Сюжет «Права на сумку — NTU-игра»

Рассмотрим один из возможных способов построения NTU-игры на основе нашего сюжета про сумку (для данной модели будем использовать наименование «NTU-права на сумку»). Для этого воспользуемся еще одним из возможных критериев оценки ее полезности для наших героинь, а именно, отношением средств, затраченных на приобретение, к числу дней эксплуатации. Как известно, последнее значение существенно различается для участниц «сумчатого» консорциума. Будем надеяться, что качество «сумки мечты» после первых ста дней носки позволит ей прослужить своим хозяйкам еще дней пятьдесят, следовательно, заявленные потребности будут так или иначе удовлетворены.

Принципиально новой чертой выбранного критерия является то, что он при одной и той же коалиции принимает различные значения для различных игроков. Например, в полной коалиции, объединяющей всех участниц, Маргарита (игрок 1) платит 9000, при этом сумка ей требуется на 80 дней. Следовательно, для нее средняя стоимость для эксплуатации составит.

Для Алисы средняя стоимость в день равна 7000/40 = 175, для Дарины — 4000/30 ~ 133,4. Аналогичным образом можно проанализировать возможности парных коалиций. В случае союза Маргариты и Алисы получаем, что им, для того чтобы «обойтись» без Дарины, нужно где-то найти дополнительные 4000 руб. Если эту «нелегкую» обязанность «взвалит на свои хрупкие плечи» Марго, то в среднем день использования сумки для нее будет стоить.

При этом значение для Алисы остается на уровне «полной» коалиции, т. е. 175. Когда же «нелегкая ноша» разместится на привычном для себя месте, т. е. на плечах Алисы, средние издержки в день для нес составят.

а для Маргариты в этом случае — 112,5.

Сводка результатов, получаемых в ходе расчета средней стоимости дня эксплуатации (средних издержек на день эксплуатации), приводится в табл. 14.4.

На основе данных из табл. 14.4 мы можем построить характеристические отображения. Поскольку издержки являются негативным фактором для игрока (чем они меньше, тем ему лучше), то в условия, задающие отображения, они входят со знаком «—» .

Отображения для одноэлементных коалиций имеют вид.

Таблицы 14.4.

Параметры характеристического отображения для игры «NTU-права на сумку» .

отображения для парных коалиций.

и, наконец, отображение для полной коалиции.

Графическая визуализация отображении полезности в построенной игре «NTU-права на сумку» для первого и второго игроков, а также их коалиции представлена на рис. 14.5.

Линия 2х₁ + х₂ = -500 (см. рис. 14.5) на отрезке между точками (-162,5; -175) и (-112,5; -275) соответствует всевозможным вариантам распределения Дарининых четырех тысяч: от варианта «все 4000 платит Маргарита» до варианта «все 4000 платит Алиса» .

Точки множеств V ({1}), V ({2}), V ({1; 2}), расположенные ниже и левее границ, отвечают заведомо худшим полезностям игроков. Это отражает требование условия (14.12) из определения NTU-игр, согласно которому из доступности некоторого уровня полезности игроку следует, что в рамках данной коалиции ему доступны и все меньшие полезности (в том числе и отрицательные). Для других коалиций также могут быть получены аналогичные иллюстрации. Нетрудно заметить, что рис. 14.4 на принципиальном уровне отражает конфигурацию отображений полезности в трехмерном пространстве для данной игры.

Рис. 14.5. Отображения полезности для игроков 1, 2 игры «ШП-права на сумку» .

Мы не будем углубляться в исследования построенной игровой модели. Отметим только, что для игр с нетрансферабельной полезностью существуют аналоги понятий выпуклости, С-ядра, вектора Шепли (так называемое l-трансферабельное или трансферабельное значение Шепли). Также могут быть упомянуты такие концепции решения, как NTU-решение Харшаньи, значение NTU-игр в смысле Оуэна. Заинтересованный читатель может получить подробную и развернутую информацию по теории NTU-игр, например, в работе [14].

* * *.

Важным частным случаем NTU-игр являются арбитражные схемы. Арбитражные схемы характеризуются параметрами (q, Q). Вектор q, называемый также точкой status quo или же точкой несогласия, характеризует набор полезностей, который игроки (участники схемы) могут получить без достижения договоренности. Однако если договоренность между всеми игроками из множества I достигается, то они могут выбрать свою полезность в соответствии с любым вектором из некоторого множества Q. Арбитражная схема порождает NTU-игру

• (14.13)
• (14.14) где у I Q — вектор полезностей, выбираемый игроками в случае достижения договоренности (образования полной коалиции I).

Для поиска решений в арбитражных схемах применяется, как правило, аксиоматический подход. Его можно интерпретировать как обращение к некоторому стороннему арбитру, способному принять решение независимо от интересов отдельных игроков на основании изначально сформулированных правил (аксиом).

Одна из наиболее известных арбитражных схем была предложена Нэшем в работе [37]. В ней рассматриваются два игрока, множество Q I R² считается компактным и выпуклым. Нэшем были априорно сформулированы следующие аксиомы, которым должно удовлетворять искомое решение q* ⁼ () при условиях его допустимости (q* I Q) и индивидуальной рациональности (q* ³ q).

А1. Симметричность. Если точка (х_1, х₂) принадлежит множеству Q тогда и только тогда, когда точка (х₂, х₁) принадлежит множеству Q, а q₁ = q₂, то = ) .

А2. Парето-оптимальность. Решение q* находится на Парето-границе множества Q (принадлежит множеству Парето-оптимальных точек множества Q).

АЗ. Независимость от аффинного преобразования. Если f— аффинный оператор, то f (q*) является решением для арбитражной схемы (f (q), f (Q)).

А4. Независимость от посторонних альтернатив. Если q* ^— решение для арбитражной схемы (q, Q'), Q I Q`, то q* является решением и для (q, Q).

Нэш доказал, что существует единственная функция, удовлетворяющая перечисленньим аксиомам, причем

(14.15).

Решение, удовлетворяющее условию (14.15), получило название значения Нэша или арбитражного решения Нэша.

Сюжет «Права на сумку» — финальное решение

Воспользуемся арбитражной схемой Нэша для анализа сюжета про «окончательное решение судьбы сумки», принятое совместно Алисой и Дариной.

В нем они выступают в качестве «интегрированного» игрока 2. Соответственно, игроком 1 является «незримо присутствующая» Маргарита. Искомым объектом является вектор х = (х₁, х₂), где х₁— количество дней эксплуатации (ношения) сумки, оставляемые за Маргаритой; х₂ — количество дней ношения сумки Алисой и Дариной (вопрос о распределении х₂ между ними выносится за рамки данного обсуждения).

Предположим, что распределению подлежат «первые сто дней ношения» сумки. Тогда множество полезностей Q определяется условиями.

при этом точка status quo q = (О, 0) — без договоренности сумкой не может пользоваться никто (рис. 14.6). В соответствии с формулой (14.15) находим арбитражное решение Нэша для данных условий:

(14.16).

Рис. 14.6. «Права на сумку», арбитражное решение по Нэшу.

Так как задача (14.16) является задачей максимизации вогнутой квадратичной функции, ее решение находится тривиально: максимальное значение достигается при х₁= 50. В результате имеем.

Таким образом, решение, предложенное Даринои, полностью совпало с арбитражным решением Нэша. Если бы Алиса и Дарина приняли решение поделить «сто дней сумки» пропорционально вкладам в ее стоимость при покупке, то распределение имело бы вид.

Данный принцип распределения вполне имеет право на существование и, как мы можем видеть, весьма часто используется в повседневной практике. Однако в данном случае решение не совпадает с арбитражным решением Нэша q* и, следовательно, не может гарантировать выполнение аксиом А1 — А4.

* * *.

В этой главе мы рассмотрели несколько возможных вариантов постановки задач о «справедливом разделе модной сумочки» и методы их решения. У отдельных читателей, вероятно, возникнет вопрос: так какой же из них самый правильный и самый справедливый? Увы, однозначного ответа на него пег и быть не может! С помощью разнообразия форм постановки, откровенно скажем, не самой насущной задачи о дележе сумки мы постарались показать, что не существует универсальной справедливости и правильности для всех участников дележа на все случаи жизни. Решения, оптимальные с точки зрения одних критериев, могут оказаться крайне «нехороши» по другим. Более того, даже при достигнутых договоренностях о правилах и предмете распределения множество «справедливых», объективно неоспариваемых решений может оказаться достаточно обширным. В конечном счете читатель, неудовлетворенный таким выводом, может рассматривать прочитанное в качестве еще одного убедительного подтверждения тезиса «и чего только не извлечешь из дамской сумочки» …

Видимо, лучшим завершением данной главы является народно-научная мудрость, что от сумы (в том числе и от модной), как и от применения методов теории кооперативных игр в повседневной жизни, зарекаться не стоит.