Условные распределения. 
Независимость случайных величин

Условные распределения

Выше было показано, как, зная распределение случайного вектора (^, ^₂)> найти распределения случайных величин и Ьц. Обратная задача в общем случае неразрешима, т. е. зная распределения случайных величин ^ и %₂, нельзя без дополнительной информации найти распределение случайного вектора (?, ?,₂). Поэтому возникает необходимость введения условных законов распределения. Под условным законом распределения случайного вектора (%j, %₂) понимается закон распределения одной случайной величины, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение 116, 171.

Пусть задан дискретный случайный вектор (^, ^₂), возможные значения которого (дг/, yj), i = 1, 2, …, j =1,2,… Найдем вероятность события = x_t} при условии, что случайная величина {^₂ = г/,}. По определению условной вероятности.

Условным распределением случайной величины при условии, что произошло событие {^₂ = yj), называется совокупность условных вероятностей P (x/yj), P{xi/yj), Р (^хк/уд> вычисленных по формуле (2.37).

Аналогично определяется условное распределение случайной величины 'i при условии, что случайная величина.

/) —. = г.

Рассмотрим теперь случай непрерывного случайного вектора (^, %₂), плотность распределения которого /(х, у). Условной плотностью распределения случайной величины с, при условии, что Ь, 2 = у, называется следующая функция Аналогично.

называется условной плотностью распределения случайной величины при условии, что = х.

Отметим, что условные распределения обладают всеми свойствами обычных распределений. В частности.

Пример 2.19. Найдем условное распределение случайной величины С| при условии, что случайная величина приняла значение 40 для случайного вектора (%), ^₂) из примера 2.14.

Решение. Нужно найти следующие условные вероятности.

Найдем сначала вероятность Р{^₂ = 40}.

На основании (2.37) имеем аналогично.

Пример 2.20. Двумерный случайный вектор (^, с, 2) имеет следующую плотность распределения.

Найти условную плотность распределения случайной величины 4,.

Решение. Найдем сначала, но формуле распределения случайной величины %₂— Имеем.

Окончательно получаем.

Найдем теперь, но формуле (2.39) условную плотность Д,. Так как f (x, у) = 0 при х² + у² > 36, то Д,(х/у) = 0, при х > V.36 — у².

(36л)1.

Найдем теперь по формуле (2.39) условную плотностьД,. Так как f (x, у) = 0 при х² + у² > 36, то Д{х/у) = 0, при |дс| > «V36 — у².

пр" |*| < /"<*/,) — - _2l3=.

Таким образом.

Пример 2.21. Найти условные законы распределения случайного вектора (?_1; ?,₂)> определенного в примере 2.13.

Решение. Найдем условную плотность распределения случайной величины при условии, что %₂ ⁼ У• Из формулы (2.39) следует, что.