Полоса пропускания частот

В инерционных И У всегда имеет место разница между графиками идеальной и фактической АЧХ, называемая частотной погрешностью. Для позиционных ИУ она равна.

Диапазон частот входного гармонического сигнала, в пределах которой частотная погрешность не превышает допустимого значения, называется полосой пропускания частот И У. У позиционных И У такой диапазон занимает интервал частот 0<�О)<�со_п (рис. 5.14), где со_п — верхняя граница (ширина) полосы пропускания частот (ППЧ).

Ее значение можно определить графическим способом — как абсциссу точки первого выхода графика относительной АЧХ за границы трубки точности 1 ± 8, где е — допустимое значение относительной частотной погрешности (см. рис. 5.14), или аналитическим способом — как минимальный вещественный корень уравнений У1₀(ш₁₁) = 1±е.

Рис. 5.14. Графический способ определения полосы пропускания частот.

На рис. 5.15 показана схема графического расчета ширины ППЧ.

Рис. 5.15. Схема графического расчета полосы пропускания частот.

Видно, что исходными данными для расчета являются передаточная функция ИУ W (p) и допустимое значение относительной частотной погрешности е. В ходе расчетов последовательно определяются операторная часть передаточной функции W₀(p) = W (p)/W (0) и относительная АЧХ ИУ Д₎(со) = |У₀(/ш)|. Затем строится график этой характеристики ГА₀(а))> ^на который наносится трубка точности 1 ± ?. Абсцисса точки первого выхода этого графика за границы трубки точности (при продвижении по графику слева направо от точки ш = 0) определяет верхнюю границу ППЧ со, (см. рис. 5.14).

В диапазоне частот 0 < со < со, выполняется условие |д_е(со)| < г. Поэтому в пределах полосы пропускания частот ИУ оказывается «прозрачным» для гармонических сигналов, пропуская их так, что частотные искажения, обусловленные инерционностью элементов прибора, не превышают допустимого уровня.

Считается, что чем шире ППЧ, тем более совершенными являются динамические свойства ИУ. Это справедливо для регистрирующих ИУ, у которых относительная АЧХ в идеале должна совпадать с единичной ступенчатой функцией 1(со). Однако в силу невозможности строгого выполнения этого условия выбор параметров таких ИУ подчиняют условию максимума ширины ППЧ.

Графический способ расчета ППЧ оказывается неудобным в тех случаях, когда необходимо исследовать зависимость этого показателя динамической точности от одного или (тем более) нескольких параметров ИУ. В этих случаях расчет ППЧ, подобный изложенному выше, приходится выполнять многократно для каждого значения варьируемого параметра ИУ или сочетания таких параметров.

Возможен другой способ численного расчета ППЧ в среде Mathcad [26, 281. В этом случае считается, что относительная ЛЧХ позиционного ИУ имеет вид

где q, q₂,—, q_n — варьируемые коэффициенты передаточной функции ИУ, например, коэффициенты дифференциального уравнения ИУ (5.1).

Расчет ширины ППЧ, соответствующей заданному сочетанию этих коэффициентов, можно выполнять с помощью процедуры-функции (5.79). Здесь он; — частота, превышающая ожидаемое значение ППЧ, NW — число, влияющее на точность расчета. При обращении к функции (5.79) интервал наблюдения 0 точек (рис. 5.16) w_s = (соv/NW^s, где s = 0,1,…, NW и в каждой из них последовательно вычисляется величина модуля относительной частотной погрешности |Д_е(г^₅)| =.

= l-(Ws, q_vq₂,…, q_n) —

Как только нарушается условие |А_е| < е, результату вычислений присваивается значение переменной w_s. В ходе вычислений осуществляется «продвижение» вдоль графика относительной АЧХ вправо от точки со = О и определяется абсцисса точки первого выхода этого графика за границы «трубки точности» 1 ± 8, т. е. искомая верхняя граница полосы пропускания частот со_п для заданного сочетания варьируемых параметров И У (см. рис. 5.16).

Точность расчета зависит от величины шага Aw = wv/NW и регулируется изменением числа NW: чем больше это число, тем выше точность расчета. Если в результате расчета получено число сор = wv, то следует увеличить ожидаемое максимальное значение ширины ППЧ соа.

Если т > 0, то форма АЧХ может значительно отличаться от показанной на рис. 5.16. В качестве примера таких И У рассмотрим виброметр (рис. 5.17).

Этот прибор предназначен для измерения и регистрации механических колебаний различных объектов: фундаментов, мостов, сооружений, земной коры и т. д. Вибрации объекта 1, на котором закреплен такой прибор, с помощью пружины 2 передаются инерционной массе 6. Благодаря этому изучение колебаний x (t) объекта «заменяется» изучением колебаний y (t) инерционной массы. С целью исключения влияния случайных толчков и ударов колебания массы демпфируются демпфером 4. Эти три элемента образуют сейсмическую систему прибора.

Рис. 5.16. Схема численного расчета ширины ППЧ.

Рис. 5.17. Схемы виброметра:

а — принципиальная; 6 — структурная Передаточная функция сейсмической системы прибора W_cc(p), связывающая изображения по Лапласу регистрируемых колебаний основания Х (р) и колебаний инерционной массы Y (p), имеет вид.

где т, k_(l, с — соответственно масса груза, коэффициент демпфирования демпфера и жесткость пружины; ?, = k_d/2[тс, со₀ = у]с/т — относительный коэффициент демпфирования и собственная частота сейсмической системы прибора. В этом случае т = п = 2.

На рис. 5.18, а показано семейство ЛЧХ рассматриваемого прибора для трех значений относительного коэффициента демпфирования? = 0,2,? = 0,5 и § = 1,5.

Рис. 5.18. АЧХ сейсмических ИУ:

а — семейство АЧХ сейсмического И У второго порядка; б — к определению нижней границы ППЧ сейсмического ИУ По оси абсцисс откладывается безразмерная относительная частота колебаний основания у = со/со₀. Поэтому при увеличении собственной частоты прибора со₀ графики сжимаются, а при уменьшении — растягиваются вдоль оси абсцисс, сохраняя свою форму. Накладывая на эти графики трубку точности 1 ± е, можно для каждого значения 8 определить соответствующее относительное значение нижней границы полосы пропускания частот у_н = со_н/со₀, как это показано на рис. 5.18, б для случая ?, = 0,2, - 0,05 = 5%. В этом случае у_н = 3,1. Поэтому если со₀ = 10 с^-1, то со_н = 31 с^-1, т. е. прибор можно использовать для регистрации колебаний, частота которых превышает 31 с^-1 (4,9 Гц).

Из приведенных примеров видно различие в расчете ППЧ для квазистатических и дифференцирующих ИУ: в первом случае определяется верхняя граница ППЧ (как абсцисса точки первого выхода графика относительной АЧХ за границы трубки точности 1 ± е), во втором — нижняя граница ППЧ (как абсцисса точки попадания этого графика в трубку точности).

В обоих случаях полоса пропускания частот ИУ должна превышать полосу частот измерительного сигнала ?2_ИС. В противном случае динамические искажения этого сигнала, вызванные инерционностью элементов ИУ, превысят допустимую погрешность.