Ударные волны в средах с дисперсией и диссипацией

В механике сплошных сред большую роль играют ударные волны [1−5]. Они обычно моделируются поверхностями разрыва величин, характеризующих среду, на которых выставляются условия, следующие из «законов сохранения» и из условия неубывания энтропии. Образование ударных волн связано с влиянием нелинейности, приводящей к «опрокидыванию» распространяющихся волн (или «градиентной катастрофе» [5]). Однако обращению градиентов в бесконечность препятствуют различные более мелкомасштабные процессы и, в частности, процессы, связанные с диссипацией. В результате взаимодействия (противоборства) нелинейности и мелкомасштабных явлений возникает узкая переходная зона, называемая структурой ударной волны.

Важность изучения структуры разрывов связана с тем, что не все разрывы, удовлетворяющие законам сохранения и условию неубывания энтропии могут реально осуществляться. Кроме того, могут существовать разрывы, на которых естественным образом возникают дополнительные (не связанные с законами сохранения) граничные условия (известный пример — фронт горения). Одно из наиболее жестких требований, которые предъявляются к разрывам.

— требование существования решения, описыващего структуру разрыва. Такие разрывы называют допустимыми [6]. Как показано в [7] множество допустимых разрывов может зависеть от процессов, происходящих в структуре. Это известно также из теории горения и детонации в газах [8, 9, 10, 11].

В связи с современным развитием и все более широким использованием материалов с нелинейными свойствами и сложным внутренним строением (таких, например, как композитные материалы), которое приводит к дисперсии волн, а также в связи с изучением поверхностных волн и волн в различных технических устройствах и конструкциях возникает потребность в изучении распространения нелинейных волн при наличии дисперсии [12, 13, 14, 15]. Поэтому наряду с диссипативными процессами дисперсия также должна учитываться при изучении структуры разрывов.

Исходным пунктом, определившем тему диссертации явилась работа [16], в которой на примере модельного уравнения было показано, что наличие дисперсии, проявляющееся в структуре разрывов, может приводить к тому, что множество допустимых разрывов приобретает сложное дисперсное строение, зависящее от соотношения между дисперсией и диссипацией в структуре.

Целью диссертации является исследование конкретных задач механики и физики, обладающих подобным множеством допустимых разрывов. При этом, наряду с результатами, относящимися к поведению ударных волн в конкретных средах, может представить интерес также демонстрация распространенности изучаемого явления.

В диссертации изучено распространение продольных волн в стержнях [17], распространение квазипоперечных волн в композите [18] и распространение нелинейных электромагнитных волн в магнетиках [19, 20, 21].

В рассмотренных случаях явления крупного масштаба описываются нелинейными гиперболическими уравнениями, выражающими законы сохранения. Это делает необходимым введение разрывов, на которых должны выполняться соотношения, следующие из интегральной записи упомянутых уравнений крупного масштаба [1, 4, 22]. При заданном состоянии перед разрывом, изучается множество состояний за всеми возможными разрывами, удовлетворяющими этим соотношениям (ударная адиабата).

Наряду с уравнениями крупномасштабных явлений существуют более полные, детальные уравнения, которые кроме явлений крупного масштаба описывают также и явления мелкого масштаба. Эти уравнения используются для описания процессов, происходящих в узких зонах, которые с точки зрения крупного масштаба заменяются разрывами. Допустимыми, как обычно, считаются те разрывы, которым соответствует одномерное непрерывное решение типа бегущей волны упомянутых более полных уравнений [6].

— решение задачи о структуре разрыва 1. При фиксированном состоянии перед разрывом множество состояний за допустимыми разрывами представляет только часть ударной адиабаты (допустимая часть ударной адиабаты), которая, вообще говоря, может зависеть от процессов происходящих в структуре волны, то есть от членов исходных уравнений, отбрасываемых при переходе к упрощенным уравнениям крупного масштаба. В основных рассмотренных ранее классических моделях, используемых в газовой динамике [23], магнитной гидродинамике [24], теории упругости [25], теории детонации и горения [8, 9, 10, 11], допустимая часть ударной адиабаты имеет более или менее простое строение.

В рассмотренных в диссертации примерах существенным обстоятельством является присутствие достаточно большой дисперсии, такой, что интегральная кривая, описывающая структуру разрыва совершает хотя бы несколько колебаний. При существовании трех или большего числа точек на ударной адиабате, соответствующих одному и тому же значению скорости разрыва из некоторого интервала, наличие дисперсии приводит к тому, что допустимая часть ударной адиабаты имеет сложное строение. На некоторых априори эволюционных интервалах ударной адиабаты выделяются отдельные короткие отрезки, т. е. эти интервалы превращаются хДля осуществимости допустимых разрывов необходимым условием является устойчивость решений, представляющих структуру. Исследование устойчивости таких решений представляет отдельную и достаточно сложную задачу, которая в диссертации не рассматривается. Не рассматриваются также фронты с неодномерными и нестационарными структурами. в штриховую линию, а на одном из априори неэволюционных интервалов появляется множество отдельных точек, см. например рис. 1, 4, 8 (допустимые разрывы соответствуют отдельным точкам и точкам, принадлежащим штрихам). Расположение штрихов и точек, длина штрихов и их число определяются процессами внутри структуры. Чем более дисперсия превалирует над диссипацией внутри структуры разрыва, тем больше отдельных отрезков и точек содержит допустимая часть ударной адиабаты. При стремлении относительной роли диссипации (по отношению к дисперсии) к нулю, число штрихов и точек стремится к бесконечности.

Заметим, что достаточно большая дисперсия и наличие трех точек на ударной адиабате, соответствующих заданной скорости разрыва, представляют один из случаев общего положения в механике сплошной среды. Прежде всего это относится к требованию существования трех точек, соответствующих заданной скорости разрыва, которое эквивалентно наличию хотя бы двух точек Жуге Ш = с+ на связной части ударной адиабаты, поскольку в этих точках IV достигает экстремальных значений [25, 26, 27].

Естественно модель крупномасштабных явлений (упрощенную гиперболическую систему дифференциальных уравнений, выражающую законы сохранения, и связанные с ними соотношения на разрывах) дополнить требованием, чтобы разрывы принадлежали множеству допустимых разрывов. Однако, в рассмотренных в диссертации примерах выясняется, что так определенная модель дает неединственное решение стандартных автомодельных задач, таких как задача о распаде произвольного разрыва.

Можно предположить, что реализация того или иного автомодельного решения зависит от деталей, исчезающих в автомодельной постановке задачи, поскольку для более полной системы уравнений, обеспечивающей непрерывность решений, можно ожидать единственности решений. Это означает, что для получения единственных решений необходима более глубокая детализация постановок нестационарных задач, чем это имеет место в определенной выше модели крупного масштаба.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

Выводы.

В диссертации получены следующие результаты.

1. Изучено распространение продольных волн в стержнях круглого сечения с учетом дисперсии и диссипации, при нелинейности специального вида (график суммарного давления в поперечном сечении стержня Р (е) имеет вид изображенный на рис. 1). a) Показано, что множество допустимых разрывов в этом случае имеет сложное строение: состоит из множества коротких интервалов (на априори эволюционных частях ударной адиабаты) и множества отдельных точек (на априори неэволюционном участке). b) Продемонстрирована неединственность решения автомодельных задач в крупномасштабном приближении при достаточно большом отношении параметра дисперсии к параметру диссипации (3/?1.

2. Изучена структура квазипоперечных ударных волн малой амплитуды в слабоанизотропной упругой среде с внутренней структурой (композите), при предположении, что справедливо уравнение (2.3). При описании структуры учитывается дисперсия и диссипация. Качественно исследовано множество допустимых разрывов. a) При аэ > 0 значительная часть ударной адиабаты состоит из множества коротких отрезков и отдельных точек (см. рис. 4 а), число которых стремится к бесконечности при стремлении вязкости к нулю. b) При аэ < 0 один из априори эволюционных интервалов ударной адиабаты состоит из большого числа коротких отрезков, а на априори неэволюционном интервале появляется одна точка, соответствующая определенному значению скорости разрыва (см. рис. 4 б).

3. Исследованы волны Римана в анизотропном ферромагнетике и в нелинейной упругой среде. a) Использована аналогия между электромагнитными волнами и нелинейными волнами в несжимаемой упругой среде. Полное совпадение вида упругого потенциала для одномерных волн слабоанизотропной слабонелинейной среды с магнитной энергией анизотропного ферромагнетика при малых тангенциальных компонентах магнитного поля Ва позволяет воспользоваться для ферромагнетика результатами полученными ранее для упругой среды. b) Решения системы, описывающей распространение волн Римана в анизотропном магнетике типа «легкая ось», исследованы численно при большом наборе параметров. Исследовано условие опрокидывания волн.

4. Изучены электромагнитные ударные волны в анизотропном ферромагнетике. Описана структура электромагнитных ударных волн с использованием уравнения Ландау-Лифшица. Требование существования структуры выделяет на некоторых априорно эволюционных отрезках ударной адиабаты множество коротких отрезков, и множество отдельных точек на априорно неэволюционных отрезках. a) Проведено качественное исследование структуры ударных волн и множества допустимых разрывов при малых углах между магнитным полем и нормалью к фронту волны. b) Численное исследование электромагнитных ударных волн и их структуры проведено для ферромагнетика с анизотропией типа оси легкого намагничивания. Для анизотропии такого вида получены ударная адиабата, условия эволюцион-ности, условие неубывания энтропии. Найдены конкретные примеры отдельных точек на априорно неэволюционном отрезке ударной адиабаты, каждая из которых соответствует разрыву с выделенной скоростью.

Продемонстрирована неединственность решений автомодельных задач за счет существования большого количества отдельных точек при достаточно большом отношении параметра дисперсии к параметру диссипации 7/А.

Таким образом, в диссертации рассмотрены задачи из разных областей физики, обладающие общими чертами: a) при описании структуры разрывов важна дисперсияb) на ударной адиабате существуют тройки точек, соответствующих одной и той же скорости разрыва.

Эти особенности, как видно из рассмотренных примеров, могут приводить к сложному строению допустимой части ударной адиабаты и множественности решений автомодельных задач для упрощенных уравнений.

Наконец, можно перечислить некоторые проблемы не затронутые в диссертации, но тесно с ней связанные. Во-первых, это вопрос об устойчивости решений, представляющих структуры разрывов. Во-вторых, исследование возможности существования неодномерных нестационарных решений, представляющих структуры разрывов.

В-третьих, проблема нахождения в случае неединственности возможно более общих условий, когда заранее можно предсказать тип возникающего крупномасштабного решения1. Эти проблемы представляют особый интерес в связи с продемонстрированной в диссертации распространенностью сложного поведения разрывов решений, описывающих явления в сплошных средах.

Например, для упругих сред (с вязкой регуляризацией) в результате численных экспериментов была сформулирована гипотеза о типе решения, возникающего после столкновения ударных волн [66, 67], когда формальное построение решения приводит к неединственности.