функции /(7) исследуются в разделе 3.2. Необходимые условия экстремума этой функции выводятся в разделе 3.3. В разделе 3.4 показано, что если экстремум достигается в точке 7* > 0, то имеет место равенство.

Р2(А, Ко) = /(7*) = (0.39).

При этом строится возмущение, А со спектральной нормой а* = /(7*)> такое, что.

А + Д е/сАо.

В разделе 3.5 проведен анализ случая нормальной матрицы А. Установлены условия для каждой из двух возможных ситуаций:

7* > 0 и 7* = 0.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации и представлен взгляд автора на их теоретическое и прикладное значение.

Заключение

.

Основным результатом диссертации является формула типа Малышева для спектрального расстояния от п х п—матрицы, А до множества М. матриц с собственным значением нуль кратности > 3. Обоснование этой формулы дано во второй главе, занимающей центральное место в данной диссертации.

Пусть Л/" — множество п хп—матриц, имеющих (какое-либо) собственное значение кратности > 3. Ясно, что.

МсЯ и.

Поэтому где и р2(А, М) = ттр2(А~Х1п, М).

ЛЕС.

Р2(А, ЛГ) = шшш^/аМ, (!).

А (7) = ^Зп-аШт)) А-XI 711п 7з 1п.

О, А — XI 72/".

О О АXI /.

Формула (1) аналогична формуле Малышева (0.22).

В [8, раздел 6] А. Н. Малышев описывает приложения, в которых для вещественной матрицы, А требуется найти ближайшую (в смысле спектральной нормы) вещественную же матрицу с кратным вещественным собственным значением. Одно из этих приложений связано с анализом явления флаттера [23]. Подобные ситуации решаются формулой (0.22), где минимизация пд всей комплексной плоскости заменяется минимизацией по г 93 вещественной оси R. Если повысить требования к кратности собственного значения, то то же самое можно сказать о формуле (1).

О другом возможном приложении формул типа Малышева уже говорилось в главе 3. Напомним, что ситуация, когда якобиан динамической системы вырожден в точке равновесия и имеет в своей жордановой форме клетку порядка 2 для нулевого собственного значения, называется точкой бифуркации Богданова-Такенса. В этих терминах ситуация, когда якобиан принадлежит множеству Л4 и с его нулевым собственным значением связана клетка порядка 3, соответствует бифуркации Богданова-Такенса порядка 3 (или тройной точке бифуркации) [21, раздел 5.1.1- 24]. Таким образом, формулы типа Малышева могут быть использованы для оценки расстояния от текущего состояния динамической системы до ближайшей точки бифуркации того или иного вида.

В заключение упомянем еще о двух примечательных результатах данной работы:

1. Для нормальной матрицы, А с собственными значениями Ai,., А&bdquo-, где |Ai| > |Аг| >. > |АП|, расстояние р2(А, С) равно lAn-il2 + lAn[2j½.

2. Матрица В? С, ближайшая к А, всегда недиагонализуема за возможным исключением случая ап (А) = crni (A).

Как видно из анализа, проведенного в главе 2, аналогичное свойство по отношению к множеству Л4 верно для плотного множества &bdquo-хороших" матриц.