Численно-аналитический метод определения форм свободных колебаний пространственно-криволинейных неоднородных стержней

Многие прикладные задачи различных областей науки и техники связаны с исследованием состояний стержней с пространственно искривленной осью. Это прочностной анализ конструкции каркаса летательных аппаратов и судов, элементов жесткости антенных систем, несущих элементов нестандартных строительных конструкций, расчет систем амортизации, в которых используются различного рода пружины (цилиндрические или конические) и т. п.

В настоящее время одним из перспективных прикладных направлений является биомеханика, в рамках которой большое внимание уделяется изучению прочности элементов костно-мышечного аппарата животных и человека при вибрационных, ударных и других видах внешних воздействий.

Биомеханические структуры имеют сложную структуру и форму. Их механические свойства зависят от индивидуальных особенностей организма, возраста, функционального состояния, внешних факторов и в значительной степени определяются напряженно-деформированным состоянием, так как биомеханическая система адаптируется к внешним воздействиям.

Организм, как объект механики, представляет собой сложную систему, в которой просматривается иерархическая организация [14]. Один из возможных вариантов структурирования таков: выделение опорно-двигательного аппарата, (совокупности костно-мышечных тканей), внутренних органов, кровеносной системы. В свою очередь, каждая из указанных подсистем также может быть разбита на более простые. В частности, в опорно-двигательном аппарате выделяется скелет, источники энергии для его движения — поперечно-полосатые мышцы и суставы — соединительные элементы. Можно предложить и другой принцип структурирования — по отделам тела: голова, конечности, туловище со своими отделами — грудной клеткой, тазовым поясом и т. д. Рассматривая общие приемы исследования сложных систем, можно утверждать, что их математическое моделирование требует составления моделей элементов самого нижнего уровня иерархии, то 3 есть применительно к данному случаю костей, мышц и внутренних органов. Из приведенных примеров структурирования следует, что непременным элементом моделирования являются элементы скелета, т. е. кости, которые являются основными несущими конструкциями организма. В подавляющем большинстве кости можно представлять как пространственно-криволинейные стержни переменного сечения. Кроме того, элементы скелета обладают выраженными вязкоупругими свойствами [2, 8], изменяющимися как вдоль оси, так и в поперечном сечении. В силу этого разработка моделей таких объектов представляется актуальной задачей биомеханики.

В настоящее время изучению механического поведения организмов и их элементов, в частности, костей, посвящены исследования ряда российских и зарубежных ученых. Об актуальности таких исследований свидетельствует наличие специализированных журналов (например, Transactions ASME. Journal of Biomech. Eng., США, Российский журнал биомеханики, г. Пермь), постоянно действующих семинаров (например, под рук. проф. Ю. И. Няшина, Пермский ГТУ). В современных публикациях по биомеханике рассматривается широкий круг вопросов, который можно разделить на три основных класса: исследования механических свойств биоматериалов и различных элементов человеческого организма [29, 57, 59, 63, 62, 64, 67, 73, 75], моделирование динамики человеческого организма и отдельных кинематических цепей [4, 6, 7, 8, 10, 15, 20, 30, 33, 42,56], решение конкретных прикладных задач [33, 35, 37, 49, 54, 61, 70, 74, 72, 71, 58, 66]. Так, в [1, 12, 40, 43, 49, 54] изучаются вопросы статического и динамического поведения отдельных костей организма при различных видах нагружения. Исследуются более сложные вопросы, связанные с анализом соединений костей скелета — грудной клетки и суставов в различных условиях [37, 66, 70, 71, 72, 73, 74, 76, 78]. Общим вопросам механического поведения организма посвящены статьи и монографии [2, 31]. Существенным направлением исследований является анализ состояний и взаимодействие с организмом различного рода протезов [28,41].

Огромное внимание уделяется экспериментальному изучению свойств костных, мышечных и сосудистых тканей [24, 28, 38, 57, 59, 60, 63, 62, 64, 65, 67, 68, 69, 75, 77].

Рассматривая методы моделирования, следует отметить их значительное разнообразие — от аналитических моделей [1, 12, 44, 49, 54, 71] до дискретных конечно-элементных [5, 61, 70]. Тем не менее, следует отметить, что зачастую авторами используются упрощенные модели стержней, причем, как правило, основное предположение сводится к принятию плоской модели. В то же время такое предположение, особенно при динамическом нагружении может привести к значительным отклонениям от реального поведения стержня. В частности, даже при простых видах нагрузки — сосредоточенная сила, сосредоточенный момент (реализация которых, вообще говоря, сомнительна) в пространственно криволинейном стержне неизбежно возникновение сложных трехмерных форм колебаний. Особенно важным является это обстоятельство при учете вязкоупругих свойств. Известно [5], что различие в ядрах релаксации на растяжение и сдвиг приводит к взаимосвязи форм колебаний даже в тех случаях, когда в упругом теле они ортогональны. Изложенное приводит к необходимости рассмотрения именно трехмерных моделей.

Для решения задач о динамическом поведении вязкоупругих тел в настоящее время используется метод модального анализа (модального разложения) [5, 66]. Его преимуществом является возможность использования как аналитических, так и дискретных моделей, слабая зависимость от характера внешнего воздействия. Для реализации метода применяется разложение движения вязкоупругого тела по модам колебаний — функциональному базису — формам свободных колебаний упругого тела. Удобство этого базиса в том, что он представляет собой полную ортогональную систему функций, что упрощает технику разложения. Ориентируясь на использование именно этого метода для анализа динамического поведения костей, следует отметить, что особую важность приобретает разработка методов решения упругой задачи о свободных колебаниях. Изложенное позволяет сформулировать цель работы: разработать метод решения проблемы свободных колебаний простраственно-криволинейного стержня.

Формы свободных колебаний являются решением спектральной задачи (Штурма-Лиувилля) при заданных однородных краевых условиях. Безусловно, решение такой задачи можно найти численно, например, методом конечных элементов. Но на этом пути встает одна важная проблема, а именно, выбор аппроксимирующих функций. Применение классических полиномиальных аппроксимаций оправдано в статических задачах: они позволяют получить точные решения (конечно, в рамках линейной постановки) для различных частных случаев нагружения. Например, для систем прямых стержней, работающих на изгиб, кручение и растяжение/сжатие применение полиномов I степени для растяжения и кручения и III для изгиба дает точные решения при нагрузках, приложенных только в узлах системы. Повышение степеней полиномов позволяет получить точные решения для распределенных нагрузок частного вида — равномерно, линейно и т. п. распределенных нагрузках. Это — следствие чисто математического факта: полиномы являются строгими решениями дифференциальных уравнений состояния прямых стержней при упомянутых видах нагрузок. Если же стержни имеют криволинейные оси, в простейшем случае с постоянной кривизной (плоские круговые стержни), то полиномы уже не способны в точности удовлетворить уравнениям состояния. Как известно из элементарного курса сопротивления материалов, статические задачи для стержней с круговой осью представляются тригонометрическими функциями, т. е. бесконечными рядамиуменьшение погрешности численного решения достигается измельчением конечноэле-ментной сетки, то есть разбиением одного стержня на множество элементов малой длины. Но при этом погрешность решения принципиально неустранимаона может быть уменьшена до некоторого предельного количества элементов, при котором доминирующей становится погрешность вычислений, обусловленная ограниченной разрядной сеткой вычислительной машины. Кроме того, увеличение количества элементов усложняет подготовку данных при решении конкретных задач.

В анализе динамических состояний даже прямых стержней строгие решения есть сумма экспонент, и говорить о приемлемой точности при аппроксимации перемещений полиномами конечной (невысокой) степени некорректно. Поэтому в данном разделе рассматривается вопрос о представлении решений динамических задач через комбинации элементарных трансцендентных функций, которые в пределе дают строгие решения системы уравнений для форм свободных колебаний. Иными словами, предлагается вместо традиционных полиномов использовать приближенные аналитические решения дифференциальных уравнений состояния с переменными коэффициентами. Преимущества данного подхода очевидны: во-первых, аналитически определенные формы свободных колебаний для линейных задач представляют собой полную, а зачастую — и ортогональную систему функций, что дает возможность представлять решение сходящимся рядом, остаточный член которого легко оценитьво-вторых, при подготовке данных для стержневой системы реализуется принцип: один стержень — один элемент, что существенно облегчает подготовку данных.

Структурно диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Общая постановка задачи о свободных колебаниях пространственно-криволинейного упругого стержня с переменными параметрами сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 12 порядка с переменными коэффициентами относительно собственных состоянийона может быть решена методом последовательных приближений.

2. Сформулированы соотношения, позволяющие представить решение краевой задачи для стержня в аналитической форме при известных собственных частотах.

3. Предложен способ определения спектра свободных колебаний, основанный на методе начальных параметров, позволяющем выделить из множества решений краевой задачи модальный базис. Основой метода является выбор начального приближения как решения задачи с постоянными параметрами, выделяемой из основной, что позволяет уменьшить количество последовательных приближений. .

4. Исследования сходимости рекуррентных формул показали, что для стержней с осью в виде логарифмической и архимедовой спирали существует область параметров в которой достаточно первого приближения.

5. Установлено, что безразмерные частоты свободных колебаний пространственно-криволинейного стержня при сохранении удлинения стержня постоянным не зависят от него. Коэффициент Пуассона слабо влияет на безразмерные собственные частоты.

6. В исследованных состояниях выделяются доминирующие кинематические и силовые факторы, что может помочь при проведении расчетов на прочность.