Заключение. 
Дифференциальные уравнения

Ну что ж. дорогие читатели, вот мы и добрались до конца нашего курса. Вы. мы надеемся, много узнали. И если перед первой главой вы даже не представляли себе, как решить уравнение х = х, то теперь в вашем распоряжении целый арсенал методов для решения уравнений первого порядка, среди которых главные замена переменной и метод вариации как метод решения от простого к сложному, полный дифференциал как средство решения уравнения в неявном виде и рокировка ролями независимой и зависимой переменной, введение параметров, геометрические интерпретации и многие другие.

Освоены некоторые теоремы общего характера существования и единственности, о дифференциальных неравенствах, о зависимости от параметра.

Удивительно мощной оказалась алгебраическая подоплека теории линейных дифференциальных уравнений и систем. По существу, здесь работает весь алгебраический аппарат корни алгебраических уравнений и собственные вектора матриц, алг ебра комплексных чисел и теория квадратичных форм, сопряженные матрицы и теоремы о разрешимости вырожденных систем, абстрактные полиномы и полноценная матричная алгебра. И этот аппарат, как мы надеемся, стал для Вас рабочим инструментом.

В вашем распоряжении теперь и геометрия автономных систем, восприятие динамики в терминах фазовог о пространства, благодаря чему кое-какие фундаментальные вещи (особые точки, типы траекторий и др.) были исследованы почти исчерпывающе.

Вы соприкоснулись с одним из базовых математических понятий устойчивостью и исследовали ее в такой степени, что вам могли бы позавидовать все великие математики прошлого. Вы научились исследовать удивительные свойства решений, не зная и даже не желая знать самих этих решений.

Но такова уж ирония знания осознание того, насколько много вы уже понимаете, приводит к осознанию и того, насколько много вы еще не понимаете, а порой и просто не знаете. Мы ведь только упомянули такой объект, как разрывное дифференциальное уравнение. Мы только в простейшем случае исследовали сингулярное уравнение уравнение, имеющее особые точки. Только вскользь коснулись уравнений с частными производными. Лишь несколько раз упомянули качественную теорию дифференциальных уравнений. В теории матричных дифференциальных уравнений мы сделали только первые шаги. Гораздо больше нерешенных вопросов, чем решенных осталось у нас и в теории устойчивости, и в теории интегрирования нелинейных систем.

Мы совсем почти не обсуждали, как получать сложные уравнения, описывающие сложные физические системы этому вопросу посвящено вариационное исчисление. Обсуждая метод последовательных приближений для интегрального уравнения, структуру дифференциального оператора с постоянными коэффициентами или структуру общего решения линейного уравнения, мы только соприкоснулись с функциональным анализом наукой, в которой исследуются операции над функциями как цельными объектами (вспомните хотя бы термин «онератор» отображение множества функций в другое множество функций). Обсуждая геометрию нелинейных дифференциальных уравнений, мы только коснулись дифференциальной геометрии науки, изучающей свойства поверхностей и многообразий. Мы совсем не упоминали случаи, когда процесс по своей природе не является детерминированным, а зависит от случая. Такие процессы описываются стохастическими дифференциальными уравнениями на основе теории вероятностей.

Это хорошо, что вопросов больше, чем ответов. Чем шире круг нашего знания тем шире и круг незнания. Так что шире круг! Успехов вам! И до новых встреч.