Некоторые вопросы нелинейного моделирования в пространстве функций ветвящегося аргумента

Настоящая работа посвящена разработке, исследованию и обоснованию математических моделей физических явлений в сетеподобных структурах. В качестве основных математических моделей, изучаемых в работе, рассматривается задача минимизации функционалов где Г — геометрический граф, представляющий собой связное объединение конечной совокупности прямолинейных отрезков из Rn, J® -множество всех внутренних вершин Г, и (х) — функции ветвящегося аргумента (т.е. определенные на Г), и (а) — общий предел функции и (х) при приближении х к, а вдоль каждого ребра, примыкающего к а.

Основная цель, которая преследуется в работе, состоит в разработке новых математических методов анализа состояния и процессов в сложных физических системах сетеподобной структуры. Это осуществляется распространением основополагающих принципов естествознания на случай энергетических функционалов в пространствах функций ветвящегося аргумента. Мы устанавливаем, в частности, аналоги необходимых условий экстремума, достаточных условий экстремума, условий диффе-ренцируемости для функционалов указанного типа.

За последние несколько лет резко возрос интерес к математическим ф (и) = J F (x, u (x), u'(x))dx, г aeJ® г моделям, описываемых в терминах функций ветвящегося аргумента, т. е. аргумента, принимающего значения из некоторого геометрического графа. Появилось несколько монографий и обзоров (см., например, [4], [37], [14], [46]) наряду с несколькими сотнями публикаций в разных журналах.

В большом количестве задач, как практического, так и научного содержания, давно уже используются геометрические графы для описания математических постановок, т. е. математических моделей. Объекты, организованные и функционирующие по схеме графа, достаточно типичны — это и упругие сетки (см., например, [4], [50]), и решетки из стрежней (см., например, [4], [50], [9], [38]), и электрические цепи (см., например, [52], [35]), и гидравлические системы (см., например, [3]) и многое другое. Представляя весьма сложный объект, подобные задачи в серьезную математику вошли сравнительно недавно, в основном — в форме краевой задачи для дифференциальных уравнений на геометрических графах. Обстоятельные математические исследования таких задач начались усилиями Санкт-Петербургских математиков (Б.С. Павлов, М. Д. Фаддеев, Н. И. Герасименко (см., например, [10], [2])), воронежских математиков (научная школа Ю. В. Покорного (см., например, [11], [15], [16], [18]-[20], [24]-[26], [22], [30], [5], [28])), западно-европейских математиков (см., например, [38]-[45], [47]-[49], [53], [54]). Последнее десятилетие интерес к подобным объектам резко возрос, концентрируясь в основном вокруг дифференциальных уравнений для функции ветвящегося аргумента.

Обстоятельный анализ естественных вопросов, смежных с подобными задачами (о структуре функциональных пространств, естественных топологиях в них, о вариационных постановках в таких пространствах, об условиях экстремума и др.), оставался пока за пределами внимания.

В настоящей работе обсуждается’цикл вопросов, связанных с вариационными постановками в пространствах функций ветвящегося аргумента. Такие постановки как раз и приводят к математическим моделям, имеющим форму задачи на экстремум для функционалов Ф (и), Ф]. ^).

Основные трудности, связанные с анализом функций ветвящегося аргумента в такого рода математических моделях, порождаются локальными особенностями в окрестности узлов соответствующего графа. При рассмотрении дифференциальных уравнений на геометрических графах, решения таких уравнений должны быть «сшиты» в узлах специальными условиями трансмиссии, дополняющими обыкновенные дифференциальные уравнения на ребрах. Если же говорить об экстремальной задаче для функционалов вида: где Г — геометрический граф, состоящий из набора «сшитых» в вершинах отрезков-ребер, то при толковании такого интеграла, как суммы интегралов по ребрам, ни о каких условиях «сшивания» рассматриваемых функций и (х) в узлах Г нет и речи — кроме предположения о непрерывности рассматриваемых функций и о наличии производных и'{х) внутри каждого ребра. Классическая технология анализа подобных задач основана на выделении производной Фреше или Гато (первая вариация), имеющей вид:

6Ф (щ)Н= / (Fu{x, u0(x), u'0(x))h (x) + Fu>(x, uo (x), vb (x))ti (x))dx,.

ФiM = / F (x, u (x), u'(x))dx + G (a, u (a)),.

P aeJ (Г) г с последующим преобразованием слагаемого f FU’h’dx — J Fu>dh интег г грироваиием по частям. Последняя процедура (интегрирование по частям) тривиальна для случая, если Г является отрезком (и в предположении дополнительной гладкости Fui), а в случае графа — порождает ряд внеинтегральных слагаемых, определяемых как бы вновь возникшими атомами меры во внутренних узлах графа. Это легко объяснить, если обратить внимание па то, что в канонической форме интегрирования по частям, даже для отрезка [аЬ} по существу интеграл справа должен пониматься по Стильтьссу, т. е. du — это дифференциал меры. Присутствие таких неприятностей во внутренних узлах осложняет описание условий, подобных уравнению Эйлера, уравнению Якоби и прочих необходимых и достаточных условий стандартных экстремальных задач, а также осложняет отыскание и доказательство достаточных условий знакоопределенности квадратичных функционалов. Преодоление подобных трудностей и составило основное содержание диссертации. Попутно мы обсуждаем естественные вопросы об описании для ветвящегося аргумента функциональных пространств, аналогичных С1, строим естественные аналоги нормировок таких пространств, обсуждаем вопросы о полноте этих пространств, о непрерывности исходных функционалов в этих пространствах. Один из главных вопросов по ходу дела — вопрос о существовании точки минимума исследуемых функционалов.

Подобные вопросы для фукции ветвящегося аргумента ранее другими авторами не обсуждались. ъ ь, а а.

Перейдем к краткому описанию основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена описанию предварительных понятий, которые необходимы для четкой математической постановки изучаемой задачи. Приведено подробное описание объектов исследования.

В пункте 1.1 определяется понятие геометрического графа из Rn, который всюду далее обозначаем через Г. Предполагается, что множество ребер Г конечно, и они как-то занумерованы: 71,72, •••, 7тОбъединение всех ребер Г обозначается через R (Г). Множество всех внутренних вершин Г обозначается через J (Г), а множество всех граничных вершин Г обозначается через <9Г. Если 7i — ребро Г (и значит, 7- есть интервал, не содержащий своих концов), то его замыкание обозначается через [7^. Замыкание Г обозначается через [Г]. Таким образом, Г = R (T) [J J (Г) и г] = ги<�эг.

Далее определяется операция взятия производной и'{х) для веще-ственнозначной функции и в точках х из R (T). Описываются функциональные пространства, с использованием которых ставится и в дальнейшем изучается вариационная задача. Если 7 — ребро Г, а и — функция, определенная на Г или R (Г), то через щ будем обозначать сужение функции и на 7. Через С (7?(Г)] мы будем обозначать множество функций и: R (T) —> R таких, что для любого ребра 7 сужение и7 равномерно непрерывно на 7. Через С[Г] обозначаем множество функций, равномерно непрерывных на Г (такие функции будем также называть непрерывными на [Г]). Через С1 [Г] обозначаем множество функций и таких, что:

1) и е С[Г];

2) и' е С[Д (Г)].

Через С2 [Г] мы обозначаем множество таких функций и из С1 [Г] таких, что и" <Е С[Д (Г)].

Если 7 — ребро, то множество функций у: 7 —> R таких, что производная у' равномерно непрерывна на 7, будем обозначать через С1 [7].

Для любой определенной на R (Г) функции и (х) под ее интегралом на Г мы понимаем сумму интегралов по всем соответствующим ребрам:

771 р. u (x)dx = Yl / u (x)dx- (0−0-1) г Ъ.

При этом интеграл f u (x)dx будем понимать в соответствии с ориентаъ цией 7i, т. е. если щ — начало ребра 7 г, а bi — конец 7 $, в смысле ориентации 7г> то.

ЦЬг-aiH.

Iu{x)dx~ I ^ +.

Ъ и bi где?7г = Wbi—aiW^ipi—ai). Иногда вместо f u (x)dx будем писать f u{x)dx.

7t ai.

И вообще, если Х, х<2 — две точки из замыкания [7^, то будем полагать.

Х-2 Oi||.

J u (x)dxaJ uifli + sr]i)ds.

Вводятся функционалы = /*(,"-WW)*. (0.0.2) Г фi (w) = F (x, u{x), u'(x))dx + Y^ G{a, u (a)), (0.0.3).

P aeJ® которые будем называть соответственно регулярным и нерегулярным функционалами на Г .

Далее С1 [Г] рассматриваем как нормированное пространство. Норма: т.

41 с1 [г] = ко)|})г=1.

Доказывается следующая теорема.

Теорема 1.1.1 Пространство С1 [Г] - банахово.

Далее через F^lx:u, u') обозначается сужение функции F (x:u, u') на тi х R х R.

Теорема 1.1.2 Пусть для любого ребра 7i функция и, и') непрерывна на jiX Rx R и непрерывно доопределяема на [7 $] х Rx R. Тогда функционал Ф, определяемый равенством (0.0.2), непрерывен на С1 [Г].

В пункте 1.2 мы договариваемся, для краткости, называть функцию F (x, и, и') дважды непрерывно дифференцируемой, если для каждого ребра 7i все частные производные второго порядка от функции F^ (х, и, и'), q ттл/гтт"г, я^г) ТрЫ ТрЫ) тр (ъ) ТрЫ ТрЫ ГрЫ) рЫ) трЫ) «onnnnrInnu, а именно, rXx ,-fxu, гхи>^их ,-гии, гии> i^u>u j-^uv непрерывны по совокупности переменных на 7iX Rx R и непрерывно (по совокупности переменных) доопределяемы на х Rx R.

Доказывается следующая теорема.

Теорема 1.2.1 Для того, чтобы функционал (0.0.2) имел производную Фреше на данной функции щ (х), достаточно, чтобы функция F (x, и, и') была дважды непрерывно дифференцируема. При этом Ф'(щ) определяется равенством ф'(u0)h = J[Fu{x, u0(x), u'0{x))h{x)+Fu,(x, u0(x), u'0(x))ti (x)}dx. (0.0.4) г.

Множество функций и из С1 [Г] с фиксированным набором значений {п (а)}аеаг обозначим через Ш. Очевидно, Ш есть линейное многообразие в С1 [Г]. Стандартным образом из теоремы 1.2.1 выводится следующее следствие.

Следствие 1.2.1 Если щ (х) дает локальный минимум задачи.

Ф (и) mm, то uern.

J [Fu (x, uo (x), u0(x))h (x) + Fu>(x:uQ (x), u'0(x))ti (x)]dx 0 г.

Vh e Wl0,.

0.0.5) где ШТ0 состоит из функций h G С*1 [Г], которые удовлетворяют уело вию h = 0.

0.0.6).

Аналогично теореме 1.2.1 показывается, что производная Фреше от функционала (0.0.3) определяется равенством.

Ф[(uQ)h= / [Fu (x, u0(x), u'Q (x))h (x) + Fu,(x, u0(x), u'0(x))ti (x)]dx+.

Точнее говоря доказывается следующая.

Теорема 1.2.2 Для того, чтобы функционал (0.0.3) имел производную Фреше на данной функции щ (х), достаточно, чтобы функция F (x, u, u') была дважды непрерывно дифференцируема, а также, чтобы G (a, и) была дифференцируема по второму аргументу. При этом имеет место формула (0.0.7).

В пунктах 1.3, 1.4 вводятся в рассмотрение первая и вторая вариация функционалов (0.0.2), (0.0.3) и выводятся формулы для этих вариаций. В частности, показывается, что если F дважды непрерывно дифференцируема, то г.

0.0.7) aeJ® г.

2Fuu>(x, uo (x), u'0(x))h (x)h'(x) + Fu, u.{x, щ{х), u'0(x))ti2(x)]dx, а если предположить еще, что G (a, и) дважды дифференцируема по и при каждой a 6 </(Г), то.

62(&i (uo)h = J [Fuu (x, uQ (x), u'0(x))h2(x)+ г.

2Fuu,(x, Uo{x), u'0(x))h (x)ti (x) + FU’Ur (x, u0(x), u,0(x))ti2(x)]dx+ Guu (a:u0(a))h2(a). a? j (r).

Во второй главе изучаются необходимые условия экстремума функционалов (0.0.2) и (0.0.3).

В пункте 2.1. выводится аналог уравнения Эйлера для функционалов (0.0.2) и (0.0.3). Доказываются следующие две теоремы.

Теорема 2.1.1 Пусть F дважды непрерывно дифференцируема. Пусть Uq{x) изШ — является точкой локального минимума функционала (0.0.2), причем щ? С2[Г]. Тогда на каждом ребре 7i для нее справедливо тождество.

Fu (x, ио (х), и'0(х)) — щ (х), и'0(х)) = 0, (0.0.8) а в каждой внутренней вершине, а € J (Г) справедливо условие.

Э2г (а)47°(а, щ (а), Ы") = 0. (0.0.9).

Здесь и далее Г (а) обозначает набор примыкающих к, а ребер. Число авг (а) равно 1, если ребро 7 $ ориентировано «от а», и равно — 1, если 7i ориентировано «к а». Через (щ)[(а) обозначен предел (wo)'(a:) ПРИ х•> стремящемся к, а по ребру 7.

Если следовать концепции, разработанной в [4], то систему (0.0.8), (0.0.9) следует рассматривать как единое уравнение на Г для функции щ. Поэтому резонно ввести следующие термины.

Определение 2.1.1 Систему (0.0.8), (0.0.9) будем называть уравнением Эйлера для функционала (0.0.2).

Определение 2.1.2 Решение уравнения Эйлера для функционала (0.0.2) будем называть экстремалью этого функционала, а решение этого уравнения, принадлежащее 9Л, будем называть допустимой экстремалью функционала (0.0.2).

Теорема 2.1.2 Пусть F дважды непрерывно дифференцируема и пусть G (a, и) дифференцируема по и при каждой фиксированной, а (Е J®. Пусть щ (х) из дЛ — является точкой локального минимума (0.0.3), причем щ? С2 [Г]. Тогда на каждом ребре ^ для неё справедливо тождество (0.0.8) а в каждой внутренней вершине a G «/(Г) справедливо условие.

— ]Г aDi (o)F1j7<)(a, wo (a),(Mo)i (a)) + Gtt (a, uo (a)) = 0. (0.0.10).

7i€l>).

Определение 2.1.3 Систему (0.0.8), (0.0.10) будем называть уравнением Эйлера для функционала (0.0.3).

Определение 2.1.4 Решение уравнения Эйлера для функционала (0.0.3) будем называть экстремалью этого функционала, а решение этого уравнения, принадлежат, ее ЯЯ, будем называть допустимой экстремалью функционала (0.0.3).

Заметим, что возникающее «уравнение на графе» (0.0.8) в нерегулярном случае дополняется условиями трансмиссии (0.0.10), имеющими, по сравнению с (0.0.9), дополнительное слагаемое — за счет наследования особенностей задачи во внутренних узлах.

В обоих случаях (и для функционала (0.0.2), и для функционала (0.0.3)) полученный аналог уравнения Эйлера имеет форму набора обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для каждого ребра в сочетании с так называемыми условиями трансмиссии.

Требование о существовании второй производной у функции щ в теоремах 2.1.1 и 2.1.2 являются излишними, о чем и говорит следующая теорема.

Теорема 2.1.3 Если в условиях теорем 2.1.1 и 2.1.2 условие щ G С2 [Г] заменить на условие щ € С1 [Г], то утверждения этих теорем останутся верными.

В пункте 2.2 устанавливается необходимое условие, типа классического условия Лежандра. Доказаны.

Теорема 2.2.1 Пусть F трижды непрерывно дифференцируема. Пусть вторая вариация функционала (0.0.2) неотрицательна для всех h Е Ш0. Тогда Fu>U'(x, uq (x), u'0(x)) > 0 на R (T).

Теорема 2.2.2 Пусть F триоюды непрерывно дифференцируема, а G (a, u) — дважды дифференцируема по и при каждой фиксированной, а е J (Г). Пусть вторая вариация функционала (0.0.3) неотрицательна для всех h G Ш0. Тогда Fu>U'(x, uo (x), u'0(x)) > 0 на R (Г).

Здесь и далее функцию F мы, для краткости, называем трижды непрерывно дифференцируемой, если для любого ребра 7? все частные производные третьего порядка функции F^ непрерывны на 7i х R х R и, более того, непрерывно доопределяемы на [7^] х R х R.

В третьей главе устанавливаются достаточные условия экстремума вариационной задачи для функционалов (0.0.2) и (0.0.3), с опорой на анализ второй вариации этих функционалов.

В пункте 3.1 вторые вариации функционалов (0.0.2) и (0.0.3) рассмат-риаются в виде:

62Ф{и0)Н = J (.M (x)h'2{x) + 2Q (x)h{x)h'(x) + N (x)h2(x)) dx, (0.0.11) г.

52Фi{u0)h = J [M (x)h'2(x) + 2Q{x)h (x)hx) + N (x)h2(x)]dx+ г (0.0.12) aeJ® где M{x) = Fuiu,(x, uo (x), u'0(x)), Q (x) = Fuu,(x, u0(x), u'0(x)), N (x) = Fuu (x, uo (x), u'0(x)), R (a) = Guu (a, щ (а)).

Устанавливается условие знакоопределенности (0.0.11) и (0.0.12) в виде аналогов классической теоремы Якоби. Введём в рассмотрение уравнение.

Mz’Y — 2Qz! + (j^ = 0, (0.0.13) предполагая функции Q, М, N равномерно непрерывными на каждом ребре, причём inf М (х) > 0. Уравнение (0.0.13) мы трактуем обычным xGR{ г) образом на каждом ребре Г, а в каждой из внутренних вершин, а € J® мы предполагаем непрерывность решения z (x): Г —> R, а также следующие условия.

3щ{а)Мг{а)^(а) = 0. (0.0.14).

7гбГ (а).

Определение 3.1.1 Скажем, что функционал (0.0.11) удовлетворяет условию Якоби, если уравнение (0.0.13) имеет при условиях (0.0.14) хотя бы одно решение без нулей на [Г].

Теорема 3.1.1 Пусть дТф 0. Пусть М, Q, N принадлежат С[12(Г)]- причем inf М (х) > 0. Тогда, если функционал (0.0.11) удовлетворяет xeR (T) условию Якоби, то значение функционала (0.0.11) строго положительно на любой h{x) из ШТ0 (h ф 0).

Интересно отметить, что при доказательстве этой теоремы был введен класс, так называемых, приглаженных на геометрическом графе функций, который оказывается востребованным и в других вопросах (см., например, [36]).

Определение 3.1.2 Скажем, что функционал (0.0.12) удовлетворяет условию Якоби, если уравнение (0.0.13) имеет, при условиях трансмиссии.

— Y^ ещ (а)М{(а)г-(а) + R{a)z{a) = 0, а е J (Г), (0.0.15).

7гёГ (а) хотя бы одно решение без нулей на [Г].

Теорема 3.1.2 Пусть дТ 0. Пусть M, Q и N удовлетворяют условию теоремы 3.1.1. Тогда если функционал (0.0.12) удовлетворяет условию Якоби, то значение функционала (0.0.12) строго положительно на любой h (x) из Ш0 (НфО).

Далее при рассмотрении вопроса о поле экстремалей нам понадобится вариант уравнения Якоби, отличный от (0.0.13). Рассматривается дифференциальное уравнение.

M{x)zх))' - (Щх) — Qx))z (x) = 0, х G Д (Г), (0.0.16) при условиях трансмиссии.

7г€Г (а) [ ээi (a)^)(a,"o (fl), = 0, a <Е J (Г). (0.0.17).

7г€Г (а).

Определение 3.1.3 Скажем, что функционал (0.0.11) удовлетворяет условию Якоби второго типа, если уравнение (0.0.16) при условиях трансмиссии (0.0.17) имеет решение без нулей на [Г].

Теорема 3.1.3 Пусть 5 Г ^ 0. Пусть М, Q и N удовлетворяют условиям теоремы 3.1.1. Тогда если функционал (0.0.11) удовлетворяет условию Якоби второго типа, то значение функционала (0.0.11) строго положительно для любой h{x) из Ш10 (h ф. 0.).

В пункте 3.2 устанавливается детерминантное представление решения однородного уравнения с неоднородными краевыми условиями. На основании этого представления доказана следующая лемма, представляющая самостоятельный интерес.

Лемма 3.2.1 Пусть za{x) является непрерывным на Г решением краевой задачи.

М (х) — a) z'(x))'- 2Q{x)zx) + (^Щ — N (x)^j z{x) = 0, х? Д (Г),.

0.0.18).

— аег (а)(Мг{а) — a) z[{a) + R (a)z (a) = 0, а е J (Г), (0.0.19) z (b) = Ръ, be <9Г, (0.0.20) где, а — некоторая константа, /Зь — фиксированные числа. Пусть при, а — 0 задача (0.0.18) — (0.0.20) невыроэюдена. Тогда za (x) zq (x) на Г при, а —> 0.

В пункте 3.3, благодаря результатам, полученным в теоремах 3.1.1 и 3.1.2, а также в лемме 3.2.1, доказаны следующие две теоремы, аналогичные усиленной теореме Якоби из классического вариационного исчисления.

Теорема 3.3.1 Пусть дГ ф 0 и пусть М, Q и N — те же, что и в теореме 3.1.1. Тогда если функционал (0.0.11) удовлетворяет условию Якоби, то существует константа, а > 0 такая, что для всех h? ЯЛ0.

Теорема 3.3.2 Пусть дТ ф 0 и пусть М, Q и N — те же, что и в теореме 3.1.1. Тогда если функционал (0.0.12) удовлетворяет условию Якоби, то существует константа, а > 0 такая, что для всех h G Ш0.

В пункте 3.4 доказываются несколько вспомогательных неравенств, в частности, аналог леммы Пуанкаре для функций, заданных на графе. Пункт 3.5 начинается со следующих определений. Определение 3.5.1 Если щ — допустимая экстремаль функционала (0.0.2) (или функционала (0.0.3)), причем inf Fu’U'(x, uo (x), u'0(x)) >

0- то будем говорить, что на щ выполнено усиленное условие Лежанд-ра.

Определение 3.5.2 Если щ — допустимая экстремаль функционала (0.0.2) (или функционала (0.0.3),), причем вторая вариация этого функционала удовлетворяет условию Якоби, тю будем говорить, что на щ выполнено условие Якоби.

Затем доказываются следующие две теоремы о достаточном условии экстремума.

Теорема 3.5.1 Пусть дТ ф 0. Пусть функция F (x, u, u') дважды г г жеД (Г) непрерывно дифференцируема и пусть функция щ? Ш удовлетворяет следующим условиям: а) uq является допустимой экстремалью функционала (0.0.2) — б) на щ выполняется усиленное условие Лежандрав) на uq выполняется условие Якоби.

Тогда щ является локальным минимумом функционала (0.0.2).

Теорема 3.5.2 Пусть дТ ^ 0. Пусть функция F (x, u, u') дважды непрерывно дифференцируема, а функция G (a, и) дважды непрерывно дифференцируема по и при каждой a G </(Г). Пусть функция щ G Ш удовлетворяет следующим условиям: а) щ является допустимой экстремалью функционала (0.0.3) — б) на щ выполняете усиленное условие Лежандрав) на щ выполняется условие Якоби.

Тогда щ является локальным минимумом функционала (0.0.3).

Пункт 3.6 посвящен доказательству существования поля экстремалей.

Функцию и (х, Х), определенную на Г х [Ai, А2], мы называем полем экстремалей, если при каждом X' € [Ai, Л2] соответствующая функция и (х, Л) = и (х, X') является экстремалью по ж, т. е. удовлетворяет уравнению Эйлера. При этом, при разных Л', X" соответствующие этим значениям замыкания графиков функций и (-, Л'), и (-, X") не пересекаются, т. е. функции it (-, Л'), и (-, X") не имеют общих значений при каждом х из [Г]. Мы называем поле и (х, Л) гладким (по Л), если функция и (х, Х) непрерывно дифференцируема по Л. Мы говорим, что поле и (х, Л) включает экстремаль щ (х), если щ (х) совпадает с некоторой функцией и (х, Л') при Ai < Л' < А2.

Введем в рассмотрение краевую задачу вида:

Fu (x, u{x), u'(x)) — -^Fu/(x, u (x), u'(x)) = 0, х? R (T), (0.0.21) ]Г аф) Р{^а, и (а), и[(а)) = 0, а? J (Г), (0.0.22).

7"еГ (а) и{Ъ) = АЬ + еВь, Ь? <9Г, (0.0.23) где Аь и Въ — некоторые заданные (для каждой b? дТ) числа. Обозначим решение этой задачи через v (x, e).

Теорема 3.6.1 Пусть дТ ф 0. Пусть F трижды непрерывно дифференцируема. Пусть для любых наборов чисел {Аь}ьедг и {Вь}ьедт У задачи (0.0.21)-(0.0.23) есть решение v (x, e), причем единственное. Пусть при этом существует So > 0 такое, что для каэтдого ребра ^ сужение а3 д3 д3 на 7i каэюдой из производных 0ГЛ v (x, e), -—-^—-zvix.e),,^. v (x, s) дхгО£ оедх1 охоедх непрерывно на 7гх [—е0- ?0] и непрерывно доопределяемо на [7^ х [—£о', £о] • Пусть щ (х) — допустимая экстремаль функционала (0.0.11), и на ней выполнено усиленное условие Лежандра и условие Якоби второго типа. Тогда Uq (x) допускает включение в гладкое поле экстремалей.

Из теоремы 3.6.1 вытекает утверждение, показывающее проверяемость условий теоремы для физически важного случая.

Следствие 3.6.1 Пусть дГ ф 0. Пусть р'", q'", f"? С[Д (Г)]. Пусть, кроме того, inf р (х) > 0 и q (x) > 0 на R (T). Тогда, если щ — допуxeR{T) стимая экстремаль функционала г / [ fp{x)u'2(x) q{x)u2(x) J (2 + 2 f^u (x4dx' г то щ допускает включение в гладкое поле экстремалей этого функционала.

В заключение мы обсудили вопрос о численном эксперименте, связанном с подобными математическими моделями. Нас интересовало, как можно прямым методом получать результаты, аналогичные тем, которые можно получить методами, связанными с вариационным исчислением, с первой вариацией, со второй вариацией. При этом исходный функционал был исследован приближенными сеточными методами. Предложен алгоритм решения (методом конечных разностей) задачи, о деформации закрепленной упругой системы из трех связанных струн, при отсутствии упругой среды. Дается анализ погрешности приближенного решения и полученных результатов.

Основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в [8], [13], [17], [21], [23], [27], [29], [31]—[34], [51]. Из совместных работ [8], [13], [17], [21], [23], [27], [29], [51] в диссертацию включены только результаты, которые установлены лично автором. Работы [13], [27] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягипские чтения — XV» (Воронеж, ВГУ, 2004) — Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, ВГУ, 2005) — Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XVI» (Воронеж, ВГУ, 2005) — Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XVII» (Воронеж, ВГУ, 2006) — Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, ВГУ,.

2007) — Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XVIII» (Воронеж, ВГУ, 2007), на семинаре по качественной теории краевых задач под руководством профессора Покорного Ю.В.

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, дополнения и списка литературы. Объем диссертации 110 стр. Библиография содержит 54 наименования. Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы и пункта.

1. Гельфанд И. М. Вариационное исчисление / И. М. Гельфанд, С. В. Фомин // М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. — 228 с.

2. Герасименко Н. И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н. И. Герасименко, Б. С. Павлов // ТМФ. 1988. Т. 74. № 3. С. 345−359.3. гудзовский А.В. К расчету гидравлических сетей / А. В. Гудзов-ский // Докл. АН. 1988. — Т.358, № 6. — С. 765−767.

3. ПОКОРНЫЙ Ю. В. О краевых задачах на графах // Численные методы и оптимизация. АН ЭССР. Таллин, 1988. С. 158−161.

4. ПОКОРНЫЙ Ю. В. О нелинейной краевой задаче на графе / Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. JI. Прядиев // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 5. С. 629−637.

5. ПОКОРНЫЙ Ю. В. О неосцилляции на графах / Ю. В. Покорный // Докл. расшир. засед. семинара Ин-та прикл. математики им. И. Н. Векуа. 1988. Т.З. № 3. С. 139−142.

6. ПОКОРНЫЙ Ю. В. О неосцилляции обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств на пространственных сетях // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 5. С. 661−672.

7. Ali-Mehmeti F. Nonlinear interaction problems. / F. Ali-Mehmeti, S. Nicaise // Nonlinear Anal. 1993. V. 20. no. 1. P. 27−61.

8. Ali-Mehmeti F. Some realizations of interaction problems./ F. Ali-Mehmeti, S. Nicaise // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 1991. V. 135. P. 15−27.

9. KUCHMENT P. Graph models of wave propagation in thin structures / P. Kuchment // Waves in Random Media. 2002. V.12, № 4. — P. 1−24.

10. LUMER G. Espaces ramifies, et diffusions sur les reseaux topologiques // C. R. Acad. Sci. Paris. 1980. Ser. A-B. t. 291, no. 12 P. A627-A630.

11. ROTH J.-P. Spectre du laplacien sur un graph // C. R. Acad. Sc. Paris. 1983. t. 296. P. 783−795.

12. ROTH J.-P. Le spectre du laplasien sur un graphe // Lect. Notes Math. Springer-Verlag, 1984. P. 521−539.