Сеточно-характеристический метод для двух независимых переменных

Рассмотрим теперь совокупность из I уравнений переноса (1.1) v_it + A/У/* = fi, для каждого из которых можно воспользоваться предыдущими построениями (разд. 1). Но к таким или близким уравнениям (условиям совместности).

приводится любая одномерная система уравнений гиперболического типа (1.1.9), как только из характеристического уравнения (1.1.7) найдены собственные значения X/(/ = 1,…, /) матрицы А и для каждого из них из линейной однородной системы (1.1.6) с точностью до их длины определены линейно независимые левые собственные векторы сЗ/(/ = 1,…"/).

Следовательно, и в общем одномерном случае для произвольной точки Н на слое t = г^{Л+ 1} с координатой х_яиз (1) имеем, аналогично (1.3).

Здесь и / = 1, I — значения вектор-функции и в точках пересечения характеристик dx =1,…, / с плоскостью t = tⁿ, на которой в узловых точках х_т, т = 1, 2,… заданы значения и". Координаты этих точек пересечения x_t = х_н — Х/Г, / =1,…" / определяются либо с первым порядком точности (X/ = (Х/)_я), либо более точно методом последовательных приближений. При v = ½ (2) имеет второй порядок аппроксимации по f, при других значениях v (2) имеет первый порядок аппроксимации, причем без потери точности в этом случае можно положить сЗ/ = (си/)_я, тУсЗ/f «+ + 7(1 — v)(Zi f _я^{+ 1} = rc3/f?. Для определения каждого из значений и» можно воспользоваться той или иной интерполяционной формулой, например, при всех — 1 < о_{ = Х/т/Л < 1, i = 1,…, / и х_т = х_н u" = и?, — o_t A_mii + + |а/|⁷ Д^и (у = 1 для линейной и у = 2 для квадратичной интерполяции). Тогда получим обычную разностную запись сеточно-характеристического метода.

Здесь | Л | = | | Х,| J, |Л|⁷ = ПХ_/|⁷1- соответствующие диагональные матрицы, Д _wv, A^v, v = u, f определяются соотношениями (1.6).

Наибольший интерес, как отмечалось выше, представляют два варианта схемы (5): схема второго порядка точности (у = ½, 7 = 2, схема II) и монотонная схема первого порядка точности (у =0, 7 = 1, схема I).

В последнем случае можно заменить в (5) f^⁺¹ на f^.

Схема I легко обобщается на случай неравномерной разностной сетки по г, h, и именно в этом виде она была впервые предложена в работе [67]. Там же дано строгое доказательство сходимости этой разностной схемы для общего квазилинейного случая одномерной системы уравнений гиперболического типа (1.1.9), которое здесь не воспроизводится ввиду его громоздкости.

Для схемы II необходима организация локального (только в рассчитываемой точке {*^л+1, х_т}) итерационного процесса в квазилинейном случае A =A (t, х, u), f = f (t, Ху и) или представление (5) в виде двухшаговой схемы предиктор—корректор (как это делается в известном методе Рунге—Кутгы, схемах Лакса—Вендроффа, Маккормака и т. д.).

2. Идея сеточно-характеристического метода может быть использована для построения разностных схем в случае дивергентной записи (1.2.3) исходных уравнений.

в том числе консервативных разностных схем [68], для которых в области 0 < f < Г, а<�х< b (и любой другой области G) выполняются сеточные аналоги интегрального представления (6).

Пусть некоторая матрица В, заданная в пространстве и, имеет собственные значения X* (/ = 1, …,/) того же знака, что и матрица А = F_u, т. е. диагональная матрица L = } signXj, …, sign X/J для них одна и та же (в частности, за В можно принять матрицу А). Умножая (6) на линейно независимые левые собственные векторы со* матрицы В_у будем иметь.

Эта система в силу линейной независимости со* эквивалентна исходной системе (6). Аппроксимируя последнюю с учетом знаков собственных значений матрицы В односторонними разностями по х (левыми — для положительных Л/, правыми — для отрицательных), получим.

Умножая эти разностные уравнения (предварительно записанные в векторной форме) слева на П" ¹ и используя ранее введенные обозначения, получим схему первого порядка точности.

которая, обладая всеми свойствами аналогичной схемы (5), v =0, 7 = 1, из-за члена в правой части не удовлетворяет условиям консервативности (7). Однако заменой этого члена на.

легко сделать (8) консервативной разностной схемой. Заметим, что без нарушения порядка аппроксимации и консервативности разностной схемы этот член можно выбирать в виде.