Передаточная функция линейной стационарной системы

Передаточная функция системы определяется по ее дифференциальному уравнению при помощи преобразования Лапласа. Применив к уравнению (5.1) системы преобразование Лапласа, получим.

где Л (5)=а_п5″ +…+а|5+а₀), B (s)-b_ns" ' +…+b_ts+b₀, C_H(s) — полином, учитывающий начальные условия, и изображения X (s) и F (s) входного и выходного сигналов определяются соответственно выражениями:

Уравнение (5.3) можно привести к следующему виду: где.

Уравнение (5.4) связывает изображение выходного сигнала системы с изображением входного сигнала и начальным состоянием системы. Функция fV (s) характеризует динамические свойства системы. Она не зависит от входного сигнала и полностью определяется параметрами системы. Эту функцию называют передаточной функцией.

С другой стороны, при нулевых начальных условиях IK (.?)=0, и из уравнения (5.4) будем иметь:

Поэтому передаточной функцией W(.?) системы называется отношение изображения У (х) выходного сигнала к изображению А" (х) входного сигнала при условии, что все начальные условия равны нулю. Для систем, описываемых обыкновенным дифференциальным уравнением, передаточная функция является дробно-рациональной функцией относительно оператора преобразования Лапласа:

Сравнив полученное выражение с дифференциальным уравнением звена (5.2), легко заметить, что формально передаточную функцию звена можно определить как отношение оператора правой части к оператору левой части дифференциального уравнения. Очевидно, и наоборот, зная передаточную функцию системы (5.5), легко написать ее дифференциальное уравнение.

Передаточную функцию линейной стационарной системы можно представить в виде.

Здесь числа v, v,…, v_m называют нулями передаточной функции. Они являются корнями уравнения.

и могут принимать как вещественные, так и комплексные значения.

Числа А., Х₂,…, А_п называют полюсами передаточной функции (5.6). Они находятся как корни так называемого характеристического уравнения системы.

и так же, как нули, могут принимать вещественные и комплексные значения. Если все числа А, Д₂,…, А_П различны, то полюсы функции (5.6) называются простыми. Если же среди этих чисел встречаются одинаковые, то соответствующие полюсы называются кратными.

Передаточная функция существует только для линейных стационарных систем. В нестационарных системах один или несколько параметров зависят от времени, поэтому использовать преобразование Лапласа нельзя.

Передаточная функция описывает поведение системы в терминах вход-выход и не несет никакой информации о внутренних переменных системы и характере их изменения.