Представление рациональных чисел десятичными дробями

Десятичные дроби

Хорошо известно, что, например, дробь — можно записать в виде десятичной дроби, стоит только числитель «уголком» разделить на знаменатель. Точно так же можно поступить с любым рациональным числом. Наша задача — установить этот факт, используя уже доказанные свойства рациональных чисел. При этом мы уточним понятие десятичной дроби и понятие представимости числа десятичной дробью.

4.4.1. Определение. Десятичной дробью называется последовательность целых чисел a_Qp_xр₂г—> где а_хд_2г. ~ цифры десятичной системы счисления (см. 3.3.20), которая записывается в виде а₀, а_ха₂… (читается: а₀ целых, а_{, а₂, итак далее), причем цифра 9 не повторяется бесконечное число раз подряд, то есть для любого номера т существует номер к > т такой, что а_к Ф 9. Целое число а₀

называется целой частью десятичной дроби и записывается в десятичной системе счисления.

Образно говоря, десятичная дробь по определению не имеет «хвоста» из девяток. Только при этом условии нам удастся доказать единственность представления десятичной дробью всякого рационального, а затем и всякого действительного числа. (Устраняется неоднозначность типа 1=1,000… и 1=0,999…).

Приведем примеры десятичных дробей: 3,035… (читается: три целых, ноль, три, пять и так далее); 7,00… (читается: семь целых, ноль, ноль, и так далее). Если целая часть десятичной дроби отрицательна, то знак «минус» будем писать над первой цифрой целой части. Например, 123,0101… (читается: сто двадцать три целых с минусом, ноль, один, ноль, один, и так далее).

• 4.4.2. Определение. Две десятичные дроби равны, а₀, а_{а₂…=, тогда и только тогда, когда a_t =6, для любого / = 0,1Д_Г.
• 4.4.3. Определение. Десятичная дробь называется периодической, если существуют т и к такие, что для любого / =1,2,… выполняется равенство dm+k+j = d_m+i. Наименьшее т называется количеством цифр до периода, а наименьшее к — количеством цифр в периоде. При этом повторяющаяся группа цифр а_т+[а_т+2.а_т+к называется периодом, а сама дробь записывается в виде a₀, aia₂.a_m(a_m+ia_m+2.a_m+k).

Например, 28,4 370 505. =28,437(05) (читается: 28 целых, 4, 3, 7 и 0, 5 в периоде). Эта десятичная дробь содержит 3 цифры до периода и 2 цифры в периоде.

Уточним понятие представимости числа десятичной дробью, причем, сделаем это в наиболее общей форме для элементов произвольного упорядоченного поля. Это позволит нам впоследствии использовать введенное понятие и для действительных чисел. При этом мы считаем, ввиду 4.3.4, что всякое упорядоченное поле содержит упорядоченное поле рациональных чисел.

4.4.4. Определение. Пусть дано упорядоченное поле (/>,+, •, <). Будем говорить, что элемент а е Р представим в виде десятичной дроби а₀, а_ха₂…, если для любого номера п = 0,1,2,… выполняются неравенства.

Рациональные числа А" =я_п + — + —— и А,=А"+;

^л 0 10 10^я 10^я

называются приближенными значениями элемента а соответственно по недостатку и по избытку (с точностью до).