Колебания. 
Курс общей физики

Гармонические колебания

Колебаниями, или колебательным процессом называются изменения состояния какой-либо системы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени. В зависимости от физической природы системы, в которой протекает колебательный процесс, различают колебания механические, звуковые, электромагнитные и др.

Колебания называются периодическими, если в процессе колебаний каждое состояние системы повторяется через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени, по истечении которого система возвращается в исходное состояние, называется периодом колебаний Т. Говорят, что за период система совершает одно колебание. Число периодических колебаний совершаемых за единицу времени, называется частотой колебаний. Единицей измерения частоты является 1 герц (Гц), т. е. частота колебаний, период которых равен 1 с. Эволюция во времени системы, совершающей периодические колебания, описывается периодической функцией х — x (t)_} которая по определению такова, что.

где п — целое число.

Колебания, описываемые функцией.

называются гармоническими; а система, в которой они происходят, — гармоническим осциллятором. Постоянные А, и и ос в формуле (9.1) имеют следующие названия: А — амплитуда колебаний (А > 0), — цикличе

ская, или круговая частота (и/ > 0), а — начальная фаза. Функция.

называется фазой колебания. При t = О функция (9.2) принимает значение от. у>(0) = а.

Так как период функции cos ip равен 2тг, период функции (9.1) можно определить из условия.

Из этого равенства найдем, что период колебаний и частота связаны соотношением.

График функции (9.1) приведен на рис. 9.1. Поскольку | cos <�р < 1, область значений этой функции определяется неравенствами.

Рис. 9.1. Гармонические колебания Покажем, что функция (9.1) является общим решением уравнения.

которое называется дифференциальным уравнением гармонических коле— баний. Для этого необходимо найти первую, а затем вторую производные функции (9.1), подставить вторую производную и саму функцию в уравнение (9.4) и убедиться в том, что полученное равенство является тождеством. Запишем функцию (9.1) так:

Применяя правило дифференцирования сложной функции к этой зависимости, получим:

Подстановка выражений (9.5) и (9.7) в уравнение (9.4) обращает его в тождество. Поскольку функция (9.1) содержит две произвольные постоянные А и а, она является общим решением этого уравнения. Что и требовалось доказать.

Значения постоянных А иск могут быть найдены из начальных условий.

которые при помощи зависимостей (9.1) и (9.6) можно преобразовать к виду

Разрешив эти уравнения относительно амплитуды А и начальной фазы а, придем к формулам.

Нетрудно убедиться в том, что функция (9.5) и ее производная (9.6) связаны соотношением.