Бросание иглы. 
Занимательная геометрия

Самый оригинальный и неожиданный способ для приближенного вычисления числа п состоит в следующем. Запасаются короткой (сантиметра два) швейной иглой, — лучше с отломанным острием, чтобы игла была равномерной толщины, — и проводят на листе бумаги ряд тонких параллельных линий, отделенных одна от другой расстоянием вдвое больше длины иглы. Затем роняют с некоторой (произвольной) высоты иглу на бумагу и замечают, пересекает ли игла одну из линий или нет (рис. 123, слева). Чтобы игла не подпрыгивала, подкладывают под бумажный лист пропускную бумагу или сукно. Бросание иглы повторяют много раз, например сто или, еще лучше, тысячу, каждый раз отмечая, было ли пересечение^[1]. Если потом разделить общее число падений иглы на число случаев, когда замечено было пересечение, то в результате должно получиться число п, конечно, более или менее приближенно.

Рис. 123. Опыт Бюффона с бросанием иглы.

Объясним, почему так получается. Пусть вероятнейшее число пересечений иглы равно К, а длина нашей иглы — 20 мм. В случае пересечения точка встречи должна, конечно, лежать на каком-либо из этих миллиметров, и ни один из них, ни одна часть иглы, не имеет в этом отношении никаких преимуществ перед другими. Поэтому вероятнейшее число пересечений каждого от;

К

дельного миллиметра равно —. Для участка иглы в з к 11 к

3 мм оно равно, для участка в 11 мм—и т.д.

Иначе говоря, вероятнейшее число пересечений прямо пропорционально длине иглы.

Эта пропорциональность сохраняется и в том случае, если игла согнута. Пусть игла согнута в форме фиг. II (рис. 123, справа), причем участок АВ =11 мм, ВС = = 9 мм. Для части АВ вероятнейшее число пересечений И* 9 К

равно, а для ВС равнодля всей же иглы.

• 11Л: ^9К Г Л,
• -+ —, т. е. по-прежнему равно К . Мы можем изо-
• 20 20

гнуть иглу и более затейливым образом (фиг. Ill рис. 123), — число пересечений от этого не изменилось бы. (Заметьте, что при изогнутой игле возможны пересечения черты двумя и более частями иглы сразу; такое пересечение надо, конечно, считать за 2, за 3 и т. д., потому что первое зачислялось при подсчете пересечений для одной части иглы, второе •— для другой и т. д.).

Вообразите теперь, что мы бросаем иглу, изогнутую в форме окружности с диаметром, равным расстоянию между чертами (оно вдвое больше, чем наша игла). Такое кольцо каждый раз должно дважды пересечь какуюнибудь черту (или по одному разу коснуться двух линий, — во всяком случае, получаются две встречи). Если общее число бросаний N, то число встреч — 2N. Наша прямая игла меньше этого кольца по длине во столько раз, во сколько полудиаметр меньше длины окружности, т. е. в 2п раз. Но мы уже установили, что вероятнейшее число пересечений пропорционально длине иглы. Поэтому вероятнейшее число (К) пересечений нашей иглы.

N

должно быть меньше 2N в 2п раз, т. е. равно —. Отсюда.

п

Чем большее число падений наблюдалось, тем точнее получается выражение для п. Один швейцарский астроном, Р. Вольф, в середине XIX века наблюдал 5000 падений иглы на разграфленную бумагу и получил в качестве п число 3,159… — выражение, впрочем, менее точное, чем архимедово число.

Как видите, отношение длины окружности к диаметру находят здесь опытным путем, причем— это всего любопытнее — не чертят ни круга, ни диаметра, т. е. обходятся без циркуля. Человек, не имеющий никакого представления о геометрии и даже о круге, может тем нс менее определить по этому способу число п, если терпеливо проделает весьма большое число бросаний иглы.

• [1] Пересечением надо считать и тот случай, когда игла толькоупирается концом в начерченную линию.