Составление портфеля из двух разновидностей акций

При наличии на рынке ценных бумаг лишь двух акций А и В область выбора инвестора не сводится к двум сочетаниям г_А, _a и г_в, а_в. Для составления портфеля можно использовать бесчисленное множество комбинаций из определенного количества каждой из акций. Согласно свойству (5.1) ожидаемая доходность таких комбинаций определяется по формуле

где г_р, г_А, г_в — ожидаемые доходности соответственно портфеля и акций А и В; п_Ау (1 — п_А) = п_в — доли каждой из акций в общей ценности портфеля. Как рассчитывается доля каждого вида акций в ценности портфеля, показано в табл. 5.4.

Таблица 5.4. Доля акций в ценности портфеля.

Вариация доходности каждого из возможных вариантов портфеля в соответствии со свойством (5.2) равна.

Из уравнения (5.3) следует, что при п_А + п_в = 1 доходность портфеля не может превышать доходность наиболее доходной акции. Поэтому, казалось бы, составлять смешанный портфель нет смысла. Однако при р_{А в} < 1 риск портфеля меньше средневзвешенного риска содержащихся в нем акций. Чтобы убедиться в этом, определим средневзвешенное стандартное отклонение двух акций:

и возведем обе части этого равенства в квадрат:

Сравнивая полученное выражение с равенством (5.4), легко заметить, что во всех случаях, кроме совершенной положительной корреляции доходностей акций, риск портфеля меньше среднего риска входящих в него акций.

Для определения структуры портфеля с минимальным риском приравняем производную функции (5.4) по п_А к нулю:

Чтобы убедиться, что найденный экстремум является минимумом, определим вторую производную.

так как -1 < р_{4 в} < +1, то вторая производная всегда неотрицательна.

Решение равенства (5.5) относительно п_л дает структуру портфеля с минимальным риском.

При р_{л в} = -1 доли каждого вида акций, минимизирующие риск, будут.

Портфель с такой структурой имеет нулевой риск. В этом можно убедиться, подставив значения (5.7) в формулу (5.4) при р_{л в} = -1:

Портфель из двух стохастически независимых акций (р_{4 в} = 0) в соответствии с условием (5.5) имеет минимальный риск при.

У такого портфеля.

При совершенной положительной корреляции двух акций (р_{4 в} = +1) структура портфеля с минимальным риском следующая:

он тоже может быть безрисковым, так как.

Но при этом, как следует из приведенных формул, определяющих доли каждого вида акций этого портфеля, одна из них должна быть отрицательной: если <�з_в > G_/V то п_в < 0, а если а_л > то п_А < 0. На практике этому соответствует продажа акций «без покрытия», т. е. реализация акций, взятых на время.

Однако не все выбирают портфель с минимальным риском. Некоторые инвесторы согласны иметь более рисковый портфель с более высокой ожидаемой доходностью. Поэтому нужно найти все множество возможных сочетаний г_р, о_р- Чтобы получить функциональную зависимость ожидаемой доходности портфеля непосредственно от степени его риска: г_р = г_р(о_р), нужно решить уравнение (5.4) относительно п_л:

и это значение подставить в формулу (5.3).

На рис. 5.3 показано, как выглядят графики функции Т_р(о_р) портфеля из двух акций Аи В с ожидаемыми доходностями г_А= 2_уг_в = 18 и стандартными отклонениями ст_л = 4, с_в = 6 при четырех различных коэффициентах корреляции.

Рис. 5.3. Зависимость доходности и риска портфеля от коэффициента корреляции.

В тех случаях, когда рЛ, В < 1, график функции т^(а_р) имеет точку перегиба, делящую область выбора инвестора на две части: верхнюю и нижнюю. Для инвестора, желающего максимизировать доходность портфеля при заданной величине риска, все портфели, представленные нижней частью кривой г_р(о_р), неэффективны потому, что каждому из них на верхней части кривой соответствует портфель с таким же риском и большей доходностью.