Некоторые свойства плюригармонических и плюрисубгармонических функций

I. Установить количественную меру плюрисубгармоничности плюрисубгармонических функций. Пусть г".

Н)"•"*>^к У М-1 есть форма Леви, заданная на пространстве дважды непрерывно дифференцируемых функций в области.

QcC Для плюрисубгармонических функций «U м=*1.

Под количественной мерой плюрисубгармоничности плюрисубгармонических функций класса.

С CQ) мы будем понимать сушест вование такого линейного дифференциального оператора 2-го порядка Р, что для всех плюрисубгармонических функций Ц класса L С^/.

2) Н хотя бы для одной плгорисубгармонической дважды непрерывно дифференцируемой в пространстве (СП функции 1А.

Аналогичную задачу ставим для произвольных плюрисубгармонических функций.

2. Кайти объемный критерий плюрисубгармоничности функций.

Для локально суммируемой в (С функции тл обозначим через SjOw)" С^) ' соответственно среднее по сфере и среднее по шару & (%Ъ).

Известно (см., например, Брело [6]), что полунепрерывная сверху в области С^ функция 1Аф — субгармонична тогда и только тогда, когда для всех достаточно малых £>о В^Ы, н ё Q.

Ставится задача о нахождении аналогичного критерия для плюрисубгармонических функций.

3. Определить условия плгаригармоничности суммы потенциалов двойного и простого слоев.

Задачи поставлены автором данной работы самостоятельно, каких либо упоминаний о них в математической литературе не обнаружено.

В диссертации используются методы теории потенциала, многомерного комплексного анализа. Все полученные результаты являются новыми. Перечислим наиболее важные из них.

1). Установлена количественная мера плюрисубгармоничности пшорисубгармонических функций.

2). Получены необходимые и достаточные условия, связывающие между собой плюригармонические, гармонические и кратногармонические функции.

3). С помощью верхнего и нижнего операторов Привалова дан критерий плюригармоничности непрерывной функции.

4). Даны объемные критерии плюригармоничности и плюрисубгармоничности функций. Как следствия их приведены два критерия плюригармоничности гармонической функции.

5). Установлены оценки формы Леви от гармонической функции.

6). Найдены условия плюригармоничности суммы потенциалов двойного и простого слоев.

7). Показано, что сумма потенциалов двойного и простого слоев при некоторых ограничениях на область есть оператор плюригармонического продолжения.

По мере получения результаты диссертации обсуждались на семинаре по теории функций многих комплексных переменных при МОПИ им. Н. К. Крупской, на семинаре профессора Долженко Е. П. (МГУ им. Ломоносова). Были сделаны доклады на Всесоюзном симпозиуме по теории аппроксимаций функций в комплексной области (Уфа, 1980г), в Школе молодых ученых Сибири и Дальнего Востока при Институте математики СО АН СССР (Новосибирск, 1983 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах Ц45].

— № ¦

Диссертация состоит из введения, 3-х глав. Главы разбиты на II параграфов. Все параграфы имеют двойной номер, из них первый показывает принадлежность параграфа к главе, а второй — порядок встречи его в основном тексте. Теоремы имеют точно такую же ну.

1. Ронкин JI.И.

Введение

в теорию целых функций многих переменных. — М.: Наука, 1971. — 430 с.

2. RucUr* St/4 Function Theo^ Cn the Unit Batt o| Cr New Yo^k — SpKn^er, 1980.

3. Тиман А. Ф., Трофимов B.H.

Введение

в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968. — 208 с.

4. Привалов И. И. Субгармонические функции. М.- Л.: Гостехиздат, 1937. — 200 с.

5. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964. — 212 с.

6. Курант Р. Уравнения с частными производными. -М.: Мир, 1964.

7. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. -М.: Наука, 1966. 516 с.

8. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ, ч. II. М.: Наука, 1976. — 400 с.

9. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. — 392 с.

10. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. -М.: Мир, 1980. 304 с.

11. Стейн И., Вейс Г.

Введение

в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. — 336 с.

12. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

13. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. -М.: Наука, 1964. 411 с.

14. Айзенберг Л. А., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. — 368 с.

15. Mo^ow I." Ross"C H. Some theoterosraiccty cornp&x spaces,-X Math. Soc. Japan, 1975, v. 27, Ns2, p. U7- U5.

16. КоЛко. M • On a conjecture o| hunt and Mщч a^ con-Cef-nCucj cf f^wM'sul hex fm once «functi'ohS.-Proceed-Cn^S ef the Amer. Math. Soc., 1979, v. >3, N i, P- 30-ЗЧ.

17. Wt X Anai^ttC |anctv.ons Cn^wantuTn ihecnij, An tntrociuctCO". In ' Cowpk* Ana? App?. Led. Int Semen. Cotuse, TNesie, 21 May—8 Aug. 19?5, V.3 ,-Vienna, 1976, p. 181−192.

18. DtecWich K.3 Fornaess J. E. Pseudotonv^.* Domains: unAtJL Shitty Qfmonic. ExhaustsFunctions, InV4niione& math., 197?, N39, p. 128−141.

19. В>есЦо1-А E, Bumis Domains (c)J E^Cstence {ofPtu~KbutharmonCc Functions Math. Ann., 19 7 8, N158, p. 67−69.

20. Fot-naess У. E. Р? ичСыД harmonCg ole|uung-functions.- Расфс J. of Matb., p.381—588.

21. Ьео1|огсИ E. Extf-emaf! p? ufvsuj>ЬамтопОс FunctionsotCet-tcu'n Domains in (С2″. Ihdiana Uncv. Mtxtb.1. i9?8,v.!l8,N4, p. 613−626.

22. Садуллаев А. Плюрисубгармонические меры и емкости на комплексных многообразиях. УМН, 1981, т. 36, вып. 4 / 220 /, с. 53 105.

23. Borche. f'S Н.т. The genet-afrzecl three a>cie anot other convexity. theorems wctb app&catCon to the construction of env^Cope.s o| hoforoc^ph^-Ann. Inst. He-nK PoOncare Section A., 1977, V. X^Vl^Nl, p. 3~ GO.

24. U. Relations &etwe^n fern ovasuigu? a-Ktij^etg, pfurt sut>h (Umom'c functions and p osctc V€, с Posed (1Д) currents. — ARCH — MATH ., 1978, v.30, p.

25. U. RemovaWe scngu? cmfcces p&ncsuliho^moni'c functions <^nol t^e^ateol pto6fems. — Ptoc. London Math. Soc, 4Э78, p. 310−356.Hunt L.R., Mm nay. J. p&AKsuihaMwom'c. functions and gene^czec* DcKch (?et Pfo^Pem .-Hick. Math. X, i 379, v. 25, P. 2.99−316.

26. MofJ E. Envelopes continuous pturCsuiharmonic Functions. Math. Ann., mD, N?25i, p. l75-m.

27. Уэрмер Д. Теория потенциала. -М.: Мир, 1980. 136 с. 32. 5еЛ|оГЛ Е. The D-Kch?et frofe^m |or some ovefjet-armcneJ on the unit ЬМ ЫJ. Math., 19?4vV.5l, NH, p, 312−33?.

28. E, F^^et^usKP. Р&лкЬатоПСсvalues, — tUoku 76−81.

29. Белошапка В. К. Функции, плюригармонические на многообразиях.-Изв. АН СССР, 1978, т. 42, 3, с. 475 483.

30. Айзенберг Л. А., Даутов Ш. А. Голоморфные функции многих комплексных переменных с неотрицательной действительной частью. Следы голоморфной и шюригармоничеекой функций на границе Шилова. Мат. сб., 1976, т. 99 / 141 /, 3, с. 342 — 355.

31. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 1971. — 232 с.

32. Рудин У. Теория функций в поликруге. М.: Мир, 1974. —, 160 с.

33. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. — 344 с.

34. Брело М. 0 топологиях и границах в теории потенциала. М.: Мир, 1974. — 224 с.

35. Гусман М. Дифференцирование интегралов. -М.: Мир, 1978.

36. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. — 396 с.

37. Kisebman О. ТЬе Pat-tiafc olte Transform AttDn |oh p^uMsabhaMnontc Functions,-Inventories >i.

38. Хёрмандер Л.

Введение

в теорию функций нескольких переменных.- М.: Мир, 1968. 280 с.

39. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных." - М.: Высшая школа, 1977. 432 с.

40. Прудников В. Я. Некоторые замечания к одной теореме У.Рудина.- В кн.: Математический анализ и теория функций, межвуз. сб. науч. тр. / Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской. М.: МОПИ, 1980, — с. 96 — 97.

41. Прудников В. Я. Некоторые свойства плюрисубгармонических и плю-ригармонических функций. В кн.: Всесоюзный симпозиум по теории аппроксимаций функций в комплексной области: Тез. докл., Уфа, 1980, с. НО — III.

42. Прудников В. Я. 0 плюригармоническом продолжении гладких функций. М., 1981. — 9 с. — Рукопись представлена МОПИ им. Н. К. Крупской. Деп. в ВИНИТИ 22 фев. 1982, № 814 — 82.

43. Прудников В. Я. Обобщенный параметр Привалова и плюрисубгармони-ческие функции. М., 1981. — 21 с. — Рукопись представлена МОПИ им. Н. К. Крупской. Деп. в ВИНИТИ 22 фев. 1982, № 815 — 82.Ф.