Устойчивость томсоновских вихревых многоугольников вне круговой области

1 Общая характеристика работы.

Актуальность темы

диссертации. Модель системы точечных вихрей интенсивно исследуется со второй половины XIX века. Лорд Кельвин (У. Том-сон) [116] на её основе строил свою вихревую теорию атома. В последнее время эта математическая модель оказалась востребованной в физике плазмы [81,83] и при исследовании вихрей в сверхтекучей жидкости [124,125].

Эта простейшая модель вихревой динамики кажется наиболее доступной для полного и глубокого исследования. Она изучалась многими авторами (лорд Кельвин, В. Грёбли, Т. X. Хавелок, X. Ареф и др.) с разных точек зрения (см. обзоры [5,16,18,47,61,70]). Значительный прогресс в этой области достигнут в последние годы благодаря применению методов современной теории динамических систем [65]. Здесь имеются в виду прежде всего вопросы качественной теории: интегрируемость, неинтегрируемость, устойчивость, бифуркации, возникновение и развитие хаотических движений и др. В результате количество работ по теории точечных вихрей поистине необозримо и постоянно растёт.

Вместе с тем, многие классические конфигурации долгое время оставались и остаются недостаточно исследованными.

Задачу устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей, расположенных равномерно на окружности (томсонов-ского вихревого п-угольника), поставил Кельвин (У. Томсон). Имеются ее обобщения на случаи вихрей внутри или вне круговой области. Все эти проблемы решены Т. X. Хавелоком [85] в линейной постановке. Оказалось, что соответствующие линеаризованные системы имеют экспоненциально растущие решения при п > 8 в задаче Кельвина, а в её обобщениях, когда п > 7. Экспоненциальная неустойчивость имеет место и при 2 < п < 6 (вихри внутри или вне круга), но при определенных значениях параметра задачи. В остальных случаях все собственные значения матрицы линеаризации лежат на мнимой оси, так что для решения задачи устойчивости требуется нелинейный анализ.

Проблема Кельвина [116] в случае плоскости изучалась Дж. Дж. Том-соном [112,115], Т. X. Хавелоком [85], У. Мортоном [102], Л. Г. Хазиным [66,67], Г. Т. Мерцем [101], X. Е. Кэбралом, Д. С. Шмидтом [77] и др. Ее решение при завершено в точной нелинейной постановке в работах Л. Г. Куракина и В. И. Юдовича [21,35,93]. Результаты нелинейного анализа в случае вихрей внутри круга были анонсированы в заметке [24], подробно изложены для четного числа вихрей п = 2,4, 6 в работе [89], и отдельно для треугольника [26,90] и пятиугольника [28].

Критерий устойчивости стационарного вращения трех равноудаленных вихрей вне круговой области получен Л. Г. Куракиным [27] применением теории Колмогорова-Арнольда-Мозера [2,17,107].

Цель работы. Получить математически строгие результаты об устойчивости томсоновского вихревого многоугольника вне круговой области в точной нелинейной постановке.

Методы исследования. Прямой метод Ляпунова, теория нормальных форм гамильтоновых систем, теория Рауса об устойчивости равновесий гамиль-тоновых систем с циклической переменной. Теоремы А. Д. Брюно о формальной устойчивости равновесий гамильтоновых систем, результаты А. Г. Сокольского и А. П. Маркеева об устойчивости равновесий в критических случаях.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Основные положения выносимые на защиту — анализ устойчивости том-соновского вихревого п-угольника вне круга:

1. Доказательство утверждения Т. X. Хавелока об экспоненциальной неустойчивости томсоновского вихревого п-угольника вне круга для нечетного п = 2к + 1⁷.

2. Доказательство необходимого и достаточного условия устойчивости по Раусу в случае четного числа вихрей п = 2, 4, 6.

3. Формулировка и доказательство условий устойчивости для всех критических случаев устойчивости двукратного нулевого корня, встречающихся в задаче при п = 2, 4, 5, 6.

4. Нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника в нерезонансных случаях: условия устойчивости по Раусу или формальной устойчивости по Раусу в зависимости от параметра задачи.

5. Исследование устойчивости правильного вихревого пятиугольника во всех резонансных случаях, встречающихся в задаче: резонансы 1:1, 1:2, 1:3, 1:1:2.

Таким образом, вместе с результатами линейного анализа Т. X. Хавелока [85] и результатами Л. Г. Куракина [27] об устойчивости вихревого треугольника в данной диссертации проведен нелинейный анализ устойчивости правильного вихревого п-угольника вне круговой области для всех возможных значений параметров задачи.

Достоверность полученных выводов обусловлена последовательным применением математически обоснованных методов, совпадением результатов с известными в тех случаях, когда таковые имеются в литературе.

Практическая значимость диссертационной работы следует из отмеченной выше актуальности темы исследования.

Полученные в диссертации результаты об устойчивости конфигураций точечных вихрей относятся к давно поставленным проблемам гидродинамики. Их решение поможет при изучении устойчивости других вихревых конфигураций, как для случая вихрей вне круга, так и для других моделей точечных вихрей: внутри кольцевой области [82], на сфере [88], в стратифицированной жидкости [56] и др. Результаты диссертации также могут быть востребованы в физике плазмы и при исследовании вихрей в сверхтекучей жидкости.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации докладывались на научном семинаре «Математические вопросы гидродинамики» кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ, Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2009), международных конференциях «Современные проблемы Механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2009, 2010, 2011) — «Крымской осенней математической школе симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам», (Севастополь 2009), International Workshop on Partial Differential Equations and Application (Morelia, Mich. Mexico, 2010), International Conference «Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres» (Владивосток, 2011).

На разных этапах данная работа поддерживалась грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (№№ 07−01−92 213-НЦНИЛа, 08−01−895-а, 09−01−92 504-ИКа, 11−05−1 138-а), аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1/554, федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009;2013 гг. (соглашение № 14.А18.21.0873) и Американского Фонда Гражданских Исследований и Развития (CRDF), грант RUM1−2943-RO-09.

Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 10 статей [29−34,52,53,91,92]. Основные результаты отражены в 3 публикациях в журналах списка ВАК [30,31,92]. В совместных статьях с Л. Г. Куракиным постановка задач и окончательная редактура текста принадлежат Л. Г. Куракину, а автору диссертации, Островской И. В. — основные результаты и их доказательства.

11 История решения задачи устойчивости томсоновских вихревых многоугольников.

Исследования, представленные в диссертационной работе, являются естественным продолжением цикла работ по исследованию устойчивости томсоновских вихревых многоугольников на плоскости [21,22,35,36,85,93], а также внутри [24,26,28,85,89,90] и вне [27,85] круговой области.

Вихри на плоскости. Как уже отмечалось выше, задачу устойчивости перманентного вращения системы п точечных вихрей (см. рисунок 1), расположенных в вершинах правильного п-угольника на плоскости поставил У. Кельвин (1878г.). Он отметил связь этой проблемы с экспериментами А. М. Майера [97−100], изучавшим движение системы п плавающих намагниченных иголок под действием внешнего магнитного поля.

—ч у" «Ч.

У N Ч N ' / ' * я ^.

3'.

СО.

I I I.

•.

Рисунок 1. Стационарное вращение томсоновского вихревого п-угольника радиуса на плоскости с угловой скоростью ш — ^ д2 [п — 1), где ж — интенсивность вихря.

Известны различные модификации экспериментов А. М. Майера, поставленные Р. Вудом [123], Дж. Дж. Томсононом [115], Л. Дерром [80] в конце XIX начале XX века. Во второй половине XX века Е. Ярмчук и др. [124,125] исследовали экспериментально в свехтекучем гелии устойчивость п прямолинейных вихрей, расположенных в вершинах правильного многоугольника, а К. Файн, А. Касс [83] и Д. Даркин, Дж. Фейдженс [81] ставили эксперименты по устойчивости томсонских вихревых конфигураций, исследуя с электронные колонны в ловушке Малмберга-Пенинга.

Кельвин особо подчеркивал важность определения наибольшего значения п, для которого данный стационарный режим устойчив.

В дальнейшем задача была исследована многими авторами (см.

введение

работы [36] (и ее англоязычной версии [93]) и, особенно, приложение В этой же работы, в котором обсуждаются многочисленные недоразумения, сопровождавшие решение этой проблемы). После результатов Дж. Дж. Томсо-на и Т. X. Хавелока стало ясно, что при п > 8 режим экспоненциально неустойчив, а при п < 6 имеет место устойчивость по линейному приближению. При этом случай п = 7 оставался сомнительным, поскольку в линейной задаче нулевое собственное число имеет повышенную кратность, равную шести (нормой является кратность два).

В работах Л. Г. Куракина и В. И. Юдовича [35,93] устанавливается, что правильный вихревой семиугольник устойчив. Доказательство потребовало специального исследования роли нелинейностипри п < 6, как показано в работах Л. Г. Куракина [21,22], достаточно линейного приближения.

Вихри внутри круговой области. Рассмотрим задачу устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей интенсивности х, расположенных равномерно на окружности Яо внутри круговой области радиуса Я (см. рисунок 2).

После работы Т. X. Хавелока [85], открытые вопросы в этой проблеме остались лишь в случаях п = 2,. ., б, когда собственные значения матри.

Рисунок 2. Стационарное вращение томсоновского вихревого и-угольника радиуса i? o внутри.

— «г? * (Ъг Rq круговой области радиуса К с угловой скоростью ш =-^—п — 1, р = —^.

47ГЛц у 1 — рп) R1 цы линеаризации лежат на мнимой оси. Результаты нелинейного анализа в этих случаях были анонсированы в заметке [24] и подробно изложены в работах [26,28,89,90]. Четный случай п = 2, 4, 6 удалось исследовать в рамках единого подхода [89]. Каждый из случаев п = 3, 5 распался на серию задач, потребовавших индивидуального подхода, в частности, применения KAM теории и нелинейного анализа всех резонансов до четвертого порядка включительно, встречающихся в задаче. По поводу результатов общей теории устойчивости положений равновесий гамильтоновых систем, упоминаемых здесь и ниже, сошлемся на книгу [46] и обзор [19]. Обзор результатов, непосредственно используемых в работе, представлен далее во Введении. Устойчивость вихревого треугольника детально исследована в работе [26] и ее англоязычной версии [90], а пятиугольника — в работе [28]. Полученные в итоге критерии устойчивости стационарного вращения томсоновских конфигураций п вихрей (п = 2,., 6) внутри круга изоб.

R2 ражены схематично на рисунках 3−5. На них параметр Р = Величины Рот Р*п заданы в таблице 1, а критические значения р, отвечающие резонансам в таблице 2.

Дадим необходимые пояснения:

1. Устойчивость по Раусу, когда 0 < р < рту (п = 2,4, 6) и 0 < р < р0п, (п — 3, 5) следует из положительной определенности гамильтониана линеаризованной приведенной системы [89]. Численно это установил Кэмп-бел [78], который использовал метод энергия — момент. Неустойчивость, когда р*п<�р<1,п = 2,., 6 доказана Т. X. Хавелоком [85].

2. При четном п = 2, 4, 6, когда р = рт (см. рисунок 3), в задаче устойчивости имеет место критический случай двукратного нулевого собственного значения (недиагонализируемый случай). Доказательство поло п=2, 4, 6 О п.

Рисунок 3. Критерий устойчивости томсоновского вихревого многоугольника с четным числом вихрей внутри круга [89]: р <Е — устойчивость по Раусу (++) — р € 1) неустойчивость (—). Параметр р—КЦЙ2. ++++++++++++++ II II п = 3.

О Д.

Р* 3 1 Р.

Рисунок 4. Критерий устойчивости томсоновского вихревого треугольника внутри круга [26,90]: р е (0,роз) и {р0з, Р*з} ~ устойчивость по Раусур = р03 и р е (р*3,1) — неустойчивость. ^.

II ||| У1 Л |'|.

0 Р05 а Ь р* рт5 1 р

Рисунок 5. Критерий устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника внутри круга [28]: р Є (0,роб] - устойчивость по Раусур є (р05,а) и (Ь, р*) и (р*, р*5) — формальная устойчивость по Раусу (сплошная дуга) — р Є [а, 6] — устойчивость по Раусу для большинства начальных условий (пунктирная дуга) — р = р* и р Є (р*5,1) — неустойчивость. р2 = 7р3 — Зр2 + 5р — 1 р*2 ~ 0.213 740.

Т3 = 10/ + 3р5 + 6р4 + Юр3 + 6р2 + Зр — 2 Q3 = 5рб + 9р5 + 5рз + др21 р*з «0.321 281 Роз ~ 0.304 064.

Г4 = 7р6 +р4 + 9р2−1 р*4 ~ -329 840.

•р5 = 18р10 + Юр8 + 15р7 + 34р5 + 15р3 + Юр2 — 2 Qъ = 27р12+81рп + 132р10 + 135р9 + 90р8 + 96р7 + 153р6 + 196р5 + 165р4 + 60р3 + 2р2 — 9р — 3 р*5 и 0.346 101 Роб ~ 0.341 038.

Р6 = 23р9 + 13р6 + 37р3 — 1 р*6 и 0.299 121.

Таблица 1. Критические значения р+п и роп — корни полиномов Тп и О,. п=2 Р 00 = Р* 2 п=3 Роо = Роз, Р1э ~ 0.316 897 Р12 ~ 0.319 327, рх 1 = р*з п=4 Роо = Р*4 п=5 Роо = Р05 Р1 з ~ 0.343 499, Р1 3 0.344 810 р12=р* ~ 0.344 379, Р12 и 0 345 525 Рг 1 2 ~ 0.346 079, Р11 яз 0.345 914, рг г = р*5 п=6 Роо = Р*6.

Таблица 2. Критические значения параметра р, отвечающие резонансам: р00 — двукратный диагонализирумый ноль, ркт — резонанс к. т, символ шапочка р — недиагонали-зируемый случай. жительной определенности приведенного гамильтониана потребовало привлечение слагаемых его ряда Тейлора до четвертого порядка включительно. Отметим, что процедура нормализации при этом не проводилась.

Замечание 0.1. Решение задачи устойчивости при граничных значениях параметра важен для того, чтобы выяснить, какой является эта граница: «опасной» или «безопасной» по терминологии Н. Н. Баутина /3'/? Другими словами, жестко или мягко происходит потеря устойчивости томсоновского многоугольника, когда параметр р возрастая, проходит через критическое значение р*п ?

3. В случае п = 3, изображенном на рисунке 4, доказательство устойчивости по Ляпунову приведенной гамильтоновой системы двух степеней свободы на интервале (роз, Р*з) состояло в проверке условий теоремы Арнольда-Мозера (см., например, [46]). При р = роз5 в задаче устойчивости имеет место критический случай двукратного нулевого собственного значения (диагонализируемый случай). Неустойчивость следует из результатов Сокольского. При р = р*з имеет место критический случай двукратной пары чисто мнимых собственный значений (жорданова клетка). Для доказательства устойчивости по Ляпунову равновесия приведенной системы использовались результаты общей теории [19,46,96].

4. В случае п = 5 использовано определение формальной устойчивости по Раусу, которое определяется как формальная устойчивость по Ляпунову приведенной системы (см., например, [46]). В случае формальной устойчивости по Раусу неустойчивость по Ляпунову решения (если она существует) не обнаруживается в приведенной системе при учете в ее разложении слагаемых до сколь угодно большого, но конечного порядка.

Формальная устойчивость по Раусу при р € (роь, а) U (b, p*) U (р*, р*5) следует из теоремы Брюно [46].

Примененние результатов В. И. Арнольда (ссылки см. в книге [46]) на отрезке р Е [а, Ь], изображенном схематично на рисунке 5, позволило доказать устойчивость равновесия приведенной системы для большинства в смысле меры Лебега начальных данных. Как известно, это не исключает неустойчивость по Ляпунову.

При р = pos в задаче устойчивости имеет место критический случай двукратного нулевого собственного значения (диагонализируемый случай). Из положительной определенности приведенного гамильтониана вытекает устойчивость по Ляпунову приведенной системы. Это доказательство потребовало привлечение слагаемых до четвертого порядка включительно ряда Тейлора приведенного гамильтониана.

При р = р*5 в критическом случае двукратной пары чисто мнимых собственный значений (жорданова клетка) имеет место формальная устойчивость по Раусу. При р = р* (см. таблицу 4) имеет место критический случай резонанса 1:2. Неустойчивость доказывается применением результатов А. П. Маркеева [46].

Замечание 0.2. Ряд резонансных значений ри-.т, указанных в таблице 2 и опущенных на рисунках 4, 5, оказались несущественными. Это означает, что отвечающие им в общей теории специфические резонансные слагаемые отсутствуют среди слагаемых разложения приведенного гамильтониана в ряд Тейлора до четвертого включительно. Поэтому при п = 3- когда р — р1:3 и р = р-, 2 применима теорема Арнольда-Мозера, а при п = 5 резонансные точки р-2 ф р*, Ргл лежат в интервале (6, р*5) и формальная устойчивости в них следует из результатов теоремы Брюно.

Вихри вне круговой области. Рассмотрим теперь проблему Кельвина в случае, когда вихревой п-угольник радиуса До расположен вне круговой области радиуса Я с общим центром симметрии (см. рисунок 6).

——ч.

X *ч.

X.

У N.

Рисунок 6. Стационарное вращение правильного вихревого п-угольника вне круговой области. Угловая скорость вращения со — и устойчивость зависят от параметра.

Ч = Я2/Я1.

Математическими методами эта задача впервые была исследована Т. X.

Хавелоком (1931) [85], рассмотревшем её в линейной постановке и показавшем, что соответствующая линеаризованная система имеет экспоненциально растущие решения при четном числе вихрей п = 2 т > 8. Утверждение об экспоненциальной неустойчивости при нечетном числе п = 2 т + 1 > 7 вихрей сформулировано в работе [85] без доказательства. Т. X. Хавелок также установил наличие экспоненциально растущих решений в случае 2 < п < 6, когда параметр q = Я2/Щ больше некоторой критической величины: < д < 1 (см. таблицу 3).

Р2 = -9q3 + 13q2 + 5g — 1 g*2 «0.148 536.

P3 = -Uq6 + 3g5 + 6g4 + 34g3 + 6g2 + 3q — 2 g*з и 0.273 695.

P4 = 9g6 + 17g4 + 9q2i g*4 ~ 0.308 125.

P5 = -22g10 + 10q8 — 15q7 + 74g5 + 15g3 + 10g2 — 2 g*5 ~ 0.334 596.

P6 = -25g9 + 61 g6 + 37q3 — 1 g, 6 «0.295 985.

Таблица 3. Критические значения g*n — корни полиномов Рг.

Во всех остальных случаях в линейной системе имеется лишь степенная неустойчивость. Хорошо известно (A.M. Ляпунов [37,38]), что из экспоненциальной неустойчивости линеаризованной системы следует неустойчивость равновесия полной системы. Степенной неустойчивости линеаризованной системы для такого заключения недостаточно — нужно привлекать нелинейные слагаемые.

Нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого треугольника вне круговой области был проведен в работе [27]. При этом использовались те же методы и подходы, что и в случае внутри круга. Полученный критерий устойчивости схематично приведен на рисунке 7. Отметим, что при критических значении параметра q = q*3 имеет место неустойчивость положения равновесия приведенной системы, в то время как в аналогичной ситуации внутри круга при р = р*3 оно устойчиво по Ляпунову.

Критическим значениям параметра q доз ~ 0.262 542, qh3 «0.270 858, qh2 «0.272 430, ~ 0.27 3695(0.1) + + + + + + + + + + + + +.

О %Ъ 9,3 1 1.

Рисунок 7. Критерий устойчивости томсоновского вихревого треугольника вне круга [27]: q е (0, д0з) и (<?0з, <?*з) — устойчивость по Раусуq = qQ? l ж q е 1) — неустойчивость, q = соответствуют резонансы (см. [46] и обзор [19]): доз — двукратный нуль (диагоналнзнруемый случай), д%:гп — резонанс /с: т, д*з — резонанс 1:1 (недиагонализнруемый случай). Величина доз является корнем полинома д3 = 7д6 + дд5 18д4 — 17д3 — 9д2 + 1 (0.2).

Таким образом, после работ Т. X. Хавелока [85] и Л. Г. Куракина [27] в задаче устойчивости стационарного вращения томсоновского вихревого многоугольника вне круговой области остались открытыми следующие вопросы:

1. Доказательство утверждения Т. X. Хавелока о неустойчивости томсоновского многоугольника в случае нечетных п = 2 т +1⁷;

2. Нелинейный анализ устойчивости при q ^ д*п в случае четных п = 2,4,6 и в случае п — 5.

Их решению и посвящена эта диссертация.

111 Методы исследования и результаты теории устойчивости равновесий гамильтоновых систем, используемые в диссертации.

В этом разделе приведен обзор результатов общей теории устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем, использованной в диссертации. При его написании использовались обзоры [6,19,46,68].

Свойства гамильтоновых систем.

Гамильтоновой системой в пространстве М2п называется система дифференциальных уравнений вида (<кк = ОН к = 1,., п. (0.3) с1'рк дН (Н ддк.

Функция Н = Н (д, р) называется функцией Гамильтона, а п — числом степеней свободы, 9 = (дь • • •, Р = (Рь • • •, Рп).

Пусть д = р = 0 — положение равновесия. Разложение функции Гамильтона в его окрестности имеет вид.

Н (д, р) = Н2(я, р) + Я3+ ., (0.4) где Нт (д, р) — однородные полиномы степени т переменных (д, р).

Линеаризованная на нулевом равновесии гамильтонова система (0.3) задается квадратичными членами Н2 разложения функции Гамильтона Н в ряд Тейлора: <5л1 = Ьи, Ь = /5, и = (дь.. (0.5) где.

ОЕп Г дикдщ) кЛ=1' а Еп — единичная матрица размерности п.

Характеристический многочлен Р2П = с[еЬ (аЕ2П — Ь) матрицы линеаризации Ь есть функция от <72. Значит, собственные значения, а матрицы линеаризации Ь гамильтоновой системы расположены симметрично относительно начала координат. Таким образом, устойчивость возможна лишь в том случае, когда все собственные значения лежат на мнимой оси.

Далее рассматривается именно такой случай сг^ = ^ € 1, ] — 1,.. , п. (0.6).

Каждое собственное значение считается столько раз, какова его кратность.

Начиная еще с работ A.M. Ляпунова [39], стало ясно, что решение задачи устойчивости положения равновесия автономной системы зависит свойств величин ujj, а именно от того, удовлетворяют ли они резонансным соотношениям.

Будем говорить, что собственные значения автономной гамилътоно-вой системы (0.3) находятся в резонансном соотношении порядка к [19], если существует ненулевой вектор т = (mi,., тп) ^ 0 с целочисленными компонентами rrij, такими что rriiUJi +. + тпип = 0, (0.7).

Порядок резонанса к определяется по формуле mi| +. тп = к. (0.8).

Гамильтонова система имеет первый интеграл Н{и): для любого решения системы (0.3) H (u (t)) = Н{и{0)). Для произвольной функции F{u) ее производная в силу системы дается формулой:

F, Н} называется скобкой Пуассона функций F и Н.

Движение в силу гамильтоновой системы сохраняет объем любой области G С К2п и вследствие этого положение равновесия гамильтоновой системы не может быть асимптотически устойчивым.

Первые результаты об устойчивости положений равновесия гамильтоно-вых систем были получены для системы четвертого порядка (п = 2) при отсутствии резонанса Г. В. Каменковым и И. Г. Малкиным [14,41]. В работах A.M. Молчанова [50], В. Г. Веретенникова [11], L. Salvadori [55] нерезонансный случай был изучен практически до конца, при этом оказалось, что ни один из методов, развитых для систем общего вида, не пригоден для гамильтоновых систем. В связи с этим сравнительно недавно были созданы специальные методы, получившие название КАМ-теории (по именам ее создателей А. Н. Колмогорова [17], В. И. Арнольда [2], J. Moser [107]).

Вопрос об устойчивости по Ляпунову многомерной (п > 2) системы полностью решить не удается. Можно только применив выводы J. Moser’a [103−106], J. Glimm’a [84], А. Д. Брюно [8], H.H. Нехорошева [51], получить выводы о формальной устойчивости, гарантирующей ограниченность qk (t), Pk{t) на очень больших, но конечных интервалах времени.

Определение ([19]). Положение равновесия qu = Рк = 0 (к = 1,., п) системы (0.3) называется формально устойчивым, если существует ряд (возможно, расходящийся), который будет формальным знакоопределен-ным интегралом системы (0.3).

Все результаты по формальной устойчивости получены, как правило для случаев, когда в системе отсутствуют резонансы (до четвертого порядка включительно), т. е. частоты j = 1,., п линеаризованной системы (0.3) не связаны резонансными соотношениями.

Наличие резонансов (0.7) может сделать устойчивую в линейном приближении систему (0.3) неустойчивой, если в ее правых частях учитывать нелинейные слагаемые. Этот факт отмечался еще в опубликованной в конце XIX века работе Д. Дж. Кортевега [87], посвященной приближенному анализу колебаний гамильтоновой системы вблизи положения равновесия В этой работе и в исследованиях Н. I. Е. Beth’a [71−73] было замечено, что в задаче об устойчивости наиболее важны резонансы до четвертого порядка включительно.

Перечень нормальных форм.

Для гамильтоновых систем порядка 2п есть семь резонансов до четвертого порядка включительно:

1. uji = 0 при п ^ 1;

2. (?2 = при п ^ 2;

3. Ш2 = 2бо>1 при п ^ 2;

4. = Зсо>1 при п ^ 2;

5. ?ь>з = 6¹ + <х>2 при п ^ 3;

6. 3 = 2а-! + о-2 при п ^ 3;

7. 4 = + ?^2 + 3 при п ^ 4;

Каждому резонансу соответствует своя модельная система и своя нормальная форма гамильтониана.

В этой работе встречаются практически все эти резонансы. Для случая вихревого пятиугольника они выписаны в таблице 5 в разделе 4−1.

Критический случай двукратного нулевого собственного значения (диагонализирумая матрица линеаризации).

Пусть матрица линеаризации диагонализируема и имеет одну нулевую частоту. Такой случай встречается в пункте 4.3.1, когда приведенный гамильтониан имеет четыре степени свободы И выполнено условие 6с>з = 0. В этом случае гамильтониан Н канонической заменой переменных можно привести к нормальной форме до четвертого порядка.

Я =^|г1|2 + ^2|г2|2 + с^Ы2 + + #зо+ (°-10) М^з, Рз) + #40 + • • •, где гк = ^ + грк, гк = ^ - грк).

Ырз, Я. Ъ) = азо^з + а2ч1р2, + а^зРз + «озр|,.

Мрз, Яз) = &-40<7з + &з1.

204³ Ы2,.

Я40 = /г2(93,Рз)к1|'2 + ^(ЛЗ, Рз) Ы2 + ^(93,Рз)к4|2 + <?юЫ4 +.

Н-^12[212 +^14 121 12 + ^241 121 12 + ^20!²¹⁴ + Я^Ы*, а д3) ~~ однородные полиномы переменных дз, рз степени 5.

Теорема 1 (А. Г. Сокольский [19]). Если /ц = /14(^3?Рз) ~~ знакоопределен-ная функция, то положение равновесия системы (0.3) формально устойчиво. Если же функция /?4(^3? 9з) ~~ знакопеременна, то неустойчиво по Ляпунову. В случае, когда /^(рз^з) = 0, устойчивость зависит от слагаемых более высокой степени, чем выписаны в разложении (0.10).

Критический случай двукратного нулевого собственного значения (жорданова клетка).

Пусть матрица линеаризации Ь недиагонализируема и имеет одну нулевую частоту.

В диссертации этот резонанс встречается в случае четного числа вихрей при критическом значении параметра q = дт (см. главу 3).

Для определенности рассмотрим гамильтонову систему (0.3) с тремя степенями свободы. В этом случае гамильтониан, нормализованный до четвертого порядка включительно, имеет вид.

Я + ифх!2 + и-3Ы2 + ¿-з Р + РМ°Ы2 + «?1кз|2)+ (0.11) рМЫ2 + а³|2) + а20Ы4 + а^Ы2!*!2 +^Ы4 + .

Точками обозначены слагаемые пятой степени и выше.

На устойчивость равновесия оказывают влияние только часть слагаемых.

Я =^2 + аф!|2 + и-зЫ2 + аф +. (0.12).

Здесь многоточием обозначены, как слагаемые третьей степени и выше из (0.11), кроме выписанного слагаемого четвертой степени.

Теорема 2 (А. Г. Сокольский [19]). Для системы с гамильтонианом (0.12) справедливы утверждения:

1. Если а4 < 0- то положение равновесия неустойчиво;

2. Если а4 > 0- то положение равновесия формально устойчивоесли кроме того sgn (5l = sgnu-2 =. = sgna-nто имеет место устойчивость по Ляпунову.

3. Если а4 = 0, то устойчивость зависит от слагаемых более высокой степени, чем выписаны явно в разложении (0.11).

Резонанс 1: 1 (жорданова клетка).

Рассмотрим критический случай двукратной пары чисто мнимых собственных значений (ненулевых), которым отвечает клетка в жордановой форме матрицы линеаризации.

В рассматриваемой задаче устойчивости вихревого Пентагона такой случай имеет место в пункте 4.3.2 в случае п = 5 при критическом значении параметра (/ = <7*5.

В этом случае приведенный гамильтониан имеет четыре степени свободы и, нормализованный до слагаемых четвертого порядка, может быть представлен в виде.

Н =иг (412 + Р12) + ^ (д22 + дз2) + и* (д3Р2 — 92Рз)+ (0.13) (д42 + р42) + А*(р22 + р)2 + .

Многоточием обозначены слагаемые четвертой степени, кроме выписанных, и выше. Слагаемые четвертой степени представляют собой комбинации множителей: р + рЬ ч1 + чЬ ЯзР2 ~ 42 Рз, + V)•.

Теорема 3 (А. Г. Сокольский [19]). Для системы с гамильтонианом (0.13) справедливы утверждения:

1. Если А* > 0- то положение равновесия формально устойчиво;

2. Если А* < 0, то положение равновесия неустойчиво;

3. Если А* = 0, то устойчивость зависит от слагаемых более высокой степени, чем выписаны явно в разложении (0.13).

Алгоритмы нормализации.

Определение. ([68, с. 166]) Гладкая замена переменных и = K (w), обратимая в окрестности нулевого равновесия и = 0 гамильтоновой системы (0.3), называется канонической, если:

1. При замене и —у w гамильтонова система переходит в гамильтоно-ву систему.

2. Функции Гамильтона связаны этой же подстановкой.

Н (и) = H{K{w)).

При исследовании устойчивости важно найти такие канонически сопряженные переменные, чтобы функция Гамильтона (0.3), будучи записанной в этих переменных, имела по возможности более простую (нормальную) форму. К настоящему времени разработаны весьма эффективные методы нормализации.

Сначала рассмотрим задачу нормализации линейных систем (0.5), или, другими словами, — нормализации квадратичной части гамильтониана. Эта задача известна очень давно. Она встречается еще у A.M. Ляпунова [39]. В двадцатых и тридцатых годах ее рассматривали Т. М. Cherry [79], G.D. Birkhoff [74], Е.Т. Whittaker [117], A. Wintner [122], Е. R, Kampen и A. Wintner [86], Cf. С. bancos [94], J. Williamson [118−121]. В их работах подробно исследованы алгебраические свойства линейных гамильтоновых систем и в некоторых случаях предложены способы получения нормализующего преобразования. В цикле работ J. Williamson’a [118−121] задача о нормализации произвольной квадратичной части Н2 гамильтониана (0.3) разрешена полностью. Однако, как оказалось позже, возможны более совершенные методы и алгоритмы нормализации. Эти вопросы рассмотрены в работах Б. В. Булгакова [10], J. Moser’a [104], С. L. Sigel’a [113], G. Louferman’a и J. Roels’a [110], J. Laub’a и К. Meyer’a [95], N. Burgoyne’a и R. Chushman’a [76], J. L. Synge’a [114], L.A. Pars’a [108], Л.М. Штерен-лихта [69], Т. Н. Титовой [62−64], А. П. Маркеева [43,45]. Основываясь на работах J. Williamson’a [118−121], Д. М. Галин классифицировал все нормальные формы квадратичных гамильтонианов. Полученная им таблица нормальных форм приведена в книге В. И. Арнольда [1]. Для квадратичных гамильтонианов, не зависящих от времени, в работах Б. В. Булгакова [10]. С. L. Sigel’a [ИЗ], J.L. Syng’a [114], L.A. Pars’a [108], J. Laub’a и К. Meyer’a [95], Т. H. Титовой [62−64], А. П. Маркеева [45] получены конструктивные алгоритмы нахождения нормальной формы и соответствующего нормализующего преобразования.

Преобразование Биркгофа.

В этом разделе излагается способ построения канонической замены переменных для нормализации слагаемых третьей степени — преобразование Биркгофа [46,74], которое неоднократно используется в настоящей диссертации. Будем считать, что изучаемая динамическая система имеет п степеней свободы.

Рассматривается автономная гамильтонова система (0.3) такая, что разложение (0.4) в ряд функции гамильтона Н в окрестности нулевого равновесия = & = начинается с квадратичных членов.

Пусть собственные значения матрицы линеаризации ±<7^ лежат на мнимой оси и не связаны резонансными соотношениями до второго порядка включительно, т. е. п тк (тк⁰ (0.14) к=1 п.

И для любых целых ГПк имеет место неравенство тпк ^ 2. к=1.

Не нарушая общности будем считать, что квадратичная часть гамильтониана Н2 уже имеет нормальную форму.

1 п.

Я2 = (0.15) к=1.

В системе (0.3) при помощи формул ьй) + * = !,.,".(0.16) др’к dqk проводится каноническая замена переменных qk, Рк q’k, р’к.

Функция 5з подбирается так, чтобы она была вещественной однородной функцией третьей степени ПО qk, рк, и чтобы в новых переменных функция Гамильтона (0.4) не содержала бы членов третьего порядка в новых переменных q’k, р’к.

Пусть функция Hz (q, p) в разложении (0.4) имеет вид.

3=? (0.17) vi+.+/in=3 где /it, b. iMTJ € M, a Vi,., цп — целые неотрицательные числа. Функцию S3 ищем в виде, аналогичном (0.17): й =? (0.18) i/i+.+/tin=3.

Разрешая уравнения (0.16) относительно переменных qk, рк (к = 1,., п) получаем qk~Qk—dp'— Vk-Pk + —-щ— + •••> (°-19) многоточием здесь обозначены слагаемые имеющие порядок выше второго относительно р’к. Учитывая равенства (0.4), (0.15) и (0.19) получим разложение нового гамильтониана Н.

Н' = Т,<^(<4+г>'Ь+Х> (рф ~ дф)+н3(д³)+. .(0.20) к=1 к=1 Чк г к /.

Невыписанные в (0.20) слагаемые имеют порядок не ниже четвертого относительно р’к.

Чтобы в функции Гамильтона Н' не содержалось членов третьего порядка б^, р’к нужно потребовать выполнения тождества:

Щ = Х> (Р'кщ ~ <ф + = 0. (0.21) с—1.

Известно, что в рассматриваемых условиях уравнение (0.21) разрешимо, причем форма Зз определяется из него однозначно. В диссертации рассматриваемая замена, нормализующая кубические слагаемые, выписана явно в ряде частных случаев (см. (3.15)—(3.17), (4.15)).

Замечание 1. В этом пункте рассмотрен наиболее часто встречающийся случай, когда приходится нормализовать слагаемые третьей степени в предположении отсутствия резонансов до второго порядка включительно. В данной работе также встречается случай двукратной пары собственных значений (жорданова клетка) (см. пункт 4−3.2). Алгоритмы нормализации квадратичных и кубических слагаемых, применявшиеся в этом случае, разработаны в работах [57, 60]. Алгоритмы нормализации слагаемых четвертой степени можем найти в книгах ]19, 46]. Отметим, что в работе не возникла необходимость нормализации слагаемых пятой степени и выше.

IV Краткое содержание работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 109.

Заключение

.

В заключении сформулируем основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Доказательство утверждения Т. X. Хавелока об экспоненциальной неустойчивости томсоновского вихревого п-угольника вне круга для нечетного п = 2к + 1 ^ 7.

2. Доказательство необходимого и достаточного условия устойчивости по Раусу в случае четного числа вихрей п = 2, 4, 6.

3. Формулировка и доказательство условий устойчивости для всех критических случаев устойчивости двукратного нулевого корня, встречающихся в задаче при п = 2, 4, 5, 6.

4. Нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника в нерезонансных случаях: условия устойчивости по Раусу или формальной устойчивости по Раусу в зависимости от параметра задачи.

5. Исследование устойчивости правильного вихревого пятиугольника во всех резонансных случаях, встречающихся в задаче: резонансы 1:1, 1:2, 1:3, 1:1:2.

Таким образом, вместе с результатами линейного анализа Т. X. Хавелока [85] и результатами Л. Г. Куракина [27] об устойчивости вихревого треугольника в диссертации проведен полный нелинейный анализ устойчивости правильного вихревого п-угольника вне круговой области.