Однородная длинная линия при гармоническом внешнем воздействии

Волновые процессы в однородной длинной линии.

Распределение комплексных действующих значений напряжения U (x) и тока 1(х) в однородной длинной линии, находящейся под гармоническим внешним воздействием, определяется выражениями.

которые получаются из соотношений (8.7) и (8.8) путем замены комплексной частоты р наусо. Входящие в выражения (8.10) и (8.11) комплексный коэффициент распространения

и комплексное волновое сопротивление.

в дальнейшем для краткости будем называть коэффициентом распространения и волновым сопротивлением линии. Представим коэффициент распространения линии в алгебраической

а волновое сопротивление линии и постоянные интегрирования в показательной.

форме и преобразуем каждое из входящих в выражения (8.10), (8.11) слагаемых в показательную форму:

Переходя от комплексных действующих значений напряжения и тока к мгновенным, получаем.

Как следует из выражений (8.15), (8.16), установившиеся значения напряжения и тока в произвольном сечении линии, находящейся под гармоническим внешним воздействием, можно представить в виде алгебраической суммы двух подобных по структуре, но отличающихся знаками перед коэффициентами аир составляющих:

где

При фиксированном х каждая из составляющих тока и напряжения представляет собой гармоническую функцию времени t. В связи с тем, что сумма двух гармонических функций времени, имеющих одинаковую частоту, есть гармоническая функций времени той же частоты, напряжение и ток во всех сечениях линии изменяются по гармоническому закону с частотой внешнего воздействия со. Как очевидно из рис. 8.2, а, для каждого фиксированного момента времени напряжение и_пад(х, t) изменяется вдоль линии по косинусоидальному закону, причем амплитуда напряжения экспоненциально уменьшается с ростом .г. При увеличении t точки функции и_пад(х, t), имеющие одинаковую фазу, смещаются.

Рис. 8.2. Распределение напряжения падающей (а) и отраженной (б) волн вдоль линии (t_:i > t₂> t) вправо. Аналогичный вид имеют зависимости i_najl(x, t). Следовательно, и_пгл(х_у t) и г_пад(х, t) представляют собой волны напряжения и тока, распространяющиеся в направлении увеличения х. Эти волны называют падающими волнами напряжения и тока.

Из рассмотрения зависимостей w_0Tp(x, t) и /_0Tp(x, t) следует, что и_ШХ)(х, t) и i_0Tp(x, t) представляют собой волны напряжения и тока, распространяющиеся в направлении уменьшения х, т. е. от конца линии к ее началу (рис. 8.2, б). Эти волны называются отраженными волнами напряжения и тока.

Таким образом, мгновенное значение напряжения в любой точке линии определяется суммой падающей и отраженной волн напряжения (8.17), а мгновенное значение тока — разностью падающей и отраженной волн тока (8.18). Положительные направления и_пад и и_отр выбраны одинаково (от верхнего проводника к нижнему), поэтому напряжения г/_пад и и_отр суммируются; положительные направления токов г_пад и i_0Tp противоположны (падающая волна тока направлена от начала линии к концу, а отраженная от конца линии к началу), поэтому ток г_отр вычитается из тока г_пад.

Совокупность падающей волны напряжения и падающей волны тока для краткости называют падающей волной, а совокупность отраженной волны напряжения и отраженной волны тока — отраженной волной.

Как следует из выражений (8.17), (8.18) и рис. 8.2, амплитуды напряжения и тока падающей и отраженной волн уменьшаются в направлении распространения волн. Величина а, характеризующая уменьшение амплитуды (действующего значения) падающей или отраженной волны на единицу длины линии,.

называется коэффициентом ослабления. Убывание амплитуды волны связано с потерями энергии, поэтому для линии без потерь (R_{ = О, G = 0) коэффициент ослабления, а = 0, а коэффициент распространения является чисто мнимым:

у =joW/', C,.

Амплитуды падающей и отраженной волн напряжения и тока в линиях без потерь не зависят от координаты х и не изменяются вдоль линии.

Мнимая часть комплексного коэффициента передачи линии.

характеризующая изменение фазы прямой и обратной волн на единицу длины линии, называется коэффициентом фазы. Для линии без потерь коэффициент фазы прямо пропорционален частоте:

Расстояние между двумя точками волны, фазы которых различаются на 2я, называется длиной волны в линии. Длина волны в линии X определяется значением коэффициента фазы. Действительно, изменение фазы падающей или отраженной волны на участке линии длиной X

откуда.

Для линии без потерь

Скорость перемещения вдоль линии точки волны, фаза колебания в которой остается неизменной, называется фазовой скоростью волны. Для падающей волны условие постоянства фазы записывается в виде.

откуда

Для линии без потерь фазовая скорость падающей и отраженной волн не зависит от частоты:

Используя выражения (8.21) и (8.22), получаем соотношения между фазовой скоростью и длиной волны в линии:

Из выражения (8.24) следует, что за время, равное периоду внешнего воздействия Т_} падающая и отраженная волны перемещаются па расстояние, равное длине волны X.

В связи с тем, что напряжение и ток в любом сечении линии можно рассматривать как результат наложения двух волн — падающей и отраженной, нетрудно прийти к заключению, что первое и второе слагаемые, входящие в выражени я (8.10), (8.11), представляют собой комплексные действующие значения напряжения или тока падающей и отраженной волн:

где

Из выражений (8.25) и (8.26) следует, что волновое сопротивление однородной линии Z_B является коэффициентом пропорциональности между комплексными напряжением и током падающей или отраженной волны:

Таким образом, волновое сопротивление однородной линии можно рассматривать как комплексное сопротивление линии падающей или отраженной волне в отдельности.

Волновое сопротивление линии без потерь имеет чисто резистивный характер:

Используя выражения (8.25), (8.26), можно установить и физический смысл коэффициента у. С этой целью найдем комплексные действующие значения напряжений падающей волны в точках, отстоящих одна от другой на расстоянии Ах:

Определяя натуральный логарифм отношения этих величин 1п|/7_пад(х)/[/_пад (д: + Ах) = уАх_} получаем.

Аналогичным образом можно записать.

Таким образом, коэффициент распространения однородной длинной линии у характеризует изменение комплексного действующего значения напряжения или тока падающей и отраженной волн, приходящееся па единицу длины линии.

Представляя комплексное действующее значение напряжения падающей волны в показательной форме.

и используя выражения (8.14), (8.29), устанавливаем, что коэффициент ослабления линии, а численно равен натуральному логарифму отношения действующих значений напряжения падающей волны, взятых в точках, отстоящих одна от другой на единицу длины линии:

а коэффициент фазы — разности фаз напряжений, измеренных в тех же точках:

Волновое сопротивление и коэффициент распространения называются волновыми параметрами линии. В общем случае коэффициент распространения и волновое сопротивление линии для падающей и отраженной воли могут иметь различные значения, поэтому линия произвольного вида характеризуется четырьмя волновыми параметрами. У однородной линии коэффициенты распространения и волновые сопротивления для падающей и отраженной волн, соответственно, имеют одинаковые значения, поэтому однородная линия характеризуется двумя волновыми параметрами.