Заключение к разделу 4

Рассмотрение второй производной при поиске экстремума функции одного независимого переменного позволяет определить, какой тип экстремума в точке, где /' (х₀) = 0. Если /" (х₀) > 0, то в точке х₀ имеет место минимум, если /" (х₀)<0, то в этой точке достигается максимум¹. Аналогично при поиске экстремума функции нескольких независимых переменных положительная или отрицательная определенность квадратичной формы с матрицей из вторых производных.

в точке дс =(х]^<0), Xj⁰¹, х), где вектор — градиент функции У/(л:⁽⁰⁾) = О, также позволяет утверждать наличие минимума или максимума в этой точке.

В вариационном исчислении ситуация аналогична конечномерному случаю, но значительно сложнее. Как мы видели, вторая вариация функционала (квадратичный функционал).

будучи записана в виде.

при положительности функции Р = f_y._y. jl > 0 (условие Лежандра) также должна быть положительно определенной при минимуме (отрицательно определенной при поиске максимума). Но при углубленном рассмотрении проблемы Якоби указал на то, что условия Лежандра для положительной определенности квадратичного функционала недостаточно! И это, как нетрудно понять, некоторое требование перехода к качественно новому бесконечномерному случаю, где мы ищем функцию или совокупность функций, при которых наш функционал достигает экстремума. Это новое требование и составляет существо условия Якоби: промежуток а, Ь не должен содержать точек, сопряженных с точкой а. А для того чтобы выяснить, имеются ли сопряженные точки, нужно рассмотреть решение уравнения Якоби.

¹ Конечно, мы не должны упускать из рассмотрения и случай, когда Г (х") = 0.

с начальными условиями И (а) = 0 и h'(a)= 1.