Вариационная задача Дирихле для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе ограниченной области

Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе ограниченной области п-мерного евклидова пространства Яп и изучению дифференциальных свойств ее решений.

Исследование разрешимости краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений является одним из бурно развивающихся областей теории дифференциальных уравнений. Как отмечено авторами многих обзорных работ, существуют многообразные способы вырождения, которые требуют применение соответствующих разных методов и в настоящее время не существует единой теории, которая охватывала бы всех результатов этого направления.

Применяемый нами метод основан на элементах теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т. д.). Первый результат типа теорем вложения для весовых пространств функций многих переменных был получен в 1938 г. в работе В. И. Кондрашова [26]. Систематическое изучение весовых пространств с весом, равным расстоянию до границы области в положительной степени, а так же их приложения к решению краевых задач для вырождающихся на границе ограниченной области эллиптических дифференциальных уравнений, впервые было проведено в монографии Л. Д. Кудрявцева [27]. Обзор работ и подробная библиография по весовым функциональным пространствам содержатся в монографиях С. М. Никольского [46], Х. Трибеля [52, 53] и статьях О. В. Бесова, Л. Д. Кудрявцева, П. И. Лизоркина, С. М. Никольского [6], Л. Д. Кудрявцева, С. М. Никольского [31].

Достаточно полный обзор полученных результатов в теории краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнении содержится в работах В. П. Глушко, Ю. Б. Савченко [17], С. З. Левендорского, Б. П. Панеях [33], С. М. Никольского, П. И. Лизоркина, Н. В. Мирошина [47], О. А. Олейника, ЕВ. Радкевича [48], М. М. Смирнова [49], С. А. Терсенова [51],.

Х.Трибеля [52] и С. В. Успенского, Г. В. Демиденко, В. Г. Перепелкина [54]. Наши исследования в основном примыкают к исследованиям, проведенным в работах Б. Л. Байдельдинова [1, 2], К. Х. Бойматова [7] - [12], К. Х. Бойматова, С. А. Исхокова [13, 14], А. А. Вашарина [15], А. А. Вашарина, П. И. Лизоркина [16], С. А. Исхокова [18] - [23], С. А. Исхокова, Г. И. Тарасовой [25], С. А. Исхокова, Г. И. Сивцевой [24], Л. Д. Кудрявцева [27] - [30], П. И. Лизоркина [34], П. И. Лизоркина, С. М. Никольского [36, 37], П. И. Лизоркина, Н. В. Мирошина [35], Н. В. Мирошина [44] - [42].

В указанных выше работах, в которых рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения в ограниченной области п-мерного евклидова пространства, коэффициенты дифференциальных операторов имели форму произведения ограниченной функции и степени расстояния до границы области. В отличие от этого, в настоящей диссертационной работе, мы предполагаем, что младшие коэффициенты принадлежат некоторым весовым Ьр — пространствам. Предварительно доказаны теоремы вложения разных метрик для соответствующих весовых пространств дифференцируемых функций многих переменных и установлены некоторые оценки для норм произведения элементов из этих пространств.

Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из настоящего введения, трех глав и списка литературы. Используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий и формул, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий — на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формул в данном параграфе.

Везде в диссертации Г2 — ограниченная области в Я71, граница которой является замкнутым п — 1-мерным многообразием дО, — р (х) — регуляри-зованное расстояние точки х 6 ^ до <ЭПг — натуральное, а, р — вещественные числа, причем 1 < р < +оок = • • •, кп) — мультииндекс, |/г| = к + + • • • + кп — длина мультииндекса к и ищх) = дЩ<�х).

Символом Сд°(Г2) обозначен класс бесконечно дифференцируемых финитных в функций. Если В — некоторое нормированное пространство, о содержащее Со°(Г2), то через В обозначено замыкание множества Со°(Г2) в норме пространства В. Как обычно символом обозначен класс функций О. В. Бесова, заданные на (определение Вр (д¹) см., например, в [4] или [52]).

Если В, Вч — нормированные пространства с нормами Н^ВхН, 11 — 11 соответственно, то запись —> Вч означает, что все элементы пространства можно рассматривать как элементы пространства Вч и, кроме того ||гг-.Е?2|| < Для любого и € В с положительной константой.

С, не зависящей от и.

Первая глава диссертационной работы, состоящая из трех параграфов, посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями.

Символом Ур]а (?1) обозначим пространство всех измеримых в Г2 функций и (х), имеющих все обобщенные в смысле С. Л. Соболева производные и (кх) (|&| < г) с конечной нормой.

Щ У? а{Щ = {||" — Ь^атр + \Щ Ьр-а-г (П)Г}1/р, (0.0.1).

Основные свойства пространства Т^!а (Г2) изучены С. М. Никольским, П. И. Лизоркиным и Н. В. Мирошиным в работах [36, 37, 47]. Из результатов этих работ, в частности, следует следующий результат.

Теорема 0.1. 1) Для любого натурального числа г и вещественных чисел а, р, причем 1 < р < оомножество бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями в П плотно в пространстве.

В первом параграфе первой главы сначала доказывается теорема об эквивалентной нормировке пространства (теорема 0.2), а затем доказана теорема вложения разных метрик для этого пространства (теогде.

1 /Р рема 0.3).

Теорема 0.2. Норма (0.0.1) пространства (?2) эквивалентна следующей норме 1.

Теорема 0.3 Пусть г — натуральное число и целое число б Е [0, г] Тогда при выполнении следующих условий п т. е.

1 < р < д < оо, в—-1— > О,.

Р Я. п те, а — в ——< р д имеет место влоэюеиие.

Заметим, что результат, сформулированный в теореме 0.2, ранее был известен (см., например, теорему 1.2.6 работы [47], которую сформулирована без доказательства). Его подробное доказательство приведено в диссертации, с целью выделения основных моментов доказательства теоремы 0.3.

Во втором параграфе первой главы доказываются некоторые неравенства для норм произведения производных двух функций, каждая из которых принадлежит пространству типа Основными результатами этого параграфа являются следующие две теоремы.

Теорема 0.4. Пусть а, ?3, р, двещественные числа, р > 1, д > 1- 7',? — натуральные числа, и мультииндексы /с, I такие, что |/с| < г, 1 < I. Для мультииндексов к и I определяем число с помощью равенства I + I если р (г-к) < те, д (г — |/|) < п, е, если р (т — |А-|) < п, — |/|) > те, ^ + е, если р[т — |/с|) > п, — |г|) < п, если р (г — к) > те, — |/|) > те, где е — достаточно малое положительное число.

Тогда для всех и G Vp. a (Q,), v G V*.p (CI) имеет место неравенство где.

ТЬ Т1 ть.

7ы = &/3 — г — t + к + 1-{—-1———.

V Q *kl.

Теорема 0.5. Пусть г — натуральное число, |/г|, |/| < г и + |Z| = 2 г — 1. Тогда для всех u, v Е справедливо неравенство где число Mq не зависит от и, v, а числа Ло, 7о определяются равенствами (1 — -, если п > 2,.

1 I 71' '.

Л° [ + е, если 1 < п < 2,.

7о = 2а — 1 + п — .

В третьем параграфе первой главы исследуется разрешимость вариационной задачи Дирихле для следующего дифференциального уравнения.

Lu)(aO =? (-1)'" (ЫФ^Чх))^ = /(*) (ж G О). (0.0.2) fc|,|*|.

Заметим, что функция и (х) называется обобщенным решением уравнения (0.0.2), если она удовлетворяет равенство.

У^ / aki (x)uW (x)vW (x)dx = / f{x)v{x)dx для всех v G Cg°(ii). Поэтому вопрос о существовании обобщенных решений уравнения (0.0.2) связан со следующей билинейной формой.

W (x)vW (x)dx. (0.0.3) к, Щ<�гп.

Задача Dq. Для заданного антилинейного функционала F, определенного на У2га (П), требуется найти решение U{x) уравнения.

B[U, v] = (F, v) (Vt7 G С0°°(П)), (0.0.4) принадлежащее пространству а (Г2).

Здесь и далее символом (.Р, у) обозначено значение функционала Р на функцию V.

Далее символом обозначим пространство ограниченных антилинейных функционалов, определенных на Цга (Г2).

Основным результатом третьего параграфа первой главы является следующая.

Теорема 0.6. Пусть коэффициенты а^х) |/| < г, х Е. О) билинейной формы (0.0.3) удовлетворяют следующим условиям:

I) если = 1 = г, то аы{х) < Мр2а (х) (х € О) — то.

II) если 1<г и к + 1<2г-1, где 2 г — |/с|.

Ры = < 1.

2+ п п г — к.

2 + п если 2(г — |fc|) < п, 2(г — |/|) < п, е, если 2(г — |fc|) < п, 2(г — |Z|) > п, е, если 2(г — к) > п, 2(г — [?|) < п,.

1-е, если 2 (г — |fc|) > п, 2 (г — |i|) > п, а е — достаточно малое положительное числоIII) существует число аео > 0 такое, что.

ReB[uM>^W, Vla (p,)\ для всех и € Cg°(Q).

Тогда для любого заданного функционала Р? (V{задача Do имеет единственное решение U (x) и при этом имеет место следующая оценка t/-T/2yO)|| U не зависит от F.

Пусть г — натуральное число, р, а — вещественные числа и р > 1. Символом Wp обозначим пространство всех функций и{х) (х? fi) имеющих все обобщенные в смысле С. Л. Соболева производные порядка г со следующей нормой = (Е / + / КгОР'^} • (0−0.5) и^ о, а) о.

Символом Иг гр обозначим замыкание множества Со°(0) по норме о.

0.0.5). Свойства пространств И^ ^О), У хорошо изучены в монографии С. М. Никольского [46] (см. также обзорную работу [47]). В частности, из некоторых результатов работы [47] следует следующая теорема о более подробно о свойствах пространств V/ рассказано в § 2.1).

Теорема 0.7 1) Пусть О, С Яп — ограниченная область и ее граница дО, — замкнутая дифференцируемая многообразия разлгерности п — 1. Тогда при о равенство имеет место с точностью до эквивалентности норм. 2) Пусть.

1 1 — < а < г — -2 2 и 5о — целое число, удовлетворяющее условиям.

1 1 г-а—<�з0<�г-а + ~.

Тогда если дО, € С5о+1+е, где? ? (0,1), то имеет место следующее равенство дви дп5 0, 5 = 0,1,2,., 5о-П, дП) где д/дп — производная по внутренней нормали к поверхности.

Согласно этой теоремы, если выполняются все сформулированные в ней условия, то д3и.

П) = € И? п (П): дп>

Поэтому в этом случае задача Ио эквивалентна следующей задаче. 0, 5 = 0,1,2,-., 50-П. дП).

Задача Для заданного функционала Р Е 2, а№)) треоуется найти решение и (х) уравнения (0.0.4), принадлежащее пространству и удовлетворяющее следующим граничным условиям: дзи dns.

О, 5 = 0,1,2,.

So.

0.0.6) ш.

Так как задача Ио и задача Ю'0 эквивалентны, то из теорем 0.6 и 0.7 следует, что в условиях этих теорем, для любого заданного функционала.

Р Е (ш задача О'0 имеет единственное решение и (х), и это решение удовлетворяет оценке р]Щ, а (П)\ < М1 -Ра (П))' w г где число Mi > 0 не зависит от F.

Вторая глава диссертационной работы посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями вида (0.0.6). Она состоит из трех параграфов. В первом парао графе приведены основные свойства пространств а (£1), W и доказана следующая теорема вложения разных метрик для a (U).

Теорема 0.8. Пусть граница dQ области I7 принадлежит классу С1 и пусть выполнены условия.

1 1 1.

0 < р < q < +оо, ат > —, а — m, < ат H——. q q р

Тогда справедливо вложение.

С помощью этой теоремы во втором параграфе второй главы доказаны некоторые неравенства для норм произведения производных двух функций. Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 0.9. Пусть О, С К1 — ограниченная область и дП Е С1. Пусть мультииндексы к, I и числа а, ?3, 7, р, q, г, Ь удовлетворяют условиям п 1 р > 1, q> 1, к < г, 1 1>а +Р-г+Щл——, где число в определяется равенством.

1 Я.

3^ = П ?, если — ??|) < п, б, если — |/|) > пе достаточно малое полоотителъное число.

Тогда для всех и Е у Е выполняется неравенство где число М > 0 не зависит от и (х) и и (х).

Теорема 0.10. Пусть г — натуральное число, и мулътииндексы к, I такие, что |/г|, |/| < г, + |/| = 2 г — 1. Тогда неравенство и{к)уМ]ЬХк1,7ы{Щ < М0||"-И^а (П)|| • КГа (ОД выполняется для всех и 6 V? если.

1 — если п > 2, |&| = г, = г — 1, < 5 + ео> та 6 {1,2}, |А-| = г, |/| = г — 1, к 5 + £о> |/г| = г — 1, |?| = г. 2ск, еслм п > 2, |/с| = г, |/| = г — 1, 2а- + § - 1 — п € {1,2}, |/с| = г, |/[ = г — 1, 2а + — во, если к = г — 1, |?| = г.

В последнем параграфе второй главы исследуется разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями вида (0.0.6). Рассматривается следующая задача о.

Задача V. Для заданного функционала Р Е (Ж 2-а (^))' и набора граничных функций ф3 6 Вг2-а~8~½(дО), 5 = 0,1, •. •, 50 — 1, (0.0.7) требуется найти решение и (х) уравнения (0.0.4) из пространства И⁷-а^)} удовлетворяющее граничным условиям дзи дпв в = 0, 1, • • •, 50 — 1. дП.

Полученный результат о разрешимости задачи I) сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 0.11. Пусть число, а такое, что.

1 1 1 ^ г.

0.0.8) дО, 6 где 5 6 (0,1), и коэффициенты аы (х) |/| < г, х € билинейной формы (0.0.3) удовлетворяют условиям: I) если |/с| — 1 = г, гпо Мр2а (х) {х е ПУ,.

II) если |/г|, |/| <г, то ак1{х)р-2а{х)рпЧх)еЬЯ1{П), где щ — г — |/| - § + 1 — ^ и.

— 50, если п > 2(г — |/|),.

1 — £о, если п < 2(г — |/|),.

III) если |А-|, 1<г и + |/| = 2 г — 1, то ак1(х)р-2а (х)ра"(х) € Ьт (П), где.

0, если п > 2, к — г, |/| = г — 1, аы = -§ + 1+ ео> ес/ш п 6 {1- 2}, к = г, |/| = г — 1, + во, если = г — 1, |/| = г, а числа определяются равенством еслм п > 2, = г, — г — 1,.

— 1 Чы — е0, если п € {1- 2}, |/с| = г, |/| = г — 1, к | — ео, если = г — 1, г;

IV) существует число ае > 0 такое, что для всех х? ?1 и любого набора комплексных чисел? = {С^}|А-|<�г • о.

Тогда для любого заданного функционала Р 6 и любого заданного набора граничных функций (0.0.7) задача В имеет единственное решение и (х). Это решение удовлетворяет оценке и ъщ. ат< Мот & 5-в (п))#|| +? ЫаВТ2-а-а~1'дЩ I я=0 где постоянная Мо > 0 не зависит от выбора Р и граничных функций (0.0.7).

Третья глава диссертации, состоящая из трех параграфов, посвящена исследованию гладкости решения вариационных задач Дирихле для эллиптических уравнений с вырождением на границе области. В первом параграфе этой главы доказана одна априорная оценка решений однородной задачи Дирихле для общих эллиптических уравнений. Рассматривается следующий дифференциальный оператор:

Аи= Ъ1{х)и{1х) (хеП). (0.0.9).

2 г хч.

Предполагается, что коэффициенты Ъ^х) (|/| < 2г) имеют следующий вид х) = ^-^(хЩх), где, а — вещественное число и р (х) — регуляризованное расстояние точки х? О до границы области — дП.

Условие 0.1. Предполагается, что Ъ1? Ьоо (^) при 1 = 2 г и ^ € ЬЧи-51{®-) пРи И < 2 г — 1, где г 71 щ = — + ео, 41 и числа эд определяются равенствами.

2 + е0, еслип < 2(2г — |/|) еслип > 2(2г — |/|). 13.

Здесь и далее во всех условиях третей главы е0 — достаточно малое положительное число.

Обозначим через Ао главную часть оператора А, то есть.

А0и = bi (x)uw (х) {х е П).

Щ=2г и положим.

Аи = Аи — Aqu, то ссть оператор, А содержит только младшие члены оператора А. Условие 0.2. Существует положительное число Mq > 0 такое, что.

11" — < м0\А0щЬ2.-а+Тт для всех и 6 Co°(i2).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 0.12. Пусть, а < г, коэффициенты bi (x) (|Z| < г) оператора, (0.0.9) удовлетворяют условию 0.1, главная часть оператора (0.0.9) удовлетворяет условию 0.2. Тогда существуют положительные числа М > 0, М2 > 0 такие, что.

АщЬ2^а+1Щ\ < М^" — Vfa+r (fl)||, (0.0.10).

Ik Сн-ЛОД < М2 {\АЩ ?2—а+г (^)|| + \щ ?2-а-г (П)||} (0−0.11) для всех и G V^'Q+r (i2).

Из теоремы 0.12 можно вывести следующую априорную оценку решений дифференциального уравнения.

AU=J2 bi (x)U{l){x) = F{x) (х е П). (0.0.12) г|<2г.

Следствие 0.1. Пусть выполнены все условия теоремыОА2 и пусть F (x)? i/2-a+r (f2). Тогда любое решение U (x) уравнения (0.0.12), принадлежащее пространству V^a+r (?l), удовлетворяет оценке.

U-V2%+r (n)\ < M0{||F-L2-a+r (O)|| + ||C/-L2-flr (i2)||}, где число М0 > 0 не зависит от выбора F (x).

Во втором параграфе третей главы с помощью априорных оценок (0.0.10), (0.0.11) доказываются априорные оценки решений вариационной задачи Дирихле для эллиптических уравнений в дивергентной форме.

Рассматривается следующий дифференциальный оператор в дивергентной форме.

Е Ы){11(аы (х)у^(х)у1). (0.0.13) к, 1<�г.

Предполагается, что коэффициенты аы (х) (ж € О, к, < г) имеют вид аы (х) = Ьк1(х)ак1(х), (0.0.14) где.

Относительно коэффициентов при старших производных, то есть а^х) при = |/| = г, предполагается выполнение следующих двух условий:

I) существует число Мо > 0 такое, что я)! < моР~1М (х) (х е П) для любого мультииндекса Л: |А| < г;

II) существует число с > 0 такое, что.

Яе ^ > с 1&12 к, 1=г |Л|=г для всех х 6 О и любого набора комплексных чисел {^}|А.|=Г.

Также предполагается, что коэффициенты аы (х) (|/г| + 1 < 2 г — 1) имеют все обобщенные производные мультииндекса Л < / и.

0.0.15) где.

6к = 2г-к+е0 <г) п если п>2(2г-Ш.

Яы = (0.0.16) тах² + ?0, ^ ^ |, если п < 2{2г — к).

Теорема 0.13. Пусть, а < г, коэффициенты акг (х) оператора (0.0.13) имеют вид (0.0.14) и выполняются условия I), II), (0.0.15). Тогда существует положительное число М такое, что.

1К < М{\АщЬ2]а+г{Щ + 1К 1/^)11} для всех и? .

Из теоремы 0.13 можно вывести априорную оценку для решения следующего дифференциального уравнения.

— 1)" 1 (auixW^ix)^ = F (x) (х е О). (0.0.17) к, 1<�г.

Полученный результат сформулируем в следующем виде.

Следствие 0.2. Пусть F (x) Е L2—a+r (ty и пусть выполнены все условия теоремы 0.13. Тогда любое решение U (x) уравнения (0.0.17), принадлежащее пространству удовлетворяет оценке pi < Ml {||FL2-Q+r (n)II + II[/- V^tt (fi)||}, где число Mi > 0 не зависит от выбора F (x).

В последнем параграфе третей главы, применением теоремы 0.13, исследуется гладкость решения задачи Dq, которая изучалась в третьем параграфе первой главы.

Далее, при некоторых дополнительных ограничениях на коэффициенты aki (x) ??| < г) и на функционал F, доказывается, что решение U (x) задачи Dq принадлежит пространству V^a+r (Q).

III) Предполагается, что существует положительное число ае0 > 0 такое, что.

Re aki (x)(kCi >ге0² ICfcP fc|,|i|.

IV) Для всех мультииндексов k, l, X таких, что к = |/| = г, |А| < г обобщенные производные а^(х) существуют и выполняется неравенство.

I^WI < Мр-\х) (Ух е «), где число М > 0 не зависит от х.

V) Для всех мультииндексов k, l, X таких, что к, ??| < г, + |/| < 2 г —1, |А| < max{|&|, |Z|}, обобщенные производные существуют и где ры = тах{2 + 80 qki}, 7ki = max{2r — + ?0- 2r — |Z| + e0- n/qki}.

Здесь £о — достаточно малое положительное число и числа дм определяются равенствами (0.0.16).

Теорема 0.14. Пусть выполнены условия (0.0.8), (0.0.14), Ш)-У). Пусть.

50 > ги <90 е с8о+1+?, где 5о — целое число, удовлетворяющее неравенствам.

1 1.

1— а — -< во < г — ск + -.

Тогда для любого заданного элемента Р Е Ь2-,-а+г (&) задача имеет единственное решение V (х). Это решение принадлежит пространству и удовлетворяет оценке где число М > 0 не зависит от выбора Р.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [59] - [63].

1. БаЙДЕЛЬДИНОВ Б. Л. Об одном аналоге первой краевой задачи для эллиптического уравнения порядка 2m со степенным вырождением на границе // Доклады АН СССР. 1983, т.270, № 5, с. 1038 — 1042.

2. БАЙДЕЛЬДИНОВ Б. JI. Об аналоге первой краевой задачи для эллиптических уравнений с вырождением. Метод билинейных форм //Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1984, т.170, с. 3 И.

3. БОЙМАТОВ К. X. Граничные задачи для некоэрцитивных форм // Доклады АН РТД998, т. XLI, № 10, с.10−16.

4. БОЙМАТОВ К. X., Исхоков С. А. О разрешимости и спектральных свойствах вариационной задачи Дирихле, связанная с некоэрцитивной билинейной формой //Труды Математического института им. В. А. Стеклова РАН. 1997, т.214, с.107−134.

5. ИСХОКОВ С. А. Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов с нестепенным вырождением, порожденных некоэрцитивными // Доклады Академии наук (Россия), 2003, т. 392, № 5, стр. 606 609.

6. ИСХОКОВ С.А. О гладкости решения вырождающихся дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1995, т. 31, № 4, стр. 641−653.

7. ИСХОКОВ С.А. О гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Доклады Академии наук (Россия), 1993, т. 330, № 4, стр. 420−423.

8. ИСХОКОВ С.А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Доклады Академии наук (Россия), 1995, т. 342, № 1, стр. 20−22.

9. ИСХОКОВ С. А. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Доклады Академии наук (Россия), 1995, т. 345, № 2, стр. 164−167.

10. МИРОШИН Н.В. К вариационной задаче Дирихле для вырождающихся на границе эллиптических операторов // Доклады АН СССР. 1988, т.298, № 5, с.1069 1072.

11. МИРОШИН H.B. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического оператора // Дифференциальные уравнения, 1988, т.24, №, с.455 464.

12. МИРОШИН Н. В. Спектральные внешние задачи для вырождающегося эллиптического оператора //Изв. Вузов. Математика. 1988, № 8, с. 47 -55.

13. МИРОШИН Н. В. Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с вырождением //Труды Математического института им. В. А. Стеклова РАН. 1992, т.194, с. 179 195.43. мазья Пространство Соболева. ЛГУ. Ленинград. 1984.

14. СМИРНОВ М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука.- 1966. 292 с.

15. Солонников В. А., Уральцева Н. Н Пространства Соболева //В сб. «Избранные главы анализа и высшей алгебры». Л.: Изд-во ЛГУ, 1981, 200 с.

16. TEPCEHOB С.А.

Введение

в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск.-1976.-144с.

17. ТРИБЕЛЬ X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.- М.: Мир.- 1980. 664 с.

18. ТРИБЕЛЬ X. Теория функциональных пространств. М.: Мир. 1986 г. 448 стр.

19. Успенский C.B., Демиденко Г. В., Перепелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск. Наука.-1984.-224с.

20. BREDLEY J.S. Hardy inequalities with mixed norms // Canadian Mathem. Bull. 1978. Vol.21, no. 4, 405 408.

21. CHIPOT M. Elements of Nonlinear Analysis. Birkhauser Verlag. 2000.

22. EVANS L. C. Partial Differential Equations. Graduate studies in mathematics. Volume 19. 1998. American Mathematical Society.

23. TROISI M. Theremi di inclusione negli spazi di Sobolev con peso // Ric. mat.-1969;№ 18.-p. 49−74.

24. Исхоков С. А., КУЖМУРАТОВ А. Я. Об одной вариационной задаче для эллиптического оператора, вырождающегося на границе ограниченной области // В сб.: Тезисы докладов IV Международной конференции по мат. моделированию. Якутск, 27−31.07.2004, стр. 19−20.

25. Исхоков С. А., КУЖМУРАТОВ А.Я. О вариационной задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов // Доклады Академии наук (Россия), 2005, Том 403, № 2, стр. 165−168.

26. КУДЖМУРОДОВ А. Е. Об одной априорной оценке решений однородной задачи Дирихле для эллиптических уравнений в дивергентной форме // Доклады АН Республики Таджикистан, 2007, т. 50, № 7, с. 573−579.

27. Исхоков С. А., КУДЖМУРОДОВ А.Е. О гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения в дивергентной форме // Доклады АН Республики Таджикистан, 2008, т. 51, № 12, с. 802−809.